Series de Tiempo en R parte I (Series estacionarias)

An´alisis de Series de Tiempo
Aplicaciones en R - Parte I
Juan Carlos Campuzano S.
Escuela Superior Polit´ecnica del Litoral
Semestre I 2013
J. Campuzano (E.S.P.O.L) Series de Tiempo en R Semestre I 2013 1 / 34

Preliminares
Estas prácticas utilizan los paquetes de R que acompañan a las
publicaciones ”Introductory Time Series with R”, de Cowperwait, P.y
Metcalfe, A. (2009), ”Time Series Analysis with R” de Ian McLeod, Hao
Yu y Esam Mahdi (2012) y ”Time Series Analysis with Applications in R”
de Cryer, J.y Chan, K. (2008).
Por lo tanto, se aconseja instalar los siguientes paquetes antes de empezar:
R> install.packages("TSA",dep=TRUE)
R> install.packages("RColorBrewer")
R> install.packages("latticeExtra")
R> install.packages("tseries")
El documento de ayuda del paquete TSA lo puede descargar de la siguiente
dirección: http://cran.r-project.org/web/packages/TSA/TSA.pdf
Las diapositivas fueron elaboradas en Beamer con la ayuda del paquete
SASnRdisplay.

Preliminares
Preliminares
Las series de tiempo son analizadas para entender el pasado y predecir
el futuro, permitiendo a los administradores o hacedores de pol´ıtica
tomar decisiones informados apropiadamente.
En términos cient´ıficos, el propósito del análisis de las series de tiempo
es entender o modelar el mecanismo estocástico que da movimiento a
una serie observada y predecir los valores futuros de la serie basado en
su historia y posiblemente de otras series o factores relacionados.
Los métodos de series de tiempo son utilizadas todos los d´ıas en la
toma de decisiones.
Las series de tiempo también suelen formar la base de simulaciones
por computadora.

Gráfico de Series de Tiempo
En esta sección el interés está en la gráfica de las series de tiempo. Dichos
gráficos generalmente son el primer paso en un análisis exploratorio y
presentados en un reporte final.

Ejemplo 1: Paseo aleatorio
Uno de los procesos m´as elemental para el an´alisis de series de tiempo es
un paseo aleatorio:
R> library(TSA)
R> data(rwalk)
R> plot(rwalk, ylab=’Paseo Aleatorio’, type=’o’)

Ejemplo 2: Precios del Trigo
Este ejemplo tiene como prop´osito mostrar el uso del comando plot()
con los datos del ´ındice de precios del trigo en Canad´a (Beveridge wheat
price index).
R> library(TSA)
R> data(bev)
R> plot(bev)

Ejemplo 2: Precios del Trigo
A˜nadiendo algunas opciones adicionales al comando plot() se pueden
tener mejores resultados:
R> win.graph(width=4.875, height=2.5, pointsize=8)
R> plot(bev, ylab=’indice’, xlab=’ano’, type=’o’)
R> plot(bev, ylab=’indice’, xlab=’ano’, type=’l’)

Gáfico de Series de Tiempo
Ejemplo 3: Estacionalidades
En ocasiones un evento se repite sistemáticamente a lo largo del tiempo y
para el análisis de series de tiempo, visualizar estos patrones resulta
súmamente útil:
R> data(oilfilters); plot(oilfilters, type=’o’, ylab=’Ventas’)
R> plot(oilfilters, type=’l’, ylab=’Ventas’)
R> points(y=oilfilters, x=time(oilfilters), pch=as.vector(season(oilfilters)))

Ejemplo 4: Gáfico de Múltiples Series de Tiempo
En otras ocasiones también es importante graficar múltiples series de
tiempo:
R> www <- "http://staff.elena.aut.ac.nz/Paul-Cowpertwait/ts/cbe.dat"
R> CBE <- read.table(www, header = T)
R> CBE[1:4, ]
R> Elec.ts <- ts(CBE[, 3], start = 1958, freq = 12
R> Beer.ts <- ts(CBE[, 2], start = 1958, freq = 12)
R> Choc.ts <- ts(CBE[, 1], start = 1958, freq = 12)
R> plot(cbind(Elec.ts, Beer.ts, Choc.ts))

