Abstract image of a woman sitting on books and studying on a laptop

الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية

Dr Abd Allah Mousa, profile picture
Dr Abd Allah Mousa

يتناول الكتاب المعادلات التفاضلية من حيث نظريتها وتطبيقاتها، حيث يقدّم مؤلفوه د. بخيت نفيع المطرفي ود. عبد الله عبد الله موسى محتوى علمياً شاملاً يستهدف طلبة العلوم والهندسة. يتضمن الكتاب تفسيراً مفصلاً للمعادلات التفاضلية، ويتناول طرق الحلول المختلفة، بما في ذلك الحلول التحليلية والعددية، بالإضافة إلى تمارين متنوعة لتعزيز الفهم.

1 of 65
Downloaded 889 times
1
2
3
4
5
Most read
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Most read
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
Most read
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
‫المملكة العربية السعودية‬ ‫وزارة التعليم العالي‬ ‫جامعة الطائف‬ ‫إدارة النشر العلمي‬ ‫املعادالت التفاضلية‬ ‫النظرية والتطبيق‬ ‫الدكتور‬ ‫الدكتور‬ ‫عبد هللا عبد هللا موسى‬ ‫بخيت نفيع المطرفي‬ ‫الطبعة األولى‬ ‫1133هـ- 2312 م‬
‫المعادالت التفاضلية : النظرية والتطبيق‬ ‫د. بخيت نفيع مرزوق المطرفي‬ ‫د. عبد اهلل عبد اهلل محمد موسى‬ ‫© حقوق النشر محفوظة لجامعة الطائف‬ ‫جامعة الطائف- الحوية‬ ‫رمز بريدي: 21974‬ ‫المملكة العربية السعودية‬ ‫(ح) جامعة الطائف 1127هـ‬ ‫فهرسة مكتبة الملك فهد الوطنية أثناء النشر‬ ‫المطرفي، بخيت نفيع مرزوق‬ ‫المع ــادالت التفاض ــلية: النظري ــة والتطبي ــق. / بخي ــت نفي ــع م ــرزوق المطرف ــي،‬ ‫عبد اهلل عبد اهلل موسى- الطائف، 1127هـ‬ ‫091 ص، 17×24س‬ ‫ردمك : 6-99-1603-106-319‬ ‫المعادالت التفاضلية أ. موسى، عبداهلل عبداهلل (مؤلف مشارك)‬ ‫ب- العنوان‬ ‫9312/1127‬ ‫ديوي 565‬ ‫رقم اإليداع: 9312/1127‬ ‫ردمك : 6-99-1603-106-319‬ ‫التصميم المعلوماتي والج افيكي د/مجدي حسين النحيف‬ ‫ر‬ ‫الطبعة األولى: 1127ه/4704م‬
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
‫المقدمة‬ ‫مقدمــــــــة‬ ‫بســم اهلل الــرحمن الــرحيم، الحمــد هلل رب العــالمين، والص ـ و والس ـ م علــى خيــر خلــق‬ ‫اهلل أجمعــين محمــد بــن عبــد اهلل، الرســوا الصــادق الوعــد األمــين صــلى اهلل عليـ وعلــى لـ‬ ‫وصحب أجمعين .. أما بعد‬ ‫فهـ ا هــو أحــد المؤلفــات فــي سلســلة مؤلفــات عربيــة نســما اهلل أن يوف نــا إلكمالهــا وهــو‬ ‫مؤل ــف بلاتن ــا العربي ــة ، تل ــك اللا ــة الثري ــة ف ــي مفرداته ــا الاني ــة ف ــي ألفاظه ــا .. لاــة ال ــرن‬ ‫الكـريم، لاــة العــرب ولاــة العلــم. وأننــا ا ا ن ــدم هـ ا الجهــد المتواضــع الـ ي نضــيف الــى مــا‬ ‫كتــب باللاــة العربيــة فــي علــم الرياضــيات البــد أن نـ كر أن هـ ا الكتــاب ال يـ احم أقرنـ فــى‬ ‫ا‬ ‫ز‬ ‫ه ا المضمار، وانما يضيف اليهم أفكار جديدو ومتطو و، فعلى ال مم مـن وجـود العديـد مـن‬ ‫ـر‬ ‫ر‬ ‫اً‬ ‫ع ه ا المؤلف اال أننا نحسب ه ا الكتـاب قـد يسـد بعـق ال صـور‬‫الكتب العربية عن موضو‬ ‫الموجود في بعق المواضيع وكـ لك معالجـة بعـق المواضـيع األخـر التـي لـم يـتم تناولهـا‬ ‫باإلضافة الى ث ائ باألمثلة المتنوعة التي ح العديد من األفكار.‬ ‫تطر‬ ‫ر‬ ‫وب لك ظهر الكتاب في صورت ه ه والتـي نظنهـا ناقصـة وتفت ـر الـى الكمـاا والكمـاا‬ ‫هلل وحـده .. وحسـبنا أننـا حاولنـا واجتهــدنا فـي وضـع فـي صــو و الئ ـة. ومـا هـ ا الكتــاب اال‬ ‫ر‬ ‫طيل ــة س ــنوات ع ــدو‬ ‫ثمـ ـ و جه ــد دؤوب وعم ــا متواص ــا م ــن التحص ــيا والت ــدريس والبحـ ـ‬ ‫ر‬ ‫للمــؤلفين، ويعــد ه ـ ا الكتــاب مرجع ـاً هام ـاً فــي المعــادالت التفاضــلية العاديــة، وه ـ ا الكتــاب‬ ‫د‬ ‫موجـ ـ اساسـ ـاً لطـ ـ ب المرح ــا المتوس ــطة والمت ــمخ و م ــن كلي ــات الهندس ــة والمعاه ــد الفني ــة‬ ‫ر‬ ‫ا‬ ‫العليا. كما أن يتج أيضاً لط ب العلوم التطبي ية األخر من رياضيات وفيزيـاء وكيميـاء.‬ ‫ك ـ لك يتضــمن الكتــاب أج ـ اء كثي ـ و يمكــن أن تصــلم منهاج ـاً لط ـ ب الدرســات العليــا فــى‬ ‫ا‬ ‫زً ر‬ ‫التخصصات الهندسية المختلفـة وكـ لك تخصصـات العلـوم التطبي يـة. ول ـد اعينـا أن تكـون‬ ‫ر‬ ‫معالج ــة المس ــائا العلمي ــة بطري ـ ـة رتيب ــة منهجي ــة تب ــدأ بالص ــيامة والنم ج ــة ث ــم تنت ــا ال ــي‬ ‫اإلجـ ـ اءات والح ــا ث ــم أخيـ ـر تنته ــي بتفس ــير النت ــائل ومحاول ــة اعطائه ــا التفس ــير الهندس ــي‬ ‫اً‬ ‫ر‬ ‫والفيزيائي‬ ‫يبتدئ الكتاب بعرق لمفهوم المعادالت التفاضلية وتبسـيط كـا المفـاهيم الخاصـة بهـا‬ ‫ومحاولة ج ب ال ئ لها، من خ ا تحليا بسيط وتتابع شيق. فـى األبـواب الثـاني والثالـ‬ ‫ار‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫- هـ-‬
‫المقدمة‬ ‫والربــع تــم ت ــديم المعــادالت التفاضــلية مــن الرتبــة األولــى والدرجــة األولــى، وك ـ لك الرتــب‬ ‫ا‬ ‫العليــا وأيضــا المعــادالت التفاضــلية مــن الــدرجات العليــا وطــرق حلهــا مــع ت ــديم العديــد مــن‬ ‫التطبي ــات الفيزيائيــة والهندســية لجعــا المحتــو أكثــر تشــوي ا وأقــرب لتحليــا ومحاكــاو نظــم‬ ‫هندســية ومشــاكا واقعيــة عــن كونـ أداو لحــا مســائا رياضــية ، و يلنــا تلــك األبـواب بالعديــد‬ ‫من التمارين العامة المتنوعة.‬ ‫وقــد أع ــب لــك البــاب الخــامس وفي ـ تــم درســة حــا المعــادالت التفاضــلية بــالطرق‬ ‫ا‬ ‫الت ريبية ( استخدام المتسلس ت )، و لك عوضا عن حلها تحليليـاً، وتـم فـي البـاب السـادس‬ ‫درســة حــا المعــادالت التفاضــلية عــددياً و لــك حــين يصــعب ايجــاد حــا تحليلــي لهــا، وتــم‬ ‫ا‬ ‫توظيف برنامل "المـات ب" ‪ MATLAB‬مـن خـ ا عمـا بـ امل لحـا المعـادالت التفاضـلية‬ ‫ر‬ ‫عددياً وك لك استخدام لتوقيع تلك الحلوا بيانياً، وتـم سـرد العديـد مـن الطـرق، و يـا هـ ان‬ ‫البابان بالعديد من التمـارين العامـة المتنوعـة. و فـي البـاب السـابع واألخيـر تـم ت ـديم تحويـا‬ ‫يعــد تحويــا البـ س‬ ‫البـ س لمــا لـ مــن أهميــة بالاــة فــي حــا المعــادالت التفاضــلية، حيـ‬ ‫من أقو األدوات المسـتخدمة لحـا المعـادالت التفاضـلية الخطيـة، وتـم تـ ييا البـاب بالعديـد‬ ‫من التمارين العامة المتنوعة.‬ ‫وختمنا الكتاب بملحق يحتوي على مرشد وجيـز فـي "المـات ب" ‪ ،MATLAB‬ولـيس‬ ‫درجـات السـلم التـي البـد أن يرت يهـا‬ ‫يـر الباحـ‬ ‫ه ا سو مرشد لينير بداية الطريق بحيـ‬ ‫يريد، ونرجو أن يكون ه ا الكتاب فاتحة لسلسلة مـن المؤلفـات التـي نسـما‬ ‫ليصا الى حي‬ ‫ها خدمة للعلم واث اء للمعرفة .‬ ‫ر‬ ‫اهلل تعالى أن يساعدنا على انجاز‬ ‫واهلل تعالى من و اء ال صد .....وهو ولي التوفيق.‬ ‫ر‬ ‫المؤلفان‬ ‫الطائف – محرم 1127هـ‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫- وـ-‬
‫الفهـــــــــارس‬
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
‫فهرس المحتويات‬ ‫أوًا:ًفهرسًالمحتوياتً‬ ‫ل‬ ‫هـ-ًو‬ ‫المقدمــــــــةًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًً‬ ‫71-1ً‬ ‫البابًاألول:ً المبادىءًاألساسيةًوتصنيفًالمعادلتًالتفاضلية ً‬ ‫79-91ً‬ ‫البابًالثانى:ً المعادلتًالتفاضليةًمنًالرتبةًاألولىًوالدرجةًاألولىًًًً‬ ‫21‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫11‬ ‫‌ لا : فصل المتغي ات )‪(Separation of variables‬‬ ‫ر‬ ‫أو‬ ‫82‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلت يمكن تحويلها إلى معادلت يتم حلها بفصل‬ ‫المتغي ات‬ ‫ر‬ ‫23‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : المعادلت التفاضلية ذات المعامالت المتجانسة‬ ‫63‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلت تفاضلية تؤول إلى معادلت تفاضلية متجانسة‬ ‫ر‬ ‫14‬ ‫‌ خامس ا : المعادلة التفاضلية التامة (‪)Exact‬‬ ‫54‬ ‫‌ سادسا : معادلت تفاضلية تُحول إلى تامة عن طريق عامل المكاملة‬ ‫75‬ ‫‌ سابع ـ ا : المعادلت التفاضلية الخطية‬ ‫06‬ ‫‌ ثامنـ ـ ـ ا : معادلت تؤول إلى معادلت تفاضلية خطية‬ ‫76‬ ‫‌ تاسع ا : معادلة ريكاتي‬ ‫07‬ ‫‌ عاشر : طريقة تغيير البا امت ات (‪)Variation of Parameters‬‬ ‫ر ر‬ ‫ا‬ ‫27‬ ‫‌ الحادي عشر : تبديل المتغي ات المستقلة مكان المتغي ات التابعة‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫67‬ ‫‌ الثاني عشر : تطبيقات على المعادلت التفاضلية‬ ‫971-99ً‬ ‫المعادلتًالتفاضليةًالخطيةًمنًالرتبًالعليا ً‬ ‫البابًالثالث:ً‬ ‫101‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫901‬ ‫‌ لا : المعادلت التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت الثابتة‬ ‫أو‬ ‫711‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: طرق إيجاد الحل الخاص (‪) Particular Solution‬‬ ‫711‬ ‫(2-1) طريقة المؤثر التفاضلي العكسي‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫031‬ ‫(1-1) طريقة تغيير البارمت ات‬ ‫ا ر‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫141‬ ‫(3-1) طريقة المعامالت غير المحددة‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ط-‬ ‫‌‬
‫فهرس المحتويات‬ ‫251‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت المتغي ة‬ ‫ر‬ ‫122‬ ‫(2-3) معادلة كوشي أويلر )‪)Cauchy-Euler‬‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫522‬ ‫(1-3) معادلة ليجندر الخطية‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫602‬ ‫(3-3) طريقة التحليل )‪(Method of Factorization‬‬ ‫‌‬ ‫302‬ ‫(4-3) تخفيض الرتبة )‪(Reduction of order‬‬ ‫‌‬ ‫471‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا: مجموعة من المعادلت التفاضلية الخطية اآلنية‬ ‫ر‬ ‫971-181ً‬ ‫البابًال ابع:ً المعادلتًالتفاضليةًمنًالرتبةًًاألولىًوالدرجاتًالعلياً‬ ‫ر‬ ‫382‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫481‬ ‫‌ لا : معادلت تفاضلية تُستبدل بمعادلت تفاضلية من الدرجة األولى‬ ‫أو‬ ‫681‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: معادلت يمكن حلها بالنسبة إلى ‪x‬‬ ‫881‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: معادلت يمكن حلها بالنسبة الى ‪y‬‬ ‫191‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلة كليرو )‪(Clairaut Equation‬‬ ‫ر‬ ‫491‬ ‫‌ خامس ا: معادلة لج انج )‪(Lagrange's Equation‬‬ ‫ر‬ ‫البابًالخامس:ً حلًالمعادلتًالتفاضليةًباستخدامًالمتسلسالتًالالنهائيةًًًً 240-771ً‬ ‫102‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫502‬ ‫‌ لا : مفكوك تيلور (‪)Taylor‬‬ ‫أو‬ ‫012‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : الحل قرب النقطة العادية‬ ‫222‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـا: الحل قرب النقطة الشاذة المنتظمة (فروبينيس) (‪)Frobenius‬‬ ‫البابًالسادس: ً الحلولًالعدديةًللمعادلتًالتفاضليةًالعاديةًًًًًًًًًًًً 880-140ً‬ ‫341‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫442‬ ‫‌ لا : طريقة أويلر( ‪ )Euler‬لحل المعادلت التفاضلية العادية‬ ‫أو‬ ‫352‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـا: طريقة رونج كوتا من الرتبة الثانية لحل المعادلت التفاضلية‬ ‫362‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة‬ ‫ر‬ ‫172‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـا: طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل مجموعة من‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫المعادلت التفاضلية ذات الرتبة األولى‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ي-‬ ‫‌‬
‫فهرس المحتويات‬ ‫372‬ ‫‌ خامس ا : طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل المعادلت التفاضلية‬ ‫ر‬ ‫من الرتبة الثانية‬ ‫082‬ ‫‌ سادس ا : طريقة الفروق المحدودة لحل المعادلت التفاضلية العادية‬ ‫933-780ً‬ ‫ًًًًًًًًًًًًًًًًًًً‬ ‫البابًالسابع :ً تحويالتًًلبالسًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًً‬ ‫192‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫492‬ ‫‌ لا : تحويالت لبالس لبعض الدوال‬ ‫أو‬ ‫892‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : خواص تحويالت لبالس‬ ‫013‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: تحويالت لبالس العكسي‬ ‫523‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا: تحويالت لبالس لحل المعادلت التفاضلية الخطية العادية‬ ‫ر‬ ‫ذات المعامالت الثابتة‬ ‫133‬ ‫‌ خامس ا: حل مجموعة من المعادلت التفاضلية الخطية‬ ‫333‬ ‫‌ سادسا : معادلة فولتر التكاملية (‪)Volterra integral equation‬‬ ‫ا‬ ‫443-733ً‬ ‫الـملحق : المرشدًالوجيزًفيً‪ًًًًًًًًًًًًًًًًً ًًًًًًًMATLAB‬‬ ‫203‬ ‫الم اجع ً‬ ‫ر‬ ‫963‬ ‫دليلًالمصطلحاتًً‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ك-‬ ‫‌‬
‫فهرس األشكال‬ ‫ثانيـــــــــــــً:ًفهرسًاألشكالً‬ ‫ا‬ ‫3‬ ‫شكلً(1-1): عائلة الدوال ‪ y  x 2  c‬لقيم مختلفة من الثابت ‪c‬‬ ‫12‬ ‫2‪x‬‬ ‫‪ y  ce‬لقيم 3‪ً c  1, 2, ‬‬ ‫2‬ ‫شكل(0-1):ًعائلة الدوال‬ ‫41‬ ‫شكلً(1-0): قانون نيوتن الثاني للحركةً‬ ‫01‬ ‫عة مع الزمنً‬‫شكلً(0-0): منحنى السر‬ ‫05‬ ‫شكلً(3-0): سقوط جسمً‬ ‫95‬ ‫شكلً(4-2): هبوط الجهد لكل من المكثف والملف والمقاومةً‬ ‫68‬ ‫شكلً(5-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف‬ ‫ر‬ ‫28‬ ‫شكلً(4-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة مكثف.‬ ‫ر‬ ‫18‬ ‫شكلً(9-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف.‬ ‫ر‬ ‫08‬ ‫شكلً(8-0): مشكلة تخفيف التركيز‬ ‫58‬ ‫شكلً(7-0): تحت المماس وتحت العمودى‬ ‫88‬ ‫شكلً(21-0): عائلة المنحنيات التي تمثل المعادلة ) ‪x  4(y  c‬‬ ‫2‬ ‫98‬ ‫شكلً(11-0): المسا ات المتعامدة‬ ‫ر‬ ‫29‬ ‫شكلً(01-0): تمثيل المسا ات المتعامدة‬ ‫ر‬ ‫09‬ ‫شكلً(31-0):ًدائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف‬ ‫ر‬ ‫061‬ ‫شكلً(1-5): العالقة ما بين الحل التحليلي والحل بمفكوك تيلور‬ ‫861‬ ‫شكلً(2-5): العالقة مابين الحل بالطرق العددية والحل بمفكوك تيلورً‬ ‫611‬ ‫ليجندر ) ‪Pn (x‬‬ ‫شكلً(3-5): كثي ات حدود‬ ‫ر‬ ‫241‬ ‫شكلً(1-6): الخطوة األولى باستخدام طريقة أويلر‬ ‫041‬ ‫شكلً(2-6): العالقة التكررية باستخدام طريقة أويلر‬ ‫ا‬ ‫941‬ ‫شكلً(3-6): مقارنة الحل التقريبيي عند 2.0 ‪ h ‬بالحل التام‬ ‫941‬ ‫شكلً(4-4): تأثير تغير طول الخطوة على دقة الحل باستخدام طريقةًأويل.ً‬ ‫221‬ ‫شكلً(5-4): الحل التقريبي باستخدام طريقة أويلر والحل التحليلي.‬ ‫821‬ ‫شكلً(4-4): مقارنة الحل التقريبي بطريقة هينز، عند 1.0 ‪ h ‬بالحل التام‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-س-‬ ‫‌‬
‫فهرس األشكال‬ ‫101‬ ‫شكلً(9-4): مقارنة الحل التقريبي للثالثة طرق بطول خطوة مقدا ه 2.0 ‪h ‬‬ ‫ر‬ ‫201‬ ‫شكلً(8-4): نتائج الحل باستخدام طريقة رونج من الرتبة ال ابعة والحل التام‬ ‫ر‬ ‫651‬ ‫شكلً(7-4): تغير درجة الحر ة بالكلفن مع الزمن‬ ‫ار‬ ‫551‬ ‫شكلً(21-4): العالقة مابين كل من ‪ y,v‬مع ‪x‬‬ ‫551‬ ‫شكلً(11-4): وصف حركة البندول‬ ‫951‬ ‫شكلً(01-6): الحركة المخمدة لحركة البندول‬ ‫281‬ ‫شكلً(31-4): عتب مثبت على دعامات‬ ‫281‬ ‫شكلً(41-4):الفروق المحدوده باستخدام طريقة التقريب الفرقي المقسم األوسط‬ ‫181‬ ‫شكلً(51-6): الفروق المحدوده من 0 ‪ x ‬إلى 57 ‪ x ‬باستخدام 52 ‪h ‬‬ ‫481‬ ‫شكلً(61-6): الفروق المحدوده من 0 ‪ x ‬إلى 1 ‪ x ‬باستخدام 52.0 ‪h ‬‬ ‫191‬ ‫شكلً(1-7): التصال المجز‬ ‫أ‬ ‫491‬ ‫شكلً(2-7): دالة خطوة الوحدة‬ ‫491‬ ‫شكلً(3-7): حالة خاصة من دالة خطوة الوحدة‬ ‫663‬ ‫شكلً(4-7): الدالة )‪ G (t‬كدالة في دالة خطوة الوحدة‬ ‫563‬ ‫شكلً(5-7): دالة دورية دورتها 0>‪ p‬معرفة لقيم 0> ‪t‬‬ ‫863‬ ‫شكلً(6-7): دالة دورية دورتها 1= ‪ p‬معرفة لقيم 0> ‪t‬‬ ‫963‬ ‫شكلً(9-9): دالة دورية دورتها ‪ p = 2‬معرفة لقيم 0> ‪t‬‬ ‫143‬ ‫شكل(م-1): ظهر أيقونة البرنامج فور إعداده‬ ‫343‬ ‫شكل(م-0): الواجهة األساسية للبرنامج فور تشغيلة‬ ‫443‬ ‫شكل(م-3): نافذة األوامرً‬ ‫443‬ ‫شكل(م-4): نافذة فضاء العملً‬ ‫443‬ ‫شكل(م-5): نافذة فضاء العملً‬ ‫443‬ ‫شكل(م-4): نافذة المسار الحاليً‬ ‫243‬ ‫شكل(م-9): نافذة الوامروفضاء العمل لدخال بعض المتغي اتً‬ ‫ر‬ ‫243‬ ‫شكل(م-8): التخصيصً‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ع-‬ ‫‌‬
‫فهرس األشكال‬ ‫043‬ ‫شكل(م-7):ًبناء دوال لالدخالً‬ ‫043‬ ‫شكل(م-21):ًبناء متجهً‬ ‫543‬ ‫شكل(م-11):ًإدخال متغيرين هما ‪a,b‬‬ ‫543‬ ‫شكل(م-01):ًنافذة الوامروفضاء العمل للمتغي اتً‬ ‫ر‬ ‫543‬ ‫شكل(م-31):ًبناء ملف بيانات وتحميلة فى فضاء العمل‬ ‫843‬ ‫شكل(م-41):ًفضاء العمل‬ ‫943‬ ‫شكل(م-51):ًعمليات غير تقليدية على المصفوفات‬ ‫623‬ ‫شكل(م-41):ًالستعانة ‪ help‬الخاص ‪matlab‬‬ ‫223‬ ‫شكل(م-91): الدالة ‪ max‬إليجاد أكبر قيمة‬ ‫323‬ ‫شكل(م-81):ًجملة ‪For‬‬ ‫323‬ ‫شكل(م-71):ًصو ة ى لجملة ‪For‬‬ ‫ر أخر‬ ‫423‬ ‫شكل(م-20): بناء مسا ات متداخلة‬ ‫ر‬ ‫423‬ ‫شكل(م-10): جملة ‪while‬‬ ‫223‬ ‫شكل(م-00): جملة ‪If‬‬ ‫523‬ ‫شكل(م-30): بناء ‪Script file‬‬ ‫823‬ ‫شكل(م-40): تنفيذ ‪Script file‬‬ ‫823‬ ‫شكل(م-50): تنفيذ ‪ Script file‬مباش ة‬ ‫ر‬ ‫923‬ ‫شكل(م-40): بناء دالة بسيطة لتقوم بإيجاد جذور معادلة تربيعية‬ ‫923‬ ‫شكل(م-90): إيجاد جذور المعادلة التربيعية 0 ‪x 2  2x  3 ‬‬ ‫603‬ ‫شكل(م-80): بناء الملف وادخال المتغي ات 3 ‪v1,v 2 ,v‬‬ ‫ر‬ ‫203‬ ‫شكل(م-70): منحنى المتغي ات 2 ‪v1,v‬‬ ‫ر‬ ‫203‬ ‫شكل(م-23):ًأستخدام المر ‪ًhold on‬‬ ‫103‬ ‫شكل(م-13):ًرسمً 2 ‪ v1,v‬وكذلك 3 ‪v1,v‬‬ ‫103‬ ‫شكل(م-03):ًأستخدام المرً‪Subplot‬‬ ‫103‬ ‫شكل(م-33):ًتقسم نافذة الرسم الى نافذتينً )2 ‪(1 ‬‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ف-‬ ‫‌‬
