Add m5-2-chapter2
- 1. บทที่ 2 ทฤษฎีกราฟเบื้องตน (18 ชั่วโมง) กราฟเปนแบบจําลองทางคณิตศาสตร ซึ่งใชสําหรับจําลองปญหาบางอยางดวย แผนภาพที่ประกอบดวยจุด และเสนที่เชื่อมระหวางจุด 2 จุด ตัวอยางเชน แผนภาพที่แสดง เสนทางของรถไฟฟา BTS แผนภาพที่แสดงถนนที่เชื่อมเมืองตาง ๆ แผนภาพแสดงโครงสราง ทางเคมีของสารประกอบไฮโดรคารบอน วงจรไฟฟา เปนตน วิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับสมบัติตาง ๆ ของกราฟ เรียกวา ทฤษฎีกราฟ(Graph Theory) ปจจุบันทฤษฎีกราฟมีการประยุกตใชอยาง กวางขวางในศาสตรแขนงตาง ๆ เชน วิทยาศาสตร สังคมศึกษา เศรษฐศาสตร เปนตน แตสําหรับในบทเรียนนี้จะกลาวถึงเนื้อหาเพียงบางสวนซึ่งอยูในทฤษฎีกราฟเทานั้นซึ่งจะ ประกอบดวย หัวขอตาง ๆ ดังนี้ กราฟ ดีกรีของจุดยอด แนวเดิน กราฟออยเลอร และการ ประยุกตของกราฟ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. เขียนกราฟเมื่อกําหนดจุดยอด(vertex) และเสนเชื่อม (edge) ให และระบุไดวากราฟ ที่กําหนดใหเปนกราฟออยเลอรหรือไม 2. นําความรูเรื่องกราฟไปใชแกปญหาบางประการได ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้น ทางดานความรู ดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/ กระบวนการทางคณิตศาสตรดวยการสอดแทรกกิจกรรมหรือโจทยที่จะสงเสริมใหผูเรียนเกิด ทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปน อันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การให เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรู ตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอื่น และการคิดริเริ่มสรางสรรค นอกจากนั้นกิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริมใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอ วิชาคณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง
- 2. 75 ในการเรียนการสอนแตละสาระการเรียนรูของวิชาคณิตศาสตรนั้น ผูสอนควรแสดง หรือยกตัวอยางใหผูเรียนเห็นถึงประโยชนและการนําคณิตศาสตรไปใช เพื่อใหผูเรียน ตระหนักถึงคุณคาอันเกิดจากการศึกษาวิชาคณิตศาสตร ซึ่งจะนําไปสูเจตคติที่ดีตอวิชา คณิตศาสตร ในการจัดกิจกรรมการเรียนรูสําหรับบทเรียนนี้ ผูสอนควรใหผูเรียนไดทดลอง และ คนควาหาขอสรุปดวยตนเอง ขอเสนอแนะ 1. เรื่องกราฟเปนเนื้อหาใหมซึ่งผูเรียนไมเคยเรียนมากอน ดังนั้นในการเริ่มตนผูสอน ควรกลาวถึงประวัติความเปนมาใหผูเรียนทราบ ดังนี้ ทฤษฎีกราฟ เกิดขึ้นจากความพยายามในการตอบปญหาตาง ๆ ปญหาหนึ่งที่รูจัก กันดีก็คือปญหาสะพานเคอนิกสเบอรก “Konigsberg Bridge Problem” ปญหามีอยูวามีเกาะ 2 เกาะ อยูกลางแมน้ําพรีเกล(Pregel) ในเมืองเคอนิกสเบอรกและมีสะพาน 7 สะพาน เชื่อม ระหวางเกาะกับแผนดิน ดังรูป ชาวเมืองตางพากันสงสัยวาจะสามารถเดินขามสะพานทั้ง7สะพานแตละสะพานเพียงครั้งเดียว โดยไมซ้ํากันและกลับมาที่จุดเริ่มตนใหมไดหรือไม นักคณิตศาสตรหลายคนไดพยายามแกปญหานี้ โดยทดลองจนไดคําตอบวาเปนไปไมได แตไมมีใครสามารถแสดงขอพิสูจนได จนกระทั่งปค.ศ.1736 มีนักคณิตศาสตรชาวสวิสเซอรแลนด ชื่อ เลออนฮารด ออยเลอร(Leonhard Euler) ไดไขปริศนานี้โดยแปลงปญหาดังกลาวเปน กราฟโดยใหพื้นดินแทนจุดยอด และสะพานแทนดวยเสนเชื่อมดังรูป
- 3. 76 ออยเลอรไดตอบปญหานี้วา เปนไปไมไดที่จะหาเสนทางดังกลาวได ผูสอนใหผูเรียนลองหาคําตอบของปญหานี้ โดยใชคําถามนําเพื่อใหผูเรียนสามารถหา คําตอบได เชน 1) จากรูปกราฟที่ใชแทนปญหาสะพานเคอนิกสเบอรก ผูเรียนสามารถใชดินสอ เขียนกราฟดังกลาวโดยมีเงื่อนไขวาตองไมลากซ้ําเสนที่ลากแลว และกลับมาที่จุดเริ่มตนดังเดิม โดยไมยกดินสอ ไดหรือไม 2) คําตอบในขอ 1 สามารถนําผลของคําตอบมาตอบปญหาสะพานเคอนิกสเบอรก ไดหรือไม จากนั้นจึงอธิบายแนวทางการตอบปญหาของออยเลอร คือการดูจากกราฟขางตนจะ พบวาเมื่อเริ่มตนเดินจากจุดยอดใด ๆ จะตองเดินผานทุกเสนเชื่อมเพียงครั้งเดียว แลวกลับมาที่ จุดเริ่มตนนั้นเปนไปไมได เนื่องจากไมวาจะเริ่มตนออกจากจุดยอดใดก็ตามเพื่อใหกลับมายัง จุดเริ่มตนใหม จะตองมีการเดินเขาจุดยอดนั้นเสมอโดยเสนเชื่อมที่ตางกัน ดังนั้นจํานวนเสน เชื่อมที่ออกจากจุดยอดแตละจุดในกราฟตองเปนจํานวนคู ซึ่งจากกราฟขางตนจะพบวาไมมีจุด ยอดใดเลยที่มีเสนเชื่อมออกจากจุดเปนจํานวนคู เมื่อผูเรียนทราบประวัติความเปนมาของทฤษฎีกราฟแลว ผูสอนจึงเริ่มตนตามลําดับ หัวขอตางๆ เนื่องจากทฤษฎีกราฟเบื้องตนมีคําศัพทที่ผูเรียนตองรูจักเพิ่มขึ้นมากมายผูสอนจึงควร ยกตัวอยางใหผูเรียนทราบถึงความหมายของคําศัพทแตละคํา 2. เสนเชื่อมe แทนดวยสัญลักษณ AB หรือBA หมายถึง เสนที่เชื่อมระหวางจุดยอด A และ จุดยอด B 3. ในการเขียนแผนภาพของกราฟนั้น จะกําหนดตําแหนงของจุดยอด ณ ตําแหนงใด ก็ได และจะลากเสนเชื่อมของกราฟเปนเสนตรงหรือเสนโคงที่มีความยาวเปนเทาใดก็ได เชน กําหนด เสนเชื่อม ab ดังรูป (1) เราอาจเขียนเสนเชื่อม ab เปนเสนโคง ดังรูป (2) ได a b a b รูป (1) รูป (2)
- 4. 77 เสนเชื่อมสองเสนของกราฟ อาจลากตัดกันไดโดยที่จุดตัดของเสนเชื่อมทั้งสองไมถือ วาเปนจุดยอดของกราฟ เชน กําหนดกราฟ ดังรูป สามารถเขียนแผนภาพของกราฟไดหลายแบบ เชน กําหนดกราฟ G เมื่อ V(G) = {a, b, c} E(G) = {ab, ac, bc} สามารถเขียน แผนภาพของกราฟ G ไดดังรูป (1), (2) หรือ (3) 4. ผูสอนใหขอตกลงเกี่ยวกับดีกรีของจุดยอดที่มีวงวน และดีกรีของจุดยอดที่ไมมีเสนเชื่อม ดังนี้ 1) เสนเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด a ดังรูป ใหถือวาเปน 1 เสน จะไดวาดีกรีของจุดยอด a เทากับ 2 ดังนั้นวงวนแตละวงวนจะมีดีกรี เทากับ 2 2) จุดยอดที่ไมมีเสนเชื่อม ใหถือวา ดีกรีของจุดยอดเปนศูนย 5. ผูสอนควรยกตัวอยางหลาย ๆ ตัวอยางเพื่อใหผูเรียนหาดีกรีของจุดยอดแตละจุด ของกราฟที่กําหนดใหได อาจยกตัวอยางโดยกําหนดดีกรีของจุดยอดแตละจุดของกราฟ แลว ใหผูเรียนเขียนแผนภาพของกราฟ เชน จงเขียนแผนภาพของกราฟตอไปนี้ 1) กราฟ G1 เมื่อ V(G1) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7} และ deg v1 = 7 deg v2 = 6 deg v3 = 3 deg v4 = 2 deg v5 = 2 deg v6 = 0 deg v7 = 0 a bc d ไมเปนจุดยอดของกราฟ a a b c รูป (1) a b c รูป (2) a b c รูป (3)
