Basic m2-1-chapter5
- 1. บทที่ 5 ความเทากันทุกประการ (14 ชั่วโมง) 5.1 ความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต (2 ชั่วโมง) 5.2 ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม (1 ชั่วโมง) 5.3 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน (3 ชั่วโมง) 5.4 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม (3 ชั่วโมง) 5.5 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน (2 ชั่วโมง) 5.6 การนําไปใช (3 ชั่วโมง) เนื้อหาสาระที่นําเสนอในบทนี้ ตองการใหนักเรียนเขาใจและสามารถใชบทนิยามและสมบัติตาง ๆ เกี่ยวกับความเทากันทุกประการในการใหเหตุผลเบื้องตนทางเรขาคณิต โดยเสนอในลักษณะเชื่อมโยงกับ ความรูเรื่องการแปลงทางเรขาคณิตที่นักเรียนไดเรียนแลว ในเรื่องความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม มีจุดประสงคใหนักเรียนสามารถบอกไดวามีเงื่อนไขอยางไร รูปสามเหลี่ยมสองรูปจึงจะเทากันทุกประการ ในขั้นแรกจะใชวิธีลอกรูปไปทับกัน เพื่อใหนักเรียนมีความเขาใจวาการที่รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเทากัน ทุกประการไดนั้น รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปจะตองทับกันสนิท ในขั้นตอไปจึงจะกลาวถึงเงื่อนไขที่จะบอก ใหทราบวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการหรือไม โดยไมตองอาศัยการลอกรูปหรือนํารูปไปทับกัน แตจะอาศัยความสัมพันธตามเงื่อนไขที่กําหนดของดานและมุมของรูปสามเหลี่ยมสองรูปในการพิจารณา การใชสัญลักษณแสดงความสัมพันธของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่จะนําไปสรุปเปนความเทากัน ทุกประการ จะตองเปนไปตามเงื่อนไขของความสัมพันธของรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น จะเขียนสลับตําแหนง กันไมได เชน รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน เขียนแทนดวย ด.ม.ด. จะ เขียนเปน ด.ด.ม. ไมได เพราะไมเปนไปตามขอตกลง การนําเสนอเนื้อหาในบทนี้ยังมีตัวอยางใหนักเรียนเห็นความเชื่อมโยงของบทเรียนกับชีวิตจริง เพื่อ นําสาระความรูไปอธิบายและแกปญหาได ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1. ระบุดานและมุมคูที่มีขนาดเทากันของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการ 2. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน เทากันทุกประการ 3. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม เทากันทุกประการ 4. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน เทากันทุกประการ 5. ใชสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมในการใหเหตุผลได
- 2. 74 แนวทางในการจัดการเรียนรู 5.1 ความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต (2 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกเงื่อนไขที่ทําใหรูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการได 2. บอกสมบัติของความเทากันทุกประการได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูทบทวนเรื่องการแปลงทางเรขาคณิตเกี่ยวกับการสะทอน การเลื่อนขนาน และการหมุน ซึ่ง เปนตัวอยางของการเคลื่อนที่รูปเรขาคณิตบนระนาบ โดยที่ระยะหางระหวางจุดสองจุดใด ๆ ของรูปนั้นไม เปลี่ยนแปลง เพื่อนําเขาสูบทนิยามของความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิตบนระนาบ ซึ่งกลาววา “รูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ เคลื่อนที่รูปหนึ่งใหทับอีกรูปหนึ่งไดสนิท” การนํา บทนิยามนี้ไปใชตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต จึงอาจทําไดโดยใชกระดาษลอกลาย ลอกรูปหนึ่งแลวนําไปทับอีกรูปหนึ่ง 2. เพื่อเสริมสรางความเขาใจเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต ครูอาจใชตัวอยางที่ มีอยูในชีวิตจริง เชน รูปที่ไดจากการถายเอกสาร รูปเรขาคณิตสองรูปในแตละขางของแกนสมมาตรของรูป สมมาตรบนเสน ซึ่งสามารถตรวจสอบความเทากันทุกประการไดโดยการพับรูปตามแนวแกนสมมาตรได ดังรูป 3. สมบัติของความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรงและความเทากันทุกประการของมุม เปนพื้นฐานที่สําคัญของการศึกษาเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ในเรื่องสมบัติของความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรง ครูควรย้ําใหนักเรียนเห็นวา “ถาสวนของเสนตรงสองเสนเทากันทุกประการ แลวสวนของเสนตรงทั้งสองเสนนั้นยาวเทากัน และ ถาสวนของเสนตรงสองเสนยาวเทากัน แลวสวนของเสนตรงทั้งสองเสนนั้นเทากันทุกประการ” ในการนํา สมบัตินี้ไปใช จึงไดวา AB ≅ CD และ AB = CD สามารถใชแทนกันได สําหรับในเรื่องสมบัติของ
