Poligonos
- 1. Polígonos Especialidad: Matemática Participante: Profa. Denise S. Rocha Vega Fecha de presentación: 30 de Julio, 2010 COCHABAMBA - BOLIVIA Fe y Alegría - Cochabamba Diplomado de Informatica Educativa
- 2. Menú Principal 1. Concepto 2. Clasificación 3. Diagonal 4. Suma Ángulos interiores 5. Suma Ángulos exteriores 6. Diagonales en un n-gono Inicio 7.-Áreas y Perímetros
- 3. P O L Í G O N O S
- 4. Polígonos en la vida real !Que fascinante es la geometría! ¿Sabias que se encuentra en nuestro entorno? ¿En el portón de esta basílica que figuras geométricas que tú conoces observas? ¿Cuántas paredes tiene la torre superior?
- 5. Polígonos Concepto.- Sean P1, P2, P3,……, PN, n puntos en el plano (n ≥ 3) que forman n segmentos P 1 P 2 , P 2 P 3 , P 3 P 4 ,….., P n P 1 , tales que: Ningún par de segmentos se interceptan, excepto, en sus extremos (lados consecutivos). Ningún par de segmentos con un extremo común son colíneales.
- 6. Entonces la reunión de los n segmentos se llama polígonos de n lados o n-gono. P 1 , P 2 , P 3 ,…., Pn son los vértices del n-gono. Los segmentos: P 1 P 2 , P 2 P 3 , P 3 P 4 ,….., P n P 1 son los lados del n-gono. Anotemos: n-gono: P1 P2 P3 … Pn
- 7. !Que fascinante es el mundo de la Geometría¡ Observa estas lámparas e identifica aquellas figuras que tu conoces
- 8. Diagonal.- Es todo segmento determinado por dos vértices no consecutivos. Diagonal
- 9. Figuras geométricas en la naturaleza ¿Qué polígono formara los pétalos de esta flor? ¿Y cuantas diagonales podrán trazarse?
- 10. Polígono de 3 lados: Triángulo Clasificación .- A continuación presentamos algunos polígon o s por el número de sus lados o ángulos:
- 11. Polígono de 4 lados: Cuadrilátero
- 12. Polígono de 5 lados: Pentágono
- 13. Polígono de 6 lados: Hexágono (exágono) 1 2 3 4 5 6
- 14. Polígono de 7 lados: 1 2 3 4 5 6 7 Heptágono
- 15. ¡Cuantas figuras se presentan en estos vitrales!.¿Podrás identificarlas y nombrarlas?
- 16. Octágono 8 lados Eneágono 9 lados Decágono 10 lados
- 17. Mas polígonos Undecágono 11 lados Dodecágono 12 lados Ejemplo: Las monedas de 2 Bs.-
- 18. Pentadecágono 15 lados Icoságono 20 lados Ejemplo: Esvástica
- 19. Figuras geométricas en la naturaleza En la naturaleza existen muchas creaciones simétricas como esta hoja de trébol que representa figuras geométricas ¿Podrías reconocerlas?
- 20. En general un polígono de n lados se llama n-gono. Un n-gono es equilátero ssi sus n lados son congruentes. Un n-gono es equiángulo ssi sus n ángulos son congruentes.
- 21. Ob. Si un n-gono es equilátero no necesariamente es equiángulo o recíprocamente, si un n-gono es equiángulo no siempre ha de ser equilátero. Un rectángulo es equiángulo pero no equilátero. Rombo es equilátero pero no equiángulo. Un n – gono es regular ssi es equilátero y equiángulo
- 22. Si la reunión de un polígono con su interior es un conjunto convexo, entonces el polígono es CONVEXO. Ejemplos: Polígono Convexo
- 23. Polígonos no convexos o cóncavos.
- 24. TANGRAM Con estas figuras forma un cuadrado
- 26. Considerando las 7 piezas del rompecabezas Tangram ¿puedes colocar las dos piezas grandes alrededor del cuadrado para formar un: a) triángulo b) paralelogramo c) trapecio u otra figura? Experimenta con el que construiste......
- 27. Suma de Ángulos Interiores
- 28. Proposición 1_: La suma de las medidas de los ángulos interiores de un n-gono convexo es: Si = 180º (n-2) Sea P 1 , P 2 , P 3 ,…, P n un n-gono convexo. Q, un punto en el interior del n-gono. El punto Q, determina con los lados del n-gono n triángulos. En cada triángulo la suma de las medidas de sus ángulos es 180º. Si P 1 P 2 P 3 …P n es un n-gono. Ent . Si = 180º (n-2)
- 29. En los n triángulos se tiene. 180º n. Sea Qi, la suma de las medidas de los ángulos en Q. Luego: Si = 180º n – Qi ; Si = 180º n – 360º Luego: Si = 180º (n – 2) Ob. En un n-gono regular todos sus ángulos interiores tienen igual medida. Si , i es la medida de un ángulo interior de un n-gono regular tenemos: 180º (n – 2) i = n
- 30. Construcciones naturales !Que belleza! !Cuan precisas son las abejas en su construcción! ¿Podrías calcular la suma de los ángulos interiores de cada celda?