- 5. 78 2) กราฟ G2 เมื่อ V(G2) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} และ deg v1 = 5 deg v2 = 4 deg v3 = 3 deg v4 = 3 deg v5 = 4 deg v6 = 3 จะไดตัวอยางแผนภาพของกราฟ G1 และ G2 ดังรูป 6. ผูสอนอาจยกตัวอยางกราฟเพื่อใหผูเรียนหาขอสรุปใหไดวา “ผลรวมของดีกรีของ จุดยอดทุกจุดในกราฟเทากับสองเทาของจํานวนเสนเชื่อมในกราฟ” ดังนี้ จงพิจารณาผลบวกของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟวามีความสัมพันธกับจํานวนเสน เชื่อมในกราฟอยางไร เมื่อกําหนดกราฟ G1, G2, G3 และ G4 ดังรูป จากกราฟขางตนสามารถเขียนตารางแสดงความสัมพันธของผลบวกของดีกรีของ จุดยอดทุกจุดในกราฟ และจํานวนเสนเชื่อมในกราฟ ไดดังนี้ กราฟ จํานวน เสนเชื่อม ผลบวกของดีกรีของจุดยอดทุกจุด ของกราฟ จํานวน จุดยอดคี่ จํานวน จุดยอดคู G1 0 0 0 1 G2 1 2 2 0 G3 8 16 2 3 G4 10 20 4 2 G1 : a a bG2 : G3 : a G4 : a b c d e f b c d e v1 v2 v3 v4 v5 v6 G2 :v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 G1 :
- 6. 79 ผูสอนอาจตั้งคําถามดังนี้ 1) จากตารางขางตนสามารถบอกไดหรือไมวา ผลบวกของดีกรีของจุดยอดทุกจุด ของกราฟเทากับสองเทาของจํานวนเสนเชื่อม 2) จากตารางขางตนสามารถบอกไดหรือไมวาจุดยอดคี่ของกราฟตองมีเปนจํานวนคู ผูสอนใหทฤษฎีบท 1 และทฤษฎีบท 2 พรอมพิสูจน และควรเนนใหผูเรียนเขาใจใน ทฤษฎีบท 1 และ ทฤษฎีบท 2 เพราะทฤษฎีบททั้งสองสามารถนําไปใชในการตัดสินใจเพื่อแก ปญหาบางปญหาในชีวิตประจําวันได เชน ตัวอยางที่ 1 ผลการสํารวจขอมูลการใชโทรศัพทมือถือของพนักงานในบริษัทแหงหนึ่งซึ่งมี พนักงาน 20 คน ในเดือนที่ผานมาพบวา มีพนักงาน 15 คน แตละคนคุยโทรศัพท มือถือกับเพื่อนในบริษัท 5 ครั้ง มีพนักงาน 5 คน แตละคนคุยโทรศัพทมือถือกับ เพื่อนในบริษัท 3 ครั้ง จงหาจํานวนการใชโทรศัพทมือถือของพนักงานบริษัทนี้ วิธีทํา แปลงปญหาเปนกราฟโดยให จุดยอด แทนพนักงาน เสนเชื่อม แทนการคุย โทรศัพทมือถือของพนักงาน จะไดวา กราฟมีจุดยอดที่มีดีกรีเทากับ 5 มีจํานวน 15 จุด และจุดยอดที่มีดีกรี เทากับ 3 มีจํานวน5จุด จํานวนการใชโทรศัพทมือถือของพนักงานในบริษัทก็คือ จํานวนเสนทั้งหมดของกราฟ สมมติวากราฟมีเสนเชื่อม n เสน จากทฤษฎีบท 1 ผลรวมของดีกรีของจุดยอด ทุกจุดในกราฟเทากับสองเทาของจํานวนเสนเชื่อมในกราฟ ดังนั้น 5(15) + 3(5) = 2n 75 + 15 = 2n n = 45 ดังนั้นจํานวนการใชโทรศัพทมือถือของพนักงานบริษัทแหงนี้ คือ 45 ครั้ง ตัวอยางที่ 2 จังหวัดหนึ่งมีอําเภออยู 17 อําเภอ ตองการสรางถนนเชื่อมอําเภอเหลานี้ โดย ใหแตละอําเภอมีถนนเชื่อมกับอําเภออื่นอีก 3 สายพอดี จงหาวาสามารถสรางถนนตาม เงื่อนไขดังกลาวไดหรือไม วิธีทํา แปลงปญหาเปนกราฟ โดยให จุดยอด แทน อําเภอ เสนเชื่อม แทน ถนน
- 7. 80 กราฟมีจุดยอด 17 จุด และแตละจุดยอดมีดีกรีเทากับ 3 จะไดวา กราฟมีจุดยอดคี่ จํานวน 17 จุด ขัดแยงกับทฤษฎีบท2 นั่นคือการสรางถนนตามเงื่อนไขดังกลาวไมสามารถแปลงเปน กราฟได ดังนั้นการสรางถนนตามเงื่อนไขโจทยจึงเปนไปไมได หมายเหตุ ในการสอนตัวอยางที่ 1 และ 2 ผูสอนควรใชคําถามนําเพื่อใหผูเรียนสามารถหา คําตอบไดดวยตนเอง โดยอาจตั้งคําถามดังนี้ 1) ปญหาของโจทยสามารถใชความรูเกี่ยวกับกราฟแกปญหาไดหรือไม 2) จากขอ 1 ถาได จะกําหนดใหสิ่งใดแทนจุดยอด สิ่งใดแทนเสนเชื่อม และ สิ่งใดคือดีกรีของจุดยอด 3) คําตอบของปญหาคือสวนใดในกราฟ กิจกรรมเสนอแนะ ดีกรีของจุดยอด เมื่อผูสอนใหทฤษฎีบท1 และทฤษฎีบท2 พรอมพิสูจนแลวอาจยกตัวอยางเหตุการณ เพื่อใหผูเรียนเขาใจทฤษฎีบท และสามารถนําทฤษฎีบทไปใชแกปญหาบางปญหาได เชน ตัวอยางที่ 1 อาจารยวันดีใหผูเรียนสงตัวแทนออกมาหนาชั้นเรียน 2 กลุมๆ ละ 5 คน แลว ใหผูเรียนภายในกลุมจับมือกัน ดังนี้ กลุมที่ 1 นิตยา นิพนธ นิภา นิมิต และ นิยม แตละคนจับมือกับเพื่อนในกลุม เปนจํานวน 4, 3, 2, 2 และ 1 ครั้ง ตามลําดับ กลุมที่ 2 อรจิต อรทัย อรนุช อรพรรณ และ อรพิน แตละคนจับมือกับเพื่อน ในกลุมเปนจํานวน 4, 3, 2, 1 และ 1 ครั้ง ตามลําดับ จงพิจารณาวาผูเรียนทั้งสองกลุมสามารถทําตามคําบอกของอาจารยวันดีไดหรือไม วิธีทํา พิจารณากลุมที่ 1 สมมติวาแปลงปญหาขางตนเปนกราฟได โดยให จุดยอด แทน ผูเรียน เสนเชื่อม แทน การจับมือของผูเรียนในกลุม กราฟมีจุดยอด 5 จุด และดีกรีของจุดยอด 4, 3, 2, 2 และ 1 จะไดวากราฟมีจุดยอดคี่เปนจํานวนคู สอดคลองกับทฤษฎีบท 2 นั่นคือ สามารถ
- 8. 81 แปลงปญหาขางตนเปนกราฟได ดังนั้น ผูเรียนกลุมที่ 1 สามารถทําตามคําบอกของอาจารยวันดีได พิจารณากลุมที่ 2 สมมติวาแปลงปญหาขางตนเปนกราฟได โดยให จุดยอด แทน ผูเรียน เสนเชื่อม แทน การจับมือของผูเรียนในกลุม กราฟมีจุดยอด 5 จุด และดีกรีของจุดยอดเทากับ 4, 3, 2, 1 และ 1 จะไดวากราฟมีจุดยอดคี่เปนจํานวนคี่ ขัดแยงกับทฤษฎีบท 2 นั่นคือ ไมสามารถ แปลงปญหาขางตนเปนกราฟได ดังนั้น ผูเรียนกลุมที่ 2 ไมสามารถทําตามคําบอกของอาจารยวันดีได จากคําตอบขางตนจงหาจํานวนครั้งของการจับมือกันในกลุมของผูเรียนกลุมที่ 1 วิธีทํา จํานวนครั้งของการจับมือกันในกลุม คือ จํานวนเสนในกราฟ สมมติวากราฟมีเสนเชื่อม n เสน จากทฤษฎีบท1 ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ เทากับสองเทาของจํานวน เสนเชื่อมในกราฟ ดังนั้น 4 + 3 + 2 + 2 + 1 = 2n 12 = 2n n = 6 ดังนั้น ผูเรียนกลุมที่ 1 มีการจับมือกันในกลุม 6 ครั้ง ผูสอนอาจนําตัวอยางขางตนมาจัดเปนกิจกรรมหนาชั้นเรียนแลวใหผูเรียนทดลองให เห็นจริงดวยตนเอง ตัวอยางที่ 2 การแขงขันฟุตบอลมีทีมสมัครแขงขัน 10 ทีม ในการจัดแขงขันครั้งนี้จะจัดการ แขงขันเปนแบบพบกันหมด จงหาจํานวนครั้งที่จัดการแขงขัน วิธีทํา แปลงปญหาขางตนเปนกราฟ โดยให จุดยอดแทน ทีมฟุตบอล เสนเชื่อมแทนการแขงขัน ทีมฟุตบอล 10 ทีม จัดแขงขันเปนแบบพบกันหมด แสดงวาแตละทีมตองแขงขันกับ ทีมอื่น ๆ อีก 9 ทีม นั่นคือแตละจุดยอดของกราฟมีดีกรีเทากับ 9 จํานวนครั้งที่จัดการแขงขัน คือ จํานวนเสนเชื่อมในกราฟ สมมติวากราฟมีเสนเชื่อม n เสน
