Runge Kutta Fehlberg
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Este documento describe varios métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo el método de Runge-Kutta de cuarto y quinto orden. Explica que el método de Runge-Kutta-Fehlberg usa dos estimaciones con diferentes órdenes de error para determinar automáticamente el tamaño de paso apropiado.
Runge Kutta Fehlberg
- 1. Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales
- 2. • Error local O(h4) y error global O(h5) • 4 evaluaciones funcionales por paso • Dada las evaluaciones funcionales el tamaño de paso podría ser más grande • Las fórmulas de orden superior (5º,6º,7º) de Runge- Kutta se pueden emplear con la ventaja de determinar un tamaño de paso h apropiado
- 3. • Una forma de determinar si los valores de Runge-Kutta son suficientemente precisos es recalcular los valores al final de cada intervalo dividiendo en dos el tamaño de paso. • Si sólo cambia ligeramente el valor de yn+1, quiere decir que es una buena aproximación a la solución, sino el valor de h debe dividirse otra vez, hasta que el resultado sea satisfactorio.
- 4. • El cambio de paso es una técnica muy cara computacionalmente. • Otra opción consiste en utilizar dos métodos de Runge-Kutta de orden diferente, uno de cuarto y el otro de quinto, para cambiar de (xn, yn) a (xn+1, yn+1) . • Este método es popular por que sólo necesita seis evaluaciones de la función (en lugar de 11).
- 5. k1 hf x n , y n h k1 k2 hf x n , yn 4 4 3 3 9 k 3 hf x n h, y n k1 k2 8 32 32 12 1932 7200 7296 k4 hf x n h, y n k1 k2 k3 13 2197 2197 2197 439 3680 845 k5 hf x n h, y n k1 8k 2 k3 k4 216 513 4104 h 8 3544 1859 11 k6 hf x n , yn k 1 2k 2 k3 k4 k5 2 27 2565 4104 40
- 6. 25 1408 2197 k5 ˆ yn 1 yn k1 k3 k4 216 2565 4104 5 16 6656 28561 9 2 yn 1 yn k1 k3 k4 k5 k6 135 12825 56430 50 55 k1 128k 3 2197k 4 k5 2k 6 Error 360 4275 75240 50 55
- 7. • La base de este método es calcular dos estimaciones Runge-Kutta para el nuevo valor pero con errores de diferente orden. • En lugar de comparar estimaciones para h y h/2 se comparan aproximaciones usando las fórmulas de Runge-Kutta de 4º y 5º orden. • Como ambas fórmulas hacen uso de las mismas k's sólo se tienen que hacer seis evaluaciones de f(x,y). • El valor de h se puede incrementar o disminuir dependiendo del valor del error estimado. • Como aproximación para el nuevo yn+1se utiliza la fórmula de 5º orden.
- 8. Estimación de la Eval. Método pendiente sobre el E. Global E. Local Funcional intervalo es Euler Valor inicial O(h) O(h2) 1 Euler Mejorado Promedio de la O(h2) O(h3) 2 pendiente inicial y final Runge Kutta 4º Promedio de los O(h4) O(h5) 4 cuatro valores Runge Kutta Promedio de los seis O(h5) (h6) 6 Fehlberg valores
- 9. • Como hemos visto, el tamaño de paso juega un papel importante en la obtención de buenas aproximaciones por métodos numéricos. • Este tamaño de paso guarda una estrecha relación con el grado del método empleado. • El método de Runge-Kutta-Fehlberg emplea un parámetro q para determinar el mejor tamaño de paso: 1 n h q ~ wi wi 1 1
- 10. •
- 11. • El cálculo de q para optimizar h, se hace para evitar las pérdidas de tiempo ocasionadas por h muy pequeños, en regiones con irregularidades en la derivada de y, y para h grandes, que puedan resultar en la omisión de regiones sensibles cercanas. • En algunos casos el procedimiento del incremento de h se modifica para que se incorpore solamente para cuando sea necesario tener el error bajo control. • Para el método de R-K-F con n= 4 q se elige como: 1 4 h h q 0.84 ~ 2 wi wi ~ wi wi 1 1 1 1