Mcm, mcd
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Este documento explica los conceptos de máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM). El MCD es el mayor divisor común de dos o más números. Se calcula tomando los factores comunes con el menor exponente. El MCM es el menor múltiplo común. Se calcula tomando los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. También establece que para cualquier par de números A y B, su producto A·B siempre será igual al producto de su MCM por su MCD.
Mcm, mcd
- 2. MÁXIMO COMÚN DIVISOR: MCD MAXIMO COMUN DIVISOR de dos o más números, es el mayor de los divisores comunes. Se forma tomando los factores comunes a todos los números con el menor exponente que presenten. Ejemplo: Hallar el MCD de los números 18 y 24 Factorizamos los números: 18 = 2•32 24 = 23 •3 Tomamos los factores comunes ( 2 y 3 ) con el menor exponente que presente cada uno ( 1 y 1 respectivamente ) Luego: MCD (18,24) = 2•3 = 6 El 6 es el mayor de los divisores que tienen en común.
- 3. MCD Verificamos la solución: Factorizamos los números: 18 = 2•32 24 = 23 •3 Los divisores de 18 son { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } Los divisores de 24 son { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } Los divisores comunes son { 1, 2, 3, 6 } El 6 es el mayor de los divisores que tienen en común. Se cumple: 18 = 3•6 24 = 4•6 Los factores 3 y 4 deben ser primos entre sí.
- 4. MCD Ejemplo práctico: Dos cuerdas miden 18 y 24 cm. Y deseamos cortarlas en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. Hallamos el mcd de los números 18 y 24 Como ya hemos visto es 6 Es el mayor de los divisores comunes. Dividimos 18:6 = 3 trozos se obtienen de la cuerda de 18 cm Dividimos 24:6 = 4 trozos se obtienen de la cuerda de 24 cm En total tendremos 3+4 = 7 trozos de 6 cm cada uno.
- 5. Otro ejemplo práctico: Tres libros tienen 120, 150 y 180 párrafos cada uno. Deseamos cortarlos y formar fascículos con la misma cantidad de hojas cada uno, de forma que esa cantidad sea la mayor posible. Hallamos el mcd de los números 120, 150 y 180 Factorizamos 120 = 23 •3•5 Factorizamos 150 = 2•3•52 Factorizamos 180 = 2•32 •5 Tomamos factores comunes con el menor exponente: Mcd = 2•3•5 = 6•5 = 30 Dividimos 120:30 = 4 fascículos de 30 párrafos cada uno. Dividimos 150:30 = 5 fascículos de 30 párrafos cada uno. Dividimos 180:30 = 6 fascículos de 30 párrafos cada uno. En total tendremos 4+5+6 = 15 fascículos de 30 párrafos cada uno.
- 6. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO: MCM MINIMO COMUN MULTIPLO de dos o más números, es el menor de los múltiplos comunes. Se forma tomando los factores comunes y no comunes a todos los números con el mayor exponente que presenten. Ejemplo: Hallar el MCM de los números 18 y 24 Factorizamos los números: 18 = 2•32 24 = 23 •3 Tomamos los factores comunes ( 2 y 3 ) con el mayor exponente que presente cada uno ( 3 y 2 respectivamente ) y todos los factores no comunes ( en este caso no hay ) Luego: MCM (18,24) = 23 •32 = 8•9 = 72 El 72 es el menor de los múltimplos comunes.
- 7. Verificamos la solución: Factorizamos los números: 18 = 2•32 24 = 23 •3 Los múltiplos de 18 son { 18, 36, 54, 72, 90, 108, 144, … } Los múltiplos de 24 son { 24, 48, 72, 96, 120, 144, … } Los múltiplos comunes son { 72, 144, … } El 72 es el menor de los múltiplos que tienen en común. Se cumple: 72 = 18•a 72 = 18•b Los factores a y b deben ser primos entre sí. MCM
- 8. MCM Ejemplo práctico: Dos coches de carrera parten a la vez y tardan 18 y 24 mn en dar una vuelta a la pista. ¿Cuándo se vuelven a encontrar en la línea de salida?. Hallamos el mcm de los números 18 y 24 Como ya hemos visto es 72 Es el menor de los múltiplos comunes. Dividimos 72:18 = 4 vueltas completas da el primer vehículo. Dividimos 72:24 = 3 vueltas completas da el segundo vehículo. Vuelven a encontrar al cabo de 72 mn en la línea de salida, tras dar 3 y 4 vueltas a la pista cada uno de ellos.
- 9. Otro ejemplo práctico: Un alumno tarda 25 s en leer una página, otro 40 s y un tercero tarda 54 s en leer una página similar. En un supuesto maratón, si los tres comienzan a leer a las 9,00 horas, ¿ cuándo volverán a coincidir los tres en volver a comenzar a leer una página?. Hallamos el mcm de los números 25, 40 y 54 Factorizamos 25 = 52 Factorizamos 40 = 5•23 Factorizamos 54 = 2•33 Tomamos factores comunes y no comunes con el mayor exponente: Mcm = 23 •33 •52 = 8•27•25 = 216• 25 = 5400 s Coincidirán nuevamente a los 5400 s = 90 mn Dividimos 5400:25 = 216 párrafos habrá leído el primero. Dividimos 5400:40 = 135 párrafos habrá leído el segundo. Dividimos 5400:54 = 100 párrafos habrá leído el tercero.
- 10. RELACCIÓN MCM Y MCD PROPIEDAD: Sean A y B dos números naturales cualesquiera. Siempre se cumple: A•B = MCM•MCD Veamos con un ejemplo: MCM (18 y 24) = 72 MCD (18 y 24) = 6 18•24 = 72•6 432 = 432 Hemos comprobado que se cumple la propiedad mencionada.