Algebra3
- 1. ´ ACTIVIDADES DE AMPLIACION 3 Expresiones algebraicas 1. a) Demuestra que a3 Ϫ b3 ϭ (a Ϫ b) · (a2 ϩ ab ϩ b2) x3 Ϫ y3 b) Simplifica todo lo que puedas la fraccion algebraica R(x) ϭ ´ . x ϩ xy ϩ y2 2 2. Saca dos veces factor comun en las siguientes expresiones: ´ a) xy Ϫ zy ϩ xa Ϫ za b) 2xa ϩ ya Ϫ 2xb Ϫ yb c) 2xa Ϫ 4xb Ϫ 3ya ϩ 6yb 3. Recuerda las expresiones algebraicas que establecen el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia, para factorizar los siguientes polinomios: a) 9x2 Ϫ 12x ϩ 4 b) 4x2 ϩ 12xy ϩ 9y2 c) 4x4 Ϫ 16x2y ϩ 16y2 4. Recuerda la expresion algebraica que establece la diferencia de dos cuadrados como el producto de una suma ´ por una diferencia, para factorizar los siguientes polinomios: a) 9x2 Ϫ 4y2 b) 12 Ϫ 3x2 c) a2 Ϫ (b ϩ c)2 d) 4x2 Ϫ 9y4 5. Descompon en factores los siguientes polinomios: ´ a) x2 ϩ y2 ϩ 2xy Ϫ z2 b) 4x2 Ϫ 9y2 Ϫ 4z2 ϩ 12yz c) 4 Ϫ 9x2 Ϫ 25y2 ϩ 30xy x Ϫ 9 3ϩ x Ϫ 1 6. Calcula el valor de k para que al simplificar la fraccion algebraica ´ x ϩ 1 resulte un polinomio de primer k Ϫ x Ϫ 1 grado. Escribe la expresion de dicho polinomio. ´ 7. Se considera un rectangulo de base 20 metros y de altura 12 metros. ´ a) Escribe la expresion algebraica que determina el ´rea de un nuevo rectangulo que se obtiene al incrementar ´ a ´ la medida de la base del dado en x metros y al disminuir su altura en y metros. b) Calcula el valor numerico de la expresion anterior para x ϭ 2 e y ϭ 4. ´ ´ 8. Un rectangulo se encuentra inscrito en un triangulo rectangulo de catetos 12 ´ ´ ´ y 20 cm tal y como muestra la figura. a) Escribe la expresion algebraica que determina el ´rea del rectangulo su- ´ a ´ poniendo que la distancia entre los puntos A y B es de x centı ´metros. b) Calcula los valores numericos de la expresion anterior para x ϭ 2, ´ ´ B A x x ϭ 5 y x ϭ 10. 9. Calcula la expresion del polinomio de segundo grado P(x) sabiendo que P(x ϩ 2) ϭ 2x2 ϩ 5x ϩ 7. ´ 10. Calcula los valores de a y de b para que el polinomio 4x3 ϩ 4x2 ϩ ax ϩ b sea divisible por 2x2 Ϫ x Ϫ 1. Escribe el cociente de la division. ´ x3 11. Dado el polinomio p(x) ϭ (x ϩ 1)2 Ϫ Ax y la fraccion algebraica R(x) ϭ ´ 1Ϫx , calcula el valor de A para 1 que se verifique la igualdad p(x) ϩ R(x) ϭ . 1Ϫx Algoritmo Matematicas I – 1.o Bachillerato ´ Actividades de ampliacion ´
