Ing mets11 lagrange
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Este documento introduce el concepto de interpolación polinomial y el polinomio de Lagrange. Explica que la interpolación polinomial permite encontrar un polinomio único que pasa por una serie de puntos de datos (x, y). También describe cómo el polinomio de Lagrange permite determinar el polinomio de grado más bajo que interpola exactamente los datos, mediante la suma de términos que dependen de los puntos de datos. Finalmente, presenta un ejemplo numérico de interpolación polinomial.
Ing mets11 lagrange
- 1. Interpolación polinomial. Polinomio de Lagrange Mtra. Teresa Carrillo
- 2. Introducción Es común encontrar datos tabulados de la forma (xi, yi), para i = 0, 1, …, n, (la presión de una sustancia vs temperaturas, la población vs tiempos, distancias vs velocidades, …) Donde y = f(x) y f(x) es una función desconocida pero se requiere conocer algún valor de y para alguna x que no se encuentra en la tabla. Este procedimiento es lo que se conoce como Interpolación. TERESA CARRILLO RAMÍREZ
- 3. Interpolación Es el cálculo de valores para una función tabulada en puntos que no se encuentran en la tabla de valores. Obtiene una representación explícita de una aproximación a f(x), Se emplea para construir fórmulas de diferenciación e integración numérica y obtener formas simplificadas de funciones complejas La interpolación de polinomios sirve como introducción de algunas técnicas para suavizar curvas. TERESA CARRILLO RAMÍREZ
- 4. Interpolación polinomial › Si se tiene un conjunto de n + 1 puntos (xi , yi) para i = 0, 1, ... , n para representar a y como una función de valuación única de x, es posible encontrar un polinomio único de grado n que pasa por los puntos. › Por ejemplo, se desea determinar un polinomio de grado uno que pase por los puntos distintos (x0, y0) y (x1, y1). Este problema es el mismo que el de aproximar una función f, para la cual f(x0) = y0 y f(x1) = y1, por medio de un polinomio de primer grado. TERESA CARRILLO RAMÍREZ
- 5. Para dos puntos 𝑃 𝑥 = (𝑥 − 𝑥1) (𝑥0 − 𝑥1) 𝑦0 + (𝑥 − 𝑥0) (𝑥1 − 𝑥0) 𝑦1 Generalización del cociente de Lagrange TERESA CARRILLO RAMÍREZ nkkkkkkk nkk kn xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xL 1110 1110 , )())(())(( )())(())(( )(
- 6. Polinomio de Lagrange TERESA CARRILLO RAMÍREZ Si x0, x1, ... , xn son (n + 1) números diferentes y f es una función cuyos valores están dados en estos puntos, entonces existe un único polinomio P de grado a los más n con la propiedad de que f(xk) = P(xk) para cada k = 0, 1, ... , n. Este polinomio está dado por 𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑥0 𝐿 𝑛,0 𝑥 + 𝑓 𝑥1 𝐿 𝑛,1 𝑥 + ⋯ + 𝑓 𝑥 𝑛 𝐿 𝑛,𝑛 𝑥 = 𝑘=0 𝑛 𝑓 𝑥 𝑘 𝐿 𝑛,𝑘 𝑥
- 7. Ejemplo › La siguiente tabla presenta las temperaturas de ebullición de la acetona a diferentes presiones. Obtener una aproximación para t(7) mediante un polinomio de Lagrange cuadrático y uno cúbico TERESA CARRILLO RAMÍREZ k P (atm) t (°C) 0 1 56.5 1 2 78.6 2 5 113.0 3 10 144.5
- 8. TERESA CARRILLO RAMÍREZ 4 6 8 10 80 100 120 140 2 4 6 8 10 80 100 120 140 2 4 6 8 10 80 100 120 140 2 4 6 8 10 80 100 120 140
- 9. Consideraciones Los datos no requieren estar igualmente espaciados. No se requiere que los datos estén ordenados, aunque es recomendable. El grado del polinomio no suele ser muy grande. Es ideal si se conoce de antemano el grado del polinomio. Cambiar el grado del polinomio implica realizar todos los cálculos desde un inicio. TERESA CARRILLO RAMÍREZ
- 10. Generalidades › Los polinomios de grados elevados producen oscilaciones. › La implementación del método de Lagrange en un programa de computadora es bastante sencillo. › Un polinomio de interpolación, aunque pase por los puntos que se utilizaron en su construcción, en general no proporciona valores exactamente correctos, ya que f(x) normalmente no es un polinomio del mismo grado o no es un polinomio. › Es común su uso como parte de otros métodos, como por ejemplo, métodos para la solución de ecuaciones diferenciales. TERESA CARRILLO RAMÍREZ
- 11. Ejercicio para entregar › Interpolar para • x = 2 con un polinomio de 2º grado, • x = 3 con un polinomio de 3er grado MTRA. TERESA CARRILLO R. 11 x 1.73 1.82 2.61 5.22 8.26 f(x) 8.1 8.3 7.8 2.4 -1.7