8 distribuição qui-quadrado
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O documento descreve como construir intervalos de confiança e testes de hipóteses para a variância de populações normais usando estatísticas qui-quadrado. Explica como a estatística qui-quadrado é usada para determinar a distribuição da variância amostral e como isso leva à construção de intervalos de confiança e testes para variâncias populacionais conhecidas e desconhecidas.
8 distribuição qui-quadrado
- 1. Distribuição de (Qui-Quadrado) IC e TH para a Variância de Populações Normais A Estatística = )2 = , tem distribuição Qui-Quadrada com grau de liberdade. :N(0,1) Do fato de que ( ) = 1 ( )= )= ( )= E ( )=2 Como a variável resulta da soma de variáveis independentes e igualmente distribuídas → tende a distribuição normal com o aumento dos graus de liberdade. Outra propriedade importante das distribuições é sua aditividade. Essa propriedade significa que a soma de duas
- 2. variáveis independentes com distribuições com e graus de liberdade terá também distribuição com + graus de liberdade (decorre diretamente da definição). O conhecimento das distribuições nos leva à determinação da distribuição amostral da estatística Pode-se demonstrar que a estatística = , Obtida por substituição de por na definição da variável tem distribuição com n-1 graus de liberdade. Logo: = = . = → = .
- 3. ( )= . ( )= . = Interpolação no uso da Tabela Para α% Exemplo: Determinar tal que P ( ≥ ) = 0,40 Para Exemplos: = 31 determinar ≥ = 0,95 2) = 50 determinar = 0,95 IC e TH para a variância de uma População Normal com Média Conhecida Retira-se uma amostra de tamanho n e calcula-se = pois sendo a
- 4. média conhecida este resultado é mais preciso do que se usasse . = = ↓ = O IC para ao nível α%: P( ) = 1- α P( )= e P( ≥ )= = e = P( ) = 1- α → P( ) = 1- α Como = temos: P( ) = 1- α
- 5. Exemplo : Sabe-se que a vida útil de uma certa lâmpada tem distribuição normal, com média de 500 horas e variância desconhecida. Uma amostra de 25 lâmpadas forneceu = 62500h. Construir um IC para ao nível de 5%. Teste de Hipóteses : : = : ≠ ou > ou < = ou = Exemplo : De uma população normal com média 300, levantou-se uma amostra de 26 elementos, obtendo-se : = 129000
- 6. Ao nível de 5%, testar as hipóteses : : = : < 0 IC e TH para a da População Normal com Desconhecida Distribuição de pode ser demonstrada como uma com (n-1) graus de liberdade. = como = - )2 → - )2 = ( → =( → =
- 7. IC para P{ } = 1- α ou P{ } Exemplo: Sabe-se que a vida útil de uma certa válvula tem distribuição normal. Uma amostra de 25 válvulas resultou = 500h e = 50h. Construir um IC para ao nível de 2%. TH para : = : ≠ ou > ou < = ou =
- 8. Exemplo: Avaliou-se em 240kg o desvio padrão das tensões de ruptura de certos cabos produzidos por uma fábrica. Depois de ter sido introduzida uma mudança no processo de fabricação destes cabos, as tensões de ruptura de uma amostra de 8 cabos apresentaram o desvio padrão de 300kg. Investigar a significância do aumento aparente da variância, ao nível de 5%. Problemas 1. De uma população normal com média = 20, levantou-se uma amostra de 24 elementos, obtendo-se = 423,42. Ao nível de 10%, construir um IC para a variância populacional.
- 9. 2. De uma população normal X com média 1000, levanta-se uma amostra de 15 elementos, obtendo-se = 200. Ao nível de 1%, testar. : = : > 3. De uma população normal levantou- se uma amostra de 10 observações, obtendo os seguintes valores: 10, 8, 15, 11, 13, 19, 21, 13, 15 e 14. Sabendo-se que a população tem média = 14, construir um IC para a populacional ao nível de 5% e, ao mesmo nível, testar : : = : ≠
- 10. 4. A variância de 10 lâmpadas de uma amostra é de 120 horas. Construir um IC para a variância da população das lâmpadas ao nível de 90%. 5. Observou-se durante vários anos a produção mensal de uma indústria, verificando-se que essa produção se distribuía normalmente com variância 300. Foi adotada uma nova técnica e, durante 24 meses, verificou-se a produção mensal, constatando-se que = 10000 e = 400. Há razões para se acreditar que a qualidade da produção piorou, ao nível de 10%?
- 11. 6. De uma população normal com média desconhecida, levantou-se uma amostra casual de 21 elementos: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 a)ao nível de 10%, construir um IC para ; b)e, ao mesmo nível, testar se a variância populacional é menor que 4.