Matriz Asociada a la Aplicacion
- 1. ALGEBRA LINEAL GRUPO 3 INTEGRANTES: - Jonathan López - Daniel Villavicencio - Alisson Alava - Alejandro Guerrero
- 2. • APLICACIÓN LINEAL INVERSA Para que exista la aplicación lineal inversa 𝑓−1 , entonces, la aplicación lineal f debe ser biyectiva, es decir; f debe ser inyectiva y sobreyectiva. f(u)=w x u 𝑓: 𝑉 → 𝑊 𝑓−1: 𝑊 → 𝑉 𝑉 𝑊𝑓 𝑓−1
- 3. 2 Pasos para encontrar una aplicación lineal inversa 1. Demostrar si es inyectiva y sobreyectiva, para esto calculamos el núcleo o la imagen de la aplicación lineal. 2. Demostrar que es biyectiva. 3. Escalonamos la matriz utilizada para encontrar la imagen. Los valores obtenidos, los reemplazamos en la aplicación lineal inversa. f(a,b)=x+yt(a,b) 𝑉 𝑊 𝑓 𝑓−1
- 4. 1. Demostramos si es inyectiva y sobreyectiva, para esto calculamos el núcleo o la imagen de la aplicación lineal. 𝑓: ℝ2 → 𝑃1(𝑡) 𝑎, 𝑏 → 𝑓 𝑎, 𝑏 = 2𝑎 + 𝑏 + 𝑎 𝑡 𝑁𝑓 = 𝑎, 𝑏 /2𝑎 + 𝑏 + 𝑎 𝑡 = 0 + 0𝑡 2𝑎 = 0 𝑎 + 𝑏 = 0 𝑁𝑓 = (0,0) dim(𝑁𝑓) = 0 𝑁𝑓 = {(𝑎, 𝑏 ) 𝑓(𝑎, 𝑏) = 0 + 0𝑡 𝑎 = 0 𝑏 = 0 f(a,b)=p+q t (a,b) ℝ2 𝑃1(𝑡) 𝑓 𝑓−1 ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
- 5. 𝐼𝑚𝑔𝑓 = 𝑝 + 𝑞𝑡 /(𝑓 𝑎, 𝑏 = (𝑝 + 𝑞𝑡) 𝐼𝑚𝑔𝑓 = 𝑝 + 𝑞𝑡 / 2𝑎 + 𝑏 + 𝑎 𝑡 = 𝑝 + 𝑞𝑡 2𝑎 = 𝑝 𝑎 + 𝑏 = 𝑞 f(a,b)=p+qt(a,b) ℝ2 𝑃1(𝑡) 𝑓 𝑓−1 2 0 1 1 𝑝 𝑞 ≈ 1 0 1 1 𝑝/2 𝑞 ≈ 1 0 0 1 𝑝/2 𝑞 − 𝑝/2 𝑓1 ← 𝑓11/2 𝑓2 ← 𝑓2 − 𝑓1 𝐼𝑚𝑔𝑓 = 𝑝 + 𝑞𝑡 /𝑝, 𝑞 ∈ ℝ dim(𝐼𝑚𝑔𝑓) = 2 ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐼𝑚𝑔𝑓 = 𝑃1(𝑡)
- 6. Otra forma: Teorema de la dimensión 𝐷𝑖𝑚(ℝ2) = 𝐷𝑖𝑚(𝑁𝑓) + 𝐷𝑖𝑚(𝐼𝑚𝑔𝑓) f(a,b)=p+qt(a,b) ℝ2 𝑃1(𝑡) 𝑓 𝑓−1 2= 0 + 𝐷𝑖𝑚(𝐼𝑚𝑔𝑓) 𝐷𝑖𝑚 𝐼𝑚𝑔𝑓 = 2 = 𝐷𝑖𝑚(𝑃1 𝑡 ) ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
- 7. 2.-Demostramos que es biyectiva ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑁𝑓 = (0,0) ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐼𝑚𝑔𝑓 = 𝑃1(𝑡)
