Variables de estado

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA
DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE MECANICA
ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA
CONTROL AUTOMATICO
Variables de Estado

• El modelado y control de sistemas basado en la
transformada de Laplace, es un enfoque muy sencillo y
de fácil aplicación. Permite analizar sistemas utilizando
una serie de reglas algebraicas en lugar de trabajar con
ecuaciones diferenciales. En este enfoque tiene más
valor la simplicidad que la exactitud.
SalidasEntradas
Sistema
Características
dinámicas
No Linealidades
Modelado y
Función de
Transferencia
Características
dinámicas Lineales
Saturación Histéresis
Variante en el
tiempo
Múltiples puntos
de equilibrio
Fricción no
lineal
)(3 tfyyy 
t
y
dt
d
sen
52
5
2
ss
1s
k
m
m
)(sX )(sG )(sY
Control Clásico

• No proporciona información sobre la estructura física del
sistema.
• Solo es válida para sistemas lineales con una entrada y una
salida e invariantes en el tiempo.
• No proporciona información de lo que pasa dentro del
sistema.
• Se necesita que las condiciones iniciales del sistema sean
nulas.
Descripción de sistemas mediante la función de transferencia
tiene las siguientes limitaciones:
Ningún sistema dinámico de interés cumple con estos requisitos, es decir:
Los sistemas reales presentan no linealidades, pueden tener más de una
entrada o salida, sus parámetros cambian en el tiempo y sus condiciones
iniciales no siempre tienen un valor de cero.

• Aplicable a sistemas lineales y no lineales.
• Permite analizar sistemas de más de una entrada o más
de una salida.
• Pueden ser sistemas variantes o invariantes en el
tiempo.
• Las condiciones iniciales pueden ser diferentes de cero.
• Proporciona información de lo que pasa dentro del
sistema.
• Resultados sencillos y elegantes.
Representación en Espacio de Estado
Sin embargo otros sistemas son tan complejos que no es posible utilizar
este enfoque. Para este tipo de sistemas se utiliza la representación en
espacio de estado. Las siguientes ventajas:

• La representación en espacio de estado puede ser
derivada desde las ecuaciones diferenciales que
representan a un sistema, o desde cualquier arreglo de
ecuaciones diferenciales aunque estas no representen
ningún sistema. Si no se tiene el modelo matemático
(ecuaciones diferenciales) será necesario obtenerlo por
medio de leyes o teorías (físicas, químicas, monetarias,
etc.)
Obtención de las ecuaciones de estado
Principalmente, nos interesa conocer el valor de aquellas variables del
sistema que nos permita conocer el comportamiento del sistema en
cualquier momento dado a partir de unas condiciones iniciales, razón por la
cual estas variables reciben el nombre de variables de estado.

1.Identificar completamente el sistema. Conocer el
sistema, que es lo que hace, cuales son sus
variables de interés, su comportamiento, su
interrelación al exterior, etc.
2.Identificar las leyes o teorías que gobiernan el
comportamiento del sistema. Leyes de
termodinámica, Leyes dinámicas, segunda ley de
Newton, Ley de voltajes y corrientes de Kirchoff,
Ley de Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle, etc.
Una secuencia muy común para obtener el espacio de estado es la
siguiente:

3. Definir las ecuaciones diferenciales que representen el
comportamiento del sistema. El grado de complejidad
dependerá de la fidelidad del modelo al
comportamiento del sistema y de las necesidades de
simulación, medición o control. Los pasos 1,2,3 son
básicos de cualquier modelado.
4. Seleccionar las variables de estado. Son las variables
mínimas que determinan el comportamiento dinámico
del sistema. Si se escogen menos de las necesarias, el
espacio de estado no representa todo el
comportamiento del sistema, si se definen más, el
espacio de estado es redundante.

5.Encontrar la dinámica de cada estado. Es decir,
encontrar la razón de cambio respecto al
tiempo de cada variable de estado (su
derivada).
6.Desplegar el arreglo de las dinámicas del
estado como en la ecuación o como el arreglo
de las ecuaciones si las ecuaciones son
lineales o linealizadas.

• 1) Represente por medio de espacio
de estado el siguiente sistema
mecánico.
Ejemplo sencillo
Donde: u(t) es la fuerza aplicada, K es la
constante del resorte, b es el coeficiente de
fricción viscosa.
La fuerza del resorte se considera
proporcional a la posición y la fuerza del
amortiguador es proporcional a la
velocidad. y(t) es la posición de la masa.
Solución:
Utilizando la segunda ley de newton, se obtiene la ecuación de sumatoria de
fuerzas:
resortefuerzaoramortiguadfuerzaaplicadafuerzanaceleraciómasa
)()()()( tkytybtutym 

Se desea conocer la posición y la velocidad de la masa para todo tiempo. Por esta
razón se asignan como variables de estado.
)()(1 tytx )()(2 tytx 
El siguiente paso es determinar las dinámicas del estado. Para la variable de estado
, su derivada es la variable de estado
)(1 tx)(2 tx
)()()( 21 txtytx 
Mientras que la derivada del estado se obtiene de la ecuación de
sumatorias de fuerzas:
)(2 tx
)()()()( tkytybtutym 
)()()()( 122 tkxtbxtutxm
)(
1
)()()( 212 tu
m
tx
m
b
tx
m
k
tx

Finalmente se agrupan las dos ecuaciones de estado:
)()( 21 txtx
)(
1
)()()( 212 tu
m
tx
m
b
tx
m
k
tx
como la representación es lineal, se puede indicar en matrices
)(1
0
)(
)(10
)(
)(
2
1
2
1
tu
m
tx
tx
m
b
m
k
tx
tx



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