- 3. 75 ความเทากันทุกประการของมุม ครูควรย้ําใหนักเรียนเห็นวา “ถามุมสองมุมเทากันทุกประการ แลวมุมทั้ง สองมุมนั้นมีขนาดเทากัน และ ถามุมสองมุมมีขนาดเทากัน แลวมุมทั้งสองมุมนั้นเทากันทุกประการ” และครูควรชี้แจงขอตกลงเกี่ยวกับการใชสัญลักษณแทนความเทากันของขนาดของมุมวา ตอไปนี้จะใช ∧ A = ∧ B แทน )Am( ∧ = )Bm( ∧ 4. กิจกรรม “สมบัติอื่น ๆ ของความเทากันทุกประการ” เปนการแสดงใหเห็นวาความเทากัน ทุกประการเปนความสัมพันธสมมูล (eguivalence relation) กลาวคือมีสมบัติสะทอน สมบัติสมมาตร และสมบัติถายทอด ซึ่งเปนพื้นฐานสําคัญที่นําไปใชในการพิสูจนทางเรขาคณิตเกี่ยวกับความเทากันทุก ประการ 5. หลังจากที่นักเรียนไดศึกษาตัวอยางหนา 205 – 206 และทําแบบฝกหัด 5.1 แลว นักเรียนจะได แนวคิดวา “รูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อรูปเรขาคณิตทั้งสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน (same shape) และมีขนาดเทากัน (same size)” ความรูความเขาใจในเรื่องนี้ นักเรียนสามารถนําไปใช ตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมและรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ โดยการพิจารณาจากรูปราง และขนาดของรูป 6. ครูอาจจัดกิจกรรมเพิ่มเติมที่เปนการนําความรูเกี่ยวกับความเทากันทุกประการมาใช เชน การสรางรูปใหเทากันทุกประการโดยเขียนรูปที่ตองการบนกระดาษแผนหนึ่งเพื่อเปนแบบ แลวนํากระดาษ แผนนั้นไปวางซอนบนกระดาษอีกแผนหนึ่ง เมื่อตัดกระดาษตามแบบที่เขียนไว จะไดรูปสองรูปที่เทากันทุกประการ
- 4. 76 5.2 ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม (1 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ ดานคูที่สมนัยกันและมุมคูที่สมนัย กันของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้น มีขนาดเทากันเปนคู ๆ 2. บอกดานคูที่ยาวเทากันและมุมคูที่มีขนาดเทากันของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการ ได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจเริ่มตนบทเรียนโดยทบทวนบทนิยามของความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต เพื่อ นํามาใชสํารวจ คนหา สมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม จากการลงมือปฏิบัติโดยใช กระดาษลอกลายลอกรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งไปทับรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง จากสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ครูควรเชื่อมโยงใหนักเรียนเห็นวา การตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูป ในเบื้องตนนี้เราตองตรวจสอบ ความเทากันถึง 6 คู ไดแก การตรวจสอบวาดานคูที่สมนัยกัน 3 คู แตละคูยาวเทากันหรือไม และมุมคูที่ สมนัยกัน 3 คู แตละคูมีขนาดเทากันหรือไม ครูอาจหาตัวอยางเพิ่มเติม โดยกําหนดรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการใหสองรูป แลวให นักเรียนคะเนดวยสายตาเพื่อหาดานคูที่สมนัยกัน และมุมคูที่สมนัยกัน เพื่อนําเขาสูการทําแบบฝกหัด 5.2 ขอ 1 เชน จากรูปมีดานคูที่สมนัยกันยาวเทากันและมุมคูที่สมนัยกันมีขนาดเทากัน ดังนี้ AB = CD, BD = DB, DA = BC DBA ∧ = BDC ∧ , ADB ∧ = CBD ∧ และ BAD ∧ = DCB ∧ 2. ครูย้ําเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณแสดงรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการ ซึ่งนิยมเขียน ตัวอักษรเรียงตามลําดับของมุมคูที่สมนัยกันและดานคูที่สมนัยกัน เพื่อใหนักเรียนเกิดความเคยชินใน การเขียนและการนําไปใช เชน A B CD
- 5. 77 ในที่นี้ควรเขียน ∆ ABC ≅ ∆ DEF หรืออยางใดอยางหนึ่งคือ ∆ BCA ≅ ∆ EFD และ ∆ CAB ≅ ∆ FDE 3. ในการทําแบบฝกหัดขอ 2 หนา 210 อาจแนะใหนักเรียนเขียนดานคูที่สมนัยกันยาวเทากัน และมุมคูที่สมนัยกันมีขนาดเทากัน โดยไมตองเขียนรูปกอน เพื่อเปนการฝกการนึกภาพในจินตนาการ ถา ทําไมไดจึงใหเขียนรูป เชน เมื่อกําหนดให ∆ EAT ≅ ∆ FAT จะได ∆ EAT ≅ ∆ FAT ดานคูที่สมนัยกัน คือ EA = FA, AT = AT และ TE = TF และมุมคูที่สมนัยกันคือ TAE ∧ = TAF ∧ , ETA ∧ = FTA ∧ และ AET ∧ = AFT ∧ ซึ่งสามารถเขียน แสดงตัวอยางของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการไดดังนี้ 4. กิจกรรม “ความเทากันทุกประการของรูปหลายเหลี่ยม” เปนการขยายฐานความรูจาก ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมไปสูรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ 5.3 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน (3 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน เทากันทุกประการ 2. นําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน ไปใชอางอิงในการพิสูจน ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรย้ําใหนักเรียนเห็นวาการตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูป ตองตรวจสอบการเทากันของความยาวของดานที่สมนัยกัน 3 คู และการเทากันของขนาดของมุมคูที่สมนัย A B C D E F E F A T
