Algebra 16

SEMANA 16

BINOMIO DE NEWTON Y
RADICACIÓN
1.

Halle la suma de valores de “n”
que satisfagan la igualdad
n! 3 n! 2  3
n! 6
A) 1
D) 4

B) 2
E) 5

RESOLUCIÓN

n  3!  n2  3n  2n2  3n
n  3!  n  1n  2 n n  3
n  3!  n n  1n  2n  3
n  1!n n  1n  2n  3  n n  1n  2n  3
n  1!  1

C) 3

n=1
n=2

 3

RPTA.: A

RESOLUCIÓN
Sea n! = z
z2  z  6  3z  18
z2  2z  24  0
z  6z  4  0
z=6
n=3
n=3

ó


4.

720!119! 



z = -4
n  4 no existe

D)

K
K

720! 
119!

720!

n!!

C) 5

5!

 719!

n!!

6!

n!!



  719! 6! 
720 


720! 120! 720!

n!!

14
3
7
E)
3

n!!=120!
n!=5! n= 5

C) 14

RPTA.: C
5.

Simplificar:
8
9
P  C3  C8  C5  C10  C11  C12
4
6
7
4

12! 13! 14!
12! 13! 12! 7
12!1  13  13  14 

A) C12
8

B) 2 C12
8

D) C13
4

E) C12
5

14  14 28

3 7
3

RESOLUCIÓN

12!1  13  7

RPTA.: D
3.

6!

n!!

RESOLUCIÓN
K

n!!

B) 4
E) 7

119!x120

B)

28
3

 719!

RESOLUCIÓN

Reducir:
12! 13! 14!
K
12! 13! 12!x7
A) 28

5!

A) 3
D) 6

RPTA.: C
2.

Halle el valor de “n” en:

Calcule la suma de valores de “n”
n  3 !  n2  3n  2 n2  3n



A) 3
D) - 8



B) -3
E) 9



C) 8

C) C13
5

8
9
P  C3  C8  C5  C10  C11  C12
4
6
7
4
9
P  C9  C5  C10  C11  C12
4
6
7
4

P  C10  C10  C11  C12
5
6
7
4
P  C11  C11  C12  C12  C12
6
7
4
7
8
P  C13  C13
8
5

RPTA.: C

6.

C26.3C19
6
9
C19 .C26
9
6
E= 3
E

Resolver:
C18  C18  C19  C20
6
7
8
E 5
21
C13  C21
8
A) 2

B) 4

1
4

1
2

E) 6

D)

C)

RPTA.: C
9.

A) 2
D) 5

RESOLUCIÓN
E
E

C18  C18  C19  C20
5
6
7
8
21
C13  C21
8
C19  C19  C20
6
7
8
C21  C21
8
8



2 C21
8

1

2

1.

2C15  C15  C15  C16
8
8
7
8

2.

C16  C16  C16  C16  C17
7
8
9
8
9

3.

18
C17  C17  C10
10
9

4.

C18  C18  C18  C18  C19
7
10
11
10
11
4C19  C19  nC20
11
11
8
20
5C19  nC12
11

5C19  n
11

Halle x + y
B) 15
E) 18

2)

10.
i)

y -1 = 6  y = 7
x + 2 = y + 5  x = 10

ii)

y - 1 = 6  y-1+6 = x+2 = y+5
y=7
 12 = x + 2 = 12
 x = 10
X +y = 17

iii)

C
C

26
20
19
9

C
C

A) 1
D) 4

19
9
25
6

C
C

C
C

n
1
1
 
n1 n n1

; n
12!
1 3 5 7 9 11 
64 6!





B) VVF
E) FFF

C) VFV

Para el caso (i)
(n+1) n - n
C) 3

*

RESOLUCIÓN
20
C26 C10  C19 
6
9 
E  19  25
25
C9 C5  C6 



n+1 - n = n n ; n 

RESOLUCIÓN

26
6
19
10

B) 2
E) 5

Respecto a las proposiciones

A) VVV
D) VFF

Reduzca
20
10
25
5

RPTA.: B

Indique la razón de verdad

RPTA.: D
8.

