PROBLEMA RESUELTO FdeT: DINAMICA DE ROTACION
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El tutorial presenta la resolución de un problema de dinámica que involucra poleas acopladas en un mismo eje, calculando el momento de inercia, la aceleración angular y lineal de los cuerpos suspendidos, así como las tensiones en los hilos. Se proporciona un enunciado con datos específicos y se aplican principios de la dinámica para llegar a los resultados deseados. El final del documento incluye links a recursos adicionales sobre el tema.
PROBLEMA RESUELTO FdeT: DINAMICA DE ROTACION
- 1. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Dinámica ¿Qué aprenderás en este tutorial? - Cálculo del momento de inercia de poleas acopladas en un mismo eje - Cálculo de la aceleración angular del conjunto - Cálculo de la aceleración lineal de cada cuerpo suspendido - Cálculo de la tensión de cada cuerda Javier Luque Área de ingeniería industrial
- 2. ENUNCIADO: Se tiene un sistema con dos poleas montadas en un único eje cuyas masas respectivas son 𝑚1 = 3000 g y 𝑚2 = 200 g. Los radios de las poleas son, respectivamente, 𝑅1 = 300 mm y 𝑅2 = 60 mm. La masa se supone distribuida homogéneamente por el volumen de las poleas y éstas se encuentran acopladas solidariamente. Los cuerpos 1 y 2 se cuelgan de las poleas como se indica en la figura. En un instante dado, el sistema se abandona libremente sin velocidad inicial solicitándose al lector que calcule: a) Aceleración angular de las poleas b) Aceleraciones lineales de cada cuerpo c) Tensiones en los hilos de los que cuelga cada masa Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Dinámica
- 3. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Dinámica a) Aceleración angular de las poleas 𝑅1 𝑅2 𝑀1 𝑀2 Comenzaremos calculando el momento de inercia de ambas poleas acopladas y solidarias recordando que el correspondiente a una sola polea es 𝐼 = 𝑀 · 𝑅2 donde I es el momento de inercia, M la masa y R el radio. 𝐼 = 𝑀1 𝑅1 2 +𝑀2 𝑅2 2 = 3 · 0,32 + 0,2 · 0,062 = 0,27 𝑘𝑔 · 𝑚2 Aplicando el principio fundamental de la dinámica a cada una de las masas como si de un sólido libre se tratara, resulta: 𝑀1 · 𝑔 - 𝑇1 = 𝑀1·𝑎1 𝑀2 · 𝑔 - 𝑇2 = 𝑀2·𝑎2 Cuerpo 1 Cuerpo 2 (1) (2)
- 4. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Dinámica Es el momento de aislar el conjunto formado por ambas poleas para sacar una tercera ecuación a partir del principio fundamental de la dinámica de rotación: 𝑇1 𝑇2 𝑅1 𝑅2 𝑇1·𝑅1 + 𝑇2·𝑅2 = 𝐼 · 𝛼 Dos cuerpos que están unidos giran a la misma velocidad angular, es decir, en un mismo tiempo recorren un mismo ángulo, pero sus velocidades lineales serán distintas ya que se ven afectadas por la distancia desde donde se encuentran hasta el punto de giro. Con las aceleraciones ocurre de forma idéntica. 𝜔1 = 𝜔2 = 𝜔 𝛼 = 𝛼1 = 𝛼2 = 𝑎1 𝑅1 = 𝑎2 𝑅2 (3) Procedemos a incluir estos valores en las ecuaciones (1) y (2) y resolvemos el sistema de donde obtendremos la aceleración angular en rad/𝑠2
- 5. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Dinámica 𝑀1 · 𝑔 - 𝑇1 = 𝑀1·𝑎1 𝑀2 · 𝑔 - 𝑇2 = 𝑀2·𝑎2 Cuerpo 1 Cuerpo 2 (1) (2) 𝑇1·𝑅1 + 𝑇2·𝑅2 = 𝐼 · 𝛼 (3)Poleas Recordando las ecuaciones que forman nuestro sistema tenemos: 𝑇1 = 𝑀1 · 𝑔 − 𝑀1·𝑎1 = 𝑀1 · 𝑔 − 𝑀1·𝛼 · 𝑅1 𝑇2 = 𝑀2 · 𝑔 − 𝑀2·𝑎2 = 𝑀2 · 𝑔 − 𝑀2·𝛼 · 𝑅2 Sustituyendo en (3) tenemos: (𝑀1 · 𝑔 − 𝑀1·𝛼 · 𝑅1)·𝑅1 + (𝑀2 · 𝑔 − 𝑀2·𝛼 · 𝑅2)·𝑅2 = 𝐼 · 𝛼 𝛼 = 𝑀1 · 𝑅1 + 𝑀2 · 𝑅2 𝑀1 · 𝑅1 2 + 𝑀2 · 𝑅2 2 + 𝐼 = 3 · 0,3 + 0,2 · 0,06 3 · 0,32 + 0,2 · 0,062 + 0,27 = 1,687rad/𝑠2
- 6. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Dinámica b) Aceleraciones lineales de cada cuerpo 𝛼 = 𝛼1 = 𝛼2 = 𝑎1 𝑅1 = 𝑎2 𝑅2 𝑎1= 𝛼 · 𝑅1 = 1,687 · 0,3 = 0,506 𝑚/𝑠2 𝑎2= 𝛼 · 𝑅2 = 1,687 · 0,06 = 0,101 𝑚/𝑠2 Recordando que c) Tensiones en los hilos de los que cuelga cada masa 𝑇1 = 𝑀1 · 𝑔 − 𝑀1·𝛼 · 𝑅1 = 3·9,8 – 3·0,27·0,3 = 29,157 N 𝑇2 = 𝑀2 · 𝑔 − 𝑀2·𝛼 · 𝑅2 = 0,2·9,8 – 0,2·0,27·0,06 = 1,957 N
- 7. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Dinámica Encuentra toda la información en la web http://fdet.es Síguenos en Facebook, Twitter, G+, Youtube, Vimeo y Slideshare. Visita nuestro blog en http://fdetonline.com fdet formación @fdetsocial +fdet canalfdet FDETFORMACION FDETFORMACION