- 6. 78 กันอีก 3 คู และแนะนําวาในบทเรียนตอไปนี้เราสามารถตรวจสอบการเทากันของความยาวของดานหรือ ขนาดของมุมเพียง 3 คู ตามเงื่อนไขที่กําหนด ก็เปนการเพียงพอที่จะสรุปวารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทา กันทุกประการ ครูแนะนํารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน โดยใชกิจกรรม “สํารวจ ดาน – มุม – ดาน” ใหนักเรียนสํารวจวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการหรือไม จากการลงมือ ปฏิบัติโดยใชวิธีลอกรูปไปทับกันเพื่อเชื่อมโยงสูกรณีทั่วไปที่วา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน จะเทากันทุกประการ” ครูควรย้ําวา “รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปดังกลาวนี้ มีดานยาว เทากันสองคู และมุมที่มีขนาดเทากันนั้นตองเปนมุมที่อยูในระหวางดานคูที่ยาวเทากัน จึงจะเปนเงื่อนไขที่ เพียงพอที่จะสรุปวารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทากันทุกประการ” ครูใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางรูป สามเหลี่ยมสองรูปที่มีดานยาวเทากันสองคู และมุมที่มีขนาดเทากันไมเปนมุมที่อยูในระหวางดานคูที่ยาว เทากัน เชน จากรูป เห็นไดชัดวา ∆ ABC และ ∆ DEF ไมเทากันทุกประการ 2. ในหัวขอนี้นักเรียนจะฝกการใหเหตุผลแบบนิรนัยดวยการพิสูจนอยางเปนแบบแผน โดยไม เนนการใชตาราง จากโจทยปญหาการพิสูจนครูอาจแนะนําใหดําเนินการดังนี้ 1) นักเรียนอานและทําความเขาใจโจทยปญหา ดวยการพิจารณาวาโจทยกําหนดอะไรให บางและโจทยตองการใหพิสูจนอะไรโดยนํามาเขียนแสดงใน “กําหนดให” และ “ตองการพิสูจนวา” ตาม ลําดับ 2) ในการพิสูจน ครูอาจใชคําถามใหนักเรียนวิเคราะหยอนกลับจาก “ตองการพิสูจนวา” ผนวกกับ “บทนิยาม/สมบัติ” เพื่อหาเหตุผลเชื่อมโยงยอนกลับสู “กําหนดให” การตอบคําถามของนักเรียน จะทําใหไดแนวทางในการเขียนแสดงการพิสูจน ซึ่งนักเรียนจะตองพิจารณาวา มีขอมูลใดบางจากที่ระบุใน “กําหนดให” ที่นํามาใชไดผนวกกับ “บทนิยาม/สมบัติ” ที่นักเรียนเคยศึกษามาแลว นํามาเขียนอธิบาย เชื่อมโยงสูขอสรุปตามที่ระบุไวใน “ตองการพิสูจนวา” ขอแนะนําดังกลาวขางตนแสดงไดดวยแผนภาพ ดังนี้ F D EA B C
- 7. 79 การวิเคราะหยอนกลับ การเขียนแสดงการพิสูจน ตัวอยาง จากแบบฝกหัด 5.3 ขอ 6 ขอมูลจากโจทยนํามาเขียน “กําหนดให” และ “ตองการพิสูจนวา” ไดดังนี้ กําหนดให BC = AD และ CBA ∧ = DAB ∧ ตองการพิสูจนวา AC = BD และ CAB ∧ = DBA ∧ ในการวิเคราะหยอนกลับ ครูใชการถามตอบจาก “ตองการพิสูจนวา” ไปสู “กําหนดให” และสมบัติของ รูป ไดดังแผนภาพตอไปนี้ A B DC กําหนดให วิเคราะห “เหตุ” ที่ทําใหเกิด “ผล” บทนิยาม/สมบัติขอสรุปตามที่ระบุใน ตองการพิสูจนวา กําหนดให อธิบาย ใหเหตุผล บทนิยาม/สมบัติ ขอสรุปตามที่ระบุใน ตองการพิสูจนวา BC = AD CBA ∧ = DAB ∧ และ AB เปนดานรวม กําหนดให กําหนดให ∆ ABC ≅ ∆ BAD AC = BD CAB ∧ = DBA ∧ ตองการพิสูจนวา
- 8. 80 จากแผนภาพขางตน เขียนแสดงการพิสูจนจาก “กําหนดให” ไปสู “ตองการพิสูจนวา” ไดดังนี้ พิสูจน พิจารณา ∆ ABC และ ∆ BAD BC = AD (กําหนดให) CBA ∧ = DAB ∧ (กําหนดให) AB = BA (AB เปนดานรวม) ดังนั้น ∆ ABC ≅ ∆ BAD (ด.ม.ด.) จะได AC = BD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) และ CAB ∧ = DBA ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) 3. ครูควรฝกใหนักเรียนใชการวิเคราะหยอนกลับในการพิสูจนทางเรขาคณิต ซึ่งสวนใหญจะทํา ใหนักเรียนสามารถพิสูจนไดดวยตนเอง การฝกดังกลาวในระยะแรก ครูควรใชการถามตอบเพื่อเปนแนว ทางกอน หลังจากนั้นจึงใหนักเรียนวิเคราะหดวยตนเอง 5.4 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม (3 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม เทากันทุกประการ 2. นําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม ไปใชอางอิงในการพิสูจน ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูแนะนํารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม และใหนักเรียนสํารวจวา รูป สามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทากันทุกประการหรือไม โดยใชกิจกรรม “สํารวจมุม – ดาน – มุม” กิจกรรมนี้จะ ทําใหนักเรียนคุนเคยกับรูปสามเหลี่ยมที่สัมพันธกันแบบ ม.ด.ม. และเชื่อมโยงสูสมบัติของความเทากันทุก ประการของรูปสามเหลี่ยมที่วา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม จะเทากัน ทุกประการ” ซึ่งเปนอีกเงื่อนไขหนึ่งในการตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ที่พิจารณา จากความเทากันของขนาดของมุมสองคู และความยาวของดานซึ่งเปนแขนรวมของมุมทั้งสองเทานั้น