- 9. 82 ดังนั้น 9(10) = 2n 90 = 2n n = 45 ดังนั้น ตองจัดการแขงขันฟุตบอล 45 ครั้ง หรือ 45 คู กราฟแทนปญหา แสดงดังรูป ตัวอยางขางตนผูสอนอาจใหผูเรียนหาคําตอบของปญหาโดยการนับจํานวนเสนเชื่อม ในกราฟจากการเขียนแผนภาพของกราฟกอน แลวจึงนําทฤษฎีบท1มาใชแกปญหา เพื่อให ผูเรียนมองเห็นคุณคาของวิชาคณิตศาสตร แนวเดิน ผูสอนนําเขาสูบทเรียนโดยนําสนทนากับผูเรียนเรื่องเสนทางการเดินทางจากบานมา โรงเรียน แลวยกตัวอยางเหตุการณในชีวิตประจําวัน เชน ในอําเภอหนึ่งมีตําบลอยู5ตําบล ไดแกตําบลA, B, C, Dและ E ระหวางตําบลตาง ๆ จะมีถนนเชื่อมระหวางตําบล ซึ่งแสดงแผนผังดวยกราฟโดยให จุดยอด แทน ตําบล เสนเชื่อม แทน ถนน ดังรูป กําหนดเสนทาง ดังนี้ เสนทางที่ 1 ตําบล A ตําบล B ตําบล A ตําบล D ตําบล C ตําบล D ตําบล C เสนทางที่ 2 ตําบล A ตําบล D ตําบล B ทีมที่ 1 ทีมที่ 2 ทีมที่ 3 ทีมที่ 4 ทีมที่ 5ทีมที่ 6 ทีมที่ 7 ทีมที่ 8 ทีมที่ 9 ทีมที่ 10 สาย 1 สาย 1 สาย 2 สาย 5 สาย 5 สาย 5 สาย 2 สาย 3 A CB D E
- 10. 83 ผูสอนบอกผูเรียนวาเสนทางดังกลาวเราสามารถเขียนใหอยูในรูปลําดับของจุดยอด และเสนเชื่อมสลับกันได ดังนี้ เสนทางที่ 1 มีลําดับคือ A, AB, B, BA, A, AD, D, DC, C, CD, D, DC, C เสนทางที่ 2 มีลําดับคือ A, AD, D, DB, B ผูสอนใหบทนิยามของแนวเดิน ซึ่งนักเรียนควรบอกไดวาเสนทางที่1และ2 เปนแนว เดินในกราฟ ผูสอนควรชี้ใหผูเรียนเห็นวาแนวเดินคือลําดับของจุดยอดและเสนเชื่อมสลับกัน และเสนเชื่อมแตละเสนจะเกิดกับจุดยอดที่อยูกอนหนาและจุดยอดที่อยูหลังเสนเชื่อมนั้น ซึ่ง จุดยอด และเสนเชื่อมในลําดับอาจเกิดขึ้นซ้ํากันได กราฟเชื่อมโยง ผูสอนนําเขาสูบทเรียนโดยทบทวนบทนิยามของแนวเดิน แลวยกตัวอยางเหตุการณ เชน ตัวอยางที่ 1 กําหนดแผนผังของสวนสาธารณะ 2 แหง ดังรูป จงพิจารณาวาสวนสาธารณะ แหงใดสามารถเดินเที่ยวชมบริเวณสวนสาธารณะไดทุกบริเวณ ผูสอนควรใหผูเรียนบอกเหตุผลประกอบคําตอบ ดังนี้ สวนสาธารณะแหงที่1 สามารถเดินเที่ยวชมบริเวณสวนสาธารณะไดทุกบริเวณ เพราะ สามารถเดินจากฝง A ไปเกาะ B ได สามารถเดินจากฝง A ไปเกาะ C ได สามารถเดินจากฝง A ไปฝง D ได สามารถเดินจากเกาะ B ไปเกาะ C ได สามารถเดินจากเกาะ B ไปฝง D ได สามารถเดินจากเกาะ C ไปฝง D ได สวนสาธารณะแหงที่ 2 ไมสามารถเดินเที่ยวชมบริเวณสวนธารณะไดทุกบริเวณเพราะ สามารถเดินจากฝง A ไปเกาะ B ได ไมสามารถเดินจากฝง A ไปเกาะ C ได สามารถเดินจากฝง A ไปฝง D ได ไมสามารถเดินจากเกาะ B ไปเกาะ C ได A B C D แหงที่ 1 A B C D แหงที่ 2
- 11. 84 สามารถเดินจากเกาะ B ไปฝง D ได ไมสามารถเดินจากเกาะ C ไปฝง D ได จากนั้นใหบทนิยามของกราฟเชื่อมโยง แลวใชตัวอยางเหตุการณขางตนอธิบาย บทนิยามของกราฟเชื่อมโยง โดยใหผูเรียนเขียนแผนภาพของกราฟG1 และG2 แทนแผนผังของ สวนสาธารณะแหงที่1 และแหงที่2 โดยใหจุดยอดแทนเกาะหรือฝง เสนเชื่อมแทนสะพาน ตามลําดับ จะไดกราฟ ดังรูป ใหผูเรียนหาคําตอบไดดวยตนเองวากราฟ G1 เปนกราฟเชื่อมโยงโดยอาศัยการใหเหตุ ผลประกอบคําตอบจากตัวอยางเหตุการณขางตน ผูเรียนตองบอกไดวากราฟ G1 เปนกราฟเชื่อมโยง เพราะ มีแนวเดิน A - B มีแนวเดิน A - C มีแนวเดิน A - D มีแนวเดิน B - C มีแนวเดิน B - D มีแนวเดิน C - D กราฟ G2 ไมเปนกราฟเชื่อมโยง เพราะ ไมมีแนวเดิน A – C ไมมีแนวเดิน B - C ไมมีแนวเดิน C – D ตัวอยางที่2 กําหนดขายงานการเชื่อมโยงระหวางเสาโทรศัพทและสายโทรศัพท ดังรูป ถาเกิดเหตุการณเสาโทรศัพทตนหนึ่งลมแลว จงหาวาเสาโทรศัพทตนใดเมื่อลมแลว จะทําใหการเชื่อมโยงของขายงานเสียหายมากที่สุด A B D C A B D C G1 G2 1 2 3 4 5 6
- 12. 85 วิธีทํา แปลงปญหาขางตนเปนกราฟ โดยใหจุดยอด แทน เสาโทรศัพท เสนเชื่อม แทน สายโทรศัพท ดังรูป จากกราฟ จะพบวา ถาลบจุดยอด 3 ออก เสนที่เกิดกับจุดยอด 3 จะถูกลบออกดวย ดังนั้น กราฟที่เกิดจากการลบจุดยอด 3 ออกจะไมเปนกราฟเชื่อมโยง ดังรูป ถาลบจุดยอดแตละจุด เชน 1 หรือ 2 หรือ 4 หรือ 5 หรือ 6 ออกจากกราฟ กราฟที่เกิด จากการลบจุดยอดดังกลาวยังคงเปนกราฟเชื่อมโยง ดังนั้นเสา3 จึงเปนเสาโทรศัพทที่สําคัญที่ สุดเพราะถาเสา3 ลมจะทําความเสียหายมากกวาเสาโทรศัพทตนอื่น กราฟออยเลอร 1. ผูสอนแนะนํากราฟออยเลอร โดยอาจใหผูเรียนเลนเกมวาดรูปไดหรือไม ดังนี้ จงหาวารูปใดสามารถใชดินสอวาดรูปโดยไมลากซ้ําเสนเดิม แลวกลับมาที่ จุดเริ่มตนโดยไมยกดินสอได เมื่อกําหนดรูป ดังนี้ จะพบวารูป (1) สามารถวาดรูปไดตามเงื่อนไขดังกลาว 6 1 3 4 52 1 4 6 52 รูป (1) รูป (2) รูป (3)
- 13. 86 จากนั้นผูสอนสุมผูเรียนออกมา 5 คน วาดรูป (1) บนกระดานดํา แลวชี้ให ผูเรียนเห็นวา แตละคนจะมีวิธีการวาดรูปเหมือนกันหรือตางกันได 2. ผูสอนอาจยกตัวอยางเพื่อนําเขาสูบทนิยามของวงจร เชน กําหนดกราฟ G ดังรูป จงหาวาแนวเดินในขอใดเปนแนวเดินที่มีเสนเชื่อมแตกตางกัน โดยมีจุดเริ่มตน และจุดสุดทายเปนจุดยอดเดียวกัน 1) v5, e6, v4, e3, v3, e2, v2, e5, v5, e5, v2 2) v2, e2, v3, e3, v4, e4, v2, e5, v5, e6, v4, e4, v2 3) v1, e7, v5, e6, v4, e4, v2, e1, v1, e7, v5, e8, v1 4) v1, e1, v2, e2, v3, e3, v4, e4, v2, e5, v5, e8, v1 5) v1, e1, v2, e2, v3, e3, v4, e4, v2, e5, v5, e8, v1, e9, v4 , e6, v5, e7, v1 ผูเรียนควรบอกไดวา แนวเดินในขอ 1) ไมเปนไปตามเงื่อนไขโจทย เพราะในแนวเดินมีเสนเชื่อม e5 ซ้ํากัน โดยมีจุดเริ่มตนและจุดสุดทายเปนจุดยอดที่ตางกัน แนวเดินในขอ2)และ3) ไมเปนไปตามเงื่อนไขโจทย เพราะในแนวเดินมีเสนเชื่อมe4 และe7 ซ้ํากันตามลําดับ แนวเดินในขอ 4) และ 5) เปนไปตามเงื่อนไขโจทย ผูสอนใหบทนิยามวงจร ผูเรียนควรบอกไดวาแนวเดินในขอ 4) และ 5) เปนวงจร จากนั้นผูสอนอาจถามตอวาวงจรในขอใดของขอ2ที่เปนวงจรที่ผานจุดยอดทุกจุดและเสนเชื่อม ทุกเสนของกราฟ G ผูเรียนควรบอกไดวาแนวเดินในขอ 5) เปนวงจรตามเงื่อนไขดังกลาว ผูสอนจึงใหบทนิยามของวงจรออยเลอร แลวผูเรียนควรบอกไดวาแนวเดินในขอ 5) เปน วงจรออยเลอรในกราฟG เพราะเปนวงจรที่ประกอบดวยจุดยอดทุกจุดและเสนเชื่อมทุกเสน ของกราฟ v1 v2 v3 v4v5 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9