20 11
C19  n  3
12

C) 16

RESOLUCIÓN
1)

C) 4

5.

C21
8

Si se cumple que
2
y
Cx1  C65
y

A) 13
D) 17

B) 3
E) 6

RESOLUCIÓN

RPTA.: C
7.

Determine el valor de “n” , si
cumple 4C19  C18  C17  C16  2C15  n C20
11
7
10
7
8
8

*

=n

n  1  1  n(n)

Para el caso (ii)
n
1
1
 
n  1 n n n  1 n
n
n2

n n2
n1 n1
0 = 2 ( falso)
Para el caso (iii)

Operando el segundo miembro
12!
12  11  10  9  8  7  6

64 6
64 6

a'  720
a''  1
Regresando el cambio

n! = 720
n!=1

11.

n2
1 1
n2

El equivalente de:

A) n  1

En consecuencia: n1  n2  n3  7

D) n +1

2

RPTA.: C

E) n

13.

RESOLUCIÓN

n  2 n  1 n n  1  1  1 
….
….






 n n  2  n4  2n3  n2  2n  1

3
2

2

n
2n2
n2

n
n

n
n2

n

 n  1  1  n2  n  1  1  n2  n

2



2

Ahora reemplazando en:



2



RPTA.: B
Determine la suma de todos
aquellos valores de “n” que
verifiquen la igualdad:
n! n! 321
 80
5n! 9
A) 5
D) 8

B) 6
E) 9

C) 7

C) 512

Exponentes:
4  5 4  6 5 4  4 1  5  30  36 4

n 1 1  n  n11  n  n

2

B) 256
E) 64

Procesando por partes para el
radicando:
9
9 8 7
9 8 7


8
7  8 7  8 7 7 1  8

-1
-1

n

2

2 3

RESOLUCIÓN

Luego:
2

4  5  6


9
4

7  8


A) 8
D) 1 024

n n2  1

n

El valor de:





Procesando el radicando

12.

n3  0

n1  6

B) n n  1

C) n n  1

n2  1

n! = 6!

RPTA.: C

2 6

4

8



4

36

 83  512

RPTA.: C
14.

Halle el valor del termino central
10

x y
del desarrollo de   
y x

A) 64
D) 512

B) 128
E)1 024

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

Hagamos que: a = n!
a  a  321  80 5a  9

C) 265

tcentral = t  111 

a2  721a  720  0
a
- 720
a
-1

#t =10+1=11

 2




tk 1  Cn  a
k

nk
5

T51

b

k

;k  0,1,2,.....n
5

x y
C    
y x
10
5

10  9  8  7  6
12 3 4 5
T51  4  9  7

14


1 
 x    T1  T2  .....T9  T10  T11........T15
x

Séptimo lugar

T51

T6  256

RPTA.: C

RPTA.: C
15.

Halle el grado absoluto del
término 16 en la expansión de



P  x, y   x3  2y2

A) 20
D) 45

n

17.



25

B) 25
E) 60

C) 35

A) 49
D) 45

RESOLUCIÓN
n
Tk 1  Ck  a

b

nk

k

   2y 
10

25
T151  C15 x3

G.A = 30+30=60

n

RPTA.: E

14


1 
x 
 ; existe un termino que
x

contiene a x 2 . El termino que
ocupa este termino contado a
partir del extremo final es:

B) 8
E) 5

C) 7

n7

Analicemos un término genérico
(Lugar K+1), en:
14


1 
x 
 = T1  T2  .....  TK1  .......T15
x


7n  8 n  6  48  n # términos = 49

k

TK 1  C

14k

x

TK 1   1

k

 1 
 x 2 





14
k

C

14k 

x

k
2

Por condición:
3
3k
14  k  2  12 
2
2
k=8
En consecuencia:

n7

n
n
n   n 
n 

  
 
n  6 6 8   8 
n  7 7 8 
1
1
n 
 
n  6 n  7 6 8  n  7 7 6


RESOLUCIÓN

14
K

C)47

n

Si:  x  y   T1  T2  .....T7  T8  .....Tn1
8

Averigüemos
a
los
términos
deseados
n6
n 6
n 
n 
T7  T6  1  Cn  x 
y6  Cn   xexp y6
6
8 
8 
Coef.
n7
n7
n 
n 
T8  T71  Cn  x 
y7  CN   xexp y7
7
7
8 
8 
Por condición:
n6
n7
n 
n 
Cn  
 Cn  
6
7
8 
8 