- 8. 3.- A la matriz utilizada para encontrar la imagen, la escalonamos y reducimos con estos valores obtenidos remplazamos en la aplicación lineal inversa. 𝑓−1: 𝑊 → 𝑉 𝑓−1 : 𝑃1(𝑡) → ℝ2 𝑝 + 𝑞𝑡 → 𝑓 𝑝 + 𝑞𝑡 = 𝑝 2 , 𝑞 − 𝑝 2 2 0 1 1 𝑝 𝑞 ≈ 1 0 1 1 𝑝/2 𝑞 ≈ 1 0 0 1 𝑝/2 𝑞 − 𝑝/2 𝑓1 ← 𝑓11/2 𝑓2 ← 𝑓2 − 𝑓1 f(a,b)=p+qt(a,b) ℝ2 𝑃1(𝑡) 𝑓 𝑓−1
- 9. Sea (V, K, +, ) un espacio vectorial de dimensión finita con base 𝐵 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 , para cada v ∈ V existen escalares únicos 𝛼1, 𝛼2, . . . , 𝛼 𝑛tales que: v = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛
- 10. El vector en V cuyas componentes son los coeficientes de v, expresado como v 𝐵, se llaman coordenadas de un vector respecto a una base o vector coordenado de v con respecto a B. Sea 𝐵 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 llegamos a encontrar las coordenadas del vector v de la base dada y se escribe de la siguiente forma: v 𝐵 = 𝛼1 𝛼2 . .. 𝛼 𝑛
- 11. Sea la base 𝑩 = 𝟏, 𝟏, 𝟎 , 𝟏, 𝟎, 𝟏 , 𝟎, 𝟏, 𝟏 y 𝒗 = −𝟐, 𝟒, 𝟐 , encontrar 𝑣 𝐵 =? 1.- Hacemos la combinación lineal: −2,4,2 = 𝛼1 1,1,0 + 𝛼2 1,0,1 + 𝛼3 0,1,1 2.- Obtenemos nuestra matriz ampliada con un sistema de ecuaciones, y realizamos operaciones elementales 1 1 0 1 0 1 0 1 1 −2 4 2 ~ 𝑓2 ← 𝑓2 − 𝑓1 1 1 0 0 −1 1 0 1 1 −2 6 2 ~ 𝑓3 ↔ 𝑓2 1 1 0 0 1 1 0 −1 1 −2 2 6 ~ 𝑓3 ← 𝑓3 + 𝑓2 𝑓1 ← 𝑓1 − 𝑓2 1 0 −1 0 1 1 0 0 2 −4 2 8 7
- 12. ~ 𝑓3 ← 𝑓3( 1 2 ) 1 0 −1 0 1 1 0 0 1 −4 2 4 ~ 𝑓2 ← 𝑓2 − 𝑓3 𝑓1 ← 𝑓1 + 𝑓3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 −2 4 3.- Obtenemos los escalares ∴ 𝛼1 = 0 𝛼2 = −2 𝛼1 = 4 𝑣 𝐵 = 0 −2 4
- 14. A toda aplicación lineal f: V → W de espacios vectoriales de dimensión finita n y m respectivamente, se le puede asociar una matriz A ∈ Mmxn , tal que: F (x)= AX , donde X= 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥n Recíprocamente a toda matriz A se le puede asociar con una aplicación lineal f: V → W.