- 14. 87 3. ผูสอนทบทวนการหาวงจรในกราฟ แลวยกตัวอยางเพื่อนําเขาสูบทนิยามของ กราฟออยเลอร เชน ตัวอยางที่1 กําหนดกราฟ G1 ถึง G5 ดังรูป จงหาวงจรที่ประกอบดวยเสนเชื่อมทั้งหมดของกราฟ แตละกราฟ ผูสอนควรใหผูเรียนบอกเหตุผลประกอบคําตอบ ดังนี้ กราฟG1 สามารถหาวงจรที่ประกอบดวยเสนเชื่อมทั้งหมดของกราฟได วงจรหนึ่งที่ เปนไปได มีลําดับคือ v1, e1, v2, e2, v3, e3, v1 กราฟ G2 ไมสามารถหาวงจรที่ประกอบดวยเสนเชื่อมทั้งหมดของกราฟได เพราะมี เสนเชื่อมe1 ซ้ํากัน กราฟG3 สามารถหาวงจรที่ประกอบดวยเสนเชื่อมทั้งหมดของกราฟได วงจรหนึ่งที่ เปนไปได มีลําดับคือv1, e1, v2, e2, v1 กราฟ G4 ไมสามารถหาวงจรที่ประกอบดวยเสนเชื่อมทั้งหมดของกราฟได เพราะ มีเสนเชื่อมเสนใดเสนหนึ่งในกราฟซ้ํากัน กราฟG5 สามารถหาวงจรที่ประกอบดวยเสนเชื่อมทั้งหมดของกราฟได วงจรหนึ่งที่ เปนไปได มีลําดับคือ v1, e1, v5, e2, v2, e3, v3, e4, v5, e5, v4, e6, v1 ผูสอนควรชี้ใหผูเรียนเห็นวาในการหาวงจรที่ประกอบดวยเสนเชื่อมทั้งหมดของกราฟ G1,G3 และG5 อาจหาวงจรดังกลาวไดมากกวาหนึ่งแบบ จากนั้นจึงใหบทนิยามของกราฟออยเลอร แลวผูเรียนควรบอกไดวากราฟ G3 และ กราฟ G5 เปนกราฟออยเลอร เพราะสามารถหาวงจร ออยเลอรได แตกราฟ G1 ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะไมสามารถหาวงจรออยเลอรได ผูสอน ควรชี้ใหผูเรียนเห็นวาการที่กราฟ G1 สามารถหาวงจรที่ประกอบดวยเสนเชื่อมทั้งหมดของกราฟ แตไมครบทุกจุดยอดของกราฟไดนั้นเนื่องมาจากกราฟ G1 ไมเปนกราฟเชื่อมโยง v2 e1 G1 v1 v3 v4 e2 e3 v1 v2 e1 G2 v1 v2 e1 e2 G3 v1 v2 v3v4 e1 e2 e3 e4 e5 G4 v1 v2 v3v4 v5 e1 e2 e3 e4e5 e6 G5
- 15. 88 ผูเรียนควรบอกลักษณะเฉพาะของกราฟออยเลอรไดวากราฟGจะเปนกราฟออยเลอร ก็ตอเมื่อ กราฟ G เปนกราฟเชื่อมโยง และ จุดยอดทุกจุดของกราฟ G เปนจุดยอดคู โดยดูจาก กราฟ G3 และ G5 ในตัวอยางขางตน หรือชี้ใหผูเรียนเห็นวาการหาวงจรออยเลอรที่ประกอบ ดวยเสนเชื่อมทั้งหมดของกราฟเชื่อมโยงเปนปญหาเชนเดียวกับการลากเสนไปตามแผนภาพของ กราฟเชื่อมโยง โดยไมซ้ําเสนเชื่อมเดิม แลวตองกลับมา ณ จุดเริ่มตนดังเดิม โดยไมยกดินสอ ซึ่งจะเห็นวาเมื่อเริ่มตนออกจากจุดยอดใด ๆ จะตองมีการเดินเขาจุดยอดนั้นเสมอโดยเสนเชื่อม ที่ตางกัน ดังนั้นจํานวนเสนเชื่อมที่เกิดกับจุดยอดแตละจุดของกราฟตองเปนจํานวนคู นั่นคือ จุดยอดทุกจุดของกราฟตองเปนจุดยอดคู จากนั้นจึงใหทฤษฎีบท 3 ผูสอนอาจยกตัวอยางการหาวงจรออยเลอรของกราฟโดยใชการพิสูจนทฤษฎีบท 3 โดยยกตัวอยางเหตุการณที่เกิดขึ้นในชีวิตประจําวัน เชน ตัวอยางที่ 2 กําหนดกราฟแสดงเสนทาง ที่ตํารวจสายตรวจคนหนึ่งตองขับรถตรวจดูความ เรียบรอยบนถนนทุกสาย โดยให จุดยอด แทน แยกของถนน เสนเชื่อม แทน ถนน ดังรูป จงหาเสนทางที่ตํารวจคนนี้ขับรถผานถนนทุกสายเพียงครั้งเดียว แลวกลับมา ณจุดเริ่มตนดังเดิม เมื่อกําหนดใหตํารวจคนนี้เริ่มตนที่จุด A วิธีทํา การหาเสนทางที่ตํารวจคนนี้ขับรถผานถนนทุกสายเพียงครั้งเดียว แลวกลับมา ณ จุดเริ่มตนดังเดิม คือการหาวงจรออยเลอรของกราฟ พิจารณากราฟจากโจทยเปนกราฟเชื่อมโยงและจุดยอดทุกจุดของกราฟเปนจุดยอดคู จึงเปนกราฟออยเลอร นั่นคือสามารถหาวงจรออยเลอรของกราฟได ในการหาวงจรออยเลอรเราจะใชวิธีที่ปรากฏในการพิสูจนทฤษฎีบท 3 ดังนี้ โจทยกําหนดใหเริ่มตนที่จุดยอด A สรางวงจรที่มีจุดเริ่มตน และจุดสุดทายที่ จุดยอด A จะได วงจร C1 : A, e1, B, e6, F, e7, E, e8, A ดังรูป 1 (แสดงวงจร C1 ดวยเสนทึบ) A B C DE F e1 e2 e3 e4 e5 e7 e6 e8
- 16. 89 วงจร C1 ยังผานไมครบทุกเสนเชื่อมของกราฟ เลือกจุดยอดบนวงจร C1 ที่มีเสนเชื่อม ที่เกิดกับจุดยอดนั้นซึ่งไมอยูบนวงจร C1 ซึ่งมีจุดยอด B และ E สมมติเลือกจุดยอด B สรางวงจรในกราฟที่เหลือ โดยมีจุดเริ่มตน และจุดสุดทายที่จุดยอด B จะได วงจร P1 : B, e2, C, e3, D, e4, E, e5, B ดังรูป 2 (แสดงวงจร P1 ดวยเสนสีเทา) นําวงจร C1 ตอกับวงจร P1 ที่จุดยอด B (การนําวงจร C1 ตอกับวงจร P1 ที่จุดยอด B ใหเริ่มตนที่จุดยอด A ในวงจร C1 เดินไปตามเสนทึบ เมื่อพบจุดยอด B ใหเดินไป ตามเสนสีเทา จนพบกับจุดยอด B แลวเดินไปตามเสนทึบในวงจร C1 จนกลับไปที่ จุดยอด A) จะไดวงจร C2 เปนวงจรที่ยาวขึ้น คือ C2: A, e1, B, e2, C, e3, D, e4, E, e5, B, e6, F, e7, E, e8, A จะไดวาวงจร C2 ผานเสนเชื่อมทุกเสนของกราฟแลว วงจรC2 มีลําดับคือA, e1,B, e2, C, e3, D, e4, E, e5, B, e6, F, e7, E, e8, A จึงเปน วงจรออยเลอรของกราฟ ดังนั้น เสนทางหนึ่งที่เปนไปไดที่ตํารวจคนนี้จะขับรถโดยผานถนนทุกสายเพียง ครั้งเดียวแลวกลับมาที่จุดเริ่มตนดังเดิม มีลําดับคือ A, e1,B, e2, C, e3, D, e4, E, e5, B, e6, F, e7, E, e8, A จากตัวอยางขางตนเปนปญหาเดียวกับปญหาของคนกวาดถนน พนักงานเก็บคาน้ําประปา พนักงานเก็บคาไฟ รถเก็บขยะ บุรุษไปรษณีย เปนตน A B C DE F e1 e2 e3 e4 e5 e7 e6 e8 รูป 2 A B C DE F e1 e2 e3 e4 e5 e7 e6 e8 รูป 1
