Programación Lineal Entera
- 1. PROGRAMACION LINEAL ENTERA Un modelo matemático que tiene una función objetivo lineal y restricciones lineales pero que requiere de algunas (o todas) variables estén restringidas a tener valores enteros. Cuando se usa el LINDO en la solución de este tipo de problemas, suele presentarse en algunos casos valores de variables en decimales, por lo cual la forma mas simple de obtener una solución óptima entera es redondear los valores en la solución de PL óptima hacia arriba o hacia abajo. Hacer esto no siempre es garantía de una solución óptima.
- 2. PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL ENTERA La Cia. ALFA ha obtenido del gobierno central una subvención de $5 millones para desarrollar edificios de departamentos para personas de ingresos bajos y medianos en una extensión de 180,000 pies cuadrados de terreno. Cada tipo de edificio requiere 20,000 pies cuadrados. El costo estimado de cada edificio de bajos ingresos es de $300,000, y el costo estimado de cada edificio de ingresos medianos es de $600,000. Cada edificio de bajos ingresos proporciona 15 unidades, y cada edificio de medianos ingresos proporciona 12 unidades. Para mantener el vecindario bien balanceado, el gobierno requiere que la proporción de los departamentos de ingresos medianos con los de ingresos bajos sea de al menos 0.80. El Director de ALFA desea determinar el mayor número de departamentos individuales que pueden construirse en el terreno disponible con el presupuesto dado.
- 3. La formulación matematica del problema de PLE para ALFA sería: X1: Nº de edificios de dptos. de ingresos bajos a construirse. X2: Nº de edificios de dptos. de ingresos medianos a construirse. Max (Z) = 15 X1 + 12 X2 s.a. 3 X1 + 6X2 ≤ 50 (presupuesto) 20X1 + 20X2 ≤ 180 (terreno) 12X2 /15X1 ≥ 0.80 (proporción) X1, X2 ≥0
- 4. Utilizando el LINDO, tendriamos: Max 15X1 + 12X2 st 3X1 + 6X2 < 50 20X1 + 20X2 < 180 -X1 + X2 > 0 End LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 121.5000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 4.500000 0.000000 X2 4.500000 0.000000
- 5. Utilizando el DSWIN, para Programación Lineal, tendriamos X1 X2 RHS Dual Maximize 15 12 Constraint 1 3 6 <= 50 0 Constraint 2 20 20 <= 180 0.675 Constraint 3 -1 1 >= 0 -1.5 Solution-> 4.5 4.5 $121.5
- 6. Utilizando el DSWIN, para Programación Lineal Entera, tendriamos X1 X2 RHS Maximize 15 12 Constraint 1 3 6 <= 50 Constraint 2 20 20 <= 180 Constraint 3 -1 1 >= 0 Solution-> 4 5 Optimal Z-> $120.
- 7. CASO 1: ADMINISTRACION DE CARTERA Los socios generales de Gamma Tech, una compañía de inversión de capital de riesgo están considerando invertir en una o más propuestas que han recibido de varios negocios empresariales. El departamento de investigación ha examinado cada propuesta, y cuatro de los empresarios cumplen con el requerimiento de Gamma Tech de lograr un rendimiento lo suficientemente alto para el riesgo asociado. Estas compañías son: Bio Tech, Tele Comm, Laser-Optics y Compu-Ware. El departamento de investigación de Gamma Tech también ha estimado el rendimiento total de estos negocios en dólares actuales, dado en la última columna de la tabla siguiente: PROYECTOS AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 AÑO 4 DEVOLUCION Bio Tech 60 10 10 10 250 Tele Comm 35 35 35 35 375 Laser-Optics 10 50 50 10 275 Compu-Ware 15 10 10 40 140 Fondos para inversión 90 80 80 50
- 8. Cada uno de los cuatro proyectos requiere inversiones de una cantidad conocida al principio de cada uno de los siguientes cuatro años, como se muestra en la tabla. El departamento de contabilidad de Gamma Tech ha preparado una estimación de los fondos totales que Gamma Tech tiene para invertir a principios de cada uno de los siguientes cuatro años, que se da en la ultima fila de la tabla. Observe que los fondos no usados de cualquier año no están disponibles para su inversión en los años posteriores. Cada uno de los socios generales de Gamma Tech, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a cuales de estos proyectos elegir, si acaso, para invertir y lograr él mas alto rendimiento total en dólares actuales. Ud. y los otros socios han acordado que Gamma Tech, en un esfuerzo por diversificarse, no invertirá conjuntamente en Tele-Comm y Laser-Optics, que están desarrollando el mismo tipo de tecnología.
- 9. Variables de decisión: Pregúntese que puede controlar libremente en este problema y se dará cuenta de que puede elegir aceptar o rechazar cada una de las cuatro propuestas. Debe reconocer que estas decisiones implican una decisión “si” ó “no”. Parece razonable entonces crear una variable entera para cada proyecto de la siguiente manera 1 si Gamma debe invertir en el Proyecto j (j=1,4) X j = 0 si Gamma no debe invertir en el Proyecto j El PL seria: Max (z)= 250X1 + 375 X2 + 275 X3 + 140 X4 60X1 + 35X2 + 10X3 + 15X4 ≤ 90 (año 1) 10X1 + 35X2 +50 X3 +10 X4 ≤ 80 (año 2) 10X1 + 35X2 + 50X3 +10 X4 ≤ 80 (año 3) 10X1 +35 X2 +10 X3 +40 X4 ≤ 50 (año 4) X2 + X3 ≤ 1 X1 , X2 , X3 , X4 = 0 ó 1
- 10. Caso 2: Problema de riesgo La Gerencia de Beta, esta considerando invertir en 6 proyectos, cada uno requiere una cierta cantidad de capital inicial. Estos daos, junto con el factor de riesgo asociado (entre 0 y 1) y la recuperación anual esperada, se presentan en la siguiente tabla: Los socios de la empresa han acordado que el riesgo total, obtenido al sumar los factores de riesgo de cada proyecto emprendido, no debe exceder a 3. También, cuando mucho dos proyectos pueden tener un factor de riesgo mayor a 6. . El siguiente problema de PLE fue desarrollado para determinar en que proyectos se debe invertir con un presupuesto de un millón de dólares para lograr la mayor recuperación anual esperada: PROYECTO CAPITAL RIESGO DEVOLUCION P1 100,000 0.50 0.20 P2 200,000 0.40 0.15 P3 170,000 0.70 0.30 P4 250,000 0.65 0.25 P5 400,000 0.42 0.17 P6 250,000 0.75 0.40
- 11. Max 20,000P1+30,000P2+51,000P3+62,500P4+68,000P 5 +100,000P6 s.a. 0.5P1+0.4P2+0.7P3+0.65P4+0.42P5+0.75P6 ≤ 3 (Riesgo) P3+P4+P6 ≤ 2 (Riesgo máximo) 100P1+200P2+170P3+250P4+400P5+250P6 ≤ 1000 (Presupuesto) Todas la variables deben ser 0 ó 1. a) ¿En que proyectos debe invertir BETA?. ¿Cuál es la recuperación anual esperada al hacerlo?. b) ¿cuál es el riesgo total asociado con dicha inversión? c) ¿Qué tanto del presupuesto disponible no se invierte?