‫فهرس األشكال‬ ‫303‬ ‫شكل(م-43):ًتخصيص المتغي ات الرمزية‬ ‫ر‬ ‫403‬ ‫شكل(م-53):ًبناء دالة بإستخدام المتغي ات الرمزية‬ ‫ر‬ ‫403‬ ‫شكل(م-43):ًأيجاد التفاضل والتكامل لدالة رمزية‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ص-‬‫‌‬
‫فهرس الجداول‬ ‫ثالثــــــــــــــ اً:ًفهرسًالجداولً‬ ‫342‬ ‫جدولً(1-3): مجموعة الدوال األساسية لمجموعة من الدوال‬ ‫821‬ ‫جدولً(1-4): مثال على طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة‬ ‫ر‬ ‫591‬ ‫جدولً(1-9)ً:ًتحويالت لبالس لمجموعة من الدوالًً‬ ‫943‬ ‫جدول(م-1):ًالعمليات التى يمكن إج اؤها على المصفوفاتً‬ ‫ر‬ ‫623‬ ‫جدول(م-0):ًدوال تتعامل مع كميات قياسية‬ ‫223‬ ‫جدول(م-3):ًدوال تتعامل مع كميات متجهة‬ ‫123‬ ‫جدول(م-4):ًبعضًدوال المصفوفات‬ ‫023‬ ‫جدول(م-5): العالقات فى ‪Matlab‬‬ ‫023‬ ‫جدول(م-4): العالقات المنطقية فى ‪ًMatlab‬‬ ‫203‬ ‫جدول(م-9): عالمات للتحكم في ع ولون ونقشة خط الرسمً‬ ‫نو‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‌‬ ‫‌‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ش-‬ ‫‌‬
‫الباب السادس‬ ‫احللول العددية‬ ‫للمعادالت التفاضلية العادية‬
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
‫الباب السادس‬ ‫مقدمة‬ ‫عح ي تييطلطرق‬ ‫حلحلطلييأم تييطلطرق حلحعأمأم ي‬ ‫لييمن اييل حل ييال عييل اييل حلا ييطرق‬ ‫م ي اح أ يأ قناط م ي . لي ح اييطل قتيير اييل حلتعي‬ ‫ييل طرمييق حييرل حلعييل أ ي‬ ‫حلحقرمتمي‬ ‫لييع نيير ح ييأنط ح ي‬ ‫حلحلطلييأم ،‬ ‫ييل طييرق خ ي إل جمدييطر عأ ي ل حقرمتم ي لا ي م حلا ييطرق‬ ‫ر‬ ‫حلحقرمتي . عيير ييك حأييع حلطييرق ي طييرق حلعأي ل حل ررمي‬ ‫حلعصي ل أي عأاييط حلييرلمق‬ ‫مأي يير لعي ييل حلا ي ييطرق‬ ‫متي يير ي ي ح حلتي ييطو تحقي ييرمك طرمق ي ي‬ ‫‪ Numerical‬عم ي ي‬ ‫‪Solution‬‬ ‫حيك‬ ‫حلحلطلأم ال حلرحت حق ل ، م قو لع طرمق ر نج ا حط ال حلررد حلثطنم حل حت ي ،‬ ‫ر‬ ‫حلحلطليأم‬ ‫حلحلطلأم ال حلرحت حأل ل ، مليط عيل حلا يطرق‬ ‫ال حلا طرق‬ ‫عل ادا‬ ‫إ ييحخرحك طرمقي ي حلل يير ق حلاع يير رم لع ييل‬ ‫ا ييل حلرحتي ي حلثطنمي ي . حط ييرق حلت ييطو مل ييط إلي ي‬ ‫حخأييل ي ح حلتييطو حقييرمك حل رميير اييل حلت ي حاج حلاصيياا تتم ي‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلييأم حل طرم ي‬ ‫حلا ييطرق‬ ‫حلدار حلاطأ و لع طتاط.‬ ‫"حلاطحالو" لاعطاطة ا ظك طرق حلعل تاط م حر حل ل‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-342-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫أوالا : طريقة أويلر(‪ )Euler‬لحل المعادالت التفاضلية العادية‬ ‫حلحلطليأم حل طرمي حلحي حاي ل أي‬ ‫لعيل حلا يطرق‬ ‫ررمي‬ ‫طرمق‬ ‫مأر‬ ‫طرمق‬ ‫حلص ة‬ ‫ر‬ ‫‪dy‬‬ ‫)1.6( --------------- 0‪ f  x , y  , y  x 0   y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلررد ي حأل ل ي ،‬ ‫حلحلطلييأم حل طرم ي اييل حلرحت ي حأل ل ي‬ ‫ي ت ي لع حح طاييل اييال حلا ييطرق‬ ‫حلا طرلي ي حلحلطلييأم لححنط ييو اييال حلصيي ة‬ ‫ر‬ ‫ن ي ر نييط حلحناميير نييد قت يير اييل إ ييطرة صييمطت‬ ‫مأر.‬ ‫(6.6) عح مح ن عأاط تط حخرحك طرمق‬ ‫مأر‬ ‫أ ص ة طرمق‬ ‫ر‬ ‫مثال (1-6) : احو حلا طرل حلحلطلأم حآلحم‬ ‫‪dy‬‬ ‫5 ‪ 2y  e  x , y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫أ ي حلص ي ة (6.6) ل ي ح نعييط ل إ ييطرة صييمطتحاط‬ ‫ر‬ ‫نالعييظ ل حلا طرل ي حلحلطلييأم لم ي‬ ‫لحا ل أ حلص ة (6.6) ااط مأ‬ ‫ر‬ ‫‪dy‬‬ ‫5 ‪ e  x  2y, y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫تاقطرنحاط تطلص ة (6.6) ندر ل ‪f  x, y   e x  2 y‬‬ ‫ر‬ ‫مأر‬ ‫أ ص ة ا طرل‬ ‫ر‬ ‫مثال (2-6) : حاحو حلا طرل حلحلطلأم حآلحم‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ey‬‬ ‫5 ‪ x 2y 2  2Sin (3x ), y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫أي ي حلصي ي ة (6.6) لي ي ح نع ييط ل إ ييطرة ص ييمطتحاط‬ ‫ر‬ ‫نالع ييظ ل حلا طرلي ي حلحلطل ييأم لم ي ي‬ ‫لحا ل أ حلص ة (6.6) ااط مأ‬ ‫ر‬ ‫2 ‪dy 2Sin (3x )  x 2y‬‬ ‫‪‬‬ ‫5 ‪, y  0 ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ey‬‬ ‫2 ‪2Sin (3x )  x 2y‬‬ ‫‪ f  x , y  ‬حآلل ي ي ي ي ي ي يينعط ل‬ ‫تاقطرنحاط تطلص ة (6.6) ندر ل‬ ‫ر‬ ‫‪ey‬‬ ‫حلحلطلييأم حل طرم ي ، تلييرل ل عييل حلا طرل ي‬ ‫مأيير لعييل حلا ييطرق‬ ‫حعأمييل رر ي طرمق ي‬ ‫ح‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-442-‬
‫الباب السادس‬ ‫ل 0‪ y  y‬ن ي يير‬ ‫محلي ي ي‬ ‫ي ي ي حلرحلي ي ي ) ‪ y(x‬اا ي ييط حي ي ي حل ي ييال (6-6) عمي ي ي‬ ‫حلحلطل ي ييأم‬ ‫أي ي إححي ي حل ل 0 ‪ . x 0 ‬تاي ي ح حي ي ل حلام ييل لي ييأرحل ) ‪ y(x‬ي ي ‪، f  x , y ‬‬ ‫ر‬ ‫0‪. x  x‬‬ ‫إل اييال اييل‬ ‫ع ييو حل الل ي (6.6) تا ي ح ح ي ل حلامييل نيير 0 ‪ x  x‬ي ‪ f  x 0 , y0 ‬عم ي‬ ‫0‪. y  x 0   y‬‬ ‫0‪ y0 ، x‬ا أ ا ال حل رط حقتحرح‬ ‫مأر‬ ‫شكل (1-6) : حلخط ة حأل ل تط حخرحك طرمق‬ ‫0‪y1  y‬‬ ‫حلح ي ن ييحطمال‬ ‫أ ي حلص ي ة‬ ‫ر‬ ‫ي‬ ‫اييل حل ييال نديير ل حلامييل نيير 0 ‪x  x‬‬ ‫0 ‪x1  x‬‬ ‫اناط حلعص ل أ حل الل‬ ‫0‪y1  y‬‬ ‫‪f  x 0 , y0  ‬‬ ‫‪ y1  y0  f  x 0 , y0  x1  x 0 ‬‬ ‫0 ‪x1  x‬‬ ‫أ إ حتطر ننط لانط تح ام 0‪ x1  x‬تط ل حلخطي ة مرايل ليد تيطلرال ‪ ، h‬لنعصيل أي‬ ‫حل الل‬ ‫)2.6( --------------------- ‪y1  y0  f  x 0 , y0  h‬‬ ‫1‪ y‬ح تر يل حلقماي حلحقرمتمي (‪ )approximate value‬ل ي ) ‪ y(x‬نير 1‪x  x‬‬ ‫إل‬ ‫عم‬ ‫(‪ ،)Predicted value‬لع ييطو 2 ‪y‬‬ ‫حلاح ل ي ي‬ ‫عمطنييط مطأ ييق أماييط حلقماي ي حلحنتؤم ي‬ ‫لي ) ‪ y(x‬نر 2 ‪x  x‬‬ ‫حلقما حلحقرمت‬ ‫)3.6( --------------------- ‪y2  y1  f  x1, y1  h‬‬ ‫‪x 2  x1  h‬‬ ‫إل‬ ‫عم‬ ‫حل الل حل طا‬ ‫ح حاطرح أ اط تق ال حل اللحمل (6.6) (3.6) ماال حلح صل إل‬ ‫حلحطلم‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-542-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪y(xi 1 )  y(xi )  f  xi , yi  h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xi 1  xi  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫حلح ماال إخحصطر احطتحاط أ حل ال حلحطل‬ ‫ح‬ ‫‪yi 1  y  xi   f  xi , yi  h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)4.6( ---------------- ‪‬‬ ‫‪xi 1  xi  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫مأر ا‬ ‫أماط‬ ‫عمطنط مطأق‬ ‫مأر،‬ ‫حل الل حلحاررم (4.6) تطرمق‬ ‫ح‬ ‫ح ا‬ ‫(‪ )Euler-Cauchy method‬حل ال حلحطل م ل حأع حل الل حلحاررم‬ ‫ح‬ ‫مأر‬ ‫شكل (2-6) : حل الل حلحاررم تط حخرحك طرمق‬ ‫ح‬ ‫ني يير 1 ‪ x ‬تا أ ام ي ي‬ ‫‪y  y  x‬‬ ‫مثااااال (3-6) : دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم‬ ‫1 ‪y(0) ‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫حلرردي‬ ‫ي ا طرلي حلطليأم خطمي اييل حلرحتي حأل لي‬ ‫ل حأييع حلا طرلي‬ ‫ايل حل حلي‬ ‫ليع اايط حي حلتيطو حلثيطن‬ ‫ن حطمال عأاط أ إ حتطر ناط ا طرل حلطلأم خطم‬ ‫حأل ل‬ ‫ما ل عأاط أ حل ال حلحطل‬ ‫)5.6( ------------------------ ‪y( x)  x  1  2e x‬‬ ‫يل‬ ‫ا رحي ايرإل رلي حأيع حلطرمقي ،‬ ‫حآلل نق ك تعأاط ررمط لحنامر ح طلمي حلطرمقي‬ ‫ماال لمطرة حلرل لاط امف ماال لع ؟‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-642-‬
‫الباب السادس‬ ‫يال ا طرلي‬ ‫أي‬ ‫نق ك تلرل حل 2.0 ‪ h ‬نق ك ت لال حلا طرل حلحلطلأم‬ ‫ح حلترحم‬ ‫أ حلص ة‬ ‫ر‬ ‫مأر لحصت‬ ‫‪y  y  x  y  x  y‬‬ ‫تا ح ح ل ‪ f (x, y )  x  y‬حلح مل ح حل الل (4.6) نعصل أ‬ ‫)2.0( ‪yi 1  yi  f  xi , yi  h  yi 1  yi   xi  yi ‬‬ ‫اناط نعصل أ حل الل حلحطلم‬ ‫‪yi 1  0.8yi  (0.2)  xi ‬‬ ‫‪, i  0,1, 2, 3, 4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 ‪y(0) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫حآلل ن ل ل 4 ,3 ,2 ,1,0 ‪ i ‬ح حل الل حل طتق لنعصل أ‬ ‫8.0 ‪y1  (0.8)y 0  (0.2)x 0  (0.8)(1)  (0.2)(0) ‬‬ ‫86.0 ‪y 2  (0.8)y1  (0.2)x1  (0.8)(0.8)  (0.2)(0..2) ‬‬ ‫426.0 ‪y3  (0.8)y 2  (0.2)x 2  (0.8)(0.68)  (0.2)(0.4) ‬‬ ‫916.0 ‪y 4  (0.8)y3  (0.2)x 3  (0.8)(0.624)  (0.2)(0.6) ‬‬ ‫556.0 ‪y5  (0.8)y 4  (0.2)x 4  (0.8)(0.691)  (0.2)(0.8) ‬‬ ‫تا ح ح ل حلعل حل رري لأا طرل حلحلطلأم تا أ ام 2.0 ‪h ‬‬ ‫1 ‪y ( x  0) ‬‬ ‫8.0 ‪y ( x  0.2) ‬‬ ‫86.0 ‪y ( x  0.4) ‬‬ ‫426.0 ‪y ( x  0.6) ‬‬ ‫916.0 ‪y ( x  0.8) ‬‬ ‫556.0 ‪y ( x  1) ‬‬ ‫أ ي حلص ي ة (6.6) عم ي‬ ‫ر‬ ‫حآلل يينق ك تحصييامك ترنييطاج جمدييطر عييل ي ا طرل ي حلطلييأم‬ ‫ااط مأ‬ ‫إرخطل ت ل حلتمطنط‬ ‫معحطج حلترنطاج إل‬ ‫إرخطل لما ط ل حلخط ة مرال لاط تطلرال ‪h‬‬ ‫إرخطل حلرحل ) ‪ f (x , y‬لأا طرل حلحلطلأم ت ر ل اط أ حلص ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫لما ال ال 0 ‪. y 0 ، x‬‬ ‫إرخطل حل رط حقتحرح‬ ‫إرخطل لما ‪ x‬حلاطأ و نر ط ع طو لما ‪ y‬نرال لاط تطلرال ‪xf‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-742-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪Y(i+1)=Y(i)+h*subs(f‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫مأر‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق‬ ‫ر‬ ‫برنامج (1-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫2.0=‪step size‬‬ ‫‪the function f(x,y)=x-y‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=0‪y‬‬ ‫1=‪xf‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫0086.0 0008.0 0000.1‬ ‫0426.0‬ ‫2916.0‬ ‫4556.0‬ ‫>>‬ ‫حل طرمي اايط حير‬ ‫حلقمك حلح عصأنط أمايط ايل حلع يطتط‬ ‫نالعظ نط ل لمك حلرحل ‪y‬‬ ‫حلدايير حل ل ي . حل ييال (3-6) م ل ي حلعييل حل ييرري حلحقرمت ي (‪ )Approximate‬حلعييل‬ ‫اط حاثأ حلا طرل (5.6)‬ ‫حلحطك (‪ )Exact‬لأا طرل حلحلطلأم‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-842-‬
‫الباب السادس‬ ‫1‬ ‫59.0‬ ‫9.0‬ ‫58.0‬ ‫8.0‬ ‫‪y‬‬ ‫57.0‬ ‫‪Exact solution‬‬ ‫7.0‬ ‫56.0‬ ‫)2.0=‪approximated solution(h‬‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫نر 2.0 ‪ h ‬تطلعل حلحطك لأا طرل حلحلطلأم‬ ‫شكل (3-6): اقطرن حلعل حلحقرمتم‬ ‫حآلل نق ك تحغممر لما ط ل حلخط ة ‪ h‬لا رح ارإل حنثمر ط أ حلعل حلي ي عصيأنط‬ ‫لييمك ي 6.2 ، 6.2 ، 52.2 حييك حلعص ي ل أ ي‬ ‫ط ي ل حلخط ي ة ثييال‬ ‫أم يد، ليير خ ي‬ ‫ليع ااييط حي حل ييال‬ ‫حيك حي لم اك أي نليين حلاعيط ر‬ ‫حليثال‬ ‫حلعيل حي اييل ايل حلعييطق‬ ‫ي عييل حقرمت ي ( ت ميير‬ ‫(4-6)، اييط ح نالعييظ اييل ي ح حل ييال ؟ حلعييل نيير 2.0 ‪ h ‬ي‬ ‫نير 50.0 ‪، h ‬‬ ‫ل لما حلعيل حلحيطك) حي عيمل ل ليرتاك لأعيل حلحيطك ي حلعيل حلحقرمتي‬ ‫لرو اط ما ل لأعيل‬ ‫تاط م ن اأاط صغر لما ط ل حلخط ة ‪ h‬اأاط اطل حلعل حلحقرمت‬ ‫حلصييلر ح ي ل حلعييل حلحقرمت ي محقييطرو اييل حلعييل‬ ‫نييد نييراط حييؤ ل ‪ h‬إل ي‬ ‫ي ح م ني‬ ‫حلحييطك،‬ ‫حلحطك.‬ ‫1‬ ‫59.0‬ ‫9.0‬ ‫58.0‬ ‫8.0‬ ‫‪y‬‬ ‫57.0‬ ‫‪Exact solution‬‬ ‫7.0‬ ‫)50.0=‪(h‬‬ ‫56.0‬ ‫)1.0=‪(h‬‬ ‫)2.0=‪(h‬‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫مل.‬ ‫شكل (4-6): حنثمر حغمر ط ل حلخط ة أ رل حلعل تط حخرحك طرمق‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-942-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫مثااال (4-6) : تط ييحخرحك ط ي ل خط ي ة 50.0، ديير حلعييل حل ييرري لأا طرل ي حلحلطلييأم‬ ‫أمييد ايال حلعييل‬ ‫مأيير، ليطرل حلعيل حلي ي عصيأ‬ ‫حلحطلمي لقيمك 1 ‪ 0  x ‬تط ييحخرحك طرمقي‬ ‫2 ‪ y  x‬لأا طرل حلحلطلأم‬ ‫حلحعأمأ‬ ‫0 ‪y  e y - e x  2x , y(0) ‬‬ ‫2‬ ‫حلعل‬ ‫ل‬ ‫أ حلص ة (6.5) تا ن‬ ‫ر‬ ‫حلا طرل حلحلطلأم‬ ‫‪y   e y - e x  2x‬‬ ‫2‬ ‫ندر ل 0 ‪y0  0 ، x 0 ‬‬ ‫ال حل رط حقتحرح‬ ‫ل عر ر حلاحغمير ‪ x‬ي 6 تايط‬ ‫حلاطأ و ع طو لما حلعل ح حللح ة 1 ‪ 0  x ‬تا ن‬ ‫ر‬ ‫م ن حل حلاحغمر 1 ‪xf ‬‬ ‫حآلل نق ك تححلم حلترنطاج حل طتق اال ت ل حلح رمل لمق ك تطلر ك .‬ ‫‪clc‬‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪Y(i+1)=Y(i)+h*subs(f‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪plot (X,Y,'r.') % numerical solution‬‬ ‫;2^.‪Y1=X‬‬ ‫‪hold on‬‬ ‫‪plot (X,Y1,'b*') % analytical solution‬‬ ‫مأر اال‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق‬ ‫ر‬ ‫برنامج (2-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫اقطرنحد تطلعل حلحعأمأ‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-052-‬
‫الباب السادس‬ ‫مقي ك حلترنيطاج‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطحي ة حلحطلمي‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫تح لمال حل ال (5-6)‬ ‫50.0=‪step size‬‬ ‫‪the function f(x,y)=exp(y)-exp(x^2)+2*x‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫0=0‪y‬‬ ‫1=‪xf‬‬ ‫>>‬ ‫1‬ ‫‪Anlytical solution‬‬ ‫9.0‬ ‫‪Numerical Solution‬‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫‪y‬‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫مأر حلعل حلحعأمأ .‬ ‫شكل (5-6): حلعل حلحقرمت تط حخرحك طرمق‬ ‫ن يير 2 ‪t ‬‬ ‫حلحلطل ييأم حآلحمي ي‬ ‫مثاااال (5-6) : د يير حلع ييل حلحقرمتي ي لادا ي ي حلا ييطرق‬ ‫مأر تط ل خط ة 5.0‬ ‫تط حخرحك طرمق‬ ‫‪dx‬‬ ‫, ‪y‬‬ ‫1 ‪x (0) ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫,‪ 0.5x  0.5y‬‬ ‫2 ‪y(0) ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫مأ يير أي ي حلنعي ي‬ ‫مأ يير(4.5) أي ي حلا ييطرلحمل نعص ييل أي ي ا ييطرق‬ ‫تحطتمي يق ا طرلي ي‬ ‫حلحطل‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-152-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪xi 1  xi  hyi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  h  0.5xi  0.5yi  ‬‬ ‫‪ti 1  ti  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ق : نر 0 ‪ i ‬ح ل 2 ‪ x 0  1, y0 ‬اناط ح ل‬ ‫2 ‪x1  x 0  0.5y0  1  0.5(2) ‬‬ ‫57.1 ‪y1  y0  0.5  0.5x 0  0.5y0  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 5.0 ‪t ‬‬ ‫1‪x1, y‬‬ ‫إل‬ ‫عم‬ ‫ثطنمط : نر 1 ‪ i ‬ح ل 57.1 ‪ x1  2, y1 ‬اناط ح ل‬ ‫578.2 ‪x 2  x1  0.5y1 ‬‬ ‫5218.1 ‪y2  y1  0.5  0.5x1  0.5y1  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 1 ‪t ‬‬ ‫إل 2‪x 2 , y‬‬ ‫عم‬ ‫ثطلثط : نر 2 ‪ i ‬ح ل 587.2 ‪ x 2  2.875, y 2 ‬اناط ح ل‬ ‫52187.3 ‪x 3  x 2  0.5y2 ‬‬ ‫521870.2 ‪y3  y2  0.5  0.5x 2  0.5y2  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 5.1 ‪t ‬‬ ‫إل 3‪x 3 , y‬‬ ‫عم‬ ‫حت ط : نر 3 ‪ i ‬ح ل 521870.2 ‪ x3  3.78125, y 3 ‬اناط ح ل‬ ‫ر‬ ‫3028.4 ‪x 3  x 3  0.5y3 ‬‬ ‫9305.2 ‪y4  y3  0.5  0.5x 3  0.5y3  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 2 ‪t ‬‬ ‫إل 4‪x 4 , y‬‬ ‫عم‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-252-‬