- 17. 90 ตัวอยางที่ 3 ชางทาสีคนหนึ่งอยูที่ฝง A เขาตองการทาสีสะพานทั้ง 12 สะพาน ดังรูป ใหเสร็จภายใน 1 วัน แลวกลับมาที่ฝง A ตามเดิม โดยเขาวางแผนจะใชเวลาในการ เดินทางระหวางสะพานและทาสีสะพานประมาณ 8 ชั่วโมง แตสีที่ใชทาสะพานจะ แหงเมื่อทาไปแลวประมาณ 3 ชั่วโมง ถาผูเรียนเปนชางทาสีจะมีวิธีการทาสีสะพาน อยางไรเพื่อใหงานแลวเสร็จภายใน 1 วัน แลวกลับไปที่ฝง A ตามเดิม (กําหนดให ชวงเวลาทํางาน 1 วันของชางทาสี คือ 08.00 – 17.00 น.) วิธีทํา เนื่องจากตองทาสีสะพานทุกสะพาน และเมื่อทาสีสะพานแลวไมสามารถเดินขาม สะพานที่ทาสีได ตองกลับไปที่จุดเริ่มตนดังเดิม ปญหานี้สามารถแกปญหาโดย การแปลงปญหาเปนกราฟ แลวหาวงจรออยเลอร โดยใหจุดยอด แทน เกาะ หรือ ฝง เสนเชื่อม แทน สะพาน ดังรูป เนื่องจากจุดยอดทุกจุดของกราฟเปนจุดยอดคู จึงเปนกราฟออยเลอร นั่นคือสามารถ หาวงจรออยเลอรของกราฟได จะไดวงจรออยเลอรลําดับหนึ่งที่เปนไปได มีลําดับคือ A, e1, C, e2, A, e3, B, e4, A, e5, B, e6, D, e7, C, e8, E, e9, D, e10, E, e11, F, e12, A ดังนั้นชางทาสีควรทาสีโดยใชเสนทาง มีลําดับคือ A, e1, C, e2, A, e3, B, e4, A, e5, B, e6, D, e7, C, e8, E, e9, D, e10, E, e11, F, e12, A A B C D E F A B C D E F e1 e2 e3e4e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12
- 18. 91 การประยุกตของกราฟ วิถีที่สั้นที่สุด ผูสอนอาจยกตัวอยางเพื่อนําเขาสูบทนิยามวิถี เชน กําหนดกราฟ G ดังรูป จงหาวาแนวเดินในขอใด เปนแนวเดินในกราฟ G ที่มีจุดยอดทั้งหมดแตกตางกัน 1) v1, e1, v2, e5, v4, e5, v2, e6, v5 2) v1, e2, v3, e3, v4, e4, v1 3) v1, e1, v2, e6, v5, e8, v6 ผูเรียนควรบอกไดวา แนวเดินในขอ 1) ไมเปนไปตามเงื่อนไขโจทย เพราะแนวเดินมีจุดยอด v2 ซ้ํากัน แนวเดินในขอ 2) ไมเปนไปตามเงื่อนไขโจทย เพราะแนวเดินมีจุดยอด v1 ซ้ํากัน แนวเดินในขอ 3) เปนไปตามเงื่อนไขโจทย ผูสอนใหบทนิยามของวิถี แลวผูเรียนควรบอกไดวา แนวเดินในขอ 3) เปนวิถีใน กราฟ G ตนไมแผทั่วที่นอยที่สุด 1. ผูสอนอาจยกตัวอยางเพื่อนําเขาสูบทนิยามของวัฏจักร เชน กําหนดกราฟ G ดังรูป จงหาวาวงจรในขอใดเปนวงจรที่ไมมีจุดยอดซ้ํากัน ยกเวนจุดเริ่มตนและจุดสุดทาย v1 v2 v3 v4 v5 v6 e1 e2 e3e4 e5 e6 e7 e8 v1 v2 v3 v4 v5 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
- 19. 92 1) v1, e1, v2, e5, v3, e2, v1, e3, v4, e7, v5, e4, v1 2) v1, e1, v2, e5, v3, e6, v4, e7, v5, e4, v1 ผูเรียนควรบอกไดวา วงจรในขอ 1) ไมเปนไปตามเงื่อนไขโจทย เพราะ วงจรมีจุดยอด v1 ซึ่งเปน จุดยอดที่ไมใชจุดเริ่มตนและจุดสุดทายของวงจรซ้ําอยู วงจรในขอ 2) เปนไปตามเงื่อนไขโจทย ผูสอนใหบทนิยามของวัฏจักร แลวผูเรียนควรบอกไดวา วงจรในขอ 2) เปน วัฏจักรในกราฟ G 2. ผูสอนนําเขาสูบทเรียนโดยทบทวนบทนิยามของกราฟเชื่อมโยงแลวผูสอนอาจ ยกตัวอยางเพื่อแนะนําตนไม ดังนี้ ตัวอยางที่ 1 จงหาวากราฟใดเปนกราฟเชื่อมโยงที่ไมมีวัฏจักร เมื่อกําหนดกราฟ ตอไปนี้ ผูสอนควรใหผูเรียนบอกเหตุผลประกอบคําตอบ ดังนี้ กราฟG1 ไมเปนไปตามเงื่อนไขโจทย เพราะกราฟ G1 มีวัฏจักร กราฟG2 ไมเปนไปตามเงื่อนไขโจทย เพราะกราฟ G2 มีวัฏจักร กราฟ G3 ไมเปนไปตามเงื่อนไขโจทย เพราะกราฟ G3 ไมเปนกราฟเชื่อมโยง กราฟ G4 ไมเปนไปตามเงื่อนไขโจทย เพราะกราฟG4 ไมเปนกราฟเชื่อมโยงและ มีวัฏจักร กราฟ G5 เปนไปตามเงื่อนไขโจทย จากนั้นจึงใหบทนิยามของตนไม ผูเรียนควรบอกไดวากราฟ G5 เรียกวาตนไม แลว ใหผูเรียนสรุปขอสังเกตที่วา ตนไมไมมีเสนเชื่อมขนานและไมมีวงวน เนื่องจากตนไมคือ กราฟเชื่อมโยงที่ไมมีวัฏจักรซึ่งดูไดจากกราฟG1 และG2 ของตัวอยางขางตน ผูสอนอาจยกตัวอยางดังตารางตอไปนี้ เพื่อใหผูเรียนสรุปขอสังเกตที่วา ตนไมที่มี จุดยอด n จุด จะมีเสนเชื่อม n – 1 เสน G1 G2 G3 G4 G5
- 20. 93 ตนไม จํานวนจุดยอด จํานวนเสนเชื่อม 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 . . . . . . . . . 3. ผูสอนอาจยกตัวอยางเพื่อใหผูเรียนเขาใจบทนิยามของกราฟยอย ดังนี้ ตัวอยางที่ 2 กราฟ H1, H2, H3 และ H4 กราฟใดเปนกราฟยอยของกราฟ G a b c d G :
- 21. 94 จากกราฟ G ซึ่งมี V(G) = {a, b, c, d} E(G) = {ab, ac, bd, cd, cb} จะไดวา H1 เปนกราฟยอยของ G เนื่องจาก V(H1) = {a, b, c, d} E(H1) = {ab, ac, bd, cd} นั่นคือ จุดยอดทุกจุดของ H1 เปนจุดยอดของ G และเสนเชื่อมทุกเสนของ H1 เปน เสนเชื่อมของ G H2 เปนกราฟยอยของ G เนื่องจาก V(H2) = {a, b, c, d} E(H2) = {ac, cd} นั่นคือ จุดยอดทุกจุดของ H2 เปนจุดยอดของ G และเสนเชื่อมทุกเสนของ H2 เปน เสนเชื่อมของ G H3 เปนกราฟยอยของ G เนื่องจาก V(H3) = {a, b, d} E(H3) = ∅ นั่นคือ จุดยอดทุกจุดของ H3 เปนจุดยอดของ G H4 ไมเปนกราฟยอยของ G เนื่องจาก ad ∈ E(H4) แต ad ∉ E(G) นั่นคือ เสนเชื่อม ad เปนเสนเชื่อมของ H4 แตไมเปนเสนเชื่อมของ G 4. ผูสอนทบทวนบทนิยามของตนไม และกราฟยอย แลวอาจยกตัวอยาง เพื่อแนะนํา ตนไมแผทั่ว ดังนี้ ตัวอยางที่ 3 กราฟ H1, H2, H3, H4 และ H5 กราฟใดเปนกราฟยอยของกราฟ G ที่บรรจุ จุดยอดทุกจุดของกราฟ G ที่เปนตนไม G : a b cd f g a b c d a c c d a b d c d H1 H2 H3 H4 a
- 22. 95 ผูสอนควรใหผูเรียนบอกเหตุผลประกอบคําตอบ ดังนี้ กราฟ H1 เปนกราฟยอยของ G ที่บรรจุจุดยอดทุกจุดของ G แตไมเปนตนไม เพราะมีวัฏจักร กราฟ H2 เปนกราฟยอยของ G ที่บรรจุจุดยอดทุกจุดของ G แตไมเปนตนไม เพราะไมเปนกราฟเชื่อมโยง กราฟ H3 เปนกราฟยอยของ G และเปนตนไม แตไมบรรจุจุดยอดทุกจุดของ G กราฟ H4 และ H5 เปนกราฟยอยที่บรรจุจุดยอดทุกจุดของ G และเปนตนไม ผูสอนใหบทนิยามของตนไมแผทั่ว แลวผูเรียนควรบอกไดวากราฟ H4 และ H5 เปนตนไมแผทั่วของกราฟ G แลวผูสอนควรใหขอสังเกตวากราฟแผทั่วของกราฟ G อาจมี มากกวาหนึ่งแบบได ผูสอนใหบทนิยามของตนไมแผทั่วที่นอยที่สุด แลวยกตัวอยางเหตุการณเพื่อให ผูเรียนสามารถนําการหาตนไมแผทั่วที่นอยที่สุดไปใชแกปญหาการเชื่อมโยง เชน ตัวอยางที่ 4 ปญหาหาการวางสายโทรศัพท บริษัทรับเหมาติดตั้งโทรศัพทแหงหนึ่ง ตองการวางสายโทรศัพทเชื่อมระหวางหมูบาน A, B, C, D, E และ F โดยจะวางสายไปตามถนน ถาคาใชจายในการวางสายโทรศัพท ขึ้นอยูกับความยาวของสายโทรศัพท บริษัทนี้จะวางสายโทรศัพทอยางไรใหเสียคาใชจาย a b cd f g a cd f g b a cd f b H1 H2 H3 a b cd f g a b cd f g H4 H5