En el desarrollo de la expresión

A) 9
D) 6

B) 48
E) 44

RESOLUCIÓN

15

2

25
T16  215 C15 x30 y30

16.

n

En el desarrollo de  x  y  los
8

coeficientes de los términos de
lugar séptimo y octavo son
iguales. Entonces el número de
términos que presentará será:

RPTA.: A
18.

Averigüe al termino central central
8
x 8
al expansionar:   
8 x
A) 80
D) 60

B) 70
E) 50

C) 60

van disminuyendo de 6 en 6
unidades y el décimo tercero
resulta independiente de x.
Indique al término independiente.

RESOLUCIÓN
En el desarrollo de esta expresión
existen 9 términos entonces el
central estará ocupado por el
quinto.
8 4
4
 8
8 x
TCnetral  T5  T4  1  C4     
8  x

A) 10  9  8
C) 10  13  14
E) 10  11  12

8 7 6
5  70
4 3 2

TCentralC8 
4

RESOLUCIÓN
Por condición:

RPTA.: B
19.

En el desarrollo de

1  x 

43

n
12

TIndependiente  T121  C

x 
m

T13  C x

Será Independiente  mn-16m=0
 m(n-16)=0
De donde: m=0 v n = 16
16
n
16
Luego: TIndependiente  C12  C12 
12 4
16 15 14 13 12
 14 13 10
12 4 3 2 1

RESOLUCIÓN

43
2r

2r

43
r 1

T2r 1  C r ; Tr 2  Tr 1 1  C

r

r 1

Según condición
43
43
43
43
C2r  Cr 1  C2r  Cr 1(r 1)
2r=r+1
r= 1

En base es esto los términos
ocupan los lugares:
Cuando r  1  T3  T3
Para

r  14  T29  T16 (esto

permite

decir

que

21.

Extrae la raíz cuadrada de:
4x6  13x4  22x3  12x5  8x  25x2  16

3x3  2x2  x  4
5x2  7x  2
2x3  3x2  x  4
4x2  8x  2
x4  2x3  x2  x  1

RESOLUCIÓN
4x6  13x4  22x3  12x5  8x  25x2  16

nos

T2  2 )

es

primero.

RPTA.: C
20.

RPTA.: C

A)
B)
C)
D)
E)

2r=42-r
3r=42
r=14

12

 m 
 3
x 





n
12

B) 16 y28
D) 16 y 27

Admitimos que en:
43
1  k   T1  T2  ....  T2r 1  ....Tr 2  ....  t44

n12

mn - 16m

los

coeficientes de los términos de los
lugares “2x+1” y “r+2” son
iguales ¿De qué términos estamos
hablando?
A) 14 y 29
C) 16 y 26
E) 18 y 30

B) 10  3  2
D) 11  12  13

Si los exponentes de “x” en los

1
términos del desarrollo  xm  m

x3


n






4 -12 13 -22
-4
-12 13
12 9
4 - 22
-4 6
-16
16

25 -8 16 2 -3 1 -4
(4 -3)(-3)
(4 -6 1)(1)
(4 -6 2 -4)(-4)
25
-1
24 -8 16
24 8 -16

2x3  3x2  x  4

RPTA.: C

22.