Ejemplo 5: Agrupación y Tendencias
Sin lugar a dudas, agrupar frecuencias y visualizar tendencias es una de los
principales análisis gráficos que se suelen realizar a las series de tiempo. El
ejemplo a continuación corresponde a observaciones sobre series de
temperaturas.
En el primer paso obsérvese la frecuencia mensual de la serie entre los
periodos inicial y final:
R> www <- "http://staff.elena.aut.ac.nz/Paul-Cowpertwait/ts/global.dat"
R> Global <- scan(www)
R> Global.ts <- ts(Global, st = c(1856, 1), end = c(2005, 12), fr = 12)
R> plot(Global.ts, ylab=’Temperatura’, xlab=’periodo’)

Luego, se puede proceder a agrupar las frecuencias por promedios
mensuales:
R> Global.anual <- aggregate(Global.ts, FUN = mean)
R> plot(Global.anual, ylab=’Temp’, xlab=’Per’)

Finalmente, se observa que desde los ’70 existe incremento en las
temperaturas, por lo que ser´ıa importante analizar la tendencia:
R> New.series <-window(Global.ts, start = c(1970, 1), end = c(2005, 12))
R> New.time <-time(New.series)
R> plot(New.series); abline(reg=lm(New.series~New.time))

Ejemplo 6: Descomposici´on de una Serie
Si existe evidencia de una tendencia en una serie, resulta ´util descomponer
la serie para estimar la tendencia y efectos estacionales. Se presenta un
ejemplo con los datos de electricidad.
R> www <- "http://staff.elena.aut.ac.nz/Paul-Cowpertwait/ts/cbe.dat"
R> CBE <- read.table(www, header = T)
R> Elec.ts <- ts(CBE[, 3], start = 1958, freq = 12)
R> plot(decompose(Elec.ts))

Tambi´en se puede realizar una descomposici´on multiplicativa...:
R> Elec.decom <- decompose(Elec.ts, type = "mult")
R> plot(Elec.decom)

... o superponer la tendencia y el componente estacional.
R> Trend <- Elec.decom$trend
R> Seasonal <- Elec.decom$seasonal
R> ts.plot(cbind(Trend, Trend * Seasonal), lty = 1:2)

Correlación
Funciones de autocorrelación Procesos Estacionarios
Correlograma
El principal propósito del correlograma es detectar autocorrelaciones en las
series de tiempo luego de haberles removido y estimado la tendencia y la
variación estacional. El siguiente ejemplo se realiza con la serie de
Pasajeros que viene en el paquete R.
R> data(AirPassengers)
R> AP <- AirPassengers
R> AP.decom <- decompose(AP, "multiplicative")
R> plot(ts(AP.decom$random[7:138]))
R> acf(AP.decom$random[7:138])

Correlaci´on
Serie Pasajeros (estacionaria) Correlograma

Procesos ARMA
An´alisis Procesos AR(p)
R> win.graph(width=4.875, height=3, pointsize=8)
R> data(ar1.s); plot(ar1.s, ylab=expression(Y[t]), type=’o’)

Procesos ARMA
Correlaci´on entre los rezagos t y t − 1
R> win.graph(width=3, height=3, pointsize=8)
R> plot(y=ar1.s,x=zlag(ar1.s),ylab=expression(Y[t]),xlab=expression(Y[t-1]), type=’p’)
R> acf(ar1.s)
Relaci´on entre rezagos Correlograma

Procesos ARMA
Simulación Procesos ARMA
AR(2)
Simulemos el proceso visto en clases, un AR(2) de la forma:
Yt = 0.5Yt−1 + 0.3Yt−2 + εt con 100 observaciones:
R> ar.sim<-arima.sim(model=list(ar=c(.5,.3)),n=100)
R> ar.sim
La función de autocorrelación simple (acf):
R> ar.acf<-acf(ar.sim,type="correlation",plot=T)
R> ar.acf

