Multipaso

Métodos Numéricos para Ecuaciones
Diferenciales

• El principio consiste en utilizar los valores
previamente calculados de y y/o y' para
construir un polinomio que aproxime la
derivada de la función y extrapolarlo para el
siguiente paso o intervalo.
• La mayoría de los métodos multipaso utilizan
valores de puntos equidistantes.
• El número de puntos anteriores que se
utilizan determinan el grado de el polinomio.

• Un método multipaso para resolver el problema de valor inicial:
es aquél cuya ecuación de diferencia para encontrar la
aproximación yi+1 puede representarse con la siguiente ecuación:
yi 1  am1 yi  am2 yi 1  ... a0 yi 1m 
hbm f xi 1 , yi 1   bm1 f xi , yi   ... b0 f xi 1m , yi 1m 
para i = m-1, m,...N-1, donde los valores iniciales y0 = 0, y1 = 1, y2 =
2, ..., ym-1 = m-1 están especificados y h = (b - a)/N
• Cuando bm = 0 el método se denomina explícito o abierto.
• Cuando bm  0 el método se denomina implícito o cerrado, ya que
yi+1 aparece en ambos lados de la ecuación

• De dos pasos y0 = 0 y1 = 1 , para i = 1,2,...,N-1

 y n  3 f n  f n 1 
h
 n 1  y ' ' '  n h 2
y i 1 5
2 2
• De tres pasos y0 = 0 y1 = 1 y2 = 2

 y n  23 f n  16 f n 1  5 f n  2 
h
y n 1
12

 y  n h
3 iV
 n 1 3
para i = 2,3,...,N-1
8

• 4 pasos, y0= 0 y1=  1 y2= 2 y3= 3

55 f n  59 f n1  37 f n2  9 f n3  y  n h 4
h 251 V
y n 1  y n   n1 
24 720

• 5 pasos y0 = 0 y1 = 1 y2 = 2 y3 = 3 y4 = 4
y n 1  yn 
h
1901 f n  2774 f n1  2616 f n2  1274 f n3  251 f n4 
720

y  n h 5
95 Vi
 n 1 
288

• De dos pasos: y0 = 0 y1 = 1
 y n  5 f n1  8 f n  f n1  y  n h 3
h 1 iV
y n1  n 1 
12 24

• De tres pasos: y0 = 0 y1 = 1 y2 = 2
y n 1  yn 
h
9 f n1  19 f n  5 f n1  f n2 
24

y  n h 4
19 V
 n 1 
720

• De cuatro pasos: y0 = 0 y1 = 1 y2 = 2 y3 = 3
y n 1  yn 
h
251 f n1  646 f n  264 f n1  106 f n2  19 f n3 
720

y  n h 5
3 Vi
 n 1 
60

• Dado a que los coeficientes de los términos que
involucran a f son más pequeños para los métodos
implícitos éstos son más estables y tienen errores de
redondeo menores.
• Generalmente, los métodos implícitos dan mejores
resultados, sin embargo, requieren convertir el
método, algebraicamente a una representación
explícita para yn+1, y esto puede ser difícil.
• En la práctica los modelos multipaso implícitos se
usan para mejorar las aproximaciones obtenidas por
los métodos explícitos. A la combinación de una
técnica explícita con una implícita se le llama método
predictor-corrector.

• Método predictor de Milne
 h2 f i  f i 1  2 f i 2   i 1  h y  i 
4 14 4 V
yi 1  yi 3
3 15

• Método corrector de Simpson (1/3)
 yi 1   f i 1  4 f i  f i 1   i 1   h y  i 
h 1 4 V
yi 1
3 90

• A pesar de que el error de truncamiento local es
pequeño, no es muy común su uso porque es propenso
a presentar problemas de estabilidad.
• El método de Milne obtienen la primera aproximación
de yi+1 extrapolando valores para la derivada. Este
método difiere de las formulas de Adams en que la
integración se hace en más de un intervalo.
• Para la deducción de la fórmula se emplean fórmulas
cuadráticas de integración. La fórmula de integración
que se emplea para la deducción de la corrección es la
regla de Simpson 1/3.

• Cuando los valores obtenidos por el predictor y el corrector
son iguales en un número considerable de decimales se
pueden ahorrar recursos computacionales incrementando h.
• Cuando la diferencia entre predictor y corrector excede el
criterio de error se deberá disminuir el tamaño de paso.
• La eficiencia de los métodos Adams-Milne se considera al
doble de los métodos Runge-Kutta, debido a que sólo se
requieren dos evaluaciones de la función por paso.
• Todos tienen términos de error similares, sin embargo
cambiar h con los métodos multipaso es más laborioso.

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