- 9. 81 5.5 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน (2 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน เทากันทุกประการ 2. นําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน ไปใชอางอิงในการพิสูจน ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูแนะนํารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน และใหนักเรียนสํารวจวา รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทากันทุกประการหรือไม โดยใชกิจกรรม “สํารวจดาน – ดาน – ดาน” เพื่อให นักเรียนคุนเคยกับรูปสามเหลี่ยมที่สัมพันธกันแบบ ด.ด.ด. และเชื่อมโยงสูสมบัติของความเทากัน ทุกประการของรูปสามเหลี่ยมที่วา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน จะ เทากันทุกประการ” ซึ่งเปนอีกเงื่อนไขหนึ่งในการตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม โดยพิจารณาจากความยาวที่เทากันของดานสามคูเทานั้น โดยไมตองพิจารณาจากขนาดของมุม 5.6 การนําไปใช (3 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วได 2. นําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบใดแบบ หนึ่งคือ ดาน – มุม – ดาน มุม – ดาน – มุม และดาน – ดาน – ดาน ไปใชอางอิงในการ พิสูจนและแกปญหาได เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 5.6 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการจัดกิจกรรมเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ครูควรยกตัวอยางรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วที่อยู ในสิ่งแวดลอมรอบตัว เพื่อนําเขาสูบทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วบนระนาบ ที่กลาววา “รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีดานสองดานยาวเทากัน” 2. สําหรับกิจกรรม “สํารวจรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว” มีเจตนาใหนักเรียนสํารวจและคนหาสมบัติ ของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วดวยตนเอง โดยใชคําถามเปนกรอบในการกระตุนใหนักเรียนคนหาคําตอบ และ นําสมบัติของความเทากันทุกประการมาใชในการอธิบายใหเหตุผล นอกจากนี้ครูควรแนะนําใหนักเรียน แยกแยะระหวางบทนิยามกับสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว เชน “มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมี
- 10. 82 ขนาดเทากัน” เปนสมบัติไมใชบทนิยาม แตอยางไรก็ตามนักเรียนสามารถนําทั้งบทนิยามและสมบัติของ รูปสามเหลี่ยมหนาจั่วไปใชอางอิงในการพิสูจนได 3. ในตัวอยางที่ 2 ของหัวขอนี้ไดแสดงการนําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูป สามเหลี่ยมไปใชในการพิสูจนการสรางพื้นฐานบางขอทางเรขาคณิตที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว เพื่อเปนการ ยืนยันวาผลจากการสรางนั้นเปนจริง รูปแบบการเขียนแสดงคําตอบของโจทยปญหาเกี่ยวกับการสรางใน ชั้นนี้จะประกอบดวย รูปที่สราง กําหนดให ตองการสราง วิธีสราง ตองการพิสูจนวา และ พิสูจน สําหรับการพิสูจน ขอมูลที่นํามาใชอางเหตุผลในโจทยปญหาเกี่ยวกับการสรางมีความแตกตาง จากโจทยปญหาการพิสูจนทั่วไป กลาวคือ สามารถนํากําหนดให บทนิยาม/สมบัติ และ ขั้นตอนในวิธี สรางมาเชื่อมโยงเปนเหตุผล เพื่อนําไปสูขอสรุปตามที่ตองการ 4. เพื่อใหนักเรียนเห็นความเชื่อมโยงของเนื้อหาสาระเรื่องความเทากันทุกประการกับชีวิตจริง ครู อาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 5.6 เพิ่มเติม คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบกิจกรรม “สมบัติอื่น ๆ ของความเทากันทุกประการ” 1. เทากันทุกประการ 2. เทากันทุกประการ 3. เทากันทุกประการ คําตอบกิจกรรม “ทําอยางไร”
