Tomo I: Problema 3
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Este documento demuestra que el producto de los senos de los ángulos internos de un triángulo es menor o igual a 1/8. Primero expresa cada seno en términos de los otros ángulos usando identidades trigonométricas. Luego maximiza la expresión resultante para mostrar que es menor o igual a 1/8 y que la igualdad solo se da cuando los ángulos son iguales a π/6.
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![Soluci´on
2α + 2β + 2γ = π ⇐⇒ α + β + γ =
π
2
β + γ =
π
2
− α ⇐⇒ cos(β + γ) = cos
π
2
− α = sen α
P = sen α · sen β · sen γ =
1
2
sen α [cos(β − γ) −
sen α
cos(β + γ)]
Maximizamos esta expresi´on
P ≤
1
2
sen α(1 − sen α)
El producto de dos factores cuya suma es constante, es m´aximo, precisamente si ambos
factores son iguales, o sea:
sen α
∗
= 1 − sen α
sen α =
1
2
P ≤
1
2
·
1
2
·
1
2
=
1
8
La igualdad se da cuando α = β = γ =
π
6
.
25 de septiembre de 2017 3 / 4](https://image.slidesharecdn.com/3-170925103753/85/Tomo-I-Problema-3-3-320.jpg)
![Soluci´on
[*] Demostraci´on
P = x · (a − x) ; x + (a − x) = a = cte
P ′ = a − 2x = 0 ; x =
a
2
P ′′ = −2 < 0 ⇒ Pm´aximo =
a
2
·
a
2
=
a2
4
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- 3. Soluci´on 2α + 2β + 2γ = π ⇐⇒ α + β + γ = π 2 β + γ = π 2 − α ⇐⇒ cos(β + γ) = cos π 2 − α = sen α P = sen α · sen β · sen γ = 1 2 sen α [cos(β − γ) − sen α cos(β + γ)] Maximizamos esta expresi´on P ≤ 1 2 sen α(1 − sen α) El producto de dos factores cuya suma es constante, es m´aximo, precisamente si ambos factores son iguales, o sea: sen α ∗ = 1 − sen α sen α = 1 2 P ≤ 1 2 · 1 2 · 1 2 = 1 8 La igualdad se da cuando α = β = γ = π 6 . 25 de septiembre de 2017 3 / 4
- 4. Soluci´on [*] Demostraci´on P = x · (a − x) ; x + (a − x) = a = cte P ′ = a − 2x = 0 ; x = a 2 P ′′ = −2 < 0 ⇒ Pm´aximo = a 2 · a 2 = a2 4 25 de septiembre de 2017 4 / 4