Trigonometria03
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La ecuación 1cos =+ ααsen tiene dos incógnitas pero se sabe que 1cos22 =+ ααsen. Despejando seno y sustituyendo en la ecuación original se obtiene αα cos1cos1 2 =−−±. Al elevar al cuadrado y aplicar fórmulas trigonométricas se deduce que o bien 0cos =α o bien 01cos =−α. Analizando las soluciones en el intervalo dado, la única solución válida es 0cos =α, es decir, α=0 o α=π.
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- 1. Resuelve la siguiente ecuación en )[ π2,0 1cos =+ ααsen En realidad esta ecuación tiene dos incógnitas (seno y coseno), pero recordemos que para cualquier ángulo se verifica que: . (Aquí está la otra ecuación)1cos22 =+ ααsen Despejando uno cualquiera de ellos tenemos que: αα 2 cos1−±=sen , y ahora sustituimos en la ecuación que nos han dado: 1coscos1 2 =+−± αα Para resolver esta ecuación, dejaremos sola la raíz y pasaremos el resto de sumandos al segundo miembro: αα cos1cos1 2 −=−± Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad: (observa que el ± desaparece al elevar al cuadrado) ααααα cos2cos1cos1)cos1(cos1 2222 −+=−⇔−=− 0coscos0cos2cos2 22 =−⇔=− αααα Esta ecuación podemos resolverla aplicando la fórmula de la ecuación de 2º grado en coseno o bien sacando factor común el cos α, así: 0)1(coscos0coscos2 =−⇔=− αααα , de donde se deduce que O bien 0cos =α o bien 01cos =−α . Analizamos los dos casos en el intervalo )[ π2,0 2 3 2 0cos π α π αα ==⇔= o 01cos01cos =⇔=⇔=− ααα Comprobamos las soluciones: 1100cos0;0 =+=+= senα 101 2 cos 2 ; 2 =+=+= πππ α sen 1101 2 3 cos 2 3 ; 2 3 ≠−=+−=+= πππ α sen Esta solución no es válida. Inicio del problema L.Roche Ramón, 2006 Pág. 1 de 1