Ma 33 2007

C u r s o : Matemática
Material Nº 33
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 26
UNIDAD: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
PROBABILIDADES
NOCIONES ELEMENTALES
Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un
número indefinido de veces.
Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir, habiendo un conjunto de
resultados posibles.
Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Si se
representa el espacio muestral por E, cada elemento de él es llamado punto
muestral.
Evento o Suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En otras palabras,
es un subconjunto del espacio muestral.
Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas,
bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que
se indique otra cosa.
EJEMPLOS
1. ¿Cuál(es) de los siguientes experimentos es(son) aleatorio(s)?
I) Encender una vela y observar si alumbra.
II) Lanzar un dado y observar si la cara superior muestra un cinco.
III) Preguntarle a un desconocido si fuma.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
2. Un vendedor del servicio de televisión por cable visita tres casas, anotando v si vende y n si
no vende. El evento de vender el servicio a lo más en una de ellas está representado por
A) [nnn, nnv, nvn, vnn]
B) [nnv, nvn, vnn]
C) [vvv, vvn, vnv, nvv]
D) [vvn, vnv, nvv]
E) [nnn]

2
TIPOS DE EVENTOS
Evento o suceso cierto : Es el propio Espacio Muestral.
Evento o Suceso Imposible : Es aquel que no tiene elementos. Es decir, es el subconjunto
vacío (∅) del espacio muestral.
Eventos Mutuamente : Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos impide
la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir
simultáneamente). En otras palabras, cuando dos o más
eventos no tienen elementos comunes.
Eventos Complementarios : Cuando los eventos no tienen puntos o elementos comunes y
la unión de ellos es el espacio muestral.
EJEMPLOS
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Al lanzar un dado el evento “sacar un número menor que siete”, es un
suceso cierto.
II) “Lanzar un dado y que salga un número menor que tres” y “lanzar un dado y
que salga un múltiplo de 3” son sucesos mutuamente excluyentes.
III) “Lanzar dos dados y obtener una suma mayor que 12”, es un evento
imposible.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
2. Dado el espacio Muestral E = {a,e,i,o,u} y los eventos
A = {i,o,u}, B= {o,u}, C= {a}, D={a,e}. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
A) A y B no son mutuamente excluyentes.
B) A y D son complementarios.
C) B y C son mutuamente excluyentes.
D) B y D son complementarios.
E) A y C son mutuamente excluyentes.
Excluyentes

3
PROBABILIDAD CLÁSICA
La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al evento A por el
número total de casos posibles.
La probabilidad de A se denotará por P(A).
Observación: 1) La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la
probabilidad de que no ocurra. P(A) = 1 – P(A’) A’ = A no ocurre
2) 0 ≤ P(A) ≤ 1 o bien 0% ≤ P(A) ≤ 100%
EJEMPLOS
1. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener más de 10 puntos?
A)
2
36
B)
3
36
C)
7
36
D)
11
36
E)
12
36
2. En el lanzamiento de una moneda de $ 100 y una de $ 50, la probabilidad de obtener cara en la de
cien y sello en la de cincuenta es
A)
1
4
B)
1
3
C)
1
2
D)
3
4
E) 1
3. La probabilidad de obtener 3 ó 5 al lanzar un dado es
1
3
, ¿cuál es la probabilidad de obtener
1 ó 2 ó 4 ó 6?
A)
1
3
B)
1
2
C)
2
3
D)
1
4
E)
4
5
P(A) =
de casos favorables (A)
total de casos
Números
Números

4
PROBABILIDADES DE EVENTOS
• Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la
probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:
• Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la
probabilidad de que ocurra A o B está dada por:
EJEMPLOS
1. Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea par o divisible por 3?
A)
1
6
B)
1
4
C)
1
3
D)
1
2
E)
2
3
2. Un naipe inglés consta de 52 cartas repartidas en cuatro pintas distintas, de las cuales dos
son rojas (corazón y diamante) y dos son negras (pique y trébol). Cada pinta consta de 3
figuras: rey (K), dama (Q), caballero (J) y de 10 cartas numeradas desde 1 (as) a 10.
Entonces, la probabilidad de obtener un “AS” o un “REY” al extraer una de las 52 cartas de
una baraja inglesa es
A)
1
13
B)
2
13
C)
4
13
D)
1
4
E)
1
3
P(A o B) = P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A o B) = P(A∪B) = P(A) + P(B)