- 11. 83 80o 30o A 70o B C D 80o 30o 70o E F คําตอบแบบฝกหัด 5.1 1. เปนจริง เพราะ ความเทากันทุกประการ มีสมบัติถายทอด 2. เปนจริง เพราะ ความเทากันทุกประการ มีสมบัติสมมาตร 3. เปนจริง เพราะ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน มีดานยาวเทากัน วางทับกันได สนิท จึงเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เทากันทุกประการ 4. ไมเปนจริง เพราะ รูปสี่เหลี่ยมผืนผาสองรูปที่มีพื้นที่เทากันอาจมีความกวางและความยาวไมเทากัน จึงไมจําเปนตองเปนรูปที่เทากันทุกประการดังตัวอยาง ABCD และ PQRS 5. ไมเปนจริง เพราะ รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขนาดของมุมเทากันสามคู ไมจําเปนตองมีความยาว ของดานเทากัน ดังตัวอยาง ∆ ABC และ ∆ DEF 6. เปนจริง เพราะ รูปสามเหลี่ยมดานเทาสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน มีดานยาวเทากัน วางทับกันไดสนิท จึงเปนรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ 7. เปนจริง เพราะ รูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทาสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน มีดานยาวเทากันกับ รัศมีของวงกลมเดียวกัน วางทับกันไดสนิท จึงเปนรูปหกเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ 8. ไมเปนจริง เพราะ รูปสี่เหลี่ยมสองรูปที่มีดานยาวเทากันทั้งสี่ดานอาจเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเปน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน ซึ่งมีขนาดของมุมไมเทากัน จึงไมจําเปนตองเปน รูปสี่เหลี่ยมที่เทากันทุกประการ 20 ตารางหนวย 4 5P Q RS 20 ตารางหนวย 2 10A B CD
- 12. 84 คําตอบแบบฝกหัด 5.2 1. 1) AB กับ XY ∧ A กับ ∧ X BC กับ YZ และ ∧ B กับ ∧ Y AC กับ XZ ∧ C กับ ∧ Z 2) PQ กับ PS RQP ∧ กับ RSP ∧ PR กับ PR และ RPQ ∧ กับ RPS ∧ QR กับ SR QRP ∧ กับ SRP ∧ 3) MP กับ NP OMP ∧ กับ ONP ∧ PO กับ PO และ MOP ∧ กับ NOP ∧ MO กับ NO OPM ∧ กับ OPN ∧ 4) XO กับ YO OXA ∧ กับ OYB ∧ AO กับ BO และ AOX ∧ กับ BOY ∧ AX กับ BY OAX ∧ กับ OBY ∧ 2. 1) AB = ED CAB ∧ = FED ∧ BC = DF และ CBA ∧ = FDE ∧ AC = EF BCA ∧ = DFE ∧ 2) TO = GU PTO ∧ = NGU ∧ OP = UN และ POT ∧ = NUG ∧ TP = GN OPT ∧ = UNG ∧ 3) BI = BO GBI ∧ = YBO ∧ IG = OY และ GIB ∧ = YOB ∧ BG = BY IGB ∧ = OYB ∧
- 13. 85 4) CA = RA TCA ∧ = TRA ∧ AT = AT และ TAC ∧ = TAR ∧ TC = TR ATC ∧ = ATR ∧ คําตอบกิจกรรม “ความเทากันทุกประการของรูปหลายเหลี่ยม” AC กับ RS ∧ A กับ ∧ R CK กับ SE ∧ C กับ ∧ S KB กับ EH และ ∧ K กับ ∧ E BL กับ HO ∧ B กับ ∧ H LA กับ OR ∧ L กับ ∧ O คําตอบกิจกรรม “สํารวจ ดาน – มุม – ดาน” รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กําหนดใหในแตละขอเทากันทุกประการ คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 5.3 1. เทากันทุกประการ เพราะ ∆ WSN และ ∆ ENS มีความสัมพันธแบบ ด.ม.ด. 2. เนื่องจาก PS = RS (กําหนดให) QPS ∧ = QRS ∧ (กําหนดให) PQ = RQ (กําหนดให) ดังนั้น ∆ PQS ≅ ∆ RQS (ด.ม.ด.) N E SW S Q P R
- 14. 86 3. เนื่องจาก AC = DO (กําหนดให) BCA ∧ = EOD ∧ (กําหนดให) BC = EO (กําหนดให) ดังนั้น ∆ ACB ≅ ∆ DOE (ด.ม.ด.) 4. เนื่องจาก NK = LM (ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวเทากัน) LKN ∧ = NML ∧ (มุมภายในแตละมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีขนาด 90o ) KL = MN (ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวเทากัน) ดังนั้น ∆ NKL ≅ ∆ LMN (ด.ม.ด.) 5. เนื่องจาก AD = BC (ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวเทากัน) DAM ∧ = CBM ∧ (มุมภายในแตละมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีขนาด 90o ) AM = BM (กําหนดใหจุด M เปนจุดกึ่งกลางของ AB) จะได ∆ ADM ≅ ∆ BCM (ด.ม.ด.) A D E O C B K L MN A M B CD
- 15. 87 ดังนั้น DM = CM (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) และ MDA ∧ = MCB ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) 6. ดูรายละเอียดหนา 80 – 81 7. เนื่องจาก AP = CP (กําหนดให BD แบงครึ่ง AC ที่จุด P) BPA ∧ = DPC ∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) BP = DP (กําหนดให AC แบงครึ่ง BD ที่จุด P) จะได ∆ ABP ≅ ∆ CDP (ด.ม.ด.) ดังนั้น AB = CD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) และ PBA ∧ = PDC ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) ในทํานองเดียวกันจะพิสูจนไดวา AD = CB และ PAD ∧ = PCB ∧ 8. 12 เซนติเมตร จากกําหนดใหจะพิสูจนไดวา ∆ AIP ≅ ∆ ARL (ด.ม.ด.) จะได AP = AL เนื่องจาก AP = 12 เซนติเมตร ดังนั้น AL = 12 เซนติเมตร A B CD P A P R I L
