![Soluci´on
Ecuaciones param´etricas de la circunferencia x2 + y2 = 22.
x = 2 cos t =⇒ dx = −2 sen t dt
y = 2 sen t =⇒ dy = 2 cos t dt
I1 =
2π
0
2 cos t · 2 cos t dt − 2 sen t · (−2) sen t dt
4
I1 =
2π
0
cos2
t + sen2
t dt = [t]2π
0 = 2π
27 de septiembre de 2017 4 / 5](https://image.slidesharecdn.com/33-170927110528/85/Tomo-II-Problema-33-4-320.jpg)
Tomo II: Problema 33
- 1. Problema 33 (Tomo II) Calcular: C x dy − y dx x2 + y2 a) C ≡ x2 + y2 = 4 b) C ≡ (x − 4)2 + y2 = 1 27 de septiembre de 2017 1 / 5
- 2. Gu´ıa ⋆ #» F (x, y) conservativo ⇐⇒ ∂Q ∂x = ∂P ∂y ⋆ Ecuaciones param´etricas de la circunferencia. (x − a)2 + (y − b)2 = r2 ; x = a + r cos t y = b + r sen t 27 de septiembre de 2017 2 / 5
- 3. Soluci´on a) C −y x2 + y2 dx + x x2 + y2 dy ∂P ∂y = ∂Q ∂x = y2 − x2 (x2 + y2)2 A pesar de que el recinto es cerrado y el campo conservativo, no podemos asegurar que la integral valga cero; para que fuese cero se tendr´ıa que verificar que el recinto fuese “simplemente conexo” y esto implicar´ıa no tener singularidades dentro del recinto, ni en la frontera del recinto; no nos queda otra que calcular la integral directamente, o sea, parametrizando el camino, a trav´es de cualquier curva cerrada que contenga (0, 0). 27 de septiembre de 2017 3 / 5
- 4. Soluci´on Ecuaciones param´etricas de la circunferencia x2 + y2 = 22. x = 2 cos t =⇒ dx = −2 sen t dt y = 2 sen t =⇒ dy = 2 cos t dt I1 = 2π 0 2 cos t · 2 cos t dt − 2 sen t · (−2) sen t dt 4 I1 = 2π 0 cos2 t + sen2 t dt = [t]2π 0 = 2π 27 de septiembre de 2017 4 / 5
- 5. Soluci´on b) En este caso, el recinto es “simplemente conexo”. La singularidad que es el (0, 0) ha quedado fuera del recinto; si adem´as le a˜nadimos que la curva es cerrada y el campo conservativo. I2 = 0 27 de septiembre de 2017 5 / 5