Tomo I: Problema 53
- 1. Problema 53 (Tomo I) Hallar los focos reales y directrices de la c´onica: 2xy + 4x − 1 = 0 25 de septiembre de 2017 1 / 4
- 2. Gu´ıa ⋆ Las directrices son las polares de los focos. ⋆ Los focos son los puntos del plano desde los cuales se pueden trazar tangentes is´otropas a la c´onica. ⋆ Las rectas is´otropas tienen de pendiente i ´o −i. ⋆ Tambi´en podemos definir los focos, como las c´onicas degeneradas del haz Dual |F (u, v) + λΩ| = 0 25 de septiembre de 2017 2 / 4
- 3. Soluci´on C´onica en puntuales 2xy + 4x − 1 = 0 (A)ad Paso al −−−−−→ Dual C´onica en tangenciales −4v2 + 2uv + 4v − 1 = 0 F (u, v) + λ (u2 + v2 ) = 0 λ 1 0 1 λ − 4 2 0 2 −1 = 0 ⇐⇒ −λ2 + 1 = 0 Si λ = 1 =⇒ (u, v, 1) 1 1 0 1 −3 2 0 2 −1 u v 1 = 0 u2 − 3v2 + 4v + 2uv − 1 = 0 25 de septiembre de 2017 3 / 4
- 4. Soluci´on Esta c´onica es degenerada y rompe en un producto de rectas as´ı: (u − v + 1) · (u + 3v − 1) = 0 ⇓ ⇓ F1 = (1, −1) y F2 = (−1, −3) Para λ = −1 obtendr´ıamos los focos que est´an en el eje imaginario. No olvidemos que una c´onica central, tiene cuatro focos; dos reales y dos imaginarios. C´alculo de las directrices: (x, y, 1) 0 1 2 1 0 0 2 0 −1 1 −1 1 = 0 ⇐⇒ x + y + 1 = 0 (x, y, 1) 0 1 2 1 0 0 2 0 −1 −1 −3 1 = 0 ⇐⇒ x + y + 3 = 0 25 de septiembre de 2017 4 / 4