Tomo I:Problema 177
- 1. Problema 177 (Tomo I) Calcular todos los polinomios de la forma x2 − ax + b = 0 con a y b ∈ Z, que tienen alguna ra´ız en´esima de la unidad. 25 de septiembre de 2017 1 / 4
- 2. Soluci´on Vamos a considerar dos casos: a) Las ra´ıces de la ecuaci´on x2 − ax + b = 0 son imaginarias, en este caso tenemos las siguientes restricciones: 1.- ∆ = a2 − 4b < 0 2.- x1 + x2 = a =⇒ |a| = |x1 + x2| ≤ |x1| 1 + |x2| 1 ≤ 2 Por otra parte, no olvidemos que los afijos tienen que ser puntos de la circunferencia unidad. 3.- x1 · x2 = b =⇒ |x1 · x2| = |b| |x1 · x2| = |x1| |x2| = |x1|2 = |x2|2 = |b| = 1 ⇐⇒ b = ±1 25 de septiembre de 2017 2 / 4
- 3. Soluci´on Tenemos que hallar los valores de a y b que compatibilicen las restricciones: a2 − 4b < 0 |a| ≤ 2 b = ±1 ⇐⇒ a2 − 4b < 0 |a| < 2 b = 1 a b soluciones 1 1 x2 − x + 1 = 0 0 1 x2 + 1 = 0 −1 1 x2 + x + 1 = 0 si las ra´ıces de la ecuaci´on x2 − ax + b = 0 son imaginarias, pueden darse las tres soluciones anteriores. 25 de septiembre de 2017 3 / 4
- 4. Soluci´on b) Supongamos que la ecuaci´on x2 − ax + b = 0 tiene todas sus ra´ıces reales. Al ser las ra´ıces reales y de m´odulo 1, la intersecci´on del eje real con la circunferencia unidad nos da las ra´ıces x = ±1. Si x = 1 =⇒ 12 − a · 1 + b = 0 Si x = −1 =⇒ (−1)2 + a + b = 0 b − a = −1 b + a = −1 ⇐⇒ b = −1 a = 0 De manera que x2 − 1 = 0 tambi´en es soluci´on. Resumiendo, si queremos que x2 − ax + b = 0 sea factor de ra´ıces en´esimas de la unidad, solo pueden darse 4 casos: a) x2 + 1 = 0 b) x2 + x + 1 = 0 c) x2 − x + 1 = 0 d) x2 − 1 = 0 25 de septiembre de 2017 4 / 4