‫الباب السادس‬ ‫ثانيا : طريقة رونج كوتا من الرتبة الثانية لحل المعادالت التفاضلية‬ ‫ررمي‬ ‫طرمق‬ ‫طرمق ر نج ا حط ال حلرحت حلثطنم (‪)Runge-Kutta 2nd Order‬‬ ‫ح يحخرك لعيل حلا يطرق‬ ‫مرال لاط تطلرال 2‪ RK‬حلح‬ ‫حلحلطلأم حل طرم‬ ‫لعل حلا طرق‬ ‫أ حلص ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلأم‬ ‫‪dy‬‬ ‫0‪ f  x , y  , y  0   y‬‬ ‫)6.6( ------------‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلص ي ة‬ ‫ر‬ ‫ااييط نالعييظ قتيير ل ححع ي ل حلا طرل ي حلحلطلييأم حل طرم ي اييل حلرحت ي حأل ل ي إل ي‬ ‫مأر.‬ ‫لع ح طرمق‬ ‫(6.6) ااط تق ح لم‬ ‫إل‬ ‫حلصي ي ة ‪ yi 1  yi  f  xi , yi  h‬عمي ي‬ ‫ر‬ ‫أي ي‬ ‫مأ يير ي ي‬ ‫حي ي ار ل ا طرلي ي‬ ‫يينقرك إ ييحنحطدط‬ ‫‪ ، h  xi 1  xi‬لاي ي نلا ييك ا ييط ي ي طرمقي ي ر ن ييج ا ح ييط لأرحتي ي حلثطنمي ي‬ ‫لع ااط مأ‬ ‫مأر تط حخرحك الا ع حمأ ر )‪)Taylor Expansion‬‬ ‫لطرمق‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪1 d y‬‬ ‫2‬ ‫‪yi 1  yi ‬‬ ‫‪ xi 1  xi  ‬‬ ‫‪ xi 1  xi ‬‬ ‫2‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ xi ,yi ‬‬ ‫2 ‪2 ! dx‬‬ ‫‪ xi ,yi ‬‬ ‫‪1 d 3y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xi 1  xi ‬‬ ‫... ‪‬‬ ‫3‬ ‫3 ‪3 ! dx‬‬ ‫‪ xi ,yi ‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫نعصل أ‬ ‫عم إل ‪ f  x , y ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪ yi  f (xi , yi )  xi 1  xi   f '(xi , yi )  xi 1  xi   ...‬‬ ‫2‬ ‫1‪yi ‬‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫)7.6( --- ‪‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫1‪yi ‬‬ ‫... ‪ yi  f  xi , yi  h  f   x i , yi  h ‬‬ ‫2‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ااط نالعظ ند ت اطل حلعر ر إتحرحءح ال حلعر حلثطل ، نعصل أ حلا طرل حلحطلم‬ ‫‪yi 1  yi  f  xi , yi  h‬‬ ‫ناييط طرمق ي ر نييج ا حييط لأرحت ي‬ ‫مأيير أ ي‬ ‫مأيير ت ي لع مااييل ح ييام طرمق ي‬ ‫ي ا طرل ي‬ ‫ي ايل حلعير ر حلحي‬ ‫ي م حلطرمقي‬ ‫حأل لي (‪ )Runge-Kutta 1st order‬ماي ل حلخطين حي‬ ‫حك ع حاط‬ ‫3 ‪f   xi , yi  2 f   xi , yi ‬‬ ‫‪Et ‬‬ ‫‪h ‬‬ ‫... ‪h ‬‬ ‫)8.6( -----------‬ ‫!2‬ ‫!3‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-352-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫نعصييل أ ي‬ ‫ي ف ننخ ي عييرح حلييطحمط تا ن ي‬ ‫جظاييطر طرمق ي ر نييج ا حييط لأرحت ي حلثطنم ي‬ ‫ثالث عر ر اطلحطل‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  f  x i , yi  h ‬‬ ‫‪f   x i , yi  h 2 ‬‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫)9.6( --------- ‪‬‬ ‫2 1‬ ‫‪‬‬ ‫1‪yi ‬‬ ‫‪ yi  hf i  h f i ‬‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫اأا ييط، تل ييرل‬ ‫أي ي اث ييطل ييرري لنح ييرف أي ي املمي ي‬ ‫ر ن ييط حآلل نن ييطلل حأ ييع حلطرمقي ي‬ ‫حلا طرل حلحلطلأم حلحطلم‬ ‫‪dy‬‬ ‫5 ‪ e 2 x  3y, y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫انا ي ييط ماي ي ي ل ‪ f  x , y   e 2x  3y‬نالع ي ييظ ل ‪ f  x , y ‬رحلي ي ي حي ي ي ‪ x , y‬حاي ي ي ل‬ ‫حلا حق حأل ل لاط أ حلنع حلحطل‬ ‫‪f  x , y  f  x , y  dy‬‬ ‫‪f   x, y  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)01.6( ------------‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ثك تطلح مل تقما حلرحل ‪f  x , y   e 2 x  3y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f   x, y  ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e 2x  3y    e 2x  3y  e 2x  3y ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2e 2 x  (3) e 2 x  3y   5e 2 x  9y‬‬ ‫تطلح مل تطلا حق حأل ل ح حل الل (9.6) نعصل أ‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  e 2 xi  3yi h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫2 ‪5e 2 xi  9yi h‬‬ ‫‪‬‬ ‫لأعصي ل‬ ‫تا ح عصأنط أ حل الل حلاطأ تي ، لايل يل قعظي اقرح حلا يق حلحي تي ل‬ ‫ذ‬ ‫ر‬ ‫ليع اايط‬ ‫ل صمطت ال لحأيع حل اللي‬ ‫أ حلا حق حأل ل ‪ ، f   x , y ‬ل ح نتع‬ ‫مأ :‬ ‫أ حلص ة حلحطلم‬ ‫ر‬ ‫ماال احطت حلا حق حأل ل‬ ‫‪f  x , y  f  x , y  dy‬‬ ‫‪ dy ‬‬ ‫‪f   x, y  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f   f x  fy ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ dx ‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-452-‬
‫الباب السادس‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ f   f x  f y f‬تيطلح مل نايط‬ ‫نعصيل أي‬ ‫تط حخرحك حل الل ‪ f  x , y ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ح حل الل (6.6) لنعصل أ‬ ‫‪h  f x  fy f‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 1‬ ‫‪yi 1  yi  hf i ‬‬ ‫!2‬ ‫‪i‬‬ ‫حلص ة حلحطلم‬ ‫ر‬ ‫حلح ححع ل إل‬ ‫2‪h‬‬ ‫2‪h‬‬ ‫‪yi 1  yi  hf i ‬‬ ‫)11.6( --------- ‪ f x i   f y i f i‬‬ ‫!2‬ ‫!2‬ ‫نق ك تلرل حلا طرل حلحطلم لحاثل ا طرل ر نج ا حط لأرحت حلثطنم‬ ‫حآلل‬ ‫‪yi 1  yi  a1k1  a 2k 2  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(66.6) --- ‪‬‬ ‫‪k1  f  xi , yi  , k 2  f  xi  p1h , yi  q11k1h  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫حلص ة )21.6(‬ ‫ر‬ ‫نعط ل لال حلا طرل )11.6( أ‬ ‫ء حلحطل‬ ‫ح حلدل‬ ‫ق: ر نط حآلل نق ك تلع حلاقرحر 2 ‪ k‬تط حخرحك الا ع حمأ ر‬ ‫‪k2  f  xi  p1h , yi  q11 k1  h   f i  p1h  f x i  q11  f i  h  f y ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ثطنمط : تطلح مل ل لما 2 ‪ k‬ح حلا طرل (66.6) نعصل أ‬ ‫‪yi 1  yi  a1k1  a 2k 2  h  yi 1  yi  a1 k1  h  a 2 k 2  h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  a1  f i  h  a 2 f i  p1h  f x i  q11  f i  h  f y  h‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  a1  a 2  h  f i   a 2 p1h 2  f x i  a 2q11h 2  f y   f i ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ثطلثط : تاقطرن حلا طرل حلنطحد اال ا طرل ر نج ا حط )21.6( نعصل أ‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫(36.6) --------------------- ‪a1  a2  1, a2 p1  , a2 q11 ‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ادط مل، لعأاط نق ك تلرل احغمر‬ ‫رت‬ ‫ا طرق‬ ‫نالعظ نط ننط عصأنط أ ثال‬ ‫لنعصل أ حلثالث حأل إل، ت ال طك ح ننط ن حخرك لما 2 ‪ a‬لأعص ل أ حلثالث‬ ‫خر‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫أ‬ ‫لحنحج ثالث طرق اخحأل ،‬ ‫,1 ,‬ ‫حألخ إل حنخ 2 ‪ a‬ثالث حعحاطق‬ ‫ر‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫منل (‪ )Heun’s Method‬طرمق حلنقط حل ط (‪)Midpoint method‬‬ ‫حلحرحمو طرمق‬ ‫طرمق حل ح ل (‪. )Ralston’s method‬‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-552-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫طريقة هينز (‪)Heun’s Method‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪ a1 ‬ال ثك حلح مل ح‬ ‫نلرل ل ‪ a2 ‬لنعصل أ 1 ‪, p1  1, q11 ‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫حلا طرل (21.6) لنعصل أ‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi   k1  k 2  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫(46.6) -------- ‪‬‬ ‫‪k1  f  xi , yi  , k 2  f  xi  h , yi  k1h  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫إعرإل ص ر طرمق ر نج ا حط لأرحت حلثطنم‬ ‫منل‬ ‫ح ا حأع حلطرمق تطرمق‬ ‫طريقة النقطة الوسطى (‪)Midpoint Method‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪ a1  0, p1  , q11 ‬ال ثك حلح مل ح‬ ‫نلرل ل 1 ‪ a2 ‬لنعصل أ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫حلا طرل (21.6) لنعصل أ‬ ‫‪yi 1  yi  k 2h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫(56.6) -----‬ ‫‪k1  f  xi , yi  , k 2  f  x i  h , yi  k1h  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫ي إعيرإل صي ر طرمقي ر نيج ا حيط لأرحتي‬ ‫ح ا حأع حلطرمق تطرمق حلنقط حل ط‬ ‫حلثطنم‬ ‫طريقة الستون (‪)Ralston’s method‬‬ ‫ر‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫‪ a1  , p1 ‬ا ييل ث ييك حلح ي ي مل‬ ‫‪, q11 ‬‬ ‫‪ a2 ‬لنعص ييل أي ي‬ ‫نل ييرل ل‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫ح حلا طرل (21.6) لنعصل أ‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  ( k1  k 2 )h‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫‪‬‬ ‫(66.6) ------ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫‪‬‬ ‫‪k1  f  x i , yi  , k 2  f  x i  h , yi  k1h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫حلص ة حلثطلث لطرمق ر نج ا حط لأرحت حلثطنم‬ ‫ر‬ ‫ح ا حأع حلطرمق تطرمق حل ح ل‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-652-‬
‫الباب السادس‬ ‫ني يير 1 ‪ x ‬تا أ ام ي ي‬ ‫مثااااال (6-6): دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم ‪y   y  x‬‬ ‫1 ‪y (0) ‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫أ حلص ة 1=)0(‪ y  x  y, y‬اناط ح ل ‪f ( x, y)  x  y‬‬ ‫ر‬ ‫ناحو حلا طرل‬ ‫لع تلرل ل 1.0 ‪ h ‬لنعصل أ‬ ‫منل (46.6)‬ ‫ن حخرك طرمق‬ ‫, ‪k1  f  x i , yi   k1  x i  yi‬‬ ‫‪k 2  f  x i  h , yi  k1h   k 2  x i  h  yi  k1h‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪yi 1  yi   k1  k 2  h‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ق: نر 0 ‪ ، i ‬نعصل أ‬ ‫1‪k1  f  x0 , y0   k1  x0  y0  ‬‬ ‫8.0‪k2  x0  h  y0  k1h  0  0.1  1  (1)(0.1)  ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫19.0 ‪y1  y0   k1  k2  h  1    1   0.8    0.1 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫ثطنمط : نر 1 ‪ ، i ‬نعصل أ‬ ‫18.0 ‪k1  f  x1 , y1   k1  x1  y1  0.1  0.91 ‬‬ ‫926.0‪k2  x1  h  y1  k1h  0.1  0.1  0.91  (0.81)(0.1)  ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫838.0 ‪y2  y1   k1  k2  h  0.91    0.81   0.629    0.1 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫تحا حر اط تق نعصل أ‬ ‫ر‬ ‫1 ‪y0  y (0) ‬‬ ‫8896.0 ‪y6  y (0.6) ‬‬ ‫19.0 ‪y1  y (0.1) ‬‬ ‫4496.0 ‪y7  y (0.7) ‬‬ ‫838.0 ‪y2  y (0.2) ‬‬ ‫0007.0 ‪y8  y (0.8) ‬‬ ‫4287.0 ‪y3  y (0.3) ‬‬ ‫5417.0 ‪y9  y (0.9) ‬‬ ‫6147.0 ‪y4  y (0.4) ‬‬ ‫1737.0 ‪y10  y (1.0) ‬‬ ‫0417.0 ‪y5  y (0.5) ‬‬ ‫تط ييحخرحك طرمق ي ر نييج‬ ‫م ل ي حل الل ي تييمل حلعييل حلحييطك حلعييل حلحقرمت ي‬ ‫حل ييال حلحييطل‬ ‫مأر‬ ‫منل) نالعظ ناط حلل تاثمر ال طرمق‬ ‫ا حط حلرحت حلثطنم (طرمق‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-752-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫1‬ ‫‪Exact‬‬ ‫‪Apprximated‬‬ ‫59.0‬ ‫9.0‬ ‫58.0‬ ‫8.0‬ ‫57.0‬ ‫7.0‬ ‫56.0‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫منل، نر 1.0 ‪ h ‬تطلعل حلحطك‬ ‫شكل (6-6): اقطرن حلعل حلحقرمت تطرمق‬ ‫طييرق ( منييل - حلنقطي حل ييط - حل ييح ل )‬ ‫ر‬ ‫م لي نحييط ج حلييثال‬ ‫حلديير ل حلحييطل‬ ‫نر لمك اخحأل ال ‪h‬‬ ‫مأراال حلعل حلحطك‬ ‫اال اقطرنحاك تطرمق‬ ‫ط ل حلخط ة‬ ‫حلعل =8537.0‬ ‫‪h‬‬ ‫مأر‬ ‫منل‬ ‫حلنقط حل ط‬ ‫رل ح ل‬ ‫ح‬ ‫2.0‬ ‫4556.0‬ ‫5147.0‬ ‫5147.0‬ ‫5147.0‬ ‫1.0‬ ‫4796.0‬ ‫1737.0‬ ‫1737.0‬ ‫1737.0‬ ‫50.0‬ ‫0717.0‬ ‫1637.0‬ ‫1637.0‬ ‫1637.0‬ ‫جدول (1-6): اقطرن تمل حلطرق حلاخحأل لطرمق ر نج ا حط ال حلررد حلثطنم‬ ‫) در حلعل حلحقرمتي لأا طرلي‬ ‫عطق‬ ‫مثال (7-6) : تط حخرحك طرمق ر نج ا حط (حلثال‬ ‫حلحلطلأم 0 ‪ (1  x2 ) y  y 2  1 ‬تا أ ام 1 ‪ y(0) ‬نر 2 ‪ x ‬تط حخرحك طي ل خطي ة‬ ‫اقرح م 2.0 ،6.2 ملط 50.0 اثل حلثالث عأ ل تمطنمط.‬ ‫ر‬ ‫حلعل‬ ‫أ ي حلص ي ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫ي ف نق ي ك تحصييامك ترنييطاج جمدييطر عييل ي ا طرل ي حلطلييأم‬ ‫معحيطج حلترنيطاج إلي‬ ‫تط يحخرحك حلصي ر حلاخحألي لطرمقي ر نيج ا حيط ايل حلرحتي حلثطنمي عمي‬ ‫ااط مأ‬ ‫إرخطل ت ل حلتمطنط‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-852-‬
‫الباب السادس‬ ‫إرخطل لما ط ل حلخط ة ‪ Step Size‬مرال لاط تطلرال ‪h‬‬ ‫إرخطل حلرحل ) ‪ f (x , y‬لأا طرل حلحلطلأم ت ر ل اط أ حلص ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫لما ال ال 0 ‪. y 0 ، x‬‬ ‫إرخطل حل رط حقتحرح‬ ‫إرخطل لما ‪ x‬حلاطأ و نر ط ع طو لما ‪ y‬نرال لاط تطلرال ‪xf‬‬ ‫‪ ‬طريقة هينز‬ ‫‪clc‬‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪k1=subs(f‬‬ ‫;‪y=Y(i)+k1*h‬‬ ‫;‪x=X(i)+h‬‬ ‫;)‪k2=subs(f‬‬ ‫;‪Y(i+1)=Y(i)+(0.5*k1+0.5*k2)*h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫منل‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق‬ ‫ر‬ ‫برنامج (3-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫2.0=‪step size‬‬ ‫)2^‪the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=0‪y‬‬ ‫2=‪xf‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫- 3000.0- 5111.0 2152.0 6034.0 2966.0 0000.1‬ ‫2533.0- 4782.0- 2232.0- 8761.0- 7190.0‬ ‫>>‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-952-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪ ‬طريقة النقطة الوسطى‬ ‫‪clc‬‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪k1=subs(f‬‬ ‫;‪y=Y(i)+0.5*k1*h‬‬ ‫;‪x=X(i)+0.5*h‬‬ ‫;)‪k2=subs(f‬‬ ‫;‪Y(i+1)=Y(i)+k2*h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق حلنقط‬ ‫ر‬ ‫برنامج (4-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حل ط‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫2.0=‪step size‬‬ ‫)2^‪the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=0‪y‬‬ ‫2=‪xf‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫1162.0 2934.0 2576.0 0000.1‬ ‫4221.0‬ ‫1970.0- 5110.0‬ ‫1023.0- 9272.0- 3812.0- 6451.0-‬ ‫>>‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-062-‬
‫الباب السادس‬ ‫ طريقة الستون‬ ‫ر‬ clc clear all syms f x y h = input('step size='); f = input('the function f(x,y)='); X(1) = input('x0='); Y(1) = input('y0='); xf = input('xf='); for i=1:(xf-X(1))/h y=Y(i); x=X(i); k1=subs(f); y=Y(i)+0.75*k1*h; x=X(i)+0.75*h; k2=subs(f); Y(i+1)=Y(i)+(1/3*k1+2/3*k2)*h; X(i+1)=X(i)+h; end Y ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق حل ح ل‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫برنامج (5-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ step size=0.2 the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x^2) x0=0 y0=1 xf=2 Y= 1.0000 0.6724 0.4351 0.2562 0.1170 0.0057 - 0.0853 -0.1611 -0.2252 -0.2801 -0.3276 >> h  0.2 ‫ال (7-6) حلعل حلنطحج ل حلثالث طرق تط حخرحك ط ل خط ة‬ ‫مل‬ ___________________________________________________ -261-
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫1‬ ‫1‪Heun's‬‬ ‫‪Midpoint‬‬ ‫8.0‬ ‫‪Ralston‬‬ ‫6.0‬ ‫4.0‬ ‫‪y‬‬ ‫2.0‬ ‫0‬ ‫2.0-‬ ‫4.0-‬ ‫0‬ ‫2.0‬ ‫4.0‬ ‫6.0‬ ‫8.0‬ ‫1‬ ‫2.1‬ ‫4.1‬ ‫6.1‬ ‫8.1‬ ‫2‬ ‫‪x‬‬ ‫شكل (7-6): اقطرن حلعل حلحقرمت لأثالث طرق تط ل خط ة اقرح م 2.0 ‪h ‬‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-262-‬
‫الباب السادس‬ ‫ثالثا : طريقة رونج كوتا من الرتبة الرابعة‬ ‫يار‬ ‫ح ير طرمقي ر نيج ا حيط ايل حلرحتي حل حت ي ‪ Runge-Kutta 4th Order‬إعيرإل‬ ‫ر‬ ‫مراييل لايط تيطلرال 4‪ RK‬حلحي‬ ‫حلحلطليأم حل طرمي‬ ‫طيرق حلحعأميل حل يرري لعييل حلا يطرق‬ ‫أ حلص ة (76.6)‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلأم‬ ‫ح حخرك لعل حلا طرق‬ ‫‪dy‬‬ ‫(76.6) ---------------- 0‪ f  x , y  , y  0   y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ليع اثييل‬ ‫أي حلصي ة حل ييطتق اثأايط حي‬ ‫ر‬ ‫حي حلترحمي قتير ايل لييال حلا طرلي حلحلطليأم‬ ‫ييرك إ اييطل ي اييل‬ ‫أي‬ ‫ح حايير طرمقي ر نييج ا حييط اييل حلرحتي حل حت ي‬ ‫ر‬ ‫اييل حلطييرق حل ييطتق‬ ‫عر ر حأل ل ال الا ع حمأ ر ااط مأ‬ ‫حلخا‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪1 d y‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi ‬‬ ‫‪xi ,yi  x i 1  x i  ‬‬ ‫‪ xi 1  xi ‬‬ ‫2‬ ‫‪2 xi ,yi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2 ! dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 d 3y‬‬ ‫‪1 d 4y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xi 1  xi  ‬‬ ‫‪ xi 1  xi  ‬‬ ‫3‬ ‫‪‬‬ ‫4‬ ‫‪3 xi ,yi‬‬ ‫‪4 xi ,yi‬‬ ‫‪‬‬ ‫)81.6( ----- ‪‬‬ ‫‪3 ! dx‬‬ ‫‪4 ! dx‬‬ ‫' 1‬ ‫'' 1‬ ‫‪3‬‬ ‫1‪yi ‬‬ ‫‪ yi  f  x i , yi  h  f  x i , yi  h  f  x i , y i  h‬‬ ‫2‬ ‫!2‬ ‫!3‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫4 ‪ f '''  x i , yi  h‬‬ ‫!4‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫أ حلص ة حلحطلم‬ ‫ر‬ ‫حآلل نلال حأع حلا طرل‬ ‫‪yi 1  yi  a1k1  a2k2  a3k3  a4k4 h‬‬ ‫)61.6( ------‬ ‫)91.6( تطلخا ي حلعير ر حأل لي ايل الاي ع حمأي ر اايط حي حلا طرلي‬ ‫تا يط حة حلا طرلي‬ ‫(81.6) نعصل أ‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi ‬‬ ‫‪k1  2k 2  2k3  k 4  h ‬‬ ‫6‬ ‫‪‬‬ ‫1‪k‬‬ ‫‪ f  x i , yi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪ f  x i  h , yi  k1h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)02.6( ----------------‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‪k‬‬ ‫‪ f  x i  h , yi  k 2h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫4‪k‬‬ ‫‪ f  x i  h , yi  k 3h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫اط مطأق أماط ا طرل ر نج ا حط ال حلرحت حل حت‬ ‫ر‬ ‫حأع حلا طرل‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-362-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫ تا أ ام ي ي ي‬x  1 ‫ ني ي يير‬y  y  x ‫دي ي يير عي ي ييل حلا طرل ي ي ي حلحلطلي ي ييأم‬ : )6-8( ‫مثااااااال‬ y(0)  1 ‫حلع ييل‬ ‫أي حلصي ة (6.76) لححنط ييو اييال طرمقي ر نييج ا حييط ح‬ ‫ر‬ ‫ن مير احطتي حلا طرلي حلحلطلييأم‬ ‫حلرحت حل حت‬ ‫ر‬ y  x  y, y(0)  1 ‫ نعصل أ‬h  0.1 ‫أ ح حتطر حل‬ f ( x, y )  x  y ‫اناط‬ k1  f  x i , yi   k1  x i  yi  1 1  1 1 k 2  f  x i  h , yi  k1h   k 2  x i  h  yi  k1h  2 2  2 2  1 1  1 1 k3  f  x i  h , yi  k 2h   k 3  x i  h  yi  k 2h  2 2  2 2 k 4  f  x i  h , yi  k 3h   k 4  x i  h  yi  k 3h , 1 yi 1  yi  k1  2k 2  2k3  k 4  h 6 ) y0  1, x0  0 ‫ ( اال حل أك ل‬i  0 ‫ق نر‬ k1  x i  yi  0  1  1 1 1 k 2  x i  h  yi  k1h  0  (0.5)(0.1)  1  (0.5)(1)(0.1)  0.9 2 2 1 1 k3  x i  h  yi  k 2h  0  (0.5)(0.1)  1  (0.5)(0.9)(0.1)  0.9050 2 2 k 4  x i  h  yi  k3h  0  0.1  1  (0.9050)(0.1)  0.8095 1 y1  y 0  k1  2k 2  2k3  k 4  h 6 1 y1  1   1  2 * (0.9)  2 * (0.9050)  0.8095  (0.1)  0.9097 6 ___________________________________________________ -264-