- 16. 88 คําตอบกิจกรรม “สํารวจ มุม – ดาน – มุม” รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กําหนดใหในแตละขอ เทากันทุกประการ คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 5.4 1. เทากันทุกประการ เพราะ ∆ ABC และ ∆ DEF มีความสัมพันธแบบ ม.ด.ม. 2. เนื่องจาก TRA ∧ = CIP ∧ (กําหนดให) RT = IC (กําหนดให) RTA ∧ = ICP ∧ (กําหนดให) ดังนั้น ∆ ART ≅ ∆ PIC (ม.ด.ม.) 3. เนื่องจาก OAB ∧ = OCD ∧ (กําหนดให) AO = CO (กําหนดให) BOA ∧ = DOC ∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) จะได ∆ AOB ≅ ∆ COD (ม.ด.ม.) ดังนั้น BO = DO (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) A C B E F D IAPR T C O A B D C
- 17. 89 4. เนื่องจาก EDA ∧ = SKA ∧ (กําหนดให) AD = AK (กําหนดให) EAD ∧ = SAK ∧ (กําหนดให) จะได ∆ ADE ≅ ∆ AKS (ม.ด.ม.) ดังนั้น AE = AS (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) 5. เนื่องจาก TQP ∧ = SRP ∧ (กําหนดให) PQ = PR (กําหนดให) TPQ ∧ = SPR ∧ ( TPQ ∧ เปนมุมรวม) ดังนั้น ∆ PQT ≅ ∆ PRS (ม.ด.ม.) 6. เนื่องจาก BDA ∧ = ACB ∧ (กําหนดให) DB = CA (กําหนดให) DBA ∧ = CAB ∧ (กําหนดให) D E S K A P S T RQ D C BA
- 18. 90 A B E CFD 50o 50o 30 ซม. 30 ซม. จะได ∆ ADB ≅ ∆ BCA (ม.ด.ม.) ดังนั้น BAD ∧ = ABC ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) 7. เนื่องจาก FAD ∧ = EAB ∧ (กําหนดให) AD = AB (ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวเทากัน) FDA ∧ = EBA ∧ (มุมภายในแตละมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีขนาด 90 องศา) จะได ∆ ADF ≅ ∆ ABE (ม.ด.ม.) ดังนั้น AF = AE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) 8. ความคิดของรานคาถูกตอง เมื่อให ∆ ABO และ ∆ DCO แทนรูปใบพัด แตละขางและจุด O เปนจุดหมุนของใบพัด OBA ∧ = OCD ∧ = 50o (กําหนดให) BO = CO = 30 ซม. (กําหนดให) BOA ∧ = COD ∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) ดังนั้น ∆ ABO ≅ ∆ DCO (ม.ด.ม.) นั่นคือ แบบใบพัดสองขางมีขนาดเทากัน B O A C D
- 19. 91 คําตอบกิจกรรม “สํารวจ ดาน – ดาน – ดาน” รูปสามเหลี่ยมสองรูปในแตละขอเทากันทุกประการ แนวการพิสูจนแบบฝกหัด 5.5 1. เนื่องจาก AB = CD (กําหนดให) DA = BC (กําหนดให) BD = DB (BD เปนดานรวม) จะได ∆ ABD ≅ ∆ CDB (ด.ด.ด) ดังนั้น BD แบงรูปสี่เหลี่ยม ABCD ออกเปนรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากัน ทุกประการ 2. เนื่องจาก AC = BD (กําหนดให) BC = AD (กําหนดให) AB = BA (AB เปนดานรวม) จะได ∆ ABC ≅ ∆ BAD (ด.ด.ด) ดังนั้น BCA ∧ = ADB ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) D CB A C A B D
- 20. 92 3. เนื่องจาก AB = AC (กําหนดให) BD = CD (กําหนดให) AD = AD (AD เปนดานรวม) จะได ∆ ABD = ∆ ACD (ด.ด.ด) ดังนั้น DAB ∧ = DAC ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ AD แบงครึ่ง CAB ∧ 4. เนื่องจาก CT = MN (กําหนดให) AT = AN (กําหนดให) AC = AM (กําหนดให) จะได ∆ ACT ≅ ∆ AMN (ด.ด.ด) ดังนั้น TAC ∧ = NAM ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) A D B C C T A N M
- 21. 93 5. เนื่องจาก PS = QR (กําหนดให) PR = QS (กําหนดให) SR = RS (SR เปนดานรวม) จะได ∆ PSR ≅ ∆ QRS (ด.ด.ด) ดังนั้น RSP ∧ = SRQ ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก RSP ∧ = 100o (กําหนดให) ดังนั้น SRQ ∧ = 100o (สมบัติถายทอด) คําตอบกิจกรรม “สํารวจรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว” กิจกรรมที่ 1 1. เทากันทุกประการ เพราะ มีความสัมพันธแบบ ด.ม.ด. 2. เทากัน เพราะ มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน 3. เทากัน เพราะ ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน 4. เทากัน เพราะ มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน 5. เทากัน 6. 180o เพราะ BDA ∧ + CDA ∧ = CDB ∧ ที่เปนมุมตรงมีขนาด 180o 7. BDA ∧ = 90o เพราะ เนื่องจาก BDA ∧ = CDA ∧ จะได B)D2(A ∧ = BDA ∧ + CDA ∧ = 180o (สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น BDA ∧ = 2 180 = 90o 8. AD ตั้งฉากกับ BC เพราะ BDA ∧ มีขนาด 90o Q S R P
- 22. 94 กิจกรรมที่ 2 1. ∆ ABD ≅ ∆ ACD เพราะ มีความสัมพันธแบบ ด.ด.ด. 2. เทากัน เพราะ มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน 3. AD ตั้งฉากกับ BC เพราะ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว และ AD แบงครึ่ง CAB ∧ ที่เปนมุมยอด จึงมีผลเปนไปตามขอ 8 ของกิจกรรมที่ 1 คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 5.6 1. 13, 13 เซนติเมตร หรือ 10, 16 เซนติเมตร แนวคิด กรณีที่ 1 ถาใหฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วยาว 10 เซนติเมตร จะไดความยาวของดานประกอบมุมยอดแตละดานเปน 13 เซนติเมตร กรณีที่ 2 ถาใหดานประกอบมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วยาวดานละ 10 เซนติเมตร จะไดความยาวของฐานเปน 16 เซนติเมตร 2. 64, 64 องศา หรือ 52, 76 องศา แนวคิด กรณีที่ 1 ถาใหมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด 52 องศา จะไดมุมที่ฐานมีขนาดมุมละ 2 52180− = 64oA 52o B C A B C10 ซม. B C 10 ซม. A
