Tomo II: Problema 72
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Este documento resume el problema de hallar cuántas raíces tiene la ecuación z4 + z3 + 27 = 0 dentro de un círculo de radio 2. Se utiliza el método de reducción al absurdo para demostrar que no hay ninguna raíz dentro del círculo asumiendo lo contrario y llegando a una contradicción al tomar módulos en la ecuación. Por lo tanto, la ecuación no tiene ninguna raíz dentro del círculo especificado.
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Tomo II: Problema 72
- 1. Problema 72 (Tomo II) Hallar cu´antas ra´ıces tiene la ecuaci´on z4 + z3 + 27 = 0 dentro del c´ırculo de centro el origen y radio 2. 27 de septiembre de 2017 1 / 4
- 2. Gu´ıa ⋆ Por reducci´on al absurdo. α ⇒ β ⇐⇒ ¬β ⇒ ¬α ⋆ Propiedad triangular |a + b| ≤ |a| + |b|. 27 de septiembre de 2017 2 / 4
- 3. Soluci´on Sea z0 una ra´ız de dicha ecuaci´on o sea: z4 0 + z3 0 + 27 = 0 x y 2 • z0 27 de septiembre de 2017 3 / 4
- 4. Soluci´on Supongamos que tiene alguna dentro del c´ırculo; por ejemplo z0, de aqu´ı se sigue que: −27 = z4 0 + z3 0 Si tomamos m´odulos tenemos: | − 27| = z4 0 + z3 0 ≤ z4 0 + z3 0 27 ≤ 24 + 23 27 ≤ 24 ¡Absurdo! Hemos llegado a un absurdo por haber supuesto que ten´ıa ra´ıces dentro del c´ırculo; tenemos que refutar la hip´otesis. Por lo tanto, no hay ninguna ra´ız dentro del c´ırculo de radio 2. 27 de septiembre de 2017 4 / 4