‫الباب السادس‬ ‫نالعظ ححطتال حلقمك ال حلدر ل حلحطل‬ ‫‪i‬‬ ‫) ‪x(i‬‬ ‫)‪y (i‬‬ ‫1‪k‬‬ ‫2‪k‬‬ ‫3‪k‬‬ ‫4‪k‬‬ ‫)1 ‪y(i ‬‬ ‫2‬ ‫0.0‬ ‫1‬ ‫1-‬ ‫9.0-‬ ‫509.0-‬ ‫5908.0-‬ ‫7909.0‬ ‫6‬ ‫1.0‬ ‫7909.0‬ ‫86908.0-‬ ‫91917.0-‬ ‫27327.0-‬ ‫3736.0-‬ ‫64738.0‬ ‫6‬ ‫2.0‬ ‫64738.0‬ ‫64736.0-‬ ‫95555.0-‬ ‫86955.0-‬ ‫94184.0-‬ ‫6187.0‬ ‫3‬ ‫3.0‬ ‫6187.0‬ ‫46184.0-‬ ‫65704.0-‬ ‫62114.0-‬ ‫15043.0-‬ ‫6047.0‬ ‫4‬ ‫4.0‬ ‫6047.0‬ ‫46043.0-‬ ‫16372.0-‬ ‫69672.0-‬ ‫49212.0-‬ ‫1317.0‬ ‫5‬ ‫5.0‬ ‫1317.0‬ ‫60312.0-‬ ‫14251.0-‬ ‫44551.0-‬ ‫815790.0-‬ ‫6796.0‬ ‫6‬ ‫6.0‬ ‫6796.0‬ ‫426790.0-‬ ‫347240.0-‬ ‫784540.0-‬ ‫8429600.0‬ ‫2396.0‬ ‫7‬ ‫7.0‬ ‫2396.0‬ ‫8828600.0‬ ‫784650.0‬ ‫400450.0‬ ‫34101.0‬ ‫7896.0‬ ‫8‬ ‫8.0‬ ‫7896.0‬ ‫43101.0‬ ‫72641.0‬ ‫30441.0‬ ‫49681.0‬ ‫1317.0‬ ‫6‬ ‫9.0‬ ‫1317.0‬ ‫68681.0‬ ‫25722.0‬ ‫84522.0‬ ‫13462.0‬ ‫8537.0‬ ‫جدول (2-6): اثطل أ طرمق ر نج ا حط ال حلرحت حل حت‬ ‫ر‬ ‫حللييرق اييط تييمل حلعييل حلحقرمت ي تط ييحخرحك طرمقي ر نييج‬ ‫حل ييال حلحييطل (8-6) م ل ي‬ ‫ا حيط ايل حلرحتي حل حت ي 4‪ RK‬حلعيل حلحيطك، ايل حلنحيط ج نالعيظ ل طرمقي 4‪ RK‬ايل رق‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلأم‬ ‫حلطرق لعل حأع حلا طرق‬ ‫1‬ ‫4‪RK‬‬ ‫‪Exact‬‬ ‫59.0‬ ‫9.0‬ ‫58.0‬ ‫8.0‬ ‫57.0‬ ‫7.0‬ ‫56.0‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫4‪ RK‬حلعل حلحطك‬ ‫شكل (8-6): نحط ج حلعل تط حخرحك طرمق ر نج ال حلرحت حل حت‬ ‫ر‬ ‫مثااال (9-6) : اي ة رردي عررحاييط 2266 األييل، ييا لاييط لأحترميير حي حلاي حء نيير رردي‬ ‫ح‬ ‫ر‬ ‫يط‬ ‫حلع ير ة لأ ييط حلاعييمط اقييرحر ط 223 األييل. ت ي حح حل ل حلع ير ة حلالق ي رة نحمد ي ل‬ ‫حر‬ ‫ر‬ ‫حر‬ ‫أ إ حتطر ل حلا طرل حلحلطلأم حلحطلم حاثل ررد عر ة حلا ة .‬ ‫حر ر‬ ‫حقط،‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-562-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪d‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2.2067 1012  4  81108 , 0  1200 K‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬حاثييل ررد ي حلع ير ة تييطلاألل حاثييل ‪ t‬حلييلال تطلثطنم ي . ديير ررد ي حلع ير ة نيير‬ ‫حر‬ ‫حر‬ ‫عم ي‬ ‫084 ‪ t ‬ثطنم تط حخرحك طرمق ر نج ا حط لأرحت حل حت . تطحح حل ط ل حلخط ة246 ثطنم‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫حلعل‬ ‫أي حلصي ة (76.6) لححنط ييو اييال طرمقي ر نييج ا حييط ح‬ ‫ر‬ ‫ن مير احطتي حلا طرلي حلحلطلييأم‬ ‫حلرحت حل حت‬ ‫ر‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ 2.2067  1012  4  81  108 ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ f t ,    2.2067  1012  4  81  108 ‬‬ ‫نق ك تطلح مل ح ا طرل 4‪RK‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪ i 1   i ‬‬ ‫‪k1  2k 2  2k3  k 4  h ‬‬ ‫6‬ ‫‪‬‬ ‫‪k1 ‬‬ ‫‪f  t i , i ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k2 ‬‬ ‫‪f  ti  h ,i  k1h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k3 ‬‬ ‫‪f  ti  h ,i  k 2h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k4 ‬‬ ‫‪f ti  h ,i  k 3h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ق نر 0 ‪ i ‬ح ل ‪ t0  0,0  1200K‬اناط ح ل‬ ‫‪k1  f t0 , 0 ‬‬ ‫9755.4‪ f  0,1200   2.2067  1012 12004  81  108   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪k2  f  t0  h, 0  k1h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f  0  240,1200   4.5579  240 ‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫74383.0‪ f 120, 653.05  2.2067  1012  653.054  81  108   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪k 3  f  t 0  h, 0  k 2 h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f  0  240,1200   0.38347   240 ‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-662-‬
‫الباب السادس‬  f 120,1154.0   2.2067  1012 1154.04  81  108   3.8954 k4  f t0  h,0  k3h  f 0  240,1200   3.894 240  f  240, 265.10   2.2067  1012  265.104  81  108   0.0069750 1 ‫تطلح مل لع طو لما‬ 1 1   0  (k1  2k 2  2k 3  k 4 )h 6  1200  1  4.5579  2 0.38347  2 3.8954  0.069750240 6  1200   2.1848  240  675.65 K ‫حلقما حلحقرمتم لررد حلعر ة نر‬ ‫حر‬ 1 ‫إل‬ ‫عم‬ t  t1 =t0  h  0  240  240 ‫ اناط ح ل‬t1  240,1  675.65 K ‫ ح ل‬i  1 ‫ثطنمط نر‬ k1  f t1 , 1   f  240, 675.65  2.2067  1012  675.654  81  108   0.44199  1 1  k 2  f  t1  h , 1  k1h   2 2   1 1   f  240   240  , 675.65   0.44199  240   2 2   f  360, 622.61  2.2067  1012  622.614  81  108   0.31372  1 1  k3  f  t1  h , 1  k 2h   2 2   1 1   f  240   240  , 675.65   0.31372   240   2 2   f  360, 638.00   2.2067  1012  638.004  81  108   0.34775 k 4  f t1  h , 1  k3h   f  240  240, 675.65   0.34775   240   f  480, 592.19   2.2067  1012  592.194  81  108   0.25351  2 ‫تطلح مل لع طو لما‬ ___________________________________________________ -267-
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫1‬ ‫‪ 2  1  (k1  2k 2  2k3  k 4 )h‬‬ ‫6‬ ‫‪ 675.65 ‬‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫042 ‪ 0.44199  2  0.31372   2  0.34775    0.25351  ‬‬ ‫1‬ ‫042 ‪ 675.65   2.0184  ‬‬ ‫‪ 594.91 K‬‬ ‫6‬ ‫حلقما حلحقرمتم لررد حلعر ة نر‬ ‫حر‬ ‫إل 2 ‪‬‬ ‫عم‬ ‫084 ‪t  t 2 =t1  h  240  240 ‬‬ ‫در عل حلا طرل حلحلطلأم ح حلاثطل حل طتق نر 04 ‪ t ‬رلمق‬ ‫مثال (01-6) :‬ ‫اثل حلنطحج تمطنمط.‬ ‫حلعل‬ ‫أي حلصي ة (76.6)‬ ‫ر‬ ‫ي ف نقي ك تحصييامك ترنييطاج قمدييطر عييل ي ا طرلي حلطلييأم‬ ‫إرخيطل ت يل حلتمطنيط‬ ‫معحطج حلترنطاج إل‬ ‫عم‬ ‫تط حخرحك طرمق ر نج ا حط لأرحت حل حت‬ ‫ر‬ ‫ااط مأ :‬ ‫إرخطل لما ط ل حلخط ة ‪ Step Size‬نرال لاط تطلرال ‪h‬‬ ‫إرخييطل حلرحل ي ) ‪ f (x , y‬لأا طرل ي حلحلطلييأم ت يير ل ي اط أ ي حلص ي ة (76.6) نراييل لاييط‬ ‫ر‬ ‫تطلرال ) ‪f (x , y‬‬ ‫لما ال ال 0 ‪. y 0 ، x‬‬ ‫إرخطل حل رط حقتحرح‬ ‫إرخطل لما ‪ x‬حلاطأ و نر ط ع طو لما ‪ y‬نرال لاط تطلرال ‪xf‬‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫042=‪step size‬‬ ‫)8^01*18-4^‪the function f(x,y)=-2.2067*10^(-12)*(y‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫0021=0‪y‬‬ ‫0042=‪xf‬‬ ‫>>‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-862-‬
‫الباب السادس‬ clc clear all syms f x y h = input('step size='); f = input('the function f(x,y)='); X(1) = input('x0='); Y(1) = input('y0='); xf = input('xf='); for i=1:(xf-X(1))/h y=Y(i); x=X(i); k1=subs(f); y=Y(i)+0.5*k1*h; x=X(i)+0.5*h; k2=subs(f); y=Y(i)+0.5*k2*h; x=X(i)+0.5*h; k3=subs(f); y=Y(i)+k3*h; x=X(i)+h; k4=subs(f); Y(i+1)=Y(i)+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)*h; X(i+1)=X(i)+h; end plot (X,Y,'b.') % numerical solution ‫أ حلص ة (76.6) تط حخرحك طرمق‬ ‫ر‬ ‫برنامج (6-6): إمدطر عل ي ا طرل حلطلأم‬ ‫ر نج ا حط لأرحت حل حت‬ ‫ر‬ 42 ‫ماثل ال(9-6) حغمر ررد حلعر ة اال حللال، حا ل ررد حلعر ة ت ر ال‬ ‫حر‬ ‫حر‬ ‫6.424 األل‬ ‫رلمق‬ ___________________________________________________ -269-
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫0021‬ ‫0011‬ ‫0001‬ ‫009‬ ‫008‬ ‫‪y‬‬ ‫007‬ ‫006‬ ‫005‬ ‫004‬ ‫0‬ ‫005‬ ‫0001‬ ‫0051‬ ‫0002‬ ‫0052‬ ‫‪t‬‬ ‫شكل (9-6) : حغمر ررد حلعر ة تطلاألل اال حللال‬ ‫حر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-072-‬
‫الباب السادس‬ ‫ابع ا : طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل مجموعة من المعادالت‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫التفاضلية ذات الرتبة األولى‬ ‫أ حلص ة‬ ‫ر‬ ‫تلرل ل لرمنط ا طرلحمل ال حلرحت حأل ل تقمك حتحرح م ا أ ا‬ ‫,) ‪y  F( x, y,v‬‬ ‫)12.6( ------------------- ‪y( 0 )  ‬‬ ‫,) ‪v  G( x, y,v‬‬ ‫)22.6( ------------------- ‪v( 0 )  ‬‬ ‫إل لرمنط ا طرلحمل حلطلأمحمل ح ل لرمنط ادا حمل ال لمك حلث حت ، ادا‬ ‫عم‬ ‫‪ m‬ااط مأ‬ ‫حلث حت‬ ‫‪ k‬ادا‬ ‫حلث حت‬ ‫‪k1  F  xi , yi ,vi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪k2  F  xi  h, yi  hk1 ,vi  hm1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪k3  F  xi  h, yi  hk2 ,vi  hm2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪k4  F  xi  h, yi  k3h,vi  hm3 ‬‬ ‫‪m1  G  xi , yi ,vi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪m2  G  xi  h, yi  hk1 ,vi  hm1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪m3  G  xi  h, yi  hk2 ,vi  hm2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪m4  G  xi  h, yi  k3h,vi  hm3 ‬‬ ‫‪ m‬حخييا‬ ‫‪ k‬حخييا حلا طرل ي )12.6( ح ي عييمل ل حلث حت ي‬ ‫قعييظ نييط ل لييمك حلث حت ي‬ ‫حلا طرل )22.6(‬ ‫ماال ع طو لمك 1‪ yi 1 ,vi ‬ااط مأ‬ ‫تطلحطل‬ ‫1‬ ‫‪yi 1  yi ‬‬ ‫‪ k1  2k2  2k3  k4  h‬‬ ‫6‬ ‫1‬ ‫‪vi 1  vi   m1  2m2  2m3  m4  h‬‬ ‫6‬ ‫ح‬ ‫حلحلطليأم‬ ‫ماال ااط تق ح حنحطج طرمقي ر نيج ا حيط ألي يرر ايل حلا يطرق‬ ‫حلطلأم ما ل عأاط أ حلنع حلحطل‬ ‫ا طرق‬ ‫ال ثال‬ ‫حلرحت حأل ل ، تلرل ادا‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-172-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ y  F( x, y,v,w ), y( 0 )   ------------------- (6.23) v  G( x, y,v,w ), v( 0 )   ------------------- (6.24) w  H( x, y,v,w ), w( 0 )   ------------------- (6.25) ‫ال حلث حت ، ادا‬ ‫ادا ط‬ ‫ح ل لرمنط ثال‬ ‫ا طرق‬ ‫إل لرمنط ثال‬ ‫عم‬ ‫ ااط مأ‬n ‫حلث حت‬ ‫ ادا‬m ‫حلث حت‬ ‫ ،ادا‬k ‫حلث حت‬ k1  F  xi , yi ,vi ,wi   1 1 1 1  k2  F  xi  h, yi  hk1 ,vi  hm1 ,wi  hn1   2 2 2 2   1 1 1 1  k3  F  xi  h, yi  hk 2 ,vi  hm2 ,wi  hn2   2 2 2 2  k4  F  xi  h, yi  hk3 ,vi  hm3 ,wi  hn3  m1  G  xi , yi ,vi ,wi   1 1 1 1  m2  G  xi  h, yi  hk1 ,vi  hm1 ,wi  hn1   2 2 2 2   1 1 1 1  m3  G  xi  h, yi  hk2 ,vi  hm2 ,wi  hn2   2 2 2 2  m4  G  xi  h, yi  hk3 ,vi  hm3 ,wi  hn3  n1  H  xi , yi ,vi ,wi   1 1 1 1  n2  H  xi  h, yi  hk1 ,vi  hm1 ,wi  hn1   2 2 2 2   1 1 1 1  n3  H  xi  h, yi  hk 2 ,vi  hm2 ,wi  hn2   2 2 2 2  n4  H  xi  h, yi  hk3 ,vi  hm3 ,wi  hn3  ‫ ااط مأ‬yi 1 ,vi 1 ,wi 1 ‫تطلحطل ماال ع طو لمك‬ 1 yi 1  yi   k1  2k2  2k3  k4  h 6 1 vi 1  vi   m1  2m2  2m3  m4  h 6 1 wi 1  wi   n1  2n2  2n3  n4  h 6 ___________________________________________________ -272-
‫الباب السادس‬ ‫خامس ا : طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل المعادالت التفاضلية‬ ‫ر‬ ‫من الرتبة الثانية‬ ‫أ حلص ة‬ ‫ر‬ ‫تلرل حلا طرل حلحلطلأم ال حلرحت حلثطنم‬ ‫,) ‪y  f ( x, y, y‬‬ ‫, ‪y( 0 )  ‬‬ ‫)62.6( ------------ ‪y( 0 )  ‬‬ ‫أي‬ ‫حلرحت حأل ل‬ ‫ح‬ ‫حلحلطلأم‬ ‫ال حلا طرق‬ ‫ادا‬ ‫تحع مل حلا طرل حلحلطلأم إل‬ ‫حلنع حلحطل‬ ‫,‪y  v‬‬ ‫,) ‪v  f ( x, y,v‬‬ ‫, ‪y( 0 )  ‬‬ ‫‪v( 0 )  ‬‬ ‫)72.6( -------------------‪‬‬ ‫حلررد ي حأل ل ي‬ ‫ادا ي اييل ا ييطرق‬ ‫إل ي‬ ‫تا ي ح ح ي ل ا طرل ي حلررد ي حلثطنم ي ليير حع ل ي‬ ‫حلح ما ل عأاط أ حلص ة‬ ‫ر‬ ‫‪k1  vi‬‬ ‫1‪k2  vi  0.5hm‬‬ ‫2‪k3  vi  0.5hm‬‬ ‫3‪k4  vi  hm‬‬ ‫‪m1  f  xi , yi ,vi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪m2  f  xi  h, yi  hk1 ,vi  hm1   f  xi  h, yi  hvi ,vi  hm1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2 1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪m3  f  xi  h, yi  hk2 ,vi  hm2   f  xi  h, yi  hvi  h m1 ,vi  hm2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 1‬ ‫‪‬‬ ‫‪m4  f  xi  h, yi  hk3 ,vi  hm3   f  xi  h, yi  hvi  h m2 ,vi  hm3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k‬لي ييع ت ي ييتو ا ي ي ل ‪ y   v‬رحل ي ي ح ي ي‬ ‫لادا ي ي حلث حت ي ي‬ ‫قعي ييظ حلحغمي يير حل ي ي ي عي يير‬ ‫أ حلنع حلحطل‬ ‫حا ل لمك ‪y ,v‬‬ ‫حلاحغمر ‪ v‬حقط تمر ا حارة أ حلاحغمرمل ‪x , y‬‬ ‫1‬ ‫‪yi 1  yi ‬‬ ‫‪ k1  2k2  2k3  k4  h‬‬ ‫6‬ ‫1‬ ‫‪ yi   vi   2  vi  0.5hm1   2  vi  0.5hm2    vi  hm3   h‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫2 ‪=yi  hvi   m1  m2  m3  h‬‬ ‫6‬ ‫1‬ ‫‪vi 1  vi   m1  2m2  2m3  m4  h‬‬ ‫6‬ ‫نالعظ نط ل حلا طرق خطلم حاطاط ال حلاحغمر ‪k‬‬ ‫ح‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-372-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫ تط ل خط ة اقرح م‬x  1 ‫نر‬ ‫ر‬ ‫در عل ا نل حلقمك حقتحرح م حلحطلم‬ : )6-11( ‫مثال‬ h  0.1 y   xy   y  3  5x , y ( 0 )  1, y ( 0 )  0 2 ‫الحل‬ ‫حلررد‬ ‫ال ا طرق‬ ‫ادا‬ ‫تحع مل حلا طرل حلحلطلأم ال حلرحت حلثطنم إل‬ ‫حأل ل‬ y  v , y ( 0)  1 v   3  5x 2  xv  y , v ( 0)  0 f ( x , y ,v )  3  5x 2  xv  y ‫تاقطرنحاط تطلا طرل (76.6) ن حنحج ل‬ : ‫ ح ل‬y ( 0 )  0, v ( 0 )  1 ‫إل‬ ‫عم‬ x0  0, y0  1, v0  0, h  0.1 ‫ ح ل‬i  0 ‫ق: نر‬ m1  f  x0 , y0 ,v0   f  0,1, 0   3  5 x0 2  x0v0  y0 =2.000  1 1 1  m2  f  xi  h, yi  hvi ,vi  hm1   f ( 0.05,1, 0.1 )  2.008  2 2 2   1 1 1 2 1  m3  f  xi  h, yi  hvi  h m1 ,vi  hm2   f ( 0.05,1.005,1.004 ) =2.002  2 2 4 2   1 2  m4  f  xi  h, yi  hvi  h m3 ,vi  hm3   f ( 0.1,1.01,0.2002 )  2.01998  2  1 yi 1  yi  hvi   m1  m2  m3  h 2 6 1  y1  y0  hv0   m1  m2  m3  h 2  1.0100 6 1 vi 1  vi   m1  2m2  2m3  m4  h 6 1  v1  v0   m1  2m2  2m3  m4  h  0.2007 6 x1  0.1, y1  1.01, v1  0.2007, h  0. 1 ‫ ح ل‬i  1 ‫ثطنمط : ت لال‬ m1  f  x1 , y1 ,v1   2.020  1 1 1  m2  f  xi  h, yi  hvi ,vi  hm1   2.047  2 2 2   1 1 1 2 1  m3  f  xi  h, yi  vi h  h m2 ,vi  hm2   2.042  2 2 4 2   1 2  m4  f  xi  h, yi  vi h  h m3 ,vi  hm3   2.079  2  ___________________________________________________ -274-
‫الباب السادس‬ ‫1‬ ‫‪yi 1  yi  hvi ‬‬ ‫2 ‪ m1  m2  m3  h‬‬ ‫6‬ ‫1‬ ‫3040.1 ‪ y2  y2  hv1   m1  m2  m3  h 2 ‬‬ ‫6‬ ‫1‬ ‫‪vi 1  vi   m1  2m2  2m3  m4  h‬‬ ‫6‬ ‫1‬ ‫3504.0 ‪ v2  v1   m1  2m2  2m3  m4  h ‬‬ ‫6‬ ‫تحا حر اط تق نعصل أ‬ ‫ر‬ ‫,3190.1 ‪y3 ‬‬ ‫6716.0 ‪v3 ‬‬ ‫,2461.1 ‪y4 ‬‬ ‫0148.0 ‪v4 ‬‬ ‫,0062.1 ‪y5 ‬‬ ‫3870.1 ‪v5 ‬‬ ‫,4083.1 ‪y6 ‬‬ ‫8133.1 ‪v6 ‬‬ ‫,0725.1 ‪y7 ‬‬ ‫8206.1 ‪v7 ‬‬ ‫,5107.1 ‪y8 ‬‬ ‫1298.1 ‪v8 ‬‬ ‫,0609.1 ‪y9 ‬‬ ‫6991.2 ‪v9 ‬‬ ‫,0241.2 ‪y10 ‬‬ ‫6425.2 ‪v10 ‬‬ ‫ماال حصامك ترنطاج لمق ك تاط حك ح حلاثطل حل طتق ااط مأ‬ ‫ااط مأ‬ ‫إرخطل ت ل حلتمطنط‬ ‫معحطج حلترنطاج إل‬ ‫عم‬ ‫إرخطل لما ط ل حلخط ة ‪ Step Size‬مرال لاط تطلرال ‪h‬‬ ‫إرخطل حلرحل ) ‪ f (x, y,v‬لأا طرل حلحلطلأم ت ر ل اط أ حلص ة (76.6)‬ ‫ر‬ ‫لما ال ال 0 ‪. v 0 ، y 0 ، x‬‬ ‫إرخطل حل رط حقتحرح‬ ‫إرخطل لما ‪ x‬حلاطأ و نر ط ع طو لما ‪ v ، y‬نرال لاط تطلرال ‪xf‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-572-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ clc clear all syms f x y v h = input('step size='); f = input('the function f(x,y,v)='); X(1) = input('x0='); Y(1) = input('y(x0)='); V(1)= input('v(x0)='); xf = input('xf='); for i=1:(xf-X(1))/h y=Y(i); x=X(i); v=V(i); m1=subs(f); x=X(i)+0.5*h; y=Y(i)+0.5*h*V(i); v=V(i)+0.5*h*m1; m2=subs(f); x=X(i)+0.5*h; y=Y(i)+0.5*h*V(i)+0.25*h^2*m1; v=V(i)+0.5*h*m2; m3=subs(f); x=X(i)+h; y=Y(i)+h*V(i)+0.5*h^2*m2; v=V(i)+h*m3; m4=subs(f); Y(i+1)=Y(i)+h*V(i)+(1/6)*(m1+m2+m3)*h^2; V(i+1)=V(i)+(1/6)*(m1+2*m2+2*m3+m4)*h; X(i+1)=X(i)+h; end subplot(1,2,1) plot (X,Y,'b.') % numerical solution subplot(1,2,2) plot (X,V,'b.') % numerical solution ‫حلحلطلأم ال حلرحت حلثطنم تط حخرحك طرمق ر نج‬ ‫برنامج (7-6): حمدطر عل حلا طرق‬ ‫ا حط لأرحت حل حت‬ ‫ر‬ ___________________________________________________ -276-