- 23. 96 นอยที่สุด เมื่อกําหนดตารางแสดงระยะทาง (กิโลเมตร) ของถนนเชื่อมระหวางหมูบาน ดังนี้ หมูบาน A B C D E F A - 30 - - - 40 B 30 - 10 - 50 20 C - 10 - 20 30 - D - - 20 - 10 20 E - 50 30 10 - 60 F 40 20 - 20 60 - วิธีทํา แปลงปญหาขางตนเปนกราฟถวงน้ําหนัก โดยให จุดยอด แทน หมูบาน เสนเชื่อม แทน ถนน และคาน้ําหนักของเสนเชื่อม คือระยะของถนนระหวางหมูบาน ดังรูป เนื่องจากตนไมแผทั่วของกราฟจะประกอบดวยจุดยอดทุกจุดของกราฟ และมีวิถี ระหวางทุก ๆ คูของจุดยอดในตนไม ดังนั้นคําตอบของปญหานี้ คือการหาตนไม แผทั่วที่นอยที่สุดของกราฟ พิจารณาขั้นตอนในแตละขั้นตอนเสนที่เลือกจะใชเสนสีฟา ขั้นที่ 1 จัดลําดับของเสนเชื่อมโดยเรียงคาน้ําหนักของเสนเชื่อมจากนอยไปมาก จะได10, 10, 20, 20, 20, 30, 30, 40, 50, 60 ขั้นที่ 2 เลือกเสนเชื่อมที่มีคาน้ําหนักของเสนเชื่อมนอยที่สุด ดังรูป (1) A B C D E F 30 10 20 10 60 40 20 20 50 30 A B C D E F 30 10 20 10 60 40 20 20 50 30 รูป (1)
- 24. 97 ขั้นที่ 3 เลือกเสนที่มีคาน้ําหนักของเสนเชื่อมนอยที่สุดจากเสนเชื่อมที่เหลือ และ ไมทําใหเกิดวัฏจักรเมื่อรวมเสนเชื่อมนี้เขาเปนสวนหนึ่งของตนไมแผทั่วที่ตองการ ดังรูป (2) ขั้นที่ 4 ดําเนินการตามขั้นที่ 3 ดังรูป (3) ขั้นที่ 5 ดําเนินการตามขั้นที่ 3 ดังรูป (4) ขั้นที่ 6 ดําเนินการตามขั้นที่ 3 จะพบวาเสนเชื่อมที่เหลือที่มีคาน้ําหนักนอยที่สุด คือ เสนเชื่อม BF ซึ่งมีคาน้ําหนักของเสนเชื่อมเทากับ 20 ไมสามารถเลือกไดเพราะทําให เกิดวัฏจักร ดังนั้นจะตองเลือกเสนเชื่อมที่มีคาน้ําหนักของเสนเชื่อมเทากับ30 ซึ่งมี2เสนคือ เสนเชื่อมAB และ CE เสนเชื่อม CE ไมสามารถเลือกไดเพราะทําใหเกิดวัฏจักร ดังนั้นเลือกเสนเชื่อม AB ดังรูป (5) A B C D E F 30 10 20 10 60 40 20 20 50 30 รูป (2) A B C D E F 30 10 20 10 60 40 20 20 50 30 รูป (3) A B C D E F 30 10 20 10 60 40 20 20 50 30 รูป (4)
- 25. 98 จะเห็นวาไมสามารถเลือกเสนเชื่อมที่เหลือไดอีกเนื่องจากทําใหเกิดวัฏจักรจึงสิ้นสุดขั้นตอน ไดตนไมแผทั่วที่นอยที่สุดที่มีผลรวมของคาน้ําหนักของเสนเชื่อมเทากับ 10+10+20+20+30 = 90 ดังรูป (6) ดังนั้นบริษัทรับเหมาแหงนี้ตองวางสายโทรศัพทตามถนน ดังรูป (6) ซึ่งมีระยะทาง 90 กิโลเมตร จึงจะเสียคาใชจายนอยที่สุด ผูสอนควรใหขอสังเกตวาตนไมแผทั่วที่นอยที่สุดของกราฟในตัวอยางขางตนอาจมี ไดมากกวา 1 แบบ ดังนี้ หรือ A B C D E 30 10 20 10 F 20 A B C D E F 30 10 1020 20 A B C D E F 30 10 20 10 60 40 20 20 50 30 รูป (5) A B C D E F 30 10 20 10 20 รูป (6)
- 26. 99 ผูสอนควรใหผูเรียนสรุปใหไดวาขั้นตอนการหาตนไมแผทั่วที่นอยที่สุด มีหลักการ คือการเลือกเสนเชื่อมที่มีคาน้ําหนักนอยที่สุดจากกราฟถวงน้ําหนักที่เปนกราฟเชื่อมโยงติดตอ กันเพื่อสรางตนไมแผทั่วที่นอยที่สุดของกราฟ เสนเชื่อมที่เลือกตองไมทําใหเกิดวัฏจักร และ ขั้นตอนวิธีสิ้นสุดเมื่อเลือกเสนเชื่อมครบ n – 1 เสน เมื่อ n เปนจํานวนจุดยอดของกราฟ ผูสอนควรยกตัวอยางเกี่ยวกับการแกปญหาโดยใชความรูเกี่ยวกับตนไมหลาย ๆ ตัวอยาง เชน ตัวอยางที่ 5 กําหนดแผนผังแสดงถนนที่ยังไมลาดยางของหมูบานหนึ่ง ดังรูป จงหาวา เจาหนาที่ที่รับผิดชอบในการสรางถนนจะลาดยางชวงถนนใดจึงจะทําใหประชาชน ในหมูบานสามารถใชถนนเดินทางไปมาระหวางทุกๆ ทางแยกไดเร็วที่สุด เมื่อให ระยะเวลาในการลาดยางขึ้นอยูกับความยาวของถนน วิธีทํา แปลงปญหาขางตนเปนกราฟถวงน้ําหนัก โดยให จุดยอด แทน แยกของถนน เสนเชื่อม แทน ถนน คาน้ําหนักของเสนเชื่อม คือ ระยะทางระหวางแยกของถนน ดังรูป จากโจทย ตองหาตนไมแผทั่วที่นอยที่สุดของกราฟจากขั้นตอนวิธีในตัวอยางที่ 4 จะไดตนไมแผทั่วที่นอยที่สุด ดังรูป 3 3 3 3 3 1 2 2 2 6 7 4 4 5
- 27. 100 เจาหนาที่ที่รับผิดชอบในการสรางถนนควรลาดยางชวงถนน ดังรูปตนไมแผทั่วที่นอยที่สุดขางตน และตองลาดยางถนนเปนระยะทาง เทากับ 1 + 2 +2 + 2 +3 + 3 + 3 + 3 + 4 = 23 กิโลเมตร จึงจะทําใหประชาชนในหมูบานไดใชถนนไปมาระหวางทุกๆ ทางแยกไดเร็วที่สุด ตัวอยางที่ 6 จังหวัดหนึ่งมีอําเภออยู 15 อําเภอ แตละอําเภอมีถนนเชื่อมกับอําเภออื่นๆ6 สาย จงหาวาสามารถปดซอมถนนไดพรอมกันมากที่สุดกี่สาย โดยที่ประชาชนใน จังหวัดนี้ยังสามารถขับรถจากอําเภอใด ๆ ไปยังอีกอําเภอหนึ่งไดเสมอ วิธีทํา แปลงปญหาขางตนเปนกราฟ โดยให จุดยอด แทน อําเภอ เสนเชื่อม แทน ถนน ให n แทนจํานวนเสนเชื่อมในกราฟ จาก ทฤษฎีบท 1 จะไดวา 15 × 6 = 2 n 90 = 2 n n = 45 ดังนั้นจังหวัดนี้มีถนนเชื่อมระหวางอําเภอทั้งหมด 45 สาย การปดถนนพรอมกันมากที่สุด โดยที่ยังมีถนนเชื่อมระหวางอําเภอสองอําเภอใด ๆ ดังนั้นถนนที่สามารถเปดใหใชได คือ ตนไมแผทั่วของกราฟ จํานวนถนนที่ตองเปดใชแลวทําใหประชาชนยังสามารถขับรถจากอําเภอใด ๆ ไปยัง อีกอําเภอหนึ่งได คือ จํานวนเสนเชื่อมของตนไมแผทั่วของกราฟ เทากับ 15 – 1 = 14 เสน จะไดวา กราฟดังกลาวสามารถลบเสนเชื่อมออกจากกราฟไดมากที่สุด 45 – 14 = 31 เสน ดังนั้น สามารถปดซอมถนนไดพรอมกันมากที่สุด 31 สาย 3 3 3 3 1 2 2 2 4
- 28. 101 ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท ขอ 1 - 5 ใหเลือกคําตอบที่ถูกตองที่สุดเพียงคําตอบเดียว 1. กราฟในขอใดตอไปนี้ มีผลรวมของดีกรีของทุกจุดยอดเทากับ 12 ก. ข. ค. ง. 2. กําหนดกราฟดังแผนภาพตอไปนี้ ผลรวมของดีกรีของทุกจุดยอดในกราฟเทากับขอใด ก. 20 ข. 21 ค. 22 ง. 23 3. กราฟในขอใดมีวงจรออยเลอร ก. ข. ค. ง.
- 29. 102 4. กราฟในขอใดเปนกราฟออยเลอร ก. ข. ค. ง. 5. กราฟในขอใดเปนตนไมแผทั่วของกราฟตอไปนี้ ก. ข. ค. ง. a b c de a b c de a b c de a b c de a b de
- 30. 103 ขอ 6 - 7 จงแสดงวิธีทํา 6. ลูกสุนัขจะสามารถกลับบาน โดยไมซ้ําเสนทางเดิม ไดทั้งหมดกี่เสนทาง 7. ตาตาจัดงานเลี้ยงสังสรรคที่บาน โดยเชิญเพื่อนมารวมงานอีก 5 คน คือ นภา สดใส ยิ้มแยม สะอาด และ รักชาติ นภากลาววา "นภาเปนเพื่อนกับคนในกลุมนี้ 4 คน สดใสเปนเพื่อนกับคนในกลุมนี้ 2 คน ยิ้มแยมเปนเพื่อนกับคนในกลุมนี้ 3 คน สะอาดเปนเพื่อนกับคนในกลุมนี้ 3 คน และรักชาติเปนเพื่อนกับคนในกลุมนี้ 4 คน" ทานคิดวาคํากลาวของนภาเปนจริง หรือเท็จ อยางไร พรอมใหเหตุผลประกอบ เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 1. ข 2. ค 3. ค
