Unidad21(1)
- 1. ACTIVIDADES DE AMPLIACIO´N 21 Combinatoria 1. Calcula el valor de x sabiendo que Vx,5 ϭ 360 360 y Vx,3 ϭ 2 730. 2. Halla los valores de m y n sabiendo que Vm,n ϭ 272 y Cm,n ϭ 136. 3. ¿Que´ relacio´n existe entre m y n si se verifica la igualdad ϭ 2 · ? m m Ϫ 1 n n 4. Calcula el te´rmino independiente del desarrollo de 2 · x2 ϩ 18 1 x 5. Halla el te´rmino que contiene la potencia x10 en el desarrollo de (x2 y Ϫ x)7 . 6. Halla la suma de los coeficientes del desarrollo de (1 ϩ x)15 . 7. Con nueve personas tenemos que formar tres comisiones, una de dos, otra de tres y la u´ltima de cuatro personas. ¿De cua´ntas maneras distintas podemos hacerlo? 8. Si colocamos en orden alfabe´tico todas las palabras con o sin sentido que podemos formar permutando las letras «ABCDE»: a) ¿Que´ lugar ocupa la palabra «CADBE»? b) ¿Que´ palabra ocupa el lugar 90? 9. En una plantacio´n de maı´z hay diez puntos de riego automa´tico que se pueden activar independientemente. Determina de cua´ntas maneras distintas puede regarse la plantacio´n si: a) Deben activarse exactamente seis puntos de riego. b) Deben activarse al menos seis puntos de riego. c) Como ma´ximo pueden estar activados tres puntos de riego. 10. Determina de cua´ntas maneras puede pintarse una cuadrı´cula como la de la figura si: a) Cada casilla puede ser blanca o negra, indistintamente. b) Debe haber 5 casillas blancas y 4 negras. c) Cada casilla debe ser de un color diferente. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11. ¿Cua´ntas palabras de cinco letras se pueden formar con siete consonantes y tres vocales de manera que cada una empiece por consonante, tenga al menos dos vocales y sean todas las letras distintas? Algoritmo Matema´ticas I – 1.o Bachillerato Actividades de ampliacio´n
- 2. SOLUCIONES 1. Calculando el cociente y simplificando, ya que x de- ber ser mayor que 5: 2 (x Ϫ 3) · (x Ϫ 4) ϭ 132 x Ϫ 7x Ϫ 120 ϭ 0 x ϭ 15 (x ϭ Ϫ8 no es va´lida). 2. Cm,n ϭ 136 ϭ Pn ϭ 2 n ϭ 2 V 272m,n P Pn n Vm,2 ϭ 272 m · (m Ϫ 1) ϭ 272 m2 Ϫ m Ϫ 272 ϭ 0 m ϭ 1 (La solucio´n m ϭ Ϫ16 no es va´lida.) 3. ϭ 2 m! (m Ϫ 1)! (m Ϫ n)! · n! (m Ϫ 1 Ϫ n)! · n! Simplificando esta igualdad obtenemos: ϭ 2 m ϭ 2n m m Ϫ n 4. El te´rmino general del desarrollo es: · (2x2 )18Ϫn · n 118 n x x aparece con exponente 2(18 Ϫ n) Ϫ n. Igualando: 2(18 Ϫ n) Ϫ n ϭ 0 n ϭ 12. El te´rmino buscado es: · (2x2 )18Ϫ12 · ϭ 1 188 096 12 118 12 x 5. El te´rmino general del desarrollo es: · (x2 y)7Ϫn · (Ϫx)n , en el que x aparece con ex- 7 n ponente 2(7 Ϫ n) ϩ n. Igualando: 2(7 Ϫ n) ϩ n ϭ 10 n ϭ 4. El te´rmino buscado es · (x2 y)7Ϫ4 · (Ϫx)4 ϭ 35 x10 y3 . 7 4 6. (1 ϩ x)15 ϭ c0 ϩ c1x ϩ c2x2 ϩ ... ϩ c14x14 ϩ c15x15 La suma de los coeficientes se obtiene cuando x ϭ 1. Por tanto: (1 ϩ 1)15 ϭ 215 ϭ 32 768 7. Para formar la comisio´n de dos personas: C9,2 Para cada una de estas posibles comisiones hay C7,3 maneras de elegir la comisio´n de 3 personas. C9,2 · C7,3 ϭ · ϭ 1 260 maneras de 9! 7! 7! · 2! 4! · 3! elegir las tres comisiones. 8. Nu´mero total de permutaciones: P5 ϭ 5! ϭ 120 a) Empiezan por A: P4 ϭ 4! ϭ 24 Empiezan por B: P4 ϭ 4! ϭ 24 Empiezan por CAB: P2 ϭ 2! ϭ 2 La siguiente es la permutacio´n CABDE, que ocupa el lugar 24 ϩ 24 ϩ 2 ϩ 1 ϭ 51. b) Por el apartado a se sabe que empiezan por A, B o C 24 permutaciones de cada una. Ası´ hay 24 · 3 ϭ 72 anteriores a las permu- taciones que comienzan por D. Empiezan por DA: P3 ϭ 3! ϭ 6 Empiezan por DB: P3 ϭ 3! ϭ 6 Empiezan por DC: P3 ϭ 3! ϭ 6 Hay 72 ϩ 6 · 3 ϭ 90 permutaciones anteriores a las permutaciones que comienzan por DE. La permutacio´n buscada es la u´ltima de las que comienzan por DC: DCEBA. 9. a) No importa el orden en que se activen: C10,6 ϭ 210 b) Se pueden activar 6, 7, 8, 9 o 10 puntos de riego: C10,6 ϩ C10,7 ϩ C10,8 ϩ C10,9 ϩ C10,10 ϭ 386 c) Podemos activar 3, 2, 1 o ningu´n punto de riego: C10,3 ϩ C10,2 ϩ C10,1 ϩ 1 ϭ 176 10. a) Para colorear cada casilla se presentan dos al- ternativas, blanco y negro; por tanto: VR2,9 ϭ 29 ϭ 512 b) De las 9 casillas, elegimos 5 para el blanco: C9,5 ϭ ϭ 126 9! (9 Ϫ 5)! · 5! (Las restantes son negras.) c) P9 ϭ 9! ϭ 362 880 11. La primera letra podemos elegirla de siete maneras. Las cuatro letras restantes pueden ser: dos vocales y dos consonantes: V3,2 · V6,2, o tres vocales y una consonante: P3 · 6. El nu´mero total de palabras sera´: 7 · (V3,2 · V6,2 ϩ P3 · 6) ϭ ϭ 7 · (3 · 2 · 6 · 5 ϩ 3 · 2 · 1 · 6) ϭ 1 512 Actividades de ampliacio´n Algoritmo Matema´ticas I – 1.o Bachillerato