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Este documento demuestra que MCD(am-1, an-1) = a*MCD(m,n) - 1 para enteros positivos m, n, a. Primero se establece que si d = MCD(m,n), entonces am-1 y an-1 son divisibles por ad-1. Luego se muestra que (amx - 1) - ad(a-ny - 1) = ad - 1, por lo que t/(amx - 1) - ad(a-ny - 1) = t/(ad - 1), lo que implica que MCD(am-1, an-1) =
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- 1. Divisibilidad Helmuth villavicencio fern´ndez a 1. Sean m, n, a = 1 enteros positivos. Demu´strese que e M CD(am − 1, an − 1) = aM CD(m,n) − 1 Soluci´n o 1. Supongamos d = M CD(m, n), luego por definici´n existen s, t ∈ N tales o que sd = m, td = n Entonces am − 1 = (ad )s − 1 es divisible por ad − 1 y de manera semejante, an − 1 es divisible por ad − 1.(Luego ser´ un divisor com´n) ıa u ⇒ (ad − 1)/M CD(am − 1, an − 1). Ahora bien, existen enteros x, y con mx + ny = d. N´tese que x, y habr´n de tener signos opuestos (no pueden ser ambos o a negativos, ya que d ser´ entonces negativo. Si ambos fuesen positivos ıa entonces d ≥ m + n, lo que contradice al hecho que d ≤ m, d ≤ n). Supongamos, sin p´rdida de generalidad, que x > 0, y ≤ 0. e Hagamos t = M CD(am − 1, an − 1), por definici´n se verifica o t/(am − 1) ⇒ t/(amx − 1) An´logamente a t/(an(−y) − 1) pues (−y ≥ 0) pero ((amx − 1) − ad (a−ny − 1)) = amx − ad−ny + ad − 1 ((amx − 1) − ad (a−ny − 1)) = amx − amx + ad − 1 ((amx − 1) − ad (a−ny − 1)) = ad − 1 Luego t/((amx − 1) − ad (a−ny − 1)) = t/ad − 1 ⇒ M CD(am − 1, an − 1)/ad − 1 ∴ M CD(am − 1, an − 1) = ad − 1. 1