Tema7b ud3

Esquema inicial

1. Distribución Uniforme

2. Distribución Normal

3. Distribución Exponencial

4. Distribución Erlang

5. Distribución Gamma

6. Distribución Beta

Probabilidades y Estadística I

3. Distribución Exponencial (1/3)

GÉNESIS X ≡ “nº de ocurrencias por unidad de tiempo u”∼ P(λ)

T ≡ “tiempo que transcurre hasta la primera ocurrencia (en la unidad u)”

La probabilidad P [T > t0 ] equivale a que a la probabilidad de que en el intervalo ( 0,t0 ) haya
ocurrido 0 sucesos de Poisson, la cual se puede calcular mediante una nueva v.a X '  P(λt0 )
como P [ X ' = 0] .

P [T > t0 ] = P [ X ' = 0] = e − λt0

F (t ) =P [T ≤ t ] = − P [T > t ] = − e − λt
1 1



FICHA TÉCNICA X  Exp (λ )

a) Función de probabilidad = λ e− λ x x ≥ 0
f ( x)

b) Función de distribución F ( x) =λ x x ≥ 0
1 − e−

1
c) Esperanza E[X ] =
1 d) Varianza Var [ X ] =
λ λ2


EJEMPLO

Si las llamadas que llegan a una centralita siguen una distribución de Poisson
de media 3 llamadas / 5 minutos, calcular la probabilidad de que transcurran
5 minutos sin ninguna llamada.

T ≡ “tiempo (en minutos) que transcurre hasta la primera llamada”∼ Exp(3/5)

P [T ≥ 5] = − FT (5) = −3/ 5×5 = −3
1 e e


4. Distribución Erlang (1/3)

GÉNESIS X ≡ “nº de ocurrencias por unidad de tiempo u”∼ P(λ)

T ≡ “tiempo que transcurre hasta la ocurrencia k-ésima (en la unidad u)”

La probabilidad P [T > t0 ] equivale a que a la probabilidad de que en el intervalo ( 0,t0 ) haya
ocurrido k-1 sucesos de Poisson, la cual se puede calcular mediante una nueva v.a X '  P (λt0 )
como P [ X ' ≤ k − 1] .

 ( λt0 )1 ( λt0 )2 ( λ t0 ) 
k −1

P [T > t0 ] P [ X ' ≤ k −= e − λt0
= 1] 1 + + + .... + 

 1! 2! (k − 1)!  

 ( λt )1 ( λt )2 ( λt ) 
k −1

F (t ) =P [T ≤ t ] = − P [T > t ] = − e − λt 1 +
1 1 + + .... + 

 1! 2! (k − 1)! 



FICHA TÉCNICA X  Erlang (k , λ )

λ k x k −1e − λ x
=
a) Función de probabilidad f ( x) x≥0
(k − 1)!

( λt )
i
k −1

b) Función de distribución 1 − e−λ x
F ( x) = ∑i =0 i!
x≥0

k
E[X ] =
k
c) Esperanza d) Varianza Var [ X ] =
λ λ2



EJEMPLO

En el ejemplo de la centralita, ¿cuál es la probabilidad de que el
tiempo que transcurre hasta recibir 2 llamadas enla centralita sea
superior a 5 minutos?

T ≡ “tiempo (en minutos) que transcurre hasta la segunda llamada”∼ Erlang(2,3/5)

3 / 5× 5
P [T ≥ 5] = − FT (5) = −3/ 5×5 + e −3
1 e = e −3 =
2 0.099
1!


5. Distribución Gamma (1/4)

GÉNESIS

Generalización
X  Erlang (k , λ ) X  γ (k , λ )
k > 0, k ∈ R

λ k x k −1e − λ x Generalización λ k x k −1e − λ x
f ( x) x≥0 =f ( x) x≥0
(k − 1)! Γ(k )



FICHA TÉCNICA X  γ (k , λ )

λ k x k −1e − λ x
=
a) Función de probabilidad f ( x) x≥0
Γ(k )

λk x
=
b) Función de distribución F ( x)
Γ(k ) 0∫ t k −1e − λt dt x ≥ 0

k
E[X ] =
k
c) Esperanza d) Varianza Var [ X ] =
λ λ2



GRÁFICAS



FUNCIÓN GAMMA

∞

∫x
Γ(k ) =k −1e − x dx
0
Siendo k un entero positivo

a) Γ(1) =
1
b) Γ(k ) = (k − 1) Γ(k − 1)
c) Γ(k ) =( k − 1) ! Siendo k un entero positivo

∞
Γ(k )
∫x
k −1 − λ x
d) e dx =
0
λk


5. Distribución Beta (1/4)

GÉNESIS



FICHA TÉCNICA X  Beta ( p, q )

a) Función de probabilidad

b) Función de distribución Definición teórica

c) Esperanza d) Varianza



GRÁFICAS



FUNCIÓN BETA


Tema7b ud3

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Destacado (20)

Similar a Tema7b ud3 (20)

Más de Jacinto González Pachón (20)

Tema7b ud3