‫الباب السادس‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫1.0=‪step size‬‬ ‫‪the function f(x,y,v)=3+5*x^2-x*v-y‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=)0‪y(x‬‬ ‫0=)0‪v(x‬‬ ‫1=‪xf‬‬ ‫>>‬ ‫ال (26-6)‬ ‫ح حلترنطاج ح‬ ‫حظار نحط ج‬ ‫4.2‬ ‫3‬ ‫2.2‬ ‫5.2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫8.1‬ ‫5.1‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪V‬‬ ‫6.1‬ ‫1‬ ‫4.1‬ ‫5.0‬ ‫2.1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫2.0‬ ‫4.0‬ ‫6.0‬ ‫8.0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫2.0‬ ‫4.0‬ ‫6.0‬ ‫8.0‬ ‫1‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫شكل (11-6) : حل الل اطتمل ال ال ‪ y,v‬اال ‪x‬‬ ‫يال‬ ‫مثال (21-6) : تليرل دي ر تنير ل ا أيق نير حلنقطي ‪ o‬طي ل ر يد اايط حي‬ ‫ح‬ ‫(66-6) ليد احأي اقيرحر ط ‪ m‬ارال ييط نير حلنقطي ‪ P‬تلييرل ل ‪ ‬ي حلل مي تطلحقييرمر‬ ‫ح‬ ‫حلييرح ي حلح ي مصيين اط ر حلتنيير ل اييال حلاع ي ر حلر ي ، ديير حلا طرل ي حلحلطلييأم حلح ي‬ ‫ح‬ ‫ر‬ ‫حصف حلعرا .‬ ‫شكل (6-11) : صف عرا حلتنر ل‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-772-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫حلعل‬ ‫حلا يينل حص ييف عراي ي ‪ P‬ت يير حع ي م ا ييل ل ييال حل ييا ل، ا ييل حلختي ير حل اأمي ي‬ ‫ح‬ ‫يرر‬ ‫حلتني يير ل‬ ‫ل عرا ي ي حلتني يير ل حخاي يير اي ييال حقي ييرك حلي ييلال ا ي ي لع حلي ييلال تي ييمل عراي ييط‬ ‫محل ي ي‬ ‫حلاحنردع حلاح طلت مقل .‬ ‫حاي ل حلقي ة حلا يتت‬ ‫تلرل ل عرا ‪ P‬حعرر تط حخرحك حلا طرل حلرمنطامامي لنمي حل تعمي‬ ‫لأعرا‬ ‫)82.6( ------------------- ‪Fe  ma‬‬ ‫2‪d‬‬ ‫إل ط ي ي ل حلق ي ي ن ‪ NP‬م ي ييط ي ‪ ، ‬ح ي ي ل ‪ a  2      ‬اناي ييط ححع ي ي ل‬ ‫عم ي ي‬ ‫‪dt‬‬ ‫حلا طرل (86.6) إل‬ ‫‪Fe  ma  m  ‬‬ ‫ارات ل ة حلدط تم‬ ‫‪ ، P‬تلرل ل 1‪F‬‬ ‫أ إ حتطر ل حلق ة ‪ F‬حؤثر أ‬ ‫.0>‪F1  mg sin  , g‬‬ ‫أ حلص ة‬ ‫ر‬ ‫حلق ة حلاخارة حلح‬ ‫تلرل ل حلق ة 2‪F‬‬ ‫.0 ‪F2  c , c ‬‬ ‫حا ل‬ ‫أ إحح حل إ اطل ي ل إل خ إل ، ح ل ل إل حلاقط ا‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫‪Fr  F2  F1  mg sin   c ‬‬ ‫أ حلنع حلحطل‬ ‫لع حا ل ا طرل حلعرا‬ ‫أ‬ ‫‪ c‬‬ ‫‪  g‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m    mg sin   c   0     ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫0 ‪ sin  ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫تطل ر ط حقتحرح م 0=)0(‪ ( 0 )   ,  ‬‬ ‫حاثل ا طرل حلعرا لأتنر ل‬ ‫ل‬ ‫مثااال (31-6) : صييف عراي حلتنيير ل حي حلاثييطل حل ييطتق خييالل 56 ثطنمي إ ح أاي‬ ‫أ حلنع حلحطل‬ ‫حلا طرل حلحلطلأم حلح حصف عراح‬ ‫, 054 ‪    0.3   sin   0,  ( 0 ) ‬‬ ‫0 ‪ ( 0 ) ‬‬ ‫أ ح حتطر ل ط ل حلخط ة اقرح م 10.0 ‪. h ‬‬ ‫ر‬ ‫حلع ييل‬ ‫نق ك تعأاط تط حخرحك طرمق 4‪RK‬‬ ‫ق م در لحأع حلا طرل حلحلطلأم عل حعأمأ‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-872-‬
‫الباب السادس‬ ‫أ حلنع حلحطل‬ ‫حلررد حأل ل‬ ‫ال ا طرق‬ ‫ادا‬ ‫نق ك تحع مل حلا طرل إل‬ ‫, ‪  v‬‬ ‫1 ‪( 0) ‬‬ ‫0 ‪v   0.3v  sin  , v ( 0 ) ‬‬ ‫نق ك تحنلم ترنطاج (7-6) لعل حأع حلا نل ااط مأ‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر ح غمل حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫1.0=‪step size‬‬ ‫)‪the function f(x,y,v)=-0.3*v-sin(y‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=)0‪y(x‬‬ ‫4/‪v(x0)=pi‬‬ ‫51=‪xf‬‬ ‫>>‬ ‫تطل ال (21-6)‬ ‫ال‬ ‫نعصل أ حلانعن ااط‬ ‫5.1‬ ‫8.0‬ ‫6.0‬ ‫1‬ ‫4.0‬ ‫2.0‬ ‫5.0‬ ‫0‬ ‫‪Theta‬‬ ‫‪V‬‬ ‫2.0-‬ ‫0‬ ‫4.0-‬ ‫6.0-‬ ‫5.0-‬ ‫8.0-‬ ‫1-‬ ‫1-‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫01‬ ‫51‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫01‬ ‫51‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫شكل (21-6) : حلعرا حلاخارة لعرا حلتنر ل‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-972-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫سادسا : طريقة الفروق المحدوده لحل المعادالت التفاضلية العادية‬ ‫حلحلطليأم حل طرمي‬ ‫ح حخرك طرمقي حللير ق حلاعير رم (‪ )Finite difference‬لعيل حلا يطرق‬ ‫يطرة ايط‬ ‫حلح لديها شروط حدودية (‪ )boundary condition‬وليس نر نقطي حلترحمي حقيط.‬ ‫نطأييق أ ي حأييع حلا ييط ل ا ييط ل حلقييمك حلعر رم ي (.‪)Boundary-Value Problems‬‬ ‫حلحلطليأم ايل‬ ‫ي ح حلد ء ي ف نح يرل إلي حأيع حلا يطرق‬ ‫يل‬ ‫إخحصطر ح ا ‪ .BVP‬حي‬ ‫ح‬ ‫أ حلص ة حلحطلم‬ ‫ر‬ ‫حلرحت حلثطنم حلح‬ ‫‪d 2y‬‬ ‫‪ f (x , y, y '), a  x  b‬‬ ‫)62.6( ------------‬ ‫2 ‪dx‬‬ ‫تطل ر ط حلعر رم حلحطلم‬ ‫‪y(a)  ya , y(b)  yb‬‬ ‫)23.6( -----------------‬ ‫حييو (‪)simply supported beam‬‬ ‫اثييطل (41-6) : حآلنعي حف (‪ y )deflection‬حي‬ ‫ر‬ ‫ال (36-6) ا يرل لعايل انيحظك ‪ q‬عايل ير اعي ي (‪T )tensile axial‬‬ ‫ر‬ ‫ااط ح‬ ‫م ط تطل الل‬ ‫)‪d y Ty qx( L  x‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)63.6( ---------------‬ ‫‪dx 2 EI‬‬ ‫‪2 EI‬‬ ‫ل‬ ‫عم‬ ‫‪ I‬حل لك حلثطن لأا طع )4‪(in‬‬ ‫ي ا لال أ حل حو )‪(in‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ q‬اثطح حلعال حلانحظك )‪(lb/in‬‬ ‫عال حل ر حلاؤثر)‪(lbs‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ L‬ط ل حل حو )‪(in‬‬ ‫‪ E‬ا طال منج (‪) Young’s modulus‬‬ ‫تا أ ام‬ ‫4 ‪T  7200 lbs, q  5400 lbs/in, L  75 in, E  30 Msi, I  120 in‬‬ ‫در حنع حف حل حو نر "05 ‪ x ‬تط حخرحك ط ل خطي ة اقيرحر ط " 52 ‪ h ‬تط يحخرحك‬ ‫ر‬ ‫حلحقرمو حللرل حلاق ك حق ط (‪)central divided difference approximation‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-082-‬
‫الباب السادس‬ ‫‪y‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪L‬‬ ‫أ ر طاط‬ ‫شكل (31-6) : حو اثت‬ ‫حلع ييل‬ ‫)‪d 2 y Ty qx( L  x‬‬ ‫نعصل أ ،‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫تطلح مل تطلقمك حلا ططة ح حلا طرل ححلحلطلأم‬ ‫‪dx 2 EI‬‬ ‫‪2 EI‬‬ ‫‪d2y‬‬ ‫‪7200 y‬‬ ‫) ‪(5400) x(75  x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫2‬ ‫)021() 601 ‪(30  10 )(120) 2(30 ‬‬ ‫6‬ ‫‪d2y‬‬ ‫)63.6( -------- )‪ 2  10 6 y  7.5  10 7 x(75  x‬‬ ‫2 ‪dx‬‬ ‫‪d2y‬‬ ‫تحقرميو حلا يحق حلثطنمي 2 تط يحخرحك (‪)central divided difference approximation‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫نر حل قرم ‪ i‬ااط مأ‬ ‫1‪i ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫1‪i ‬‬ ‫شكل (41-6) : حللر ق حلاعر رم تط حخرحك طرمق حلحقرمو حللرل حلاق ك حأل ط‬ ‫1‪d 2 y yi 1  2 yi  yi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)33.6( ------------‬ ‫2 ‪dx‬‬ ‫2 )‪( h‬‬ ‫تطلح مل ناط ح حلا طرل حلحلطلأم ، نعصل أ‬ ‫1‪yi 1  2 yi  yi ‬‬ ‫2‬ ‫)43.6(------ ) ‪ 2 106 yi  7.5 107 xi (75  xi‬‬ ‫)‪( h‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-182-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫إل ط ي ي ل حل حي ييو‬ ‫4) عم ي ي‬ ‫52 ‪ ، h ‬ح ي ي ل لي ييرمنط رتي ييال قي يير (‪nodes‬‬ ‫إل‬ ‫عم ي ي‬ ‫57 ‪ L ‬ت ص‬ ‫1‪i ‬‬ ‫2‪i‬‬ ‫3‪i‬‬ ‫4‪i‬‬ ‫0‪x‬‬ ‫52 ‪x ‬‬ ‫05 ‪x ‬‬ ‫57 ‪x ‬‬ ‫57 ‪ x ‬تط حخرحك 52 ‪h ‬‬ ‫شكل (51-6) : حللر ق حلاعر رم ال 0 ‪ x ‬إل‬ ‫ااط مأ‬ ‫قر‬ ‫لع ما ل ا لال حألرت‬ ‫أ‬ ‫0 ‪x1 ‬‬ ‫52 ‪x 2  x1  h  0  25 ‬‬ ‫05 ‪x3  x 2  h  25  25 ‬‬ ‫57 ‪x 4  x3  h  50  25 ‬‬ ‫نر ال قرم نعصل أ‬ ‫تاحطت حلا طرل‬ ‫ايل حلطيرحمل (‪ )simply supported beam‬ح ل‬ ‫نيد حيو اثتي‬ ‫العقده األولاى : عمي‬ ‫نر 0 ‪ x ‬نعصل أ‬ ‫)53.6( ------------------- 0 ‪y1 ‬‬ ‫العقده الثانية : تاحطت حلا طرل لأ قرم حلثطنم نعصل أ ،‬ ‫1‪y3  2 y 2  y‬‬ ‫) 2‪ 2  10 6 y 2  7.5  10 7 x2 (75  x‬‬ ‫2 )52(‬ ‫)52 ‪0.0016 y1  0.003202 y 2  0.0016 y3  7.5  10 7 (25)(75 ‬‬ ‫4‪0.0016 y1  0.003202 y 2  0.0016 y3  9.375  10 ‬‬ ‫)63.6( ---‬ ‫العقده الثالثة : تاحطت حلا طرل لأ قرم حلثطلث نعصل أ ،‬ ‫2 ‪y 4  2 y3  y‬‬ ‫2‬ ‫) 3‪ 2  10 6 y3  7.5  10 7 x3 (75  x‬‬ ‫)52(‬ ‫)05 ‪0.0016 y 2  0.003202 y3  0.0016 y3  7.5  10 7 (50)(75 ‬‬ ‫)73.6( ------ 4‪0.0016 y 2  0.003202 y3  0.0016 y3  9.375  10 ‬‬ ‫ال حلطرحمل ح ل نر 57 ‪ x ‬نعصل أ‬ ‫ند حو اثت‬ ‫العقده ال ابعة : عم‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-282-‬
‫الباب السادس‬ ‫)83.6( --------------------------- 0 ‪y 4 ‬‬ ‫ادط مل‬ ‫رت‬ ‫خطم ح‬ ‫ا طرق‬ ‫رت‬ ‫حل طتق (53.6-83.6)‬ ‫حلا طرق‬ ‫ماال احطتحاط أ حلنع حلحطل‬ ‫1 ‪‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‪0   y1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫202300.0 ‪0.0016 ‬‬ ‫6100.0‬ ‫‪  y  9.375  10  4 ‬‬ ‫‪0  2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0 ‪‬‬ ‫6100.0‬ ‫‪ 0.003202 0.0016  y 3  9.375  10  4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫0 ‪‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‪1   y 4  ‬‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫تط حخرحك ‪ MATLAB‬ااط مأ‬ ‫تعل حأع حلا طرق‬ ‫202300.0- 6100.0 0 ;0 6100.0 202300.0- 6100.0; 0 0 0 1 [=‪a‬‬ ‫]1 0 0 0 ;6100.0‬ ‫;']0 4-^01*573.9 4-^01*573.9 0[=‪b‬‬ ‫‪y=inv(a)*b‬‬ ‫نعصل أ‬ ‫0‪ y1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2    0.5852‬‬ ‫‪ y 3   0.5852‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪ y 4  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫لما ) 2 ‪ y (x‬تا ن‬ ‫ما ل حقنع حف نر "05 ‪x ‬‬ ‫ر‬ ‫"2585.0‪y(50)  y( x2 )  y 2  ‬‬ ‫2 ‪ y   y  x 2 ‬اييال حل أييك ل‬ ‫ديير عييل ا يينل حلقييمك حلعر رم ي‬ ‫مثاااال (51-6) :‬ ‫1- )1(‪ y(0)  0, y(1)  cosh‬تط ي ييحخرحك ط ي ي ل خط ي ي ة اقي ييرحر ط 52.0 ‪ h ‬تط ي ييحخرحك‬ ‫حلحقرمو حللرل حلاق ك حق ط .‬ ‫حلعل‬ ‫‪d2y‬‬ ‫تط يحخرحك (‪)Central Divided Difference Approximation‬‬ ‫تحقرمو حلا حق حلثطنمي‬ ‫2 ‪dx‬‬ ‫نر حل قرم ‪ i‬ااط ح (33.6)‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-382-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫تطلح مل ناط ح حلا طرل حلحلطلأم ، نعصل أ‬ ‫1‪yi 1  2 yi  yi ‬‬ ‫2‬ ‫)93.6( ------------------- 2 ‪ yi  x 2 ‬‬ ‫)‪( h‬‬ ‫ال (36-6)‬ ‫قر ااط ح‬ ‫إل 52.0 ‪ ، h ‬لرمنط خا‬ ‫عم‬ ‫1‪i ‬‬ ‫2‪i ‬‬ ‫3‪i ‬‬ ‫4‪i ‬‬ ‫5‪i ‬‬ ‫0‪x‬‬ ‫52.0 ‪x ‬‬ ‫5.0 ‪x ‬‬ ‫57.0 ‪x ‬‬ ‫1‪x ‬‬ ‫1 ‪ x ‬تط حخرحك 52.0 ‪h ‬‬ ‫شكل (61-6) : حللر ق حلاعر رم ال 0 ‪ x ‬إل‬ ‫ااط مأ‬ ‫قر‬ ‫لع ما ل ا لال حلخا‬ ‫أ‬ ‫0 ‪x1 ‬‬ ‫52.0 ‪x2  x1  h  0  0.25 ‬‬ ‫5.0 ‪x3  x2  h  0.25  0.25 ‬‬ ‫57.0 ‪x4  x3  h  0.5  0.25 ‬‬ ‫1 ‪x5  x4  h  0.75  0.25 ‬‬ ‫نر ال قرم نعصل أ‬ ‫تاحطت حلا طرل‬ ‫0 ‪ y (0) ‬نعصل أ‬ ‫العقده األولى : عم‬ ‫)04.6( ------------------------ 0 ‪y1 ‬‬ ‫العقده الثانية : تاحطت حلا طرل لأ قرم حلثطنم نعصل أ‬ ‫1‪y3  2 y2  y‬‬ ‫1 ‪ y2  x2 ‬‬ ‫2‬ ‫2 )52.0(‬ ‫1‪y3  2 y2  y‬‬ ‫2‬ ‫)14.6(--- 4432.0‪ y2  (0.25)2  1  y1  2.0625 y2  y3  ‬‬ ‫)52.0(‬ ‫العقده الثالثة : تاحطت حلا طرل لأ قرم حلثطلث نعصل أ‬ ‫2‪y4  2 y3  y‬‬ ‫1 ‪ y3  x3 ‬‬ ‫2‬ ‫2 )52.0(‬ ‫2‪y4  2 y3  y‬‬ ‫2‬ ‫)24.6(--- 5781.0‪ y3  (0.5)2  1  y2  2.0625 y3  y4  ‬‬ ‫)52.0(‬ ‫نعصل أ‬ ‫العقده ال ابعة : تاحطت حلا طرل لأ قرم حل حت‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-482-‬
‫الباب السادس‬ y 5  2y 4  y 3 2  y 4  x 4 1 2 (0.25) y5  2 y4  y3  y4  (0.75)2  1  y3  2.0625 y4  y5  0.1094 --(6.43) (0.25)2 ‫ نعصل أ‬y(1)  cosh(1) 1 ‫: عم‬ ‫حل قرم حلخطا‬ y5  cosh(1)  1 ------------------- (6.44) ‫خطم ي ح ي خا ي ادط مييل‬ ‫حل ييطتق (04.6-44.6) ي خايين ا ييطرق‬ ‫حلا ييطرق‬ ‫أ حلنع حلحطل‬ ‫ماال احطتحاط أ ص ة اصل ح‬ ‫ر‬ 1 0 0 0 0   y1   0  1 2.0625 1 0   y   0.2344  0  2     0 1 2.0625 1 0   y3    0.1875       0 0 1 2.0625 1   y4   0.1094  0  0 0 0 1   y5  cosh(1)  1     ‫ ااط مأ‬MATLAB ‫تط حخرحك ترنطاج‬ ‫تعل حأع حلا طرق‬ a=[ 1 0 0 0 0 ;1 -2.0625 1 0 0;0 1 -2.0625 1 0;0 0 1 -2.0625 1; 0 0 0 0 1]; b=[0 -0.2344 -0.1875 -0.1094 cosh(1)-1]'; y=inv(a)*b ‫نعصل أ‬  y1   0   y   0.3876   2    y3   0.05651      y4   0.5903   y5   0.5431      ___________________________________________________ -285-
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫تمارين (1-6) :‬ ‫(1) دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم 0 ‪ y  y 2  2x  x 4 , y(0) ‬تط ي ييحخرحك طرمق ي ي‬ ‫أمييد اييال حلعييل حلحييطك‬ ‫مأيير تا أ ام ي 1.0 ‪ h ‬لييطرل حلعييل حلحقرمت ي حل ي ي عصييأ‬ ‫لحأع حلا طرل حلحلطلأم .‬ ‫(2) دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم 0 ‪ y  e y  e x  2x , y(0) ‬تط ي ييحخرحك طرمق ي ي‬ ‫2‬ ‫أمييد اييال حلعييل حلحييطك‬ ‫مأيير تا أ ام ي 50.0 ‪ h ‬لييطرل حلعييل حلحقرمت ي حلي ي عصييأ‬ ‫لحأع حلا طرل حلحلطلأم .‬ ‫)‬ ‫ر خط ح‬ ‫حلحلطلأم حآلحم ( إ حخرك‬ ‫(3) طتق لط رة مأر أ ال ال حلا طرق‬ ‫‪dy‬‬ ‫)‪i‬‬ ‫,1 ‪ y, y(0) ‬‬ ‫1.0 ‪h ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫) ‪ii‬‬ ‫,1 ‪ y, y(0) ‬‬ ‫10.0 ‪h ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫) ‪iii‬‬ ‫,0 ‪ 2ty, y(0) ‬‬ ‫1.0 ‪h ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ر خط ح )‬ ‫(4) طتق طرمق ر نج ا حط لعل ا نل حلقما حقتحرح م ( إ حخرك‬ ‫‪dy‬‬ ‫,0 ‪ 2  2y, y(0) ‬‬ ‫1.0 ‪h ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫مأ يير حي ي حللحي ي ة 1 ‪0  t ‬‬ ‫ر‬ ‫حلحلطل ييأم تط ييحخرحك طرمقي ي‬ ‫(5) د يير ع ييل نظ ييطك حلا ييطرق‬ ‫تط حخرحك 1.0 ‪h ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫,‪ 2x  3y‬‬ ‫,1.2 ‪x (0) ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫.8.2 ‪ 2x  y, y(0) ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫(6) ح حتر حلا طرل حلحلطلأم‬ ‫‪dy‬‬ ‫2‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫4‪‬‬ ‫,3 ‪ 5y  0, y(0) ‬‬ ‫5‪(0)  ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫2‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫حلحلطلأم‬ ‫م حلا طرل حلحلطلأم تنظطك ال حلا طرق‬ ‫تر ل‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ح ييحخرك طرمقي ي ر ن ييج ا ح ييط لع ييل ي ي ح حلنظ ييطك حي ي حللحي ي ة 1 ‪ 0  t ‬تطي ي ل‬ ‫ر‬ ‫خط ة اقرح م 1.0 ‪h ‬‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-682-‬
‫الباب السادس‬ ‫0 ‪ y  1  2xy, y(0) ‬تط ييحخرحك طرمق ي ر نييج‬ ‫(7) ديير عييل حلا طرل ي حلحلطلييأم‬ ‫ا حط ال حلررد حلثطنم تط ل خط ة 1.0 ‪. h ‬‬ ‫(8) ح ييحخرك طرمقي ي ر ن ييج ا ح ييط تطي ي ل خطي ي ة اق ييرح م 50.0 ‪ ، h ‬لع ييل نظييطك حلا ييطرق‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلأم حآلحم ح حللح ة 2 ‪0  x ‬‬ ‫ر‬ ‫, ‪y   2x  w  z‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫0 ‪y(0) ‬‬ ‫,‪v   y  z‬‬ ‫0 ‪v (0) ‬‬ ‫, ‪w  2x  vx 2  z‬‬ ‫0 ‪w(0) ‬‬ ‫,‪z   -2x  vx  w‬‬ ‫2‬ ‫0 ‪z (0) ‬‬ ‫أمد اال حلعل حلحطك‬ ‫لطرل حلعل حل ي عصأ‬ ‫2 ‪y  x 2 ,v  1, w  x 2 , z  x‬‬ ‫حلحطلم ي ي تط ي ييحخرحك طرمق ي ي ر ني ييج ا حي ييط تط ي ي ل خط ي ي ة‬ ‫(9) دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم‬ ‫10.0 ‪ h ‬ح حللح ة 01 ‪ 0  x ‬ثك اثل حلعل تمطنمط‬ ‫ر‬ ‫‪‬‬ ‫. 0 ‪y   (0.2)y   sin y  0, y(0)  , y (0) ‬‬ ‫4‬ ‫(11) ح ييحخرك طرمق ي ر نييج ا حييط تط ي ل خط ي ة اقييرح م 50.0 ‪ ، h ‬لعييل نظييطك حلا ييطرق‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلأم حآلحم ح حللح ة 3 ‪0  x ‬‬ ‫ر‬ ‫, 2 ‪y  1  v  y 2  v‬‬ ‫0 ‪y(0) ‬‬ ‫, ‪v  1- y - y  v‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1 ‪v (0) ‬‬ ‫,‪y  sin x‬‬ ‫لطرل حلعل اال حلعل حلحطك ‪v  cos x‬‬ ‫(11) دي ي يير لما ي ي ي )4(‪ y‬لأا طرل ي ي ي حلحلطلي ي ييأم 0=)21(‪y  6x  0.5x 2 , y(0)=0, y‬‬ ‫تط ييحخرحك طرمقي ي حلل يير ق حلاعيير رم تط ييحخرحك طرمقي ي حلحقرمييو حللرلي ي حلاق ييك حق ييط‬ ‫تط ل خط ة اقرحر ط 4 ‪. h ‬‬ ‫‪du‬‬‫2‬ ‫‪u‬‬ ‫3‬ ‫(21) دي يير لما ي ي )4(‪ u‬لأا طرل ي ي حلحلطلي ييأم 9=)21(‪ 7  6x , u(0)=4, u‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫2‬ ‫‪x‬‬ ‫تط ييحخرحك طرمقي ي حلل يير ق حلاعيير رم تط ييحخرحك طرمقي ي حلحقرمييو حللرلي ي حلاق ييك حق ييط‬ ‫تط ل خط ة اقرحر ط 4 ‪. h ‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-782-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫12.1 ‪ y(0.36) ‬إع ي ي ييو لما ي ي ي ‪ y‬ني ي يير‬ ‫(31) إ ح اي ي ييطل ‪ y   4 x  5 y‬اطن ي ي ي‬ ‫84.0 ,44.0 ,4.0 ‪x ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫نر 8.0 ‪x ‬‬ ‫5.01 ‪ y(0.4) ‬إع و لما ‪y‬‬ ‫‪ y  ‬اطن‬ ‫(41) إ ح اطل‬ ‫‪x y‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-882-‬