Procesos ARMA
Las gr´aﬁcas del proceso anterior se obtienen de:
R> plot(ar.sim, ylab=expression(Y[t]), type=’o’)
R> ar.acf<-acf(ar.sim,type="correlation",plot=T)
R> ar.acf
Yt = 0.5Yt−1 + 0.3Yt−2 + εt Correlograma

Procesos ARMA
Ahora simulemos una variante del proceso anterior:
Yt = 0.5Yt−1 − 0.3Yt−2 + εt con 100 observaciones:
R> ar.sim2<-arima.sim(model=list(ar=c(.5,-.3)),n=100)
R> ar.sim2
La funci´on de autocorrelaci´on simple:
R> ar.acf<-acf(ar.sim2,type="correlation",plot=T)
R> ar.acf

Procesos ARMA
Las gr´aﬁcas del proceso anterior se obtienen de:
R> plot(ar.sim2, ylab=expression(Y[t]), type=’o’)
R> ar.acf
Yt = 0.5Yt−1 − 0.3Yt−2 + εt Correlograma

Procesos ARMA
Qué sucede cuando el proceso NO ES estacionario? Simulemos el proceso
Yt = 0.9Yt−1 + 0.3Yt−2 + εt con 100 observaciones:
R> ar.sim3<-arima.sim(model=list(ar=c(.9,.3)),n=100)
R> ar.sim3
La función de autocorrelación simple:
R> ar.acf

Procesos ARMA
Las gr´aﬁcas del proceso anterior nos dan una pista:
R> plot(ar.sim3, ylab=expression(Y[t]), type=’o’)
R> ar.acf
Yt = 0.9Yt−1 + 0.3Yt−2 + εt Correlograma

Procesos ARMA
MA(2)
Ahora simulemos un MA(2) de la forma: Yt = εt − 0.7εt−1 + 0.1εt−2 con
100 observaciones:
R> ma.sim<-arima.sim(model=list(ma=c(-.7,.1)),n=100)
R> ma.sim
La gr´aﬁca del proceso anterior se obtiene de:
R> plot(ma.sim, ylab=expression(e[t]), type=’o’)

Procesos ARMA
Las funciones de autocorrelación simple y parcial:
R> ma.acf<-acf(ma.sim,type="correlation",plot=T)
R> ma.acf
R> ma.pacf<-acf(ma.sim,type="partial",plot=T)
R> ma.pacf
Función de autocorrelación
simple ACF
parcial PACF

Procesos ARMA
ARMA(2,2)
Ahora simulemos un ARMA(2,2) de la forma:
Yt = 0.5Yt−1 − 0.2Yt−2 + εt − 0.4εt−1 + 0.3εt−2 con 100 observaciones:
R> arma.sim<-arima.sim(model=list(ar=c(.5,-.2),ma=c(-.4,.3)),n=100)
R> arma.sim

Procesos ARMA
El proceso anterior se ver´ıa como:
R> require("tseries")
R> ts.plot(arma.sim)

Procesos ARMA
Las funciones de autocorrelaci´on simple y parcial:
R> arma.acf<-acf(arma.sim,type="correlation",plot=T)
R> arma.acf
R> arma.pacf<-acf(arma.sim,type="partial",plot=T)
R>arma.pacf
simple ACF
parcial PACF

Procesos ARMA
Para recordar
El orden de un proceso AR(p) se analiza en la función de
autocorrelación parcial, pacf, mientras la estacionariedad se analiza
en la función de autocorrelación simple, acf.
El orden de un proceso MA(q) se analiza en la función de
autocorrelación simpre, acf, mientras que la invertibilidad se analiza
en la función de autocorrelación parcial, pacf.

Bibliograf´ıa
Bibliograf´ıa
Cowperwait, P., Metcalfe, A. (2009) ”Introductory Time Series with
R. Springer.
A. Ian McLeod, Hao Yu, Esam Mahdi (2012) ”Time Series Analysis
with R”. Handbook of Statistics. Volume 30. Pages 661- 712.
Elsevier
Cryer, J., Chan, K. (2008) ”Time Series Analysis with Applications in
R”. Springer

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