5
• Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno
no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.
• Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A,
dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la suposición de que el suceso B ha
ocurrido.
EJEMPLOS
1. Se tienen dos urnas: la primera contiene 6 bolitas verdes y 4 rojas, la segunda contiene 3
bolitas verdes y 7 rojas. Si se extrae una bolita de cada una, ¿cuál es la probabilidad de que
ambas sean verdes?
A)
3
10
B)
6
10
C)
9
10
D)
9
20
E)
18
100
2. En una caja se tienen 10 fichas numeradas del 1 al 10, ¿cuál es la probabilidad de que una
ficha elegida aleatoriamente tenga un número par y múltiplo de 4?
A)
1
10
B)
1
5
C)
2
5
D)
3
20
E)
3
10
P(A y B) = P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B)
P(A/B) =
P(A B)
P(B)
∩ número de elementos comunes entre A y B
número de elementos de B

6
EJERCICIOS
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El evento “lanzar tres veces una moneda”, tiene un espacio muestral de 3
elementos.
II) El espacio muestral del suceso “Lanzar dos monedas distintas”, tiene 3
elementos.
III) El suceso complementario del espacio muestral es el conjunto vacío.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
2. En el experimento aleatorio “lanzar tres monedas”, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
es(son) ejemplo(s) de evento(s) mutuamente excluyente(s)?
I) “Obtener exactamente dos caras” y “Obtener exactamente dos sellos”.
II) “Obtener a lo más una cara” y “Obtener a lo más un sello”.
III) “Obtener exactamente un sello” y “obtener a lo menos una cara”.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
3. Se lanza una moneda 3 veces y se obtiene 3 caras, ¿cuál es la probabilidad que la cuarta
vez se obtenga cara?
A)
1
2
B)
1
4
C)
3
4
D)
3
8
E)
7
16

7
4. Se escoge una ficha de dominó (28 piezas) al azar. ¿Cuál es la probabilidad que se
obtengan 6 puntos?
A)
1
28
B)
4
28
C)
5
28
D)
6
28
E)
8
28
5. De los 4.500 alumnos de una Universidad, la probabilidad de que un alumno sea egresado
es
1
50
, ¿cuántos no egresados tiene la Universidad?
A) 4.410
B) 4.300
C) 4.210
D) 3.900
E) 3.600
6. Un jugador de básquetbol encesta 8 de cada 10 lanzamientos al aro. ¿Cuál es la probabilidad
de que este jugador no enceste?
A)
4
5
B) 1
C)
1
5
D)
6
5
E)
2
5
7. ¿En cuál de los siguientes eventos la probabilidad de ocurrencia esa igual a cero?
A) Tener más de 10 hijos
B) Nacer en un año terminado en cero
C) Que un mes tenga 29 días
D) Que al elegir al azar una fruta en invierno esta sea manzana
E) Que al tirar 3 dados, la suma de los números obtenidos sea 24

8
8. Mauricio tiene en su bolsillo 3 monedas de $ 10, 4 de $ 50, 7 de $ 100 y 4 de $ 500. ¿Cuál
es la probabilidad de que saque una moneda de $ 500 o una de $ 10?
A)
12
18
B)
7
18
C)
3
18
D)
4
18
E)
8
18
9. En el curso 4º A hay el doble de mujeres que de hombres y en el 4º B hay 5 hombres menos
que mujeres. Si la probabilidad de elegir un alumno que sea hombre, es la misma en
ambos cursos, ¿cuántos alumnos en total tiene el 4º B?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
10. En un curso de 50 alumnos, los puntajes en un ensayo de matemática tienen la siguiente
distribución:
Al elegir un alumno del curso al azar, la probabilidad de que no tenga un puntaje
350 ≤ x ≤ 500 es
A)
1
2
B)
1
5
C)
4
5
D)
3
19
E)
7
10
Puntaje x < 350 350 ≤ x ≤ 500 500 < x ≤ 650 650 < x ≤ 820
Cantidad de
alumnos
15 10 13 12