Calcule “a x b” si el resto de

x  1

4

A)

1

Es equivalente a: (ax+b)
A) 1
D) 4

B) 2
E) 5

7

B)

D)

 4x  1  2 x  15x  2
3

2 1

E)

RESOLUCIÓN

C) 3

E  6  2 10  2 8  2 7



RESOLUCIÓN

 x  1

4

 4  x  1  2x3  15x  2



7 1

E  6  2 10  2 7  2  6  2 8  2 7

3



2x2  4x  11x  2
Si: x + 1=a
2 x2  2x  1  11 x  1  1



C) 7  1

2
2 1



E  6 2 7 1  8 2 7  2 1



RPTA.: D
a4  4a3  2a2  11a  11
-1

4
-4

-2
-4
-6
6

1

2

-3) (-3)

A) 1
D) 7

11
-9
2

E  12  2 35  8  7  11  2 30  7  2 6

E 7 5

19  4 21  7  12  29  2 28
B) x+2
E) x+5

C) x+3

A) 7
D) 5

RESOLUCIÓN



7 1  6  5 





6 1

RPTA.: E

Calcule:

P



Calcule:



E=0
26.

 5  24 

6 4 3 1 8

B) 8
E) 6

1






2

C) 9

RESOLUCIÓN

19  4 21  7  12  29  2 28

19  2 84  7  12 





28  1

12+7 12x7
12  7  7  12  2 7  1  1

RPTA.: A
24.

C) 3

E  12  140  8  28  11  2 30  7  2 6

RPTA.: C

A) x+1
D) x+4

B) 2
E) 0

RESOLUCIÓN

R = a + 2 R= x + 1 + 2
R= x + 3  ax + b
A=1,b=3

23.

Reducir

12  140  8  28  11  2 30  7  2 6

(2 2) (2)
(2 4

-11
12
+1

25.

Reducir:

E  6  2 10  2 8  2 7


P




6  4 3 1 8



P



6  4  3 1 8




P



P






2

1 
 
5  24 
 




2

1 
3 2  

 




2

 52 6
6  4  3  3  2    6  4  3  6 


1

6 4 3

2






2

P=7

K  5 7 





7 1  2

RPTA.: A
27.

Simplificar:

29.

3x  1  3x  1
2 3x  9 x  1

2x  1  2x 1



2 2x  4x 1

2

5x



RPTA.: B



A) 0
D) 2

9x 1  4x 1
2

A) -x
D) 5x

B) 2x
E) 3x

C) x 2

2

P

2x  1  2x  1



2

2 3x  9x  1

2 2x  4x  1

3x  1  3x  1
3x  1  3x  1



3x  1  3x  1
2





5x

2

P

9x  1 4x2  1

a
b

2x  1  2x  1

 

2

2

2x  1  2x  1

P

5x  a  b 
2



2

5x



2

2x  1  2x  1
2



5 a  b
5


K


K
K

K

 13 

7  5

 13  7  3 

 3 7
4

4

32  10 7  8  2 7



3 2 6 3
3



6
3 2



8  48
4 3



6 2



4 3 6 2



6 3 2 



4

3 2

B) 2  3

C)

3 1
2 3

D)

3 1

RESOLUCIÓN
Si:

10  108  A  B

3

10  108  A  B



3

(+)

10  108  3 10  108



3

 2A 

3

20  6  2A  8A3
10  6A  4A3
10  4A3  6A  A  1

 A  3 A  3  

3 7

 5  7 3  7 

7 

6 3



3



7  3  7 


13  7  5  7 


3 2

5  24

48



A)

C) 3

RESOLUCIÓN

9  72

6



10  108

E)

B) 2
E) 5

18

Transformar a radicales simples:
3

RPTA.: D

A) 1
D) 4

9  72
5  24
8  48
B) 1
C) 3
E) 4

RPTA.: A
30.

3x  a  2x  b  a  b  5x

Efectuar:


K   13  7  5  7 



48



P  2 3  6 3 2 2 3 3 2  6  0

6x  9x2  1  2 4x  2 4x2  1

 ab
2
2

28.

6



RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN
3x  1  3x  1

18

P

2

2

2

Reducir:

3

10  108  3 10  108

A2  B  2
1-B=-2B=3



3

10  108  1  3

RPTA.: D

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