- 31. Halla la suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero, de un heptágono y de un dodecágono. Ejercicios C) 360º, 900º, 1800º A) 630º, 909º, 1700º B) 180º, 800º, 1080º D) Ninguno
- 32. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es 2880º. Halla el número de lados del polígono. A) 16 B) 18 C) 20 D) Ninguno
- 33. Halla la medida del ángulo interior de un dodecágono regular. A) 150 º B) 180º C) 175 º D) Ninguno
- 34. Halla en grados, minutos y segundos la medida del ángulo interior del endecágono regular. B) 147 º 16´ 22” A) 179º 16´ 22” C) 147 º 18´ 26” D) Ninguno
- 35. Suma de Ángulos Exteriores
- 36. Proposición 2.- Suma de las medidas de los ángulos externos en un n-gono convexo). Si P1 P2 P3….Pn n-gono convexo Se, es la suma de las medidas de los ángulos externos Ent. Se = 360º En cada vértice del n-gono se determina un par lineal de ángulos (interno y externo). La medida en cada par lineal es 180º. En los n vértices tenemos 180º n.
- 37. Luego: Se = 180º n – s Se = 180º n – 180 (n-2) Se = 180º n – 180.n + 360 Luego: Se = 360º Ob. La medida de un ángulo externo en un n-gono regular es: 360º e = n
- 38. Construcciones humanas ¿Podrías calcular la suma de los ángulos exteriores de cada una de las figuras geométricas que observas en este hermoso vitral?
- 39. Halla la medida del ángulo exterior de los siguientes polígonos regulares: eneágono, pentadecágono y 24-gono. C) 40º, 24º, 15º A) 40º, 24º, 51º B) 40º, 42º, 15º D) Ninguno
- 40. Halla el número de lados de un polígono regular si el ángulo exterior mide 20º. C) 12 A) 16 B) 18 D) Ninguno
- 41. Diagonales en un n – gono
- 42. Proposición 3 (Número de diagonales en un n-gono) Número de diagonales desde un vértice Si P1 P2 P3…..Pn es un n-gono d, número de diagonales desde un vértice. Ent d= ( n - 3 ) En todo n-gono, desde un vértice se trazan (n – 3) diagonales.
- 43. Pero como cada diagonal esta determinada por dos vértices, resulta que el número total de diagonales es: n (n – 3) D = 2
- 44. Desde un vértice en un polígono se han trazado 18 diagonales. Halle el número de lados del polígono. C) 3 A) - 3 B) 6 D) Ninguno
- 45. 2. Halle el número total de diagonales que pueden trazarse en un 24-gono. C) 252 A) 225 B) 525 D) Ninguno
- 46. ¿Cuántas diagonales pueden trazarse en un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos interiores es 2160º C) 12 A) 14 B) 16 D) Ninguno
- 47. Sabiendo que el ángulo interior de un polígono mide 165º. Calcula el número total de diagonales que pueden trazarse en este polígono. C) 20 A) 22 B) 24 D) Ninguno
- 48. Problemas reales Te presento a las famosas pirámides de Francia. Elije una de las caras y estima cuantos paralelogramos existen en cada cara y cuantos triángulos. ¿Podrías construir algo similar?
- 49. El Tangram nos permite formar una variedad de figuras geométricas utilizando tan solo 7 piezas como se muestra en el siguiente ejemplo:
- 50. Formar las siguientes figuras.
- 51. Estas son mas complicadas pero ! yo se que tu puedes ¡
- 52. Problemas reales En esta construcción barroca ¿Cuántas paredes estimas que tiene la torre? ¿Cuánto seria la medida de los ángulos interiores y exteriores de cada pared?
- 53. ¿Sabias que: la torre Eiffel es hoy uno de los monumentos más conocidos del mundo?. Los ángulos, alturas y anchuras de cada sección fueron medidas cuidadosamente para su construcción. Curiosidades
- 55. Area de un Polígono O A B C D E a l Une cada vértice del polígono de n lados con el centro O para obtener triángulos congruentes. prueba que la suma de las áreas sea igual al área del polígono regular. donde el perímetro es:
- 56. PROBLEMA: El lado de un hexágono regular mide 4 cm. Halla la apotema, el perímetro y el área del hexágono PROBLEMA: Dado un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia. Hallar el lado, el apotema y la altura sabiendo que el radio es igual a 9 R R l a
- 57. EJERCICIOS En un hexágono regular inscrito en una circunferencia dado su radio igual a 12 u. hallar el lado, la apotema y el perímetro. Dado un cuadrado de lado igual a 10 u. hallar el radio , la apotema y su perímetro. Dado un triángulo equilátero cuya altura es de 6 u. hallar el radio y la apotema. Hallar el área del pentágono regular, si la apotema mide 15 u. y su perímetro. Hallar el área y el perímetro de un decágono regular, si el lado mide 20 u.
- 58. AGRADECIMIENTO ESPECIAL A: Denise S. Rocha Vega F I N PRESENTACION