9
11. ¿En cuál de las alternativas es mayor la probabilidad de sacar amarillo?
A) B) C)
D) E)
12. Una caja contiene 12 fichas de igual tamaño. Cada una de ellas contiene una letra de la
palabra Probabilidad. Al sacar al azar una de las fichas, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Sólo las probabilidades de las letras b, a y d son iguales.
II) La probabilidad de sacar una vocal es
5
12
.
III) Sólo la probabilidad de la letra o, es la menor.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
13. Se tienen 5 bolitas blancas y 3 negras en una urna y 5 blancas y 7 negras en otra urna.
¿Cuántas bolitas blancas es necesario traspasar desde una urna a la otra para que la
probabilidad de sacar una bolita negra sea la misma en ambas urnas?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Rojo
Amarillo
Verde
90º
90º
Rojo
Amarillo
Verde
120º
Amarillo
Rojo
Amarillo
Verde
135º
Rojo
Ama-
rillo
Verde
Rojo
Verde
Ama-
rillo
45º
45º
Rojo
Amarillo Verde
120º 120º

10
14. Al ser consultadas 100 personas, sobre el tipo de artículo que regalan en Navidad,
respondieron de las siguientes maneras:
Si se elige una persona encuestada al azar, ¿cuál es la probabilidad que no regale libros ni
didácticos?
A) 14%
B) 17%
C) 34%
D) 85%
E) 86%
15. En un naipe de 52 cartas (13 picas, 13 corazones, 13 diamantes, 13 tréboles), ¿cuál es la
probabilidad de sacar al azar una pica, un corazón, un diamante, un trébol y nuevamente un
corazón, en ese orden y sin reposición?
A)
13 13 13 13 12
52 51 50 49 48
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
B)
13 12
4 +
52 48
⋅
C)
13 13 13 13 12
+ + + +
52 51 50 49 48
D)
13 13 13 13 12
52 52 52 52 51
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
E)
13 13 13 13 12
+ + + +
52 52 52 52 51
16. La tabla muestra el número de vehículos (motos, automóviles y camiones) que pasan por un
peaje y el número de ellos que son plateados. ¿En que tipo de vehículo(s) es mayor la
probabilidad de que al elegir un vehículo al azar este sea plateado?
A) Sólo en camiones
B) Sólo en motos
C) Sólo en automóviles
D) En camiones y automóviles
E) En motos y automóviles
Regalos Nº de personas
Rodados 4
Didácticos 13
Juegos 18
Ropa 14
Cosas útiles 34
Libros 1
Otros 16
Vehículo
Total de
vehículos
Total de vehículos
plateados
Motos 60 30
Automóviles 120 60
Camiones 90 30

11
17. Una compañía de seguros debe elegir a una persona para desempeñar cierta función de
entre 50 aspirantes. Entre los candidatos, algunos tienen título universitario, otros poseen
experiencia previa en el área de seguros y algunos cumplen ambos requisitos, como se
indica en la tabla.
Si se elige un aspirante al azar entre los 50, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) La probabilidad de que el elegido tenga experiencia es
3
10
.
II) La probabilidad de que el elegido tenga título es
2
5
.
III) La probabilidad de que el elegido no tenga experiencia es
5
10
.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
18. Al lanzar al aire dos dados, uno a continuación del otro, de distintos colores, se observa que
la suma de los números que aparecen es de por lo menos siete. La probabilidad de que en
el segundo dado aparezca el cuatro es
A)
4
21
B)
5
21
C)
6
21
D)
7
21
E)
8
21
Título Sin título
Con experiencia 5 10
Sin experiencia 15 20

