Conceptos básicos Matrices
- 2. INTEGRANTES: *Andrango Darío *Melo Jennifer *Mendez Emilia *Montaluisa José *Perez Daniel *Ruíz David GR-5 / Aula: 403 *FACULTAD: INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA *
- 3. *PROPIEDADES DE LA TRANSPUESTA TEOREMAS Para todo A,B∈Mmxn: (A+B)t = (A)t + (B)t (At)t = A Para todo A∈Mmxn , Para todo B∈Mnxp (AB)t = Bt At Para todo 𝛼 ∈K , Para todo A 𝛼 ∈Mmxn (𝜶𝑨)t = 𝜶𝑨t
- 4. Matriz Idempotente Sea la matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑛 decimos que A es matriz idempotente ssi A = A2 =A.A . La idempotencia hace referencia a una operación que, si se repite, produce el mismo resultado que si se llevara a cabo una sola vez. Es decir An = A2 = A
- 5. Ejemplo: 𝑺𝒆𝒂 𝑨 = 𝒂 𝒂 − 𝒂 𝟐 𝒂 − 𝒂 𝟐 (𝟏 − 𝒂) 𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 𝑨 𝟐 = 𝑎 𝑎 − 𝑎2 𝑎 − 𝑎2 1 − 𝑎 𝑎 𝑎 − 𝑎2 𝑎 − 𝑎2 1 − 𝑎 = 𝑎2 + 𝑎 − 𝑎2 𝑎 𝑎 − 𝑎2 + (1 − 𝑎)( 𝑎 − 𝑎2) 𝑎 𝑎 − 𝑎2 + (1 − 𝑎)( 𝑎 − 𝑎2) 𝑎 − 𝑎2 + 1 − 2𝑎 + 𝑎2 = 𝑎 𝑎 − 𝑎2 𝑎 − 𝑎2 1 − 𝑎 𝑪𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝑨 𝒏 = 𝑨 𝟐 = 𝑨
- 6. Matriz Involutiva Sea la matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑛 A es involutiva si A.A=1 Es decir 𝑨 𝟐 = 𝑰 El cuadrado de una matriz es igual a la matriz identidad
- 7. Ejemplo 1: 𝐴 ∈ 𝑀2 A = 1 −1 0 −1 Para determinar si A es matriz involutiva, multiplicamos 2 veces A2= 1 −1 0 −1 1 −1 0 −1 A2= 1 0 0 1 =I
- 8. Ejemplo 2: B∈ 𝑀3 B = −1 −1 2 0 1 0 0 0 1 B2 = −1 −1 2 0 1 0 0 0 1 −1 −1 2 0 1 0 0 0 1 B2 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
- 9. Matriz Nilpotente Sea la matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑛 decimos que 𝐴 es matriz NILPOTENTE de orden k , siendo k el menor entero positivo tal que 𝑨 𝒌 = 𝟎
- 10. Ejemplo 1: B ∈ M2 𝐵 = 6 −9 4 −6 B es matriz nilpotente de orden 2, 𝐵2 = 0 multiplicando dos veces la matriz B tenemos: 𝐵. 𝐵 = 6 −9 4 −6 6 −9 4 −6 = 36 − 36 −54 + 54 24 − 24 −36 + 36 𝐵2 = 0 0 0 0