- 15. 𝑨 = 𝒇 B2 B1 𝒗 𝑩1 𝒇 𝒗 𝑩2 𝑣 f(𝑣)= w 𝑉 W 𝑩2𝑩1 f
- 16. DEFINICIÓN Si la base es canónica: 𝒇 𝒗 𝑩2 = 𝑨 × 𝒗 𝑩1 𝒇 𝒗 𝐶 = 𝑨 × 𝒗 𝑪 𝒇 𝒗 𝑩2 = 𝒇 𝑩2 𝑩1× 𝒗 𝑩1 𝒇 𝒗 C2 = 𝒇 C2 C1 × 𝒗 C1 𝒇 𝒗 𝐶 = 𝑨 × 𝒗
- 17. PROCESO PARA EL CÁLCULO DE UNA MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL • Donde B1 es una base del espacio vectorial de salida, y u1 es el primer vector de la base del espacio vectorial de salida. • Donde B2 es una base del espacio vectorial de llegada, y w1 es el primer vector de la base del espacio vectorial de llegada. Sea: 𝐵1 = u1,u2, … un 𝐵2 = w1,w2, … wm
- 18. DATOS: La aplicación lineal, las bases 𝐵1 Y 𝐵2 ; siendo 𝐵1 la base del espacio vectorial de salida y 𝐵2 la base del espacio vectorial de llegada. 1. Hallar las imágenes de los vectores de 𝐵1: 𝑎, 𝑏, 𝑐 → f 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑏 + 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑡 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 𝑡2 𝐵1 = 1,1,0 , 1,0,1 , 0,1,1 𝐵2 = 1 − 𝑡, 𝑡, 𝑡 − 𝑡2 S 𝑒𝑎 𝑓: R3 → P2 (t)
- 19. 2. Con las imágenes obtenidas en el paso 1, se expresa como combinación lineal con los vectores B2. f 1, 1, 0 = 1 + 0 𝑡 + 0 𝑡2 f 1, 0, 1 = 0 + 2 𝑡 + 0 𝑡2 1 + 0 𝑡 + 0 𝑡2 = 𝛾 1 − 𝑡 + 𝛽𝑡 + 𝛿 𝑡 − 𝑡2 f 0, 1, 1 = 1 + 0 𝑡 − 2 𝑡2 0 + 2 𝑡 + 0 𝑡2 = 𝛾′ 1 − 𝑡 + 𝛽′𝑡 + 𝛿′ 𝑡 − 𝑡2 1 + 0 𝑡 − 2 𝑡2 = 𝛾′′ 1 − 𝑡 + 𝛽′′𝑡 + 𝛿′′ 𝑡 − 𝑡2
- 20. 3. Obtenemos un sistema de ecuaciones de cada una de las combinaciones lineales anteriores Para: 1 + 0 𝑡 + 0 𝑡2 = 𝛾 1 − 𝑡 + 𝛽𝑡 + 𝛿 𝑡 − 𝑡2 1 + 0 𝑡 + 0 𝑡2 = 𝛾 + −𝛾 + 𝛽 + 𝛿 𝑡 − 𝛿 𝑡2 1 = 𝛾 0 = −𝛾 + 𝛽 + 𝛿 0 = −𝛿 1 −1 0 1 0 0 0 1 1 0 −1 0
- 21. Para: 1 −1 0 1 0 0 0 0 1 2 −1 0 0 + 2 𝑡 + 0 𝑡2 = 𝛾′ 1 − 𝑡 + 𝛽′𝑡 + 𝛿′ 𝑡 − 𝑡2 0 + 2 𝑡 + 0 𝑡2 = 𝛾′ + −𝛾′ + 𝛽′ + 𝛿′ 𝑡 − 𝛿′ 𝑡2 0 = 𝛾′ 2 = −𝛾′ + 𝛽′ + 𝛿′ 0 = 𝛿′
- 22. Para: 1 + 0 𝑡 − 2 𝑡2 = 𝛾" 1 − 𝑡 + 𝛽"𝑡 + 𝛿" 𝑡 − 𝑡2 1 + 0 𝑡 − 2 𝑡2 = 𝛾" + −𝛾" + 𝛽" + 𝛿" 𝑡 + 𝛽"𝑡 − 𝛿 𝑡2 1 = 𝛾" 0 = −𝛾" + 𝛽" + 𝛿" −2 = −𝛿" 1 −1 0 1 0 0 0 1 1 0 −1 −2
- 23. 3. Unir las 3 matrices ya que solo cambia el termino independiente. 4. Resolver el sistema usando el método de Gauss Jordan. Matriz asociada a la aplicación lineal 1 −1 0 1 0 0 0 1 1 0 −1 0 0 1 2 0 0 −2 𝐹2 = 𝐹2 + 𝐹3 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 −1 0 0 1 2 1 0 −2 𝐹2 = 𝐹2 + 𝐹1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 2 −1 0 0
- 24. La Matriz asociada a la aplicación lineal es: ∴ 𝒇 𝑩2 𝑩1 = 1 1 0 0 1 2 −1 0 0