12
19. Se hace girar 100 veces una ruleta que está dividida en 8 sectores iguales y se obtienen los
siguientes resultados:
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La probabilidad de obtener un número impar es de un 50 %.
II) La probabilidad de obtener los números 1 ó 3 es de un 25%.
III) La probabilidad de obtener el números 6 es de un 15%.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
20. El disco de la figura 1 está dividido en cuatro sectores iguales pintados de colores diferentes:
azul, blanco, verde y rojo. Al hacer dos lanzamientos, ¿cuál es la probabilidad de caer por lo
menos una vez en el sector rojo?
A)
1
2
B)
1
4
C)
3
4
D)
3
8
E)
7
16
21. En una urna con fichas azules, blancas, rojas y verdes, la probabilidad de escoger una ficha
azul o blanca es 0,4. Si en la urna hay 15 fichas de las cuales 7 son verdes, ¿cuál es el
número de fichas rojas?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 2
E) 3
Azul Rojo
Blanco Verde
fig. 1
Número 1 2 3 4 5 6 7 8
Frecuencia 10 12 15 11 16 15 9 12
1
2
3
45
6
7
8
Ruleta

13
22. Una caja contiene 3 esferas verdes y 2 amarillas. Si se sacan sucesivamente 2 esferas, sin
devolverlas a la caja, ¿cuál es la probabilidad de que éstas sean de distinto color?
A)
3
10
B)
2
5
C)
3
5
D)
7
10
E) Ninguna de las anteriores
23. Una ruleta está dividida en 36 sectores iguales, numerados del 1 al 36. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener un número par mayor que 17?
A)
1
2
B)
1
3
C)
5
9
D)
5
18
E)
1
18
24. En una población hay 1.000 jóvenes entre hombres y mujeres. De los hombres 340
practican Fútbol y 230 Tenis. Además, 180 mujeres practican Fútbol. Si escogemos un joven
al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y practique tenis?
A)
25
48
B)
22
25
C)
1
4
D)
23
100
E)
43
100

14
25. Una encuesta reveló las siguientes características sobre la edad y la escolaridad de la
población de una ciudad:
Si se elige al azar una persona de dicha ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona
tenga E. Universitaria completa o incompleta?
A) 6,12%
B) 7,27%
C) 8,45%
D) 9,57%
E) 10,23%
26. En un experimento aleatorio E, dos eventos A y B son complementarios si:
(1) Al unir los conjuntos A y B se obtiene el espacio muestral.
(2) La intersección de A y B es vacía.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
27. Al lanzar un dado, podemos conocer el número que aparece en la cara superior si sabemos
que:
(1) El número es primo.
(2) El número es impar menor o igual a tres.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
25%
Hombres
adultos Mujeres
adultas
27%
48%
Jóvenes
Escolaridad Jóvenes
Mujeres
adultas
Hombres
adultos
E. Primaria incompleta 30% 15% 18%
E. Primaria completa 20% 30% 28%
E. Media incompleta 26% 20% 16%
E. Media completa 18% 28% 28%
E. Universitaria incompleta 4% 4% 5%
E. Universitaria completa 2% 3% 5%

15
28. En una caja hay 22 fichas de color azul, rojo y blanco. Si hay 10 fichas rojas, ¿cuál es la
probabilidad de sacar una ficha azul?
(1) La probabilidad de sacar una ficha roja o blanca es
9
11
.
(2) La probabilidad de sacar una ficha blanca es
4
11
.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
29. Una ruleta tiene 36 sectores circulares iguales numerados del 1 al 36. ¿Cuál es la
probabilidad que salga un número par o un número de color blanco?
(1) La probabilidad de que salga un número azul
1
4
.
(2) La ruleta está dividida en 4 sectores iguales donde los 9 primeros son rojos, los 9
siguientes azules, los otros 9 blancos y los 9 restantes negros.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
30. La probabilidad de extraer una bola roja de una caja
1
4
. La probabilidad de extraer una bola
azul se puede calcular si:
(1) El total de bolas que hay en la caja es 12.
(2) En la caja sólo hay bolas rojas, blancas y azules.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

16
RESPUESTAS
DSIMA33
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1. C 11. C 21. D
2. C 12. B 22. C
3. A 13. D 23. D
4. B 14. E 24. C
5. A 15. A 25. B
6. C 16. E 26. C
7. E 17. C 27. C
8. B 18. A 28. D
9. A 19. E 29. B
10. C 20. E 30. E
Ejemplos
Págs. 1 2 3
1 D A
2 E D
3 B A C
4 E B
5 E B
CLAVES PÁG. 11

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