- 11. Ejemplo 2: 𝐶 ∈ 𝑀3 𝐶 = 5 −3 2 15 −9 6 10 −6 4 C es matriz nilpotente de orden 2, 𝐶2 = 0 multiplicando dos veces la matriz C tenemos: 𝐶. 𝐶 = 5 −3 2 15 −9 6 10 −6 4 5 −3 2 15 −9 6 10 −6 4 = 25 − 45 + 20 −15 + 27 − 12 10 − 18 + 8 75 − 135 + 60 −45 + 81 − 36 30 − 54 + 24 50 − 90 + 40 −30 + 54 − 24 20 − 36 + 16 𝐶2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
- 12. Sean las matrices A,B ∈ Mnxn AyB son conmutables ssi: AB = BA *
- 13. Binomio de Newton El teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. (𝒂 + 𝒃) 𝒏=𝒂 𝒏+n𝒂 𝒏−𝟏b+ 𝒏(𝒏−𝟏) 𝟐 𝒂 𝒏−𝟐 𝒃 𝟐+ 𝒏(𝒏−𝟏) 𝟐 𝒏(𝒏−𝟐) 𝟑 𝒂 𝒏−𝟑 𝒃 𝟑+....+𝒃 𝒏 Binomio de Newton
- 14. También tenemos la siguiente fórmula: 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 𝑟 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛 𝑟 = 𝑛! 𝑛 − 𝑟 ! 𝑟! (𝒂 ± 𝒃) 𝒏 = 𝒏 𝟎 𝒂 𝒏 ± 𝒏 𝟏 𝒂 𝒏−𝟏 𝒃 ± 𝒏 𝟐 𝒂 𝒏−𝟐 𝒃 𝟐 ± ⋯ ± 𝒏 𝒏 𝒃 𝒏
- 15. Ejemplo: 𝑥5 + (5)𝑦5−1 (2𝑦)+ 5(5−1) 2 𝑥5−2 (2𝑦)2 + 5(5−1) 2 ∗ (5−2) 3 𝑥5−3 (2𝑦)3 Utilizando : (𝒂 + 𝒃) 𝒏=𝒂 𝒏+n𝒂 𝒏−𝟏b+ 𝒏(𝒏−𝟏) 𝟐 𝒂 𝒏−𝟐 𝒃 𝟐+ 𝒏(𝒏−𝟏) 𝟐 𝒏(𝒏−𝟐) 𝟑 𝒂 𝒏−𝟑 𝒃 𝟑+....+𝒃 𝒏 = 𝑥5 +10𝑥4 𝑦 + 40𝑥3 𝑦2 + 80𝑥2 𝑦3 + 80𝑥𝑦4 + 32𝑦5 + 5(5−1) 2 ∗ (5−2) 3 ∗ (5−3) 4 𝑥5−4 (2𝑦)4 + 5(5−1) 2 ∗ 5−2 3 ∗ 5−3 4 ∗ 5−4 5 (2𝑦)5 (𝒙 + 𝟐𝒚) 𝟓
- 16. Ejemplo Utilizando : 5 0 𝑥5 + 5 1 𝑥4(2𝑦) + 5 2 𝑥3(2𝑦)2+ 5 3 𝑥2(2𝑦)3+ 5 4 𝑥(2𝑦)4+ 5 5 (2𝑦)5 (𝒙 + 𝟐𝒚) 𝟓= = 𝑥5 +10𝑥4 𝑦 + 40𝑥3 𝑦2 + 80𝑥2 𝑦3 + 80𝑥𝑦4 + 32𝑦5 (𝒂 ± 𝒃) 𝒏 = 𝒏 𝟎 𝒂 𝒏 ± 𝒏 𝟏 𝒂 𝒏−𝟏 𝒃 ± 𝒏 𝟐 𝒂 𝒏−𝟐 𝒃 𝟐 ± ⋯ ± 𝒏 𝒏 𝒃 𝒏
- 17. *OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA *Multiplicar una fila por un escalar no nulo. Notación: 𝑭𝒊 ← 𝜶𝑭𝒊, 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝛂 ∈ ℝ − 𝟎 *Intercambiar de posición dos filas. Notación: 𝑭𝒊 ↔ 𝑭𝒋, 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐢. 𝐣 ∈ ℕ /𝐢 ≠ 𝐣 *Sumar a una fila y un múltiplo de otra. Notación: 𝑭𝒊 ← 𝑭𝒊 − 𝜶𝑭𝒋, 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝛂 ∈ ℝ − 𝟎 𝐲 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐢. 𝐣 ∈ ℕ /𝐢 ≠ 𝐣