More Related Content

PPTX
الزراعة الرقمية والفلاح الرقمى الذكى الحاجة الى إبتكارات رقمية ذكية شاملة
Aboul Ella Hassanien
 
PPTX
سلسلة ماركوف Markov chain
Ehab Saad Ahmad
 
PDF
حل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلات اللانهائية
Dr Abd Allah Mousa
 
PPTX
محاضرة (2) التوزيع التكراري
Alia Saad
 
PPSX
Lesson 1 القدرة الكهربائبة
abdou89salwa
 
PPTX
Jet engine remaining useful life prediction
Ali Alhamaly
 
PPTX
Fuzzy logic lec 1
GAFAR ZEN ALABDEEN SALH
 
PPTX
Introduction to optimization
SambandamK1
 
الزراعة الرقمية والفلاح الرقمى الذكى الحاجة الى إبتكارات رقمية ذكية شاملة
Aboul Ella Hassanien
 
سلسلة ماركوف Markov chain
Ehab Saad Ahmad
 
حل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلات اللانهائية
Dr Abd Allah Mousa
 
محاضرة (2) التوزيع التكراري
Alia Saad
 
Lesson 1 القدرة الكهربائبة
abdou89salwa
 
Jet engine remaining useful life prediction
Ali Alhamaly
 
Fuzzy logic lec 1
GAFAR ZEN ALABDEEN SALH
 
Introduction to optimization
SambandamK1
 

What's hot (20)

PPTX
Metric dimesion of circulsnt graphs
Amna Abunamous
 
PDF
الذكاء الاصطناعى و تعلم الآلة
Emad Nabil
 
PPT
Newton-Raphson Method
Jigisha Dabhi
 
PPTX
application of numerical method
Shaikat Saha
 
PPT
التقويم البديل Final20 4-1428
Magdy Aly
 
PDF
مهارات معلم القرن الواحد و العشرين
Sharifa Hajjat
 
DOC
الاستبيان 200
samah25
 
PPTX
الميتافيرس و مستقبل التعليم فى الوطن العربى
Aboul Ella Hassanien
 
PPTX
أنواع التقويم التربوي
saraalsulaiman
 
PPTX
أنواع نظم المعلومات
Prof. Othman Alsalloum
 
PPTX
Complex Number's Applications
Nikhil Deswal
 
PPTX
الابتكار التعليمي Education innovation
ZahraRawahi
 
PPTX
Maths partial differential equation Poster
Er. Ashish Pandey
 
PPTX
النظرية الأساسية Basic theory
طيبة الزنيدي
 
PDF
مناهج البحث العلمي - اللقاء الافتراضي الاول
جامعة القدس المفتوحة
 
PDF
بحث بعنوان نظرية_معالجة_المعلومات_
Lth Bas
 
PDF
Mlkh s nzryt_ltlm
FarhatBezzaouia2
 
PDF
دليل المعلم تاريخ 2ث
أمنية وجدى
 
PDF
FPDE presentation
Divyansh Verma
 
PPT
Introduction to differential equation
Islamic University, Kushtia
 
Metric dimesion of circulsnt graphs
Amna Abunamous
 
الذكاء الاصطناعى و تعلم الآلة
Emad Nabil
 
Newton-Raphson Method
Jigisha Dabhi
 
application of numerical method
Shaikat Saha
 
التقويم البديل Final20 4-1428
Magdy Aly
 
مهارات معلم القرن الواحد و العشرين
Sharifa Hajjat
 
الاستبيان 200
samah25
 
الميتافيرس و مستقبل التعليم فى الوطن العربى
Aboul Ella Hassanien
 
أنواع التقويم التربوي
saraalsulaiman
 
أنواع نظم المعلومات
Prof. Othman Alsalloum
 
Complex Number's Applications
Nikhil Deswal
 
الابتكار التعليمي Education innovation
ZahraRawahi
 
Maths partial differential equation Poster
Er. Ashish Pandey
 
النظرية الأساسية Basic theory
طيبة الزنيدي
 
مناهج البحث العلمي - اللقاء الافتراضي الاول
جامعة القدس المفتوحة
 
بحث بعنوان نظرية_معالجة_المعلومات_
Lth Bas
 
Mlkh s nzryt_ltlm
FarhatBezzaouia2
 
دليل المعلم تاريخ 2ث
أمنية وجدى
 
FPDE presentation
Divyansh Verma
 
Introduction to differential equation
Islamic University, Kushtia
 
Ad

Viewers also liked (20)

PDF
المبادىء الاساسية وتصنيف المعادلات التفاضلية
Dr Abd Allah Mousa
 
PPT
أنظمة المعادلات الخطية
ealjelani
 
PPTX
التحليل العددي
Omer Bushara
 
PDF
ملزمة الرياضيات لشيخ الرياضيات - كامل موسى الناصري
Online
 
PDF
أساسيات الرياضيات بأسلوب بسيط -باسم المياحي
Online
 
PPT
أنظمة المعادلات الخطية
Fatima Abu-baker
 
PPT
حل نظام من معادلتين خطيتين تاسع ف1
fatima harazneh
 
PPT
حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض
noojy66666
 
PPT
حل المعادلات الخطية بيانياً
noojy66666
 
PDF
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)
Dr Abd Allah Mousa
 
PDF
ملزمة الرياضيات السادس العلمي2017 - القطوع المخروطية
Ahmed Mahdi
 
PDF
الرياضيات للصف الثالث متوسط
Ayad Haris Beden
 
PPT
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب
noojy66666
 
PDF
ملزمة الرياضيات للسادس الادبي 2017
Ahmed Mahdi
 
PDF
ملزمة رياضيات سادس علمي _ العراق
Ahmed Mahdi
 
PDF
ملزمة سادس ادبي
Ahmed Mahdi
 
PDF
ملزمة الرياضيات للصف الثالث متوسط
Ahmed Mahdi
 
PPT
Legendre functions
Solo Hermelin
 
PDF
التمارين العامة الرياضيات - رائد الكردي 2015
Online
 
PPS
الانتقال والدوران
guestcb9b63
 
المبادىء الاساسية وتصنيف المعادلات التفاضلية
Dr Abd Allah Mousa
 
أنظمة المعادلات الخطية
ealjelani
 
التحليل العددي
Omer Bushara
 
ملزمة الرياضيات لشيخ الرياضيات - كامل موسى الناصري
Online
 
أساسيات الرياضيات بأسلوب بسيط -باسم المياحي
Online
 
أنظمة المعادلات الخطية
Fatima Abu-baker
 
حل نظام من معادلتين خطيتين تاسع ف1
fatima harazneh
 
حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض
noojy66666
 
حل المعادلات الخطية بيانياً
noojy66666
 
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)
Dr Abd Allah Mousa
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي2017 - القطوع المخروطية
Ahmed Mahdi
 
الرياضيات للصف الثالث متوسط
Ayad Haris Beden
 
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب
noojy66666
 
ملزمة الرياضيات للسادس الادبي 2017
Ahmed Mahdi
 
ملزمة رياضيات سادس علمي _ العراق
Ahmed Mahdi
 
ملزمة سادس ادبي
Ahmed Mahdi
 
ملزمة الرياضيات للصف الثالث متوسط
Ahmed Mahdi
 
Legendre functions
Solo Hermelin
 
التمارين العامة الرياضيات - رائد الكردي 2015
Online
 
الانتقال والدوران
guestcb9b63
 
Ad

Similar to الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية (20)

PDF
Math12 adabics62019
Mohammad Ahmad
 
PDF
تدريس الاستدلال الرياضي في المرحلة الثانوية
Hisham Hussein
 
DOC
Cv 2011 arabic_majid[1]
QOU
 
PDF
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
منتدى الرياضيات المتقدمة
 
DOC
رحلة معرفية في الهندسة التحليلية2
aasrawi
 
PDF
خلق المسائل
myoon
 
PDF
دليل المعلم العلوم-الحادي عشر-العلوم الحياتية
Reyad Ibrahim - bard college
 
PPT
رنتنجن Copy
changetheworld97
 
PDF
New math
myoon
 
DOC
الاختبار النصفي الثالث للصف الثالث الثانوي الفصل الخامس
ahmh
 
PDF
Mathematics guide
Malek Shouman
 
PPT
مفاهيم عامة في بحوث العمليات فى ادارة الاعمال
AmrGamal36804
 
PDF
Solution of problems in instrumentation and engineering control in arabic lan...
Osama Mohammed Elmardi Suleiman
 
PPT
استراتيجيات
essa1425
 
PDF
كتاب الرياضيات السادس الاحيائي.pdf
Shdg3
 
PDF
دليل المعلم العلوم-الحادي عشر-ثقافة علمية
Reyad Ibrahim - bard college
 
DOC
خطة الوحدة
eljmmalfatmahyahoocom
 
PDF
M sin g4
ahmad7n
 
PDF
4th unit الوحدة الرابعة
uqu
 
PPT
بحث د. إيناس عوض.ppt بحث عن اداء المشرف التربوي في المنظومة التعليمية
ssuserc977a2
 
Math12 adabics62019
Mohammad Ahmad
 
تدريس الاستدلال الرياضي في المرحلة الثانوية
Hisham Hussein
 
Cv 2011 arabic_majid[1]
QOU
 
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
منتدى الرياضيات المتقدمة
 
رحلة معرفية في الهندسة التحليلية2
aasrawi
 
خلق المسائل
myoon
 
دليل المعلم العلوم-الحادي عشر-العلوم الحياتية
Reyad Ibrahim - bard college
 
رنتنجن Copy
changetheworld97
 
New math
myoon
 
الاختبار النصفي الثالث للصف الثالث الثانوي الفصل الخامس
ahmh
 
Mathematics guide
Malek Shouman
 
مفاهيم عامة في بحوث العمليات فى ادارة الاعمال
AmrGamal36804
 
Solution of problems in instrumentation and engineering control in arabic lan...
Osama Mohammed Elmardi Suleiman
 
استراتيجيات
essa1425
 
كتاب الرياضيات السادس الاحيائي.pdf
Shdg3
 
دليل المعلم العلوم-الحادي عشر-ثقافة علمية
Reyad Ibrahim - bard college
 
خطة الوحدة
eljmmalfatmahyahoocom
 
M sin g4
ahmad7n
 
4th unit الوحدة الرابعة
uqu
 
بحث د. إيناس عوض.ppt بحث عن اداء المشرف التربوي في المنظومة التعليمية
ssuserc977a2
 

الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية

  • 2. ‫المملكة العربية السعودية‬ ‫وزارة التعليم العالي‬ ‫جامعة الطائف‬ ‫إدارة النشر العلمي‬ ‫املعادالت التفاضلية‬ ‫النظرية والتطبيق‬ ‫الدكتور‬ ‫الدكتور‬ ‫عبد هللا عبد هللا موسى‬ ‫بخيت نفيع المطرفي‬ ‫الطبعة األولى‬ ‫1133هـ- 2312 م‬
  • 3. ‫المعادالت التفاضلية : النظرية والتطبيق‬ ‫د. بخيت نفيع مرزوق المطرفي‬ ‫د. عبد اهلل عبد اهلل محمد موسى‬ ‫© حقوق النشر محفوظة لجامعة الطائف‬ ‫جامعة الطائف- الحوية‬ ‫رمز بريدي: 21974‬ ‫المملكة العربية السعودية‬ ‫(ح) جامعة الطائف 1127هـ‬ ‫فهرسة مكتبة الملك فهد الوطنية أثناء النشر‬ ‫المطرفي، بخيت نفيع مرزوق‬ ‫المع ــادالت التفاض ــلية: النظري ــة والتطبي ــق. / بخي ــت نفي ــع م ــرزوق المطرف ــي،‬ ‫عبد اهلل عبد اهلل موسى- الطائف، 1127هـ‬ ‫091 ص، 17×24س‬ ‫ردمك : 6-99-1603-106-319‬ ‫المعادالت التفاضلية أ. موسى، عبداهلل عبداهلل (مؤلف مشارك)‬ ‫ب- العنوان‬ ‫9312/1127‬ ‫ديوي 565‬ ‫رقم اإليداع: 9312/1127‬ ‫ردمك : 6-99-1603-106-319‬ ‫التصميم المعلوماتي والج افيكي د/مجدي حسين النحيف‬ ‫ر‬ ‫الطبعة األولى: 1127ه/4704م‬
  • 6. ‫المقدمة‬ ‫مقدمــــــــة‬ ‫بســم اهلل الــرحمن الــرحيم، الحمــد هلل رب العــالمين، والص ـ و والس ـ م علــى خيــر خلــق‬ ‫اهلل أجمعــين محمــد بــن عبــد اهلل، الرســوا الصــادق الوعــد األمــين صــلى اهلل عليـ وعلــى لـ‬ ‫وصحب أجمعين .. أما بعد‬ ‫فهـ ا هــو أحــد المؤلفــات فــي سلســلة مؤلفــات عربيــة نســما اهلل أن يوف نــا إلكمالهــا وهــو‬ ‫مؤل ــف بلاتن ــا العربي ــة ، تل ــك اللا ــة الثري ــة ف ــي مفرداته ــا الاني ــة ف ــي ألفاظه ــا .. لاــة ال ــرن‬ ‫الكـريم، لاــة العــرب ولاــة العلــم. وأننــا ا ا ن ــدم هـ ا الجهــد المتواضــع الـ ي نضــيف الــى مــا‬ ‫كتــب باللاــة العربيــة فــي علــم الرياضــيات البــد أن نـ كر أن هـ ا الكتــاب ال يـ احم أقرنـ فــى‬ ‫ا‬ ‫ز‬ ‫ه ا المضمار، وانما يضيف اليهم أفكار جديدو ومتطو و، فعلى ال مم مـن وجـود العديـد مـن‬ ‫ـر‬ ‫ر‬ ‫اً‬ ‫ع ه ا المؤلف اال أننا نحسب ه ا الكتـاب قـد يسـد بعـق ال صـور‬‫الكتب العربية عن موضو‬ ‫الموجود في بعق المواضيع وكـ لك معالجـة بعـق المواضـيع األخـر التـي لـم يـتم تناولهـا‬ ‫باإلضافة الى ث ائ باألمثلة المتنوعة التي ح العديد من األفكار.‬ ‫تطر‬ ‫ر‬ ‫وب لك ظهر الكتاب في صورت ه ه والتـي نظنهـا ناقصـة وتفت ـر الـى الكمـاا والكمـاا‬ ‫هلل وحـده .. وحسـبنا أننـا حاولنـا واجتهــدنا فـي وضـع فـي صــو و الئ ـة. ومـا هـ ا الكتــاب اال‬ ‫ر‬ ‫طيل ــة س ــنوات ع ــدو‬ ‫ثمـ ـ و جه ــد دؤوب وعم ــا متواص ــا م ــن التحص ــيا والت ــدريس والبحـ ـ‬ ‫ر‬ ‫للمــؤلفين، ويعــد ه ـ ا الكتــاب مرجع ـاً هام ـاً فــي المعــادالت التفاضــلية العاديــة، وه ـ ا الكتــاب‬ ‫د‬ ‫موجـ ـ اساسـ ـاً لطـ ـ ب المرح ــا المتوس ــطة والمت ــمخ و م ــن كلي ــات الهندس ــة والمعاه ــد الفني ــة‬ ‫ر‬ ‫ا‬ ‫العليا. كما أن يتج أيضاً لط ب العلوم التطبي ية األخر من رياضيات وفيزيـاء وكيميـاء.‬ ‫ك ـ لك يتضــمن الكتــاب أج ـ اء كثي ـ و يمكــن أن تصــلم منهاج ـاً لط ـ ب الدرســات العليــا فــى‬ ‫ا‬ ‫زً ر‬ ‫التخصصات الهندسية المختلفـة وكـ لك تخصصـات العلـوم التطبي يـة. ول ـد اعينـا أن تكـون‬ ‫ر‬ ‫معالج ــة المس ــائا العلمي ــة بطري ـ ـة رتيب ــة منهجي ــة تب ــدأ بالص ــيامة والنم ج ــة ث ــم تنت ــا ال ــي‬ ‫اإلجـ ـ اءات والح ــا ث ــم أخيـ ـر تنته ــي بتفس ــير النت ــائل ومحاول ــة اعطائه ــا التفس ــير الهندس ــي‬ ‫اً‬ ‫ر‬ ‫والفيزيائي‬ ‫يبتدئ الكتاب بعرق لمفهوم المعادالت التفاضلية وتبسـيط كـا المفـاهيم الخاصـة بهـا‬ ‫ومحاولة ج ب ال ئ لها، من خ ا تحليا بسيط وتتابع شيق. فـى األبـواب الثـاني والثالـ‬ ‫ار‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫- هـ-‬
  • 7. ‫المقدمة‬ ‫والربــع تــم ت ــديم المعــادالت التفاضــلية مــن الرتبــة األولــى والدرجــة األولــى، وك ـ لك الرتــب‬ ‫ا‬ ‫العليــا وأيضــا المعــادالت التفاضــلية مــن الــدرجات العليــا وطــرق حلهــا مــع ت ــديم العديــد مــن‬ ‫التطبي ــات الفيزيائيــة والهندســية لجعــا المحتــو أكثــر تشــوي ا وأقــرب لتحليــا ومحاكــاو نظــم‬ ‫هندســية ومشــاكا واقعيــة عــن كونـ أداو لحــا مســائا رياضــية ، و يلنــا تلــك األبـواب بالعديــد‬ ‫من التمارين العامة المتنوعة.‬ ‫وقــد أع ــب لــك البــاب الخــامس وفي ـ تــم درســة حــا المعــادالت التفاضــلية بــالطرق‬ ‫ا‬ ‫الت ريبية ( استخدام المتسلس ت )، و لك عوضا عن حلها تحليليـاً، وتـم فـي البـاب السـادس‬ ‫درســة حــا المعــادالت التفاضــلية عــددياً و لــك حــين يصــعب ايجــاد حــا تحليلــي لهــا، وتــم‬ ‫ا‬ ‫توظيف برنامل "المـات ب" ‪ MATLAB‬مـن خـ ا عمـا بـ امل لحـا المعـادالت التفاضـلية‬ ‫ر‬ ‫عددياً وك لك استخدام لتوقيع تلك الحلوا بيانياً، وتـم سـرد العديـد مـن الطـرق، و يـا هـ ان‬ ‫البابان بالعديد من التمـارين العامـة المتنوعـة. و فـي البـاب السـابع واألخيـر تـم ت ـديم تحويـا‬ ‫يعــد تحويــا البـ س‬ ‫البـ س لمــا لـ مــن أهميــة بالاــة فــي حــا المعــادالت التفاضــلية، حيـ‬ ‫من أقو األدوات المسـتخدمة لحـا المعـادالت التفاضـلية الخطيـة، وتـم تـ ييا البـاب بالعديـد‬ ‫من التمارين العامة المتنوعة.‬ ‫وختمنا الكتاب بملحق يحتوي على مرشد وجيـز فـي "المـات ب" ‪ ،MATLAB‬ولـيس‬ ‫درجـات السـلم التـي البـد أن يرت يهـا‬ ‫يـر الباحـ‬ ‫ه ا سو مرشد لينير بداية الطريق بحيـ‬ ‫يريد، ونرجو أن يكون ه ا الكتاب فاتحة لسلسلة مـن المؤلفـات التـي نسـما‬ ‫ليصا الى حي‬ ‫ها خدمة للعلم واث اء للمعرفة .‬ ‫ر‬ ‫اهلل تعالى أن يساعدنا على انجاز‬ ‫واهلل تعالى من و اء ال صد .....وهو ولي التوفيق.‬ ‫ر‬ ‫المؤلفان‬ ‫الطائف – محرم 1127هـ‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫- وـ-‬
  • 10. ‫فهرس المحتويات‬ ‫أوًا:ًفهرسًالمحتوياتً‬ ‫ل‬ ‫هـ-ًو‬ ‫المقدمــــــــةًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًً‬ ‫71-1ً‬ ‫البابًاألول:ً المبادىءًاألساسيةًوتصنيفًالمعادلتًالتفاضلية ً‬ ‫79-91ً‬ ‫البابًالثانى:ً المعادلتًالتفاضليةًمنًالرتبةًاألولىًوالدرجةًاألولىًًًً‬ ‫21‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫11‬ ‫‌ لا : فصل المتغي ات )‪(Separation of variables‬‬ ‫ر‬ ‫أو‬ ‫82‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلت يمكن تحويلها إلى معادلت يتم حلها بفصل‬ ‫المتغي ات‬ ‫ر‬ ‫23‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : المعادلت التفاضلية ذات المعامالت المتجانسة‬ ‫63‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلت تفاضلية تؤول إلى معادلت تفاضلية متجانسة‬ ‫ر‬ ‫14‬ ‫‌ خامس ا : المعادلة التفاضلية التامة (‪)Exact‬‬ ‫54‬ ‫‌ سادسا : معادلت تفاضلية تُحول إلى تامة عن طريق عامل المكاملة‬ ‫75‬ ‫‌ سابع ـ ا : المعادلت التفاضلية الخطية‬ ‫06‬ ‫‌ ثامنـ ـ ـ ا : معادلت تؤول إلى معادلت تفاضلية خطية‬ ‫76‬ ‫‌ تاسع ا : معادلة ريكاتي‬ ‫07‬ ‫‌ عاشر : طريقة تغيير البا امت ات (‪)Variation of Parameters‬‬ ‫ر ر‬ ‫ا‬ ‫27‬ ‫‌ الحادي عشر : تبديل المتغي ات المستقلة مكان المتغي ات التابعة‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫67‬ ‫‌ الثاني عشر : تطبيقات على المعادلت التفاضلية‬ ‫971-99ً‬ ‫المعادلتًالتفاضليةًالخطيةًمنًالرتبًالعليا ً‬ ‫البابًالثالث:ً‬ ‫101‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫901‬ ‫‌ لا : المعادلت التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت الثابتة‬ ‫أو‬ ‫711‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: طرق إيجاد الحل الخاص (‪) Particular Solution‬‬ ‫711‬ ‫(2-1) طريقة المؤثر التفاضلي العكسي‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫031‬ ‫(1-1) طريقة تغيير البارمت ات‬ ‫ا ر‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫141‬ ‫(3-1) طريقة المعامالت غير المحددة‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ط-‬ ‫‌‬
  • 11. ‫فهرس المحتويات‬ ‫251‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت المتغي ة‬ ‫ر‬ ‫122‬ ‫(2-3) معادلة كوشي أويلر )‪)Cauchy-Euler‬‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫522‬ ‫(1-3) معادلة ليجندر الخطية‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫602‬ ‫(3-3) طريقة التحليل )‪(Method of Factorization‬‬ ‫‌‬ ‫302‬ ‫(4-3) تخفيض الرتبة )‪(Reduction of order‬‬ ‫‌‬ ‫471‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا: مجموعة من المعادلت التفاضلية الخطية اآلنية‬ ‫ر‬ ‫971-181ً‬ ‫البابًال ابع:ً المعادلتًالتفاضليةًمنًالرتبةًًاألولىًوالدرجاتًالعلياً‬ ‫ر‬ ‫382‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫481‬ ‫‌ لا : معادلت تفاضلية تُستبدل بمعادلت تفاضلية من الدرجة األولى‬ ‫أو‬ ‫681‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: معادلت يمكن حلها بالنسبة إلى ‪x‬‬ ‫881‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: معادلت يمكن حلها بالنسبة الى ‪y‬‬ ‫191‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلة كليرو )‪(Clairaut Equation‬‬ ‫ر‬ ‫491‬ ‫‌ خامس ا: معادلة لج انج )‪(Lagrange's Equation‬‬ ‫ر‬ ‫البابًالخامس:ً حلًالمعادلتًالتفاضليةًباستخدامًالمتسلسالتًالالنهائيةًًًً 240-771ً‬ ‫102‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫502‬ ‫‌ لا : مفكوك تيلور (‪)Taylor‬‬ ‫أو‬ ‫012‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : الحل قرب النقطة العادية‬ ‫222‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـا: الحل قرب النقطة الشاذة المنتظمة (فروبينيس) (‪)Frobenius‬‬ ‫البابًالسادس: ً الحلولًالعدديةًللمعادلتًالتفاضليةًالعاديةًًًًًًًًًًًً 880-140ً‬ ‫341‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫442‬ ‫‌ لا : طريقة أويلر( ‪ )Euler‬لحل المعادلت التفاضلية العادية‬ ‫أو‬ ‫352‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـا: طريقة رونج كوتا من الرتبة الثانية لحل المعادلت التفاضلية‬ ‫362‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة‬ ‫ر‬ ‫172‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـا: طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل مجموعة من‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫المعادلت التفاضلية ذات الرتبة األولى‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ي-‬ ‫‌‬
  • 12. ‫فهرس المحتويات‬ ‫372‬ ‫‌ خامس ا : طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل المعادلت التفاضلية‬ ‫ر‬ ‫من الرتبة الثانية‬ ‫082‬ ‫‌ سادس ا : طريقة الفروق المحدودة لحل المعادلت التفاضلية العادية‬ ‫933-780ً‬ ‫ًًًًًًًًًًًًًًًًًًً‬ ‫البابًالسابع :ً تحويالتًًلبالسًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًً‬ ‫192‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫492‬ ‫‌ لا : تحويالت لبالس لبعض الدوال‬ ‫أو‬ ‫892‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : خواص تحويالت لبالس‬ ‫013‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: تحويالت لبالس العكسي‬ ‫523‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا: تحويالت لبالس لحل المعادلت التفاضلية الخطية العادية‬ ‫ر‬ ‫ذات المعامالت الثابتة‬ ‫133‬ ‫‌ خامس ا: حل مجموعة من المعادلت التفاضلية الخطية‬ ‫333‬ ‫‌ سادسا : معادلة فولتر التكاملية (‪)Volterra integral equation‬‬ ‫ا‬ ‫443-733ً‬ ‫الـملحق : المرشدًالوجيزًفيً‪ًًًًًًًًًًًًًًًًً ًًًًًًًMATLAB‬‬ ‫203‬ ‫الم اجع ً‬ ‫ر‬ ‫963‬ ‫دليلًالمصطلحاتًً‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ك-‬ ‫‌‬
  • 13. ‫فهرس األشكال‬ ‫ثانيـــــــــــــً:ًفهرسًاألشكالً‬ ‫ا‬ ‫3‬ ‫شكلً(1-1): عائلة الدوال ‪ y  x 2  c‬لقيم مختلفة من الثابت ‪c‬‬ ‫12‬ ‫2‪x‬‬ ‫‪ y  ce‬لقيم 3‪ً c  1, 2, ‬‬ ‫2‬ ‫شكل(0-1):ًعائلة الدوال‬ ‫41‬ ‫شكلً(1-0): قانون نيوتن الثاني للحركةً‬ ‫01‬ ‫عة مع الزمنً‬‫شكلً(0-0): منحنى السر‬ ‫05‬ ‫شكلً(3-0): سقوط جسمً‬ ‫95‬ ‫شكلً(4-2): هبوط الجهد لكل من المكثف والملف والمقاومةً‬ ‫68‬ ‫شكلً(5-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف‬ ‫ر‬ ‫28‬ ‫شكلً(4-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة مكثف.‬ ‫ر‬ ‫18‬ ‫شكلً(9-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف.‬ ‫ر‬ ‫08‬ ‫شكلً(8-0): مشكلة تخفيف التركيز‬ ‫58‬ ‫شكلً(7-0): تحت المماس وتحت العمودى‬ ‫88‬ ‫شكلً(21-0): عائلة المنحنيات التي تمثل المعادلة ) ‪x  4(y  c‬‬ ‫2‬ ‫98‬ ‫شكلً(11-0): المسا ات المتعامدة‬ ‫ر‬ ‫29‬ ‫شكلً(01-0): تمثيل المسا ات المتعامدة‬ ‫ر‬ ‫09‬ ‫شكلً(31-0):ًدائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف‬ ‫ر‬ ‫061‬ ‫شكلً(1-5): العالقة ما بين الحل التحليلي والحل بمفكوك تيلور‬ ‫861‬ ‫شكلً(2-5): العالقة مابين الحل بالطرق العددية والحل بمفكوك تيلورً‬ ‫611‬ ‫ليجندر ) ‪Pn (x‬‬ ‫شكلً(3-5): كثي ات حدود‬ ‫ر‬ ‫241‬ ‫شكلً(1-6): الخطوة األولى باستخدام طريقة أويلر‬ ‫041‬ ‫شكلً(2-6): العالقة التكررية باستخدام طريقة أويلر‬ ‫ا‬ ‫941‬ ‫شكلً(3-6): مقارنة الحل التقريبيي عند 2.0 ‪ h ‬بالحل التام‬ ‫941‬ ‫شكلً(4-4): تأثير تغير طول الخطوة على دقة الحل باستخدام طريقةًأويل.ً‬ ‫221‬ ‫شكلً(5-4): الحل التقريبي باستخدام طريقة أويلر والحل التحليلي.‬ ‫821‬ ‫شكلً(4-4): مقارنة الحل التقريبي بطريقة هينز، عند 1.0 ‪ h ‬بالحل التام‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-س-‬ ‫‌‬
  • 14. ‫فهرس األشكال‬ ‫101‬ ‫شكلً(9-4): مقارنة الحل التقريبي للثالثة طرق بطول خطوة مقدا ه 2.0 ‪h ‬‬ ‫ر‬ ‫201‬ ‫شكلً(8-4): نتائج الحل باستخدام طريقة رونج من الرتبة ال ابعة والحل التام‬ ‫ر‬ ‫651‬ ‫شكلً(7-4): تغير درجة الحر ة بالكلفن مع الزمن‬ ‫ار‬ ‫551‬ ‫شكلً(21-4): العالقة مابين كل من ‪ y,v‬مع ‪x‬‬ ‫551‬ ‫شكلً(11-4): وصف حركة البندول‬ ‫951‬ ‫شكلً(01-6): الحركة المخمدة لحركة البندول‬ ‫281‬ ‫شكلً(31-4): عتب مثبت على دعامات‬ ‫281‬ ‫شكلً(41-4):الفروق المحدوده باستخدام طريقة التقريب الفرقي المقسم األوسط‬ ‫181‬ ‫شكلً(51-6): الفروق المحدوده من 0 ‪ x ‬إلى 57 ‪ x ‬باستخدام 52 ‪h ‬‬ ‫481‬ ‫شكلً(61-6): الفروق المحدوده من 0 ‪ x ‬إلى 1 ‪ x ‬باستخدام 52.0 ‪h ‬‬ ‫191‬ ‫شكلً(1-7): التصال المجز‬ ‫أ‬ ‫491‬ ‫شكلً(2-7): دالة خطوة الوحدة‬ ‫491‬ ‫شكلً(3-7): حالة خاصة من دالة خطوة الوحدة‬ ‫663‬ ‫شكلً(4-7): الدالة )‪ G (t‬كدالة في دالة خطوة الوحدة‬ ‫563‬ ‫شكلً(5-7): دالة دورية دورتها 0>‪ p‬معرفة لقيم 0> ‪t‬‬ ‫863‬ ‫شكلً(6-7): دالة دورية دورتها 1= ‪ p‬معرفة لقيم 0> ‪t‬‬ ‫963‬ ‫شكلً(9-9): دالة دورية دورتها ‪ p = 2‬معرفة لقيم 0> ‪t‬‬ ‫143‬ ‫شكل(م-1): ظهر أيقونة البرنامج فور إعداده‬ ‫343‬ ‫شكل(م-0): الواجهة األساسية للبرنامج فور تشغيلة‬ ‫443‬ ‫شكل(م-3): نافذة األوامرً‬ ‫443‬ ‫شكل(م-4): نافذة فضاء العملً‬ ‫443‬ ‫شكل(م-5): نافذة فضاء العملً‬ ‫443‬ ‫شكل(م-4): نافذة المسار الحاليً‬ ‫243‬ ‫شكل(م-9): نافذة الوامروفضاء العمل لدخال بعض المتغي اتً‬ ‫ر‬ ‫243‬ ‫شكل(م-8): التخصيصً‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ع-‬ ‫‌‬
  • 15. ‫فهرس األشكال‬ ‫043‬ ‫شكل(م-7):ًبناء دوال لالدخالً‬ ‫043‬ ‫شكل(م-21):ًبناء متجهً‬ ‫543‬ ‫شكل(م-11):ًإدخال متغيرين هما ‪a,b‬‬ ‫543‬ ‫شكل(م-01):ًنافذة الوامروفضاء العمل للمتغي اتً‬ ‫ر‬ ‫543‬ ‫شكل(م-31):ًبناء ملف بيانات وتحميلة فى فضاء العمل‬ ‫843‬ ‫شكل(م-41):ًفضاء العمل‬ ‫943‬ ‫شكل(م-51):ًعمليات غير تقليدية على المصفوفات‬ ‫623‬ ‫شكل(م-41):ًالستعانة ‪ help‬الخاص ‪matlab‬‬ ‫223‬ ‫شكل(م-91): الدالة ‪ max‬إليجاد أكبر قيمة‬ ‫323‬ ‫شكل(م-81):ًجملة ‪For‬‬ ‫323‬ ‫شكل(م-71):ًصو ة ى لجملة ‪For‬‬ ‫ر أخر‬ ‫423‬ ‫شكل(م-20): بناء مسا ات متداخلة‬ ‫ر‬ ‫423‬ ‫شكل(م-10): جملة ‪while‬‬ ‫223‬ ‫شكل(م-00): جملة ‪If‬‬ ‫523‬ ‫شكل(م-30): بناء ‪Script file‬‬ ‫823‬ ‫شكل(م-40): تنفيذ ‪Script file‬‬ ‫823‬ ‫شكل(م-50): تنفيذ ‪ Script file‬مباش ة‬ ‫ر‬ ‫923‬ ‫شكل(م-40): بناء دالة بسيطة لتقوم بإيجاد جذور معادلة تربيعية‬ ‫923‬ ‫شكل(م-90): إيجاد جذور المعادلة التربيعية 0 ‪x 2  2x  3 ‬‬ ‫603‬ ‫شكل(م-80): بناء الملف وادخال المتغي ات 3 ‪v1,v 2 ,v‬‬ ‫ر‬ ‫203‬ ‫شكل(م-70): منحنى المتغي ات 2 ‪v1,v‬‬ ‫ر‬ ‫203‬ ‫شكل(م-23):ًأستخدام المر ‪ًhold on‬‬ ‫103‬ ‫شكل(م-13):ًرسمً 2 ‪ v1,v‬وكذلك 3 ‪v1,v‬‬ ‫103‬ ‫شكل(م-03):ًأستخدام المرً‪Subplot‬‬ ‫103‬ ‫شكل(م-33):ًتقسم نافذة الرسم الى نافذتينً )2 ‪(1 ‬‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ف-‬ ‫‌‬
  • 16. ‫فهرس األشكال‬ ‫303‬ ‫شكل(م-43):ًتخصيص المتغي ات الرمزية‬ ‫ر‬ ‫403‬ ‫شكل(م-53):ًبناء دالة بإستخدام المتغي ات الرمزية‬ ‫ر‬ ‫403‬ ‫شكل(م-43):ًأيجاد التفاضل والتكامل لدالة رمزية‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ص-‬‫‌‬
  • 17. ‫فهرس الجداول‬ ‫ثالثــــــــــــــ اً:ًفهرسًالجداولً‬ ‫342‬ ‫جدولً(1-3): مجموعة الدوال األساسية لمجموعة من الدوال‬ ‫821‬ ‫جدولً(1-4): مثال على طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة‬ ‫ر‬ ‫591‬ ‫جدولً(1-9)ً:ًتحويالت لبالس لمجموعة من الدوالًً‬ ‫943‬ ‫جدول(م-1):ًالعمليات التى يمكن إج اؤها على المصفوفاتً‬ ‫ر‬ ‫623‬ ‫جدول(م-0):ًدوال تتعامل مع كميات قياسية‬ ‫223‬ ‫جدول(م-3):ًدوال تتعامل مع كميات متجهة‬ ‫123‬ ‫جدول(م-4):ًبعضًدوال المصفوفات‬ ‫023‬ ‫جدول(م-5): العالقات فى ‪Matlab‬‬ ‫023‬ ‫جدول(م-4): العالقات المنطقية فى ‪ًMatlab‬‬ ‫203‬ ‫جدول(م-9): عالمات للتحكم في ع ولون ونقشة خط الرسمً‬ ‫نو‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‌‬ ‫‌‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ش-‬ ‫‌‬
  • 18. ‫الباب السادس‬ ‫احللول العددية‬ ‫للمعادالت التفاضلية العادية‬
  • 20. ‫الباب السادس‬ ‫مقدمة‬ ‫عح ي تييطلطرق‬ ‫حلحلطلييأم تييطلطرق حلحعأمأم ي‬ ‫لييمن اييل حل ييال عييل اييل حلا ييطرق‬ ‫م ي اح أ يأ قناط م ي . لي ح اييطل قتيير اييل حلتعي‬ ‫ييل طرمييق حييرل حلعييل أ ي‬ ‫حلحقرمتمي‬ ‫لييع نيير ح ييأنط ح ي‬ ‫حلحلطلييأم ،‬ ‫ييل طييرق خ ي إل جمدييطر عأ ي ل حقرمتم ي لا ي م حلا ييطرق‬ ‫ر‬ ‫حلحقرمتي . عيير ييك حأييع حلطييرق ي طييرق حلعأي ل حل ررمي‬ ‫حلعصي ل أي عأاييط حلييرلمق‬ ‫مأي يير لعي ييل حلا ي ييطرق‬ ‫متي يير ي ي ح حلتي ييطو تحقي ييرمك طرمق ي ي‬ ‫‪ Numerical‬عم ي ي‬ ‫‪Solution‬‬ ‫حيك‬ ‫حلحلطلأم ال حلرحت حق ل ، م قو لع طرمق ر نج ا حط ال حلررد حلثطنم حل حت ي ،‬ ‫ر‬ ‫حلحلطليأم‬ ‫حلحلطلأم ال حلرحت حأل ل ، مليط عيل حلا يطرق‬ ‫ال حلا طرق‬ ‫عل ادا‬ ‫إ ييحخرحك طرمقي ي حلل يير ق حلاع يير رم لع ييل‬ ‫ا ييل حلرحتي ي حلثطنمي ي . حط ييرق حلت ييطو مل ييط إلي ي‬ ‫حخأييل ي ح حلتييطو حقييرمك حل رميير اييل حلت ي حاج حلاصيياا تتم ي‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلييأم حل طرم ي‬ ‫حلا ييطرق‬ ‫حلدار حلاطأ و لع طتاط.‬ ‫"حلاطحالو" لاعطاطة ا ظك طرق حلعل تاط م حر حل ل‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-342-‬
  • 21. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫أوالا : طريقة أويلر(‪ )Euler‬لحل المعادالت التفاضلية العادية‬ ‫حلحلطليأم حل طرمي حلحي حاي ل أي‬ ‫لعيل حلا يطرق‬ ‫ررمي‬ ‫طرمق‬ ‫مأر‬ ‫طرمق‬ ‫حلص ة‬ ‫ر‬ ‫‪dy‬‬ ‫)1.6( --------------- 0‪ f  x , y  , y  x 0   y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلررد ي حأل ل ي ،‬ ‫حلحلطلييأم حل طرم ي اييل حلرحت ي حأل ل ي‬ ‫ي ت ي لع حح طاييل اييال حلا ييطرق‬ ‫حلا طرلي ي حلحلطلييأم لححنط ييو اييال حلصيي ة‬ ‫ر‬ ‫ن ي ر نييط حلحناميير نييد قت يير اييل إ ييطرة صييمطت‬ ‫مأر.‬ ‫(6.6) عح مح ن عأاط تط حخرحك طرمق‬ ‫مأر‬ ‫أ ص ة طرمق‬ ‫ر‬ ‫مثال (1-6) : احو حلا طرل حلحلطلأم حآلحم‬ ‫‪dy‬‬ ‫5 ‪ 2y  e  x , y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫أ ي حلص ي ة (6.6) ل ي ح نعييط ل إ ييطرة صييمطتحاط‬ ‫ر‬ ‫نالعييظ ل حلا طرل ي حلحلطلييأم لم ي‬ ‫لحا ل أ حلص ة (6.6) ااط مأ‬ ‫ر‬ ‫‪dy‬‬ ‫5 ‪ e  x  2y, y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫تاقطرنحاط تطلص ة (6.6) ندر ل ‪f  x, y   e x  2 y‬‬ ‫ر‬ ‫مأر‬ ‫أ ص ة ا طرل‬ ‫ر‬ ‫مثال (2-6) : حاحو حلا طرل حلحلطلأم حآلحم‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ey‬‬ ‫5 ‪ x 2y 2  2Sin (3x ), y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫أي ي حلصي ي ة (6.6) لي ي ح نع ييط ل إ ييطرة ص ييمطتحاط‬ ‫ر‬ ‫نالع ييظ ل حلا طرلي ي حلحلطل ييأم لم ي ي‬ ‫لحا ل أ حلص ة (6.6) ااط مأ‬ ‫ر‬ ‫2 ‪dy 2Sin (3x )  x 2y‬‬ ‫‪‬‬ ‫5 ‪, y  0 ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ey‬‬ ‫2 ‪2Sin (3x )  x 2y‬‬ ‫‪ f  x , y  ‬حآلل ي ي ي ي ي ي يينعط ل‬ ‫تاقطرنحاط تطلص ة (6.6) ندر ل‬ ‫ر‬ ‫‪ey‬‬ ‫حلحلطلييأم حل طرم ي ، تلييرل ل عييل حلا طرل ي‬ ‫مأيير لعييل حلا ييطرق‬ ‫حعأمييل رر ي طرمق ي‬ ‫ح‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-442-‬
  • 22. ‫الباب السادس‬ ‫ل 0‪ y  y‬ن ي يير‬ ‫محلي ي ي‬ ‫ي ي ي حلرحلي ي ي ) ‪ y(x‬اا ي ييط حي ي ي حل ي ييال (6-6) عمي ي ي‬ ‫حلحلطل ي ييأم‬ ‫أي ي إححي ي حل ل 0 ‪ . x 0 ‬تاي ي ح حي ي ل حلام ييل لي ييأرحل ) ‪ y(x‬ي ي ‪، f  x , y ‬‬ ‫ر‬ ‫0‪. x  x‬‬ ‫إل اييال اييل‬ ‫ع ييو حل الل ي (6.6) تا ي ح ح ي ل حلامييل نيير 0 ‪ x  x‬ي ‪ f  x 0 , y0 ‬عم ي‬ ‫0‪. y  x 0   y‬‬ ‫0‪ y0 ، x‬ا أ ا ال حل رط حقتحرح‬ ‫مأر‬ ‫شكل (1-6) : حلخط ة حأل ل تط حخرحك طرمق‬ ‫0‪y1  y‬‬ ‫حلح ي ن ييحطمال‬ ‫أ ي حلص ي ة‬ ‫ر‬ ‫ي‬ ‫اييل حل ييال نديير ل حلامييل نيير 0 ‪x  x‬‬ ‫0 ‪x1  x‬‬ ‫اناط حلعص ل أ حل الل‬ ‫0‪y1  y‬‬ ‫‪f  x 0 , y0  ‬‬ ‫‪ y1  y0  f  x 0 , y0  x1  x 0 ‬‬ ‫0 ‪x1  x‬‬ ‫أ إ حتطر ننط لانط تح ام 0‪ x1  x‬تط ل حلخطي ة مرايل ليد تيطلرال ‪ ، h‬لنعصيل أي‬ ‫حل الل‬ ‫)2.6( --------------------- ‪y1  y0  f  x 0 , y0  h‬‬ ‫1‪ y‬ح تر يل حلقماي حلحقرمتمي (‪ )approximate value‬ل ي ) ‪ y(x‬نير 1‪x  x‬‬ ‫إل‬ ‫عم‬ ‫(‪ ،)Predicted value‬لع ييطو 2 ‪y‬‬ ‫حلاح ل ي ي‬ ‫عمطنييط مطأ ييق أماييط حلقماي ي حلحنتؤم ي‬ ‫لي ) ‪ y(x‬نر 2 ‪x  x‬‬ ‫حلقما حلحقرمت‬ ‫)3.6( --------------------- ‪y2  y1  f  x1, y1  h‬‬ ‫‪x 2  x1  h‬‬ ‫إل‬ ‫عم‬ ‫حل الل حل طا‬ ‫ح حاطرح أ اط تق ال حل اللحمل (6.6) (3.6) ماال حلح صل إل‬ ‫حلحطلم‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-542-‬
  • 23. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪y(xi 1 )  y(xi )  f  xi , yi  h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xi 1  xi  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫حلح ماال إخحصطر احطتحاط أ حل ال حلحطل‬ ‫ح‬ ‫‪yi 1  y  xi   f  xi , yi  h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)4.6( ---------------- ‪‬‬ ‫‪xi 1  xi  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫مأر ا‬ ‫أماط‬ ‫عمطنط مطأق‬ ‫مأر،‬ ‫حل الل حلحاررم (4.6) تطرمق‬ ‫ح‬ ‫ح ا‬ ‫(‪ )Euler-Cauchy method‬حل ال حلحطل م ل حأع حل الل حلحاررم‬ ‫ح‬ ‫مأر‬ ‫شكل (2-6) : حل الل حلحاررم تط حخرحك طرمق‬ ‫ح‬ ‫ني يير 1 ‪ x ‬تا أ ام ي ي‬ ‫‪y  y  x‬‬ ‫مثااااال (3-6) : دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم‬ ‫1 ‪y(0) ‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫حلرردي‬ ‫ي ا طرلي حلطليأم خطمي اييل حلرحتي حأل لي‬ ‫ل حأييع حلا طرلي‬ ‫ايل حل حلي‬ ‫ليع اايط حي حلتيطو حلثيطن‬ ‫ن حطمال عأاط أ إ حتطر ناط ا طرل حلطلأم خطم‬ ‫حأل ل‬ ‫ما ل عأاط أ حل ال حلحطل‬ ‫)5.6( ------------------------ ‪y( x)  x  1  2e x‬‬ ‫يل‬ ‫ا رحي ايرإل رلي حأيع حلطرمقي ،‬ ‫حآلل نق ك تعأاط ررمط لحنامر ح طلمي حلطرمقي‬ ‫ماال لمطرة حلرل لاط امف ماال لع ؟‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-642-‬
  • 24. ‫الباب السادس‬ ‫يال ا طرلي‬ ‫أي‬ ‫نق ك تلرل حل 2.0 ‪ h ‬نق ك ت لال حلا طرل حلحلطلأم‬ ‫ح حلترحم‬ ‫أ حلص ة‬ ‫ر‬ ‫مأر لحصت‬ ‫‪y  y  x  y  x  y‬‬ ‫تا ح ح ل ‪ f (x, y )  x  y‬حلح مل ح حل الل (4.6) نعصل أ‬ ‫)2.0( ‪yi 1  yi  f  xi , yi  h  yi 1  yi   xi  yi ‬‬ ‫اناط نعصل أ حل الل حلحطلم‬ ‫‪yi 1  0.8yi  (0.2)  xi ‬‬ ‫‪, i  0,1, 2, 3, 4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 ‪y(0) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫حآلل ن ل ل 4 ,3 ,2 ,1,0 ‪ i ‬ح حل الل حل طتق لنعصل أ‬ ‫8.0 ‪y1  (0.8)y 0  (0.2)x 0  (0.8)(1)  (0.2)(0) ‬‬ ‫86.0 ‪y 2  (0.8)y1  (0.2)x1  (0.8)(0.8)  (0.2)(0..2) ‬‬ ‫426.0 ‪y3  (0.8)y 2  (0.2)x 2  (0.8)(0.68)  (0.2)(0.4) ‬‬ ‫916.0 ‪y 4  (0.8)y3  (0.2)x 3  (0.8)(0.624)  (0.2)(0.6) ‬‬ ‫556.0 ‪y5  (0.8)y 4  (0.2)x 4  (0.8)(0.691)  (0.2)(0.8) ‬‬ ‫تا ح ح ل حلعل حل رري لأا طرل حلحلطلأم تا أ ام 2.0 ‪h ‬‬ ‫1 ‪y ( x  0) ‬‬ ‫8.0 ‪y ( x  0.2) ‬‬ ‫86.0 ‪y ( x  0.4) ‬‬ ‫426.0 ‪y ( x  0.6) ‬‬ ‫916.0 ‪y ( x  0.8) ‬‬ ‫556.0 ‪y ( x  1) ‬‬ ‫أ ي حلص ي ة (6.6) عم ي‬ ‫ر‬ ‫حآلل يينق ك تحصييامك ترنييطاج جمدييطر عييل ي ا طرل ي حلطلييأم‬ ‫ااط مأ‬ ‫إرخطل ت ل حلتمطنط‬ ‫معحطج حلترنطاج إل‬ ‫إرخطل لما ط ل حلخط ة مرال لاط تطلرال ‪h‬‬ ‫إرخطل حلرحل ) ‪ f (x , y‬لأا طرل حلحلطلأم ت ر ل اط أ حلص ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫لما ال ال 0 ‪. y 0 ، x‬‬ ‫إرخطل حل رط حقتحرح‬ ‫إرخطل لما ‪ x‬حلاطأ و نر ط ع طو لما ‪ y‬نرال لاط تطلرال ‪xf‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-742-‬
  • 25. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪Y(i+1)=Y(i)+h*subs(f‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫مأر‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق‬ ‫ر‬ ‫برنامج (1-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫2.0=‪step size‬‬ ‫‪the function f(x,y)=x-y‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=0‪y‬‬ ‫1=‪xf‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫0086.0 0008.0 0000.1‬ ‫0426.0‬ ‫2916.0‬ ‫4556.0‬ ‫>>‬ ‫حل طرمي اايط حير‬ ‫حلقمك حلح عصأنط أمايط ايل حلع يطتط‬ ‫نالعظ نط ل لمك حلرحل ‪y‬‬ ‫حلدايير حل ل ي . حل ييال (3-6) م ل ي حلعييل حل ييرري حلحقرمت ي (‪ )Approximate‬حلعييل‬ ‫اط حاثأ حلا طرل (5.6)‬ ‫حلحطك (‪ )Exact‬لأا طرل حلحلطلأم‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-842-‬
  • 26. ‫الباب السادس‬ ‫1‬ ‫59.0‬ ‫9.0‬ ‫58.0‬ ‫8.0‬ ‫‪y‬‬ ‫57.0‬ ‫‪Exact solution‬‬ ‫7.0‬ ‫56.0‬ ‫)2.0=‪approximated solution(h‬‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫نر 2.0 ‪ h ‬تطلعل حلحطك لأا طرل حلحلطلأم‬ ‫شكل (3-6): اقطرن حلعل حلحقرمتم‬ ‫حآلل نق ك تحغممر لما ط ل حلخط ة ‪ h‬لا رح ارإل حنثمر ط أ حلعل حلي ي عصيأنط‬ ‫لييمك ي 6.2 ، 6.2 ، 52.2 حييك حلعص ي ل أ ي‬ ‫ط ي ل حلخط ي ة ثييال‬ ‫أم يد، ليير خ ي‬ ‫ليع ااييط حي حل ييال‬ ‫حيك حي لم اك أي نليين حلاعيط ر‬ ‫حليثال‬ ‫حلعيل حي اييل ايل حلعييطق‬ ‫ي عييل حقرمت ي ( ت ميير‬ ‫(4-6)، اييط ح نالعييظ اييل ي ح حل ييال ؟ حلعييل نيير 2.0 ‪ h ‬ي‬ ‫نير 50.0 ‪، h ‬‬ ‫ل لما حلعيل حلحيطك) حي عيمل ل ليرتاك لأعيل حلحيطك ي حلعيل حلحقرمتي‬ ‫لرو اط ما ل لأعيل‬ ‫تاط م ن اأاط صغر لما ط ل حلخط ة ‪ h‬اأاط اطل حلعل حلحقرمت‬ ‫حلصييلر ح ي ل حلعييل حلحقرمت ي محقييطرو اييل حلعييل‬ ‫نييد نييراط حييؤ ل ‪ h‬إل ي‬ ‫ي ح م ني‬ ‫حلحييطك،‬ ‫حلحطك.‬