- 23. 95 กรณีที่ 2 ถาใหมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดมุมละ 52 องศา จะไดขนาดของมุมยอดเปน 180 – 2(52) = 180 – 104 = 76o 3. มี 3 รูป แนวคิด เนื่องจาก มีสมบัติประการหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมกลาววา “ผลบวกของความยาวของดานสองดาน ของรูปสามเหลี่ยมยาวกวาดานที่สาม” ดังนั้น ความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วที่มีความยาวรอบรูป 16 หนวย จึงมีได ดังนี้ ความยาวของดานประกอบมุมยอด (หนวย) ความยาวของฐาน (หนวย) 7 6 5 7 6 5 2 4 6 4. 1) เทากัน เนื่องจาก AC = AD (กําหนดให) จะได ∆ ACD เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (มีดานยาวเทากันสองดาน) ดังนั้น DCA ∧ = CDA ∧ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดเทากัน) DCA ∧ = BCF ∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกันแลว มุมตรงขามมี และ CDA ∧ = EDG ∧ ขนาดเทากัน) นั่นคือ BCF ∧ = EDG ∧ (สมบัติถายทอด) B E A C D F G A 52o 52o B C
- 24. 96 2) เทากัน เนื่องจาก ACB ∧ + DCA ∧ = ADE ∧ + CDA ∧ = 180o (แตละคูเปนมุมตรง มีขนาด 180 องศา) และ DCA ∧ = CDA ∧ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดเทากัน) ดังนั้น ACB ∧ = ADE ∧ (สมบัติของการเทากัน) 5. เนื่องจาก AB = AC (ดานของรูปสามเหลี่ยมดานเทายาวเทากัน) จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ดังนั้น CBA ∧ = BCA ∧ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดเทากัน) ในทํานองเดียวกันจะได CAB ∧ = BCA ∧ ดังนั้น CBA ∧ = CAB ∧ = BCA ∧ (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ มุมภายในแตละมุมของรูปสามเหลี่ยมดานเทามีขนาดเทากัน 6. เนื่องจาก DBA ∧ = DBC ∧ (กําหนดให) BD = BD (BD เปนดานรวม) BDA ∧ = BDC ∧ = 90o (กําหนดให) จะได ∆ ABD ≅ ∆ CBD (ม.ด.ม.) ดังนั้น AB = CB (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) นั่นคือ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) A B C C D A B
- 25. 97 7. 1) เนื่องจาก AB = AC (กําหนดให) DBA ∧ = ECA ∧ (กําหนดให) DB = EC (กําหนดให) จะได ∆ ABD ≅ ∆ ACE (ด.ม.ด.) ดังนั้น AD = AE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) 2) เนื่องจาก DB = EC (กําหนดให) จะได DB+BC = EC + CB (สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น DC = EB เนื่องจาก AC = AB (กําหนดให) AD = AE (ผลที่ไดจากขอ 1)) จะได ∆ ACD ≅ ∆ ABE (ด.ด.ด.) 8. เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว และ CE เปนเสนแบงครึ่ง BCA ∧ ที่เปนมุมยอด (กําหนดให) ดังนั้น CE แบงครึ่งและตั้งฉากกับฐาน AB (สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) จะได AE = BE และ CEA ∧ = CEB ∧ = 90o เนื่องจาก DE = DE (DE เปนดานรวม) จะได ∆ ADE ≅ ∆ BDE (ด.ม.ด.) D A CB E A BE C D
- 26. 98 A CB D E P RQ M N ดังนั้น EDA ∧ = EDB ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) และ AD = BD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) นั่นคือ ∆ ADB เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (มีดานยาวเทากันสองดาน) 9. กําหนดให CBA ∧ มีขนาดพอสมควร ดังรูป แนวการสราง RQP ∧ ใหมีขนาดเทากับขนาดของ CBA ∧ 1. ลาก QR 2. ใชจุดB เปนจุดศูนยกลาง รัศมีพอสมควร เขียนสวนโคงตัด BC และ BA ที่จุดD และ จุดE ตามลําดับ 3. ใชจุดQ เปนจุดศูนยกลาง รัศมี BD เขียนสวนโคงตัด QR ที่จุด M 4. ใชจุดM เปนจุดศูนยกลาง รัศมี DE เขียนสวนโคงตัดสวนโคงในขอ3 ที่จุด N 5. ลาก QP ผานจุดN จะได RQP ∧ มีขนาดเทากับขนาดของ CBA ∧
- 27. 99 แนวการพิสูจนวา RQP ∧ = CBA ∧ ลาก MN และ DE QM = BD (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน) QN = BE (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน) MN = DE (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน) จะได ∆ MQN ≅ ∆ DBE (ด.ด.ด.) ดังนั้น NQM ∧ = EBD ∧ หรือ RQP ∧ = CBA ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) 10. กําหนดให AB ยาวพอสมควร ดังรูป แนวการสราง CD ใหแบงครึ่ง AB ที่จุด O 1. ใชจุด A และจุด B เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัดกันที่จุด C และจุด D 2. ลาก CD ตัด AB ที่จุด O จะได CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O แนวการพิสูจนวา CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O A B D C A BO