- 2. SOLUCIONES 1. a) Multiplicando los polinomios: 7. a) Las medidas del nuevo rectangulo son 20 ϩ x ´ (a Ϫ b) · (a2 ϩ ab ϩ b2) ϭ y 12 Ϫ y. Por lo tanto, su area se puede es- ´ cribir como: S ϭ (20 ϩ x) · (12 Ϫ y) ϭ a3 ϩ a2b ϩ ab2 Ϫ ba2 Ϫ ab2 Ϫ b3 ϭ a3 Ϫ b3 b) Aplicando la expresion anterior: ´ b) Para los valores indicados: x3 Ϫy3 (xϪy) · (x2 ϩxyϩy2) S(x ϭ 2, y ϭ 4) ϭ 22 · 8 ϭ 176 m2 R(x) ϭ 2 ϭ ϭxϪy x ϩxyϩy2 x2 ϩxyϩy2 8. a) Los triangulos ABF y ACE son semejantes y, ´ 2. a) xy Ϫ zy ϩ xa Ϫ za ϭ y(x Ϫ z) ϩ a(x Ϫ z) ϭ por tanto, verifican el teorema de Tales: ϭ (x Ϫ z)(y ϩ a) E b) 2xa ϩ ya Ϫ 2xb Ϫ yb ϭ a(2x ϩ y) Ϫ b(2x ϩ y) ϭ ϭ (2x ϩ y)(a Ϫ b) 12 D F c) 2xa Ϫ 4xb Ϫ 3ya ϩ 6yb ϭ 2x(a Ϫ 2b) Ϫ 3y(a Ϫ 2b) ϭ ϭ (a Ϫ 2b)(2x Ϫ 3y) C A B x 20 3. a) 9x2 Ϫ 12x ϩ 4 ϭ (3x Ϫ 2)2 x 20 3x b) 4x2 ϩ 12xy ϩ 9y2 ϭ (2x ϩ 3y)2 ϭ FB ϭ FB 12 5 c) 4x4 Ϫ 16x2y ϩ 16y2 ϭ (2x2 Ϫ 4y)2 El area del rectangulo sera: ´ ´ ´ 3x 60x Ϫ 3x2 4. a) 9x2 Ϫ 4y2 ϭ (3x)2 Ϫ (2y)2 ϭ S ϭ (20 Ϫ x) · 5 ϭ 5 ϭ (3x Ϫ 2y) · (3x ϩ 2y) b) 12 Ϫ 3x2 ϭ 3 · (4 Ϫ x2) ϭ 3 · (22 Ϫ x2) ϭ 120 Ϫ 12 b) S(2) ϭ ϭ 21,6 cm2 ϭ 3(2 Ϫ x)(2 ϩ x) 5 c) a2 Ϫ (b ϩ c)2 ϭ (a Ϫ (b ϩ c)) · (a ϩ (b ϩ c)) ϭ 300 Ϫ 75 S(5) ϭ ϭ 45 cm2 ϭ (a Ϫ b Ϫ c)(a ϩ b ϩ c) 5 d) 4x2 Ϫ 9y4 ϭ (2x)2 Ϫ (3y2)2 ϭ (2x Ϫ 3y2) · (2x ϩ 3y2) 600 Ϫ 300 S(10) ϭ ϭ 60 cm2 5 5. a) x2 ϩ y2 ϩ 2xy Ϫ z2 ϭ (x ϩ y)2 Ϫ z2 ϭ ϭ (x ϩ y Ϫ z) · (x ϩ y ϩ z) b) 4x2 Ϫ9y2 Ϫ4z2 ϩ12yzϭ(2x)2 Ϫ(9y2 ϩ4z2 Ϫ12yz)ϭ 9. P(x ϩ 2) ϭ 2x2 ϩ 5x ϩ 7 ϭ ϭ 2(x ϩ 2)2 Ϫ 8 Ϫ 8x ϩ 5(x ϩ 2) Ϫ 10 ϩ 7 ϭ ϭ (2x)2 Ϫ (3y Ϫ 2z)2 ϭ (2x ϩ 3y Ϫ 2z) · (2x Ϫ3yϩ2z) ϭ 2(x ϩ2)2 Ϫ8Ϫ8(x ϩ2)ϩ16ϩ5(x ϩ2)Ϫ10ϩ7ϭ c) 4 Ϫ 9x2 Ϫ 25y2 ϩ 30xy ϭ 22 Ϫ (3x Ϫ 5y)2 ϭ ϭ 2(x ϩ 2)2 Ϫ 3(x ϩ 2) ϩ 5 ϭ (2 Ϫ 3x ϩ 5y) · (2 ϩ 3x Ϫ 5y) Por tanto: P(x) ϭ 2x2 Ϫ 3x ϩ 5 x Ϫ 9 3x Ϫ 3 ϩ x Ϫ 9 3ϩ 10. Cociente: 2x ϩ 3. Resto: (a ϩ 5)x ϩ (b ϩ 3) ϭ 0 x Ϫ 1 x Ϫ1 6. x ϩ 1 ϭ kx Ϫ k Ϫ x Ϫ 1 ϭ kϪ x Ϫ 1 x Ϫ1 Άa ϩ 5 ϭ 0 b ϩ3ϭ0 a ϭ Ϫ5 b ϭ Ϫ3 (4x Ϫ 12) · (x Ϫ 1) 4x Ϫ 12 ϭ ϭ ((k Ϫ 1)x Ϫ (k ϩ 1)) · (x Ϫ 1) (k Ϫ 1)x Ϫ (k ϩ 1) (A Ϫ 1)x2 ϩ (1 Ϫ A)x ϩ 1 El denominador debe ser constante. Por tanto: k ϭ 1 11. p(x) ϩ R(x) ϭ 1Ϫx 4x Ϫ 12 y el polinomio sera: ´ ϭ Ϫ2x ϩ 6 1 Ϫ2 Para A ϭ 1 p(x) ϩ R(x) ϭ 1Ϫx Actividades de ampliacion ´ Algoritmo Matematicas I – 1.o Bachillerato ´