Penge2 mat2
0 gostou168 visualizações
1) O documento apresenta exercícios de matemática envolvendo equações do 2o grau, sistemas de equações, geometria plana e cônicas. 2) São propostos problemas para determinar coordenadas de pontos, comprimentos de segmentos, equações de retas e circunferências, e pertencimento de pontos a curvas. 3) São solicitados cálculos e identificações envolvendo elipses, hipérboles e circunferências.
![”± ‡•–‹„—Žƒ” ‘’—Žƒ” †ƒ
‹„—Žƒ” ƒ ‰‡Šƒ”‹ƒ
Multiplicando ambos os membros por q, fica:
9 + 9q2 – 30q = 0
Dividindo por 3 e ordenando, fica:
3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau. PENGE 1
Resolvendo a equação do segundo grau acima
encontraremos q = 3 ou q = 1/3.
1 .Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ
se
Como é dito que a PG é decrescente, devemos conside
considerar onde X(2,5), Y(-4,6), responda:
4,6),
apenas o valor a) Quais as coordenadas do vértice Z do triângulo
)
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente. XYZ?
Portanto, a PG é:
9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9 3.
9, b) Qual o comprimento do segmento BZ?
)
O problema pede a soma dos quadrados, logo:
a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819 2. Seja a reta y = -2x, determine:
2x,
6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9
se a) As coordenadas do ponto P que está no segundo
onde a última parcela contém n algarismos. Nestas quadrante, sobre a reta r e cuja distância ao ponto
condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é: (0,-1) é ¥10 unidades;
10
A)1 b) As coordenadas do ponto Q, sobre a reta r, que esestá
*B) 10 mais próximo do ponto (0,(0,-1).
C) 100
D) -1
E) -10 PENGE 2
Solução: 1-Sendo o ponto P(r - 12, 4r - 6) pertencente a bissetriz dos
quadrantes ímpares e P’(s-12, 4s
12, 4s-13) pertencente a bissetriz
Observe que podemos escrever a soma S como:
rve dos quadrantes ímpares, determine:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... +
(10n – 1)
a) O valor da distância entre P e P’.
S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n –
1)
b) Qual dos pontos está mais próximo da origem.
ntos
Como existem n parcelas, observe que o número ( 1) é
(–
somado n vezes, 2. Considere o gráfico:
resultando em n(-1) = - n.
Logo, poderemos escrever:
S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n
Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n
, que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e
último termo an = 10n . Teremos:
Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 –
10) / 9
Substituindo em S, vem:
S = [(10n+1 – 10) / 9] – n
Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)
Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) /
9 a) Obtenha uma equação da reta r
Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – b) Obtenha uma equação da reta s que passa por P e é
10) = 10 perpendicular a r.
ƒ–‡ž–‹…ƒ](https://image.slidesharecdn.com/penge2mat2-100801071428-phpapp02/85/Penge2-mat2-1-320.jpg)
Penge2 mat2
- 1. ”± ‡•–‹„—Žƒ” ‘’—Žƒ” †ƒ ‹„—Žƒ” ƒ ‰‡Šƒ”‹ƒ Multiplicando ambos os membros por q, fica: 9 + 9q2 – 30q = 0 Dividindo por 3 e ordenando, fica: 3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau. PENGE 1 Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3. 1 .Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ se Como é dito que a PG é decrescente, devemos conside considerar onde X(2,5), Y(-4,6), responda: 4,6), apenas o valor a) Quais as coordenadas do vértice Z do triângulo ) q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente. XYZ? Portanto, a PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9 3. 9, b) Qual o comprimento do segmento BZ? ) O problema pede a soma dos quadrados, logo: a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819 2. Seja a reta y = -2x, determine: 2x, 6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 se a) As coordenadas do ponto P que está no segundo onde a última parcela contém n algarismos. Nestas quadrante, sobre a reta r e cuja distância ao ponto condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é: (0,-1) é ¥10 unidades; 10 A)1 b) As coordenadas do ponto Q, sobre a reta r, que esestá *B) 10 mais próximo do ponto (0,(0,-1). C) 100 D) -1 E) -10 PENGE 2 Solução: 1-Sendo o ponto P(r - 12, 4r - 6) pertencente a bissetriz dos quadrantes ímpares e P’(s-12, 4s 12, 4s-13) pertencente a bissetriz Observe que podemos escrever a soma S como: rve dos quadrantes ímpares, determine: S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n – 1) a) O valor da distância entre P e P’. S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1) b) Qual dos pontos está mais próximo da origem. ntos Como existem n parcelas, observe que o número ( 1) é (– somado n vezes, 2. Considere o gráfico: resultando em n(-1) = - n. Logo, poderemos escrever: S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos: Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) / 9 Substituindo em S, vem: S = [(10n+1 – 10) / 9] – n Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n) Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9 a) Obtenha uma equação da reta r Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica: 10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – b) Obtenha uma equação da reta s que passa por P e é 10) = 10 perpendicular a r. ƒ–‡ž–‹…ƒ
- 4. ”± ‡•–‹„—Žƒ” ‘’—Žƒ” †ƒ ‹„—Žƒ” ƒ ‰‡Šƒ”‹ƒ c) Determine o ponto A de interseção de r com a reta s obtida no item b PENGE 3 Questão 2 Verifique se o ponto P está mais próximo da reta r ou da reta s, considerando a figura abaixo. PENGE 5 1)Sejam os pontos M(6,4) e N(4,8). Se C1 é a circunferência que tem os segmentos MN com um diâmetro, então a equação de C1 é? 2)Dada a circunferência de equação x2+y2 = 5. Deter Determine a posição relativa à circunferência dos pontos : A) (3, 1); B (1/2, 1) e C (1,2). Além disso determine se os pont A,B e pontos C são ou não colineares. Em caso negativo, determin a determine área do triângulo formado. PENGE 4 PENGE 6 Questão 1 ƒ–‡ž–‹…ƒ
- 7. ”± ‡•–‹„—Žƒ” ‘’—Žƒ” †ƒ ‹„—Žƒ” ƒ ‰‡Šƒ”‹ƒ 1)Identifique se representam e quais são as cônicas a partir de suas equações, determinando: No caso de circunferência, o centro e o raio. No caso de elipse ou hipérbole, os eixos e os focos focos. No caso de não representar uma cônica, justificar o porquê. a) 25x2 - 16y2 = 400. b) (x2/100) + (y2/36) =1 c) 9x2 + 5y2 − 45 = 0. d) x 2 + y 2 − 4 x − 8 y + 19 = 0 e) x 2 + y 2 − 10 x − 4 y + 30 = 0 2)Faça o que se pede em cada item: a)Sendo a elipse x2/36 + y2/64 = 1, determine as coordenadas seus eixos (maior e menor) e seus foco. b)Sendo a circunferência (x-1)2 + (y-2)2 = 16 e a reta r: y = 2x-3, determine a posição relativa entre elas. 3, PENGE 7 Questão 3) Determine o(s) valore(s) de K(definido n no conjuntos dos reais) para que o ponto A(-2,K) pertença à 2,K) elipse 9x2+4y2+18x-8y-23= 0 Questão 4) ƒ–‡ž–‹…ƒ