- 31. 104 4. ค 5. ง 6. แปลงปญหานี้เปนกราฟโดยกําหนดใหจุดยอด A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M แทนสถานที่ เสนเชื่อมแตละเสน แทนทางเดินระหวางสถานที่ จะไดกราฟ ดังรูป ดังนั้น เสนทางพาลูกสุนัขกลับบานมี 6 เสนทาง ดังนี้ 1) A, B, C, D, E, F, G, H, J, L, M 2) A, B, C, D, E, G, H, J, L, M 3) A, B, C, D, F, G, H, J, L, M 4) A, B, D, E, F, G, H, J, L, M 5) A, B, D, E, G, H, J, L, M 6) A, B, D, F, G, H, J, L, M 7. คํากลาวของนภาเปนเท็จ เพราะถาแปลงโจทยปญหาเปนกราฟ โดยให จุด แทน คน เสน แทน ความเปนเพื่อนกัน จะไดวา กราฟนี้จะเปนกราฟที่มีจุด 6 จุด ดังนี้ ตาตา ยิ้มแยม นภา สะอาด สดใส รักชาติ จะพบวา กราฟนี้มีจุดคี่ 3 จุด ซึ่งเปนไปไมได (หรือผลบวกของดีกรีแตละจุด เทากับ 21 ซึ่งไมเทากับจํานวนคู ซึ่งเปนไปไมได) A B D E G H J L M C F I K
- 32. 105 เฉลยแบบฝกหัด 2.1 1. (1) V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8} E(G) = {v1v2, v2v3, v3v4, v2v6, v3v7, v5v6, v6v7, v7v8} (2) V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} E(G) = {v1v2, v1v3, v1v4, v1v5, v1v6, v2v3, v2v6, v3v4, v4v5, v5v6} (3) V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} E(G) = {v1v5, v1v6, v2v5, v2v6, v3v5, v3v6, v4v5, v4v6} (4) V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8} E(G) = {v1v2, v1v4, v2v3, v2v7, v4v8, v4v5, v5v6} (5) V(G) = {A, B, C, D, E, F} E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8} (6) V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} E(G) = {v1v4, v1v5, v1v6, v2v4, v2v5, v2v6, v3v4, v3v5, v3v6} (7) V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} (8) V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5} E(G) = {e1, e2, e3, e4} 2. หมายเหตุ กราฟ G ในขอนี้สามารถเขียนไดหลายรูปแบบ เชน (1) (2) v2 v3 v1 v4 v4 v3 v2 v1
- 34. 107 (8) 3. (1) ถูก (2) ผิด (3) ถูก (4) ผิด (5) ถูก 4. (1) จําลองปญหาดวยกราฟ G ดังนี้ ใหจุดยอด 1, 2, ..., 6 แทนรถคันที่ 1 ถึงคันที่ 6 ตามลําดับ จะได V(G) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ E(G) = {12, 13, 15, 16, 23, 24, 25, 35, 45, 46} (2) จากกราฟ จะตองเตรียมพื้นที่จอดรถไวอยางนอยที่สุดสําหรับรถ 4 คัน 5. (1) V(G) = {ไทย, ลาว, กัมพูชา, พมา, มาเลเซีย, เวียดนาม} แผนภาพของกราฟตามเงื่อนไขที่โจทยกําหนดเขียนไดดังนี้ k m nr p q 5 46 1 2 3 ไทย ลาว พมา มาเลเซีย กัมพูชา เวียดนาม
- 35. 108 (2) จะตองใชสีอยางนอยที่สุด 4 สี เฉลยแบบฝกหัด 2.2 1. (1) deg a = 3 deg b = 3 deg c = 3 deg d = 3 deg e = 2 (2) deg a = 2 deg b = 3 deg c = 2 deg d = 5 (3) deg a = 2 deg b = 4 deg c = 3 deg d = 3 deg e = 2 (4) deg a = 3 deg b = 2 deg c = 2 deg d = 3 2. (1) ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด เทากับ 3 + 4 + 1 + 2 + 4 = 14 จํานวนเสนเชื่อมของกราฟ เทากับ 7 เสน (2) ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดเทากับ 5 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 จํานวนเสนเชื่อมของกราฟ เทากับ 12 เสน (3) ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด เทากับ 5 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 5 + 2 = 24 จํานวนเสนเชื่อมของกราฟ เทากับ 12 เสน 3. (1) ใหจุดยอดแทนผูมารวมงาน และเสนเชื่อมแทนการจับมือทักทายกัน ดังนั้น กราฟนี้มีจุดยอด 8 จุด และแตละจุดยอดมีดีกรีเทากับ 7 1 2 3 4 5 6 7เจาภาพ
- 36. 109 (2) ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด เทากับ 8 × 7 = 56 จํานวนเสนของกราฟเทากับ 28 เสน ดังนั้น จํานวนครั้งทั้งหมดที่มีการจับมือทักทายกันเทากับ 28 ครั้ง 4. ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดเทากับ 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16 ดังนั้น จํานวนเสนของกราฟเทากับ 8 เสน 5. ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทั้ง 7 จุด เทากับ 5 + 4 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 17 ซึ่งเปนจํานวนคี่ ขัดแยงกับขอสังเกตที่ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ เปนจํานวนคูเสมอ ดังนั้น ไมมีกราฟที่มีสมบัติดังกลาว 6. สามารถเขียนกราฟไดหลายรูปแบบ 7. จํานวนเสนเชื่อมของกราฟเทากับ 35 เสน จะได ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด เทากับ 2(35) = 70 ทุกจุดยอดมีดีกรีอยางนอย 3 ดังนั้น จุดของกราฟที่มากสุดที่เปนไปได เทากับ 23 จุด 8. จํานวนเสนเชื่อมของกราฟเทากับ 31 เสน จะไดผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดเทากับ 2(31) = 62 จุดยอด 3 จุด มีดีกรี 1 และจุดยอด 7 จุด มีดีกรี 4 ดังนั้น ผลรวมของดีกรีของ จุดยอด 10 จุดนี้คือ 3 + 28 = 31 ดังนั้นจะไดวา จุดยอดอีก 3 จุดที่เหลือมีผลรวมของดีกรีเทากับ 31 แต 31 เกิดจากผลบวกของจํานวน 3 จํานวนในสองรูปแบบ คือ 1. จํานวนคี่ บวก จํานวนคี่ บวก จํานวนคี่ 2. จํานวนคี่ บวก จํานวนคู บวก จํานวนคู v3 v2 v1 v5 v4
