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- 1. EDUCACIÓN SECUNDARIA PARA PERSONAS ADULTAS NIVEL II ÁMBITO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO BLOQUE IX TEMA 3: Las matemáticas en el arte 3.- Las m atem á ticas en el a rte ¿Tienen algo en com ún los siguientes objetos? , una flo r, una c o n cha m arina , una foto de un edificio antiguo adm irado e im itado (conocido com o el P arten ón) a , una reproducción de un retrato conocido com o La G io nc on da o M ona Lisa y un instrum ento m usical, violín La respuesta esta en las M a te m áticas.
- 2. EDUCACIÓN SECUNDARIA PARA PERSONAS ADULTAS NIVEL II ÁMBITO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO BLOQUE IX TEMA 3: Las matemáticas en el arte Cada una de estas figuras contie ne en su estructura u na m isteriosa relación m ate m á tica. Al dividir entre sí ciertas medidas clave de sus elementos obtenemos siem pre el m is m o n úm e ro: 1,618... y esto sin tener en cuenta la escala de la imagen, ni el patrón elegido. Este número "mágico" también se puede escribir de esta form a: Se denominaba núm e ro de oro, ra zó n á ure a y hasta divin a p ro p orción. 3.1.- E l origen de p hi O tro nombre para definir esta proporción era p hi (φ o ϕ ), en honor a un gran escultor y arquitecto griego de la antigüedad llamado Fidia s (principal exponente de la época más gloriosa de la Atenas clásica). Si quieres conocer un poco más la vida y obra de Fidias, puedes pulsar en este enlace: Fidias, su vida y su ob ra P ero, ¡qué casualidad!, también se ajustaba al nombre de un gran matem ático italiano de comienzos del siglo XIII, conocido com o Fib onacci (¿te suena de algo este nombre?, piensa, piensa que quizá ya lo hayas visto a lo largo del tema de otra form a...) (su verdadero nombre era Leonardo de P isa), famoso por la conocida su cesió n de F ibonacc i, surgida como consecuencia del estudio del crecim iento de las poblaciones de conejos.
- 3. EDUCACIÓN SECUNDARIA PARA PERSONAS ADULTAS NIVEL II ÁMBITO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO BLOQUE IX TEMA 3: Las matemáticas en el arte Esta sucesión está íntim amente ligada al número áureo..... Una sucesión no es m as que una lista de núm eros relacionados entre sí de tal forma que cada uno de ellos se obtiene haciendo una operación con alguno de los anteriores.... pero siem pre la m isma operación. Los ocho prim eros términos de la sucesión de Fibonacci son:1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, ... Pon a prueba tu lógica. ¿P odrías decir cuáles son los dos siguientes térm inos de esta sucesión, de la sucesión de Fibonacci? 25 y 47 34 y 55 37 y 52 Si quieres saber algo más sobre la sucesión de Fibo nacci, pincha en éste enlace: Fibonacci
- 4. EDUCACIÓN SECUNDARIA PARA PERSONAS ADULTAS NIVEL II ÁMBITO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO BLOQUE IX TEMA 3: Las matemáticas en el arte 3.2.- ¿ Q ue es p hi? En la imagen de la izquierda se han señalado algunos segmentos de distinto color (verde, violeta, rojo y amarillo) para que lo aprecies mejor. Si dividimos la medida correspondiente al segm ento verde entre la correspondiente al segmento violeta dará com o resultado 1,618..... Igualmente si dividimos la medida del segm ento rojo entre el amarillo volverá a dar como resultado 1,618... Este resultado n o depe nde rá de si el pentágono es mayor o m enor, si la unidad de medida que tomemos (en todo caso siempre la m isma) sean m ilímetros, centímetros, pulgadas o kilómetros. E s una proporción estable y que sie m pre da rá co m o resulta do 1,6 18......, es decir, φ. Podemos verlo más gráficam ente en esta nueva representación: ¿E starían la diagonal AD y el lado AB de un pentágono regular en proporción áurea? S i, sie m pre. No D e pen de del ta m añ o del pen tá go n o.