- 28. 100 ลาก AC, BC, AD และ BD เนื่องจาก AC = BC (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน) AD = BD (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน) CD = CD (CD เปนดานรวม) จะได ∆ ACD ≅ ∆ BCD (ด.ด.ด.) ดังนั้น OCA ∧ = OCB ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) CO = CO (CO เปนดานรวม) และมีอยูแลววา AC = BC จะได ∆ AOC ≅ ∆ BOC (ด.ม.ด.) ดังนั้น AO = BO (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) ดังนั้น CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O 11. ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ตามแนวการพิสูจน ดังนี้ เนื่องจาก AO = AO (AO เปนดานรวม) DOA ∧ = BOA ∧ = 90o (กําหนดให) DO = BO (กําหนดให) จะได ∆ ADO ≅ ∆ ABO (ด.ม.ด.) ดังนั้น AD = AB (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) ในทํานองเดียวกันจะพิสูจนไดวา CD = CB ดังนั้น ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมรูปวาว A BD C O
- 29. 101 11. สายลวดทั้งสองเสนยาวเทากัน และมุมที่สายลวด ทั้งสองเสนทํากับพื้นดินมีขนาดเทากัน ตามแนว การพิสูจนจากแบบจําลองดังนี้ สราง ∆ QPR โดยมี QS แทนเสาไฟฟาซึ่งตั้งฉาก กับ PR เนื่องจาก PS = RS (กําหนดให) QSP ∧ = QSR ∧ = 90o (กําหนดให) QS = QS (QS เปนดานรวม) จะได ∆ PQS ≅ ∆ RQS (ด.ม.ด.) ดังนั้น PQ = RQ (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) และ SPQ ∧ = SRQ ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ สายลวดทั้งสองเสนยาวเทากัน และมุมที่สายลวดทั้งสองเสนทํากับพื้นดินมีขนาด เทากัน คําตอบกิจกรรม “ทราบหรือไม” ชางสํารวจใชความสัมพันธแบบ ม.ด.ม. P R Q S P R Q S
- 30. 102 คําตอบกิจกรรม “โครงสรางของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม” ตัวอยางคําตอบ ปฏิทินตั้งโตะ โครงสรางเสาไฟฟาแรงสูง โครงสรางสะพานขามแมน้ํา โตะรองรีดผา ฯลฯ
- 32. 104 กิจกรรมเสนอแนะ 5.6 กิจกรรมนี้มีจุดประสงคใหนักเรียนสามารถนําสมบัติของความเทากันทุกประการของ รูปสามเหลี่ยมไปใชแกปญหาและอธิบายเหตุการณในชีวิตประจําวัน ปญหาที่ 1 ซอมผนังหอง ริมผนังหองแหงหนึ่งเวาแหวงหลุดหายไปเปน รูปสามเหลี่ยม ดังรูป ถาวัดความยาวของดานสองดานของชองรูปสามเหลี่ยม และมุมในระหวางดานสองดานนี้ จะไดขอมูลที่เพียงพอสําหรับ นําไปใชเพื่อตัดแผนไมรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการกับชอง รูปสามเหลี่ยมไดหรือไม ปญหาที่ 2 สรางโครงหลังคา ชางกอสรางสรางแบบของโครงหลังคาชุดหนึ่งไว แลวสรางโครงหลังคาชุดอื่น ๆ ดวยการวัดความยาวของทอเหล็ก สามชิ้นและตําแหนงบนทอที่จะนําทอเหล็กมาประกอบกันเปน โครงรูปสามเหลี่ยมเทานั้น โดยไมวัดขนาดของมุมเลย โครงหลัง คาที่สรางไดแตละชุดเทากันทุกประการกับแบบของโครงหลังคา หรือไม เพราะเหตุใด ปญหาที่ 3 หาความกวางของสระน้ํา มีสระน้ําอยูกลางทุงนา ใหนักเรียนนําเสนอแนวคิด ในการหาความกวางของสระน้ํา (ตามแนวเสนประ) โดยใช สมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
- 33. 105 คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 5.6 ปญหาที่ 1 ซอมผนังหอง แผนไมรูปสามเหลี่ยมที่ตัดไดกับรูปสามเหลี่ยมบนผนังหองที่เวาแหวง เทากันทุกประการ ดวยสมบัติ ด.ม.ด. ปญหาที่ 2 สรางโครงหลังคา โครงหลังคารูปสามเหลี่ยมเทากันทุกประการดวยสมบัติ ด.ด.ด. ปญหาที่ 3 หาความกวางของสระน้ํา (ขนาดของ AB) ตัวอยางคําตอบ 1. ลาก AC ยาวพอสมควร ให O เปนจุดกึ่งกลางของ AC 2. ลาก BO ตอ BO ถึง D ให BO = OD 3. ลาก CD จะได AB = CD ซึ่งสามารถหาความยาว CD ไดจากการวัดโดยตรง การแสดงวา AB = CD ทําไดโดยพิจารณา ∆ ABO และ ∆ CDO ซึ่งมี AO = CO, BOA ∧ = DOC ∧ และ BO = DO จากการสราง ดังนั้น ∆ ABO ≅ ∆ CDO (ด.ม.ด.) ผลที่ตามมาคือ AB = CD เพราะเปนดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ ตัวอยางคําตอบที่นําเสนอนี้ใชเพียงเครื่องมือวัดระยะทางโดยไมตองใชเครื่องมือวัดขนาดของมุม นักเรียนอาจนําเสนอคําตอบอยางอื่น เชน ใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่สัมพันธกันแบบ ม.ด.ม. โดย กําหนดให OBA ∧ = ODC ∧ และ BO = OD ก็เพียงพอตอการพิสูจนวา ∆ ABO ≅ ∆ CDO A B O D C