Plano numerico (dennisse_perez)
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El documento describe las ecuaciones analíticas de varias figuras geométricas como la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Explica que cada figura puede expresarse como una ecuación matemática relacionando las coordenadas de cualquier punto de la figura con los parámetros que la definen, como el centro, radios, focos, etc. También resume los pasos para derivar la ecuación de cada figura a partir de definiciones geométricas usando el teorema de Pitágoras.
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marzo 6]](https://image.slidesharecdn.com/udqldcqrpqwhbjvvte1o-signature-39eda71b6db8435a2c4d417fea1ca7a8057091d7f02d60600df7515bfc217dd7-poli-210310172350/85/Plano-numerico-dennisse_perez-15-320.jpg)
Plano numerico (dennisse_perez)
- 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL “ANDRES ELOY BLANCO” BARQUISIMETO ESTADO LARA Especialidad: PNF en Administración Autor(a): Dennisse Pérez Sección: AD0302 Marzo, 2021
- 2. Se conoce como plano numérico o plano cartesiano a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. Su finalidad es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. También sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.
- 3. En Matemática, se define como la longitud del segmento de la recta que une dos puntos representados en el espacio euclídeo (un tipo de espacio geométrico). Como tal, se expresa numéricamente. Distancia entre dos puntos. Ejemplo: Hallar la distancia entre los puntos P1 (-4, 3) y P2 (3, 2) Solución: Elegimos cualquier punto, el Punto 1, o el Punto 2. No importa a cuál sea el inicial, el resultado debe ser el mismo. En este caso vamos a elegir al punto 1 como inicial, y punto 2 como final. Fórmula: Fórmula:
- 4. Es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. Es una figura geométrica adimensional, es decir, no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
- 5. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de un punto fijo llamado centro. Determinación de una circunferencia. Una circunferencia queda determinada cuando conocemos: a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro. b) El centro y el radio. c) El centro y un punto en ella. d) El centro y una recta tangente a la circunferencia. También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro . Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia ). Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica , (dentro del Plano Cartesiano ) diremos que para cualquier punto, P (x, y) , de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r ─, la ecuación ordinaria es: (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 ¿Qué significa esto?
- 6. En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el Plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática. Así podemos expresarla Donde: (d) Distancia CP = r y Fórmula que elevada al cuadrado nos da: (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 También se usa como (x ─ h) 2 + (y ─ k) 2 = r 2 En ésta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r) . Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia C (a, b) .
- 7. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz .
- 8. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
- 9. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.
- 10. Puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cónica con un plano; o como el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la razón de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definición específica, que es lo que se va a desarrollar en este tema.
- 11. Ecuación analítica de la circunferencia: si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.
- 12. Ecuación Analítica de la Elipse Para simplificar, ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que: Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados (ver operación) queda finalmente:
- 13. Ecuación analítica de la parábola: Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y un punto Q = (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ Elevando al cuadrado ambos miembros: x2 = 4cy
- 14. Ecuación analítica de la hipérbola: nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' = (– c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola. En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la hipérbola con el eje x. Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta expresión: (c2 – a2). x2 – a2y2 – (c2 – a2) a2 = 0. Nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación nos queda: b2x2 – a2y2 = a2b2. Dividiendo cada término por a2b2 obtenemos:
- 15. EcuRed. (2019). Distancia entre dos puntos. [Información en línea]. Disponible en: https://www .ecured.cu/index.php?title=Especial:Citar&page=Distancia_entre_dos_puntos&id=3489611 0.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-03-OperacionesConjuntos.php [Consulta: 2021, marzo 5] Miro, A. (2012). La circunferencia en el plano cartesiano. [Presentación en línea]. Disponible en: https://es.slideshare.net/mahv7/la-circunferencia-en-el-plano-cartesiano [Consulta: 2021, marzo 5] Profesor en línea. (2015). Ecuación de la circunferencia. [Información en línea]. Disponible en: https://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia.html [Consulta: 2021, marzo 5] Significados. (2013). Significado de Distancia. [Información en línea]. Disponible en: https://www.significados.com/distancia/ [Consulta: 2021, marzo 5] Sokolovsky, S. (s.f.) Cónicas: Circunferencia, elipse, hiperbola y Parábola. [Información en línea]. Disponible en: zambranosanchez.es/Apuntes Web/PaginaswebdeMatematicas/Analisis_Algebra/matem/matematica/Conicas.htm [Consulta: 2021, marzo 6] Villena, M. (s.f.). CÓNICAS. [Documento en línea] Disponible en: https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/781/3/1487.pdf [Consulta: 2021, marzo 6]