- 5. EDUCACIÓN SECUNDARIA PARA PERSONAS ADULTAS NIVEL II ÁMBITO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO BLOQUE IX TEMA 3: Las matemáticas en el arte Seguim os con el segundo objeto: La co nc h a m arina conocida tam bién com o Nautilus: Esta preciosa pieza nacarada, equivaldría a una de las figuras matem áticas más bella, la es piral lo garítm ica. Esa figura geométrica recibe el nombre de E spiral de D urero Está form ada por sucesivos rectángulos en proporción aurea. Por ejem plo el rectángulo A B C D es áureo, es decir: El rectángulo E FC D es igualm ente áureo 3.3.- L a fa m o sa historia de cone jos de Fibo nacc i Supongamos que tenemos una pareja de conejos recién nacidos, deberán esperar un m es para poder reproducirse, teniendo una nueva pareja de conejitos. Así, al cabo de dos meses, serán dos las parejas: la inicial y la pequeñita. En el tercer m es la primera pareja se vuelve a reproducir, teniendo una nueva parejita, los pequeños no se reproducen porque aún deben madurar. En el cuarto mes ya hay dos parejas reproductivas y una inmadura, en total cinco.
- 6. EDUCACIÓN SECUNDARIA PARA PERSONAS ADULTAS NIVEL II ÁMBITO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO BLOQUE IX TEMA 3: Las matemáticas en el arte Seguim os la m ism a pauta, aparecerán los núm eros que conform an la serie de Fibonacci, observa la siguiente im agen y la tabla donde recogem os los datos de m ás m eses: Jugando con los términos de la sucesión de Fibonacci (que coinciden, como puedes observar con el total de pares de conejos) se obtendría una curiosa propiedad: Al dividir cada térm ino de la sucesión de Fibonacci entre el término anterior, se va obteniendo un cociente que cada vez se aproxima más y más al valor del número de oro. Jam ás podremos escribir con cifras el valor exacto de phi, al ser un n úm e ro irracio nal, es decir, un número con infinita s cifra s de cim ales no periód icas.
- 7. EDUCACIÓN SECUNDARIA PARA PERSONAS ADULTAS NIVEL II ÁMBITO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO BLOQUE IX TEMA 3: Las matemáticas en el arte Cuál es el valor del cociente, con diez cifras decim ales, entre los térm inos vigésim o prim ero y vigésim o de la sucesión de Fibonacci? ¿A cuántas cifras decim ales de phi nos aproxim arem os? 10946 : 6765 = 1,6180339985 ( aproximación a 7 cifras decimales de phi 10477 : 6475 = 1,6180 694980 ( ap roxim ació n a 4 cifras d ecim ale s de ph i) 10477 : 6475 = 1,6180694980 (aproximación a 5 cifras decimales de phi) En esta presentación tienes otros ejem plos de cóm o, en m uchos casos, la Naturaleza se com porta com o un perfecto geóm etra: Arm onía natural 3.4.- La im p orta ncia de phi en el arte Este dibujo es a menudo considerado com o un sím bolo de la simetría básica del cuerpo humano y, por extensión, del Universo en su conjunto. Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, realizado a partir de los textos del arquitecto de la antigua Roma, Vitrubio, del que el dibujo toma su nombre. De acuerdo con las notas del propio Leonardo en el Hombre de Vitrubio se dan otras relaciones: Proporciones hum anas
- 8. EDUCACIÓN SECUNDARIA PARA PERSONAS ADULTAS NIVEL II ÁMBITO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO BLOQUE IX TEMA 3: Las matemáticas en el arte Lo mismo ocurre con muchos de los diseños de los objetos creados por el hombre, desde la forma de un coche, de una ventana, de un libro, de un pupitre, la clásica calculadora, de cómo se ha construir una habitación para que el sonido sea perfecto en ella, un Ipod... Los objetos con esas proporciones tienen aspectos agradables a la vista pues proporciona armonia. Arte áureo Com o crear un rectángulo aúreo C rear rectángulo aúreo 3.5.- ¿Que es eso del "teorema de Pitágoras"? Nosotros usamos el Teorema de Pitágoras, cuando queremos saber la longitud restante del lado de un triángulo rectángulo para los que ya sabemos dos longitudes. Sabemos que la palabra triángulo significa que tiene tres ángulos y por tanto tres lados. Si hablamos de triángulo rectángulo, es que tiene un ángulo recto. En este caso sus tres lados tienen nombre. Lado mayor = Hipotenusa, Lados menores = Catetos
- 9. EDUCACIÓN SECUNDARIA PARA PERSONAS ADULTAS NIVEL II ÁMBITO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO BLOQUE IX TEMA 3: Las matemáticas en el arte Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. x2 + y2 = h2 Demostración del Teorema de Pitágoras