- 37. 110 แบบ 1 จะมีจุดยอดคี่ 3 + 3 = 6 จุด แบบ 2 จะมีจุดยอดคี่ 3 + 1 = 4 จุด ซึ่งสอดคลองกับทฤษฎีบทที่วา ทุกกราฟ จะมีจุดยอดคี่เปนจํานวนคู ดังนั้น มีกราฟที่มี 13 จุด และเสนเชื่อม 31 เสน โดยที่มี 3 จุด มีดีกรี 1 และ 7 จุด มีดีกรี 4 เฉลยแบบฝกหัด 2.4 1. (1) ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะกราฟที่กําหนด มีจุดยอดคี่ เชน จุดยอด U (2) ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะกราฟที่กําหนด มีจุดยอดคี่ เชน จุดยอด A (3) ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะกราฟที่กําหนด มีจุดยอดคี่ เชน จุดยอด H (4) เปนกราฟออยเลอร มีวงจรออยเลอรที่แทนดวยลําดับของจุดยอด R, T, U, R, V, S, R, W, S, U, R (5) ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะกราฟที่กําหนดมีจุดยอดคี่ เชน จุดยอด K (6) เปนกราฟออยเลอร มีวงจรออยเลอรที่แทนดวยลําดับของจุดยอด R, D, M, S, D, C, B, A, J, K, L, B, K, C, R, L, M, R (7) เปนกราฟออยเลอร มีวงจรออยเลอรที่แทนดวยลําดับของจุดยอด F, C, G, D, C, A, D, B, E, D, H, E, I, H, G, F (8) ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะกราฟที่กําหนดมีจุดยอดคี่ เชน จุดยอด B 2. แปลงปญหาเปนกราฟโดยกําหนดให จุดยอด1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 แทนหองตาง ๆ ตามแผนผัง และ X แทนบริเวณ ดานนอกจะเขาประตู A หรือออกจากประตู B A B 1 2 3 4 5 6 7 8
- 38. 111 เสนเชื่อมแตละเสนแทนทางเดินระหวางหอง หรือทางเดินระหวางหองกับดานนอก จะได กราฟ G ดังรูป จะเห็นวา กราฟ G มีจุดยอดคี่ เชน จุดยอด 3 มี deg 3 = 3 หรือ จุด 4 มี deg 4 = 5 ดังนั้น G ไมมีวงจรออยเลอร นั่นคือ ไมสามารถนําแขกเขาชมในบานโดยเริ่มตน ณ ประตู A แลวไปสิ้นสุด ณ ประตู B และผานประตูตาง ๆ แตละประตูเพียงครั้งเดียวได 3. จากปญหาสะพานเคอนิกสเบอรกสามารถแปลงเปนกราฟไดดังนี้ ไมได เพราะกราฟที่แทนปญหาสะพานเคอนิกสเบอรก เปนกราฟที่มีจุดยอดคี่ทุกจุด จึง ไมสามารถทําตามเงื่อนไขที่โจทยกําหนดได เฉลยแบบฝกหัด 2.5 1. (1) วิถีที่ 1 คือ a, v1, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนักเทากับ 1 + 5 + 2 = 8 วิถีที่ 2 คือ a, v1, v2, v3, z มีผลรวมคาน้ําหนักเทากับ 1 + 5 + 1 + 4 = 11 วิถีที่ 3 คือ a, v3, z มีผลรวมคาน้ําหนักเทากับ 3 + 4 = 7 วิถีที่ 4 คือ a, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนักเทากับ 2 + 5 = 7 วิถีที่ 5 คือ a, v3, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนักเทากับ 3 + 1 + 2 = 6 X 2 5 876 3 1 4 A B C D
- 39. 112 ดังนั้น วิถี a, v3, v2, z เปนวิถีที่สั้นที่สุด (2) วิถีที่ 1 คือ a, v1, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 3 + 4 + 4 = 11 วิถีที่ 2 คือ a, v1, v2, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 3 + 4 + 1 + 2 = 10 วิถีที่ 3 คือ a, v1, v2, v3, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 3 + 4 + 7 + 9 + 2 = 25 วิถีที่ 4 คือ a, v3, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 9 + 2 = 12 วิถีที่ 5 คือ a, v3, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 7 + 4 = 12 วิถีที่ 6 คือ a, v3, v4, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 9 +1+ 4 = 15 วิถีที่ 7 คือ a, v3, v2, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 7 + 1 + 2 = 11 ดังนั้น วิถี a, v1, v2, v4, z เปนวิถีที่สั้นที่สุด (3) วิถีที่ 1 คือ a, v1, v2, v7, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 วิถีที่ 2 คือ a, v1, v2, v7, v5, v6, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 3 + 2 + 2 + 2 = 12 วิถีที่ 3 คือ a, v3, v5, v1, v2, v7, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 = 15 วิถีที่ 4 คือ a, v3, v5, v7, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 2 + 2 + 2 + 4 = 10 วิถีที่ 5 คือ a, v3, v4, v6, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 2 + 3 + 3 + 2 = 10 วิถีที่ 6 คือ a, v3, v5, v6, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 2 + 2 + 2 + 2 = 8 วิถีที่ 7 คือ a, v3, v4, v6, v5, v7 , z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 2 + 3 + 3 + 2 + 2 + 4 = 16 วิถีที่ 8 คือ a, v1, v5, v6, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 2 + 2 = 7 วิถีที่ 9 คือ a, v1, v5, v7, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 2 + 4 = 9 วิถีที่ 10 คือ a, v1, v2 , v7 ,v5, v3 , v4 ,v6, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 3 + 2 + 2 + 3 + 3 + 2 = 18 วิถีที่ 11 คือ a, v1, v5, v3 , v4 ,v6, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 2 = 13 ดังนั้น วิถี a, v1, v5, v6, z เปนวิถีที่สั้นที่สุด (4) วิถีที่ 1 คือ a, v1, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 3 + 5 = 9
- 40. 113 วิถีที่ 2 คือ a, v1, v3, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 6 = 9 วิถีที่ 3 คือ a, v1, v3, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 2 + 5 = 10 วิถีที่ 4 คือ a, v1, v2, v3, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 3 + 2 + 6 = 12 วิถีที่ 5 คือ a, v1, v2, v3, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 3 + 2 + 1 + 4 = 11 วิถีที่ 6 คือ a, v1, v3, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 1 + 4 = 8 วิถีที่ 7 คือ a, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 3 + 4 = 7 วิถีที่ 8 คือ a, v4, v3, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 3 + 1 + 6 = 10 วิถีที่ 9 คือ a, v4, v3, v1, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 3 + 1 + 2 + 3 + 5 = 14 วิถีที่ 10 คือ a, v4, v3, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 3 + 1 + 2 + 5 = 11 ดังนั้น a, v4, z เปนวิถีที่สั้นที่สุด 2. (1) ตนไมแผทั่วนอยที่สุด ผลรวมคาน้ําหนักของเสนเชื่อมทั้งหมด เทากับ 1 + 2 + 5 + 1 + 4 + 2 = 15 (2) ตนไมแผทั่วนอยที่สุดคือ หรือ ผลรวมคาน้ําหนักของเสนเชื่อมทั้งหมด เทากับ 2 + 3 + 3 + 4 = 12 A B CE D 4 3 2 3 B F A C D E 4 2 1 2 G 5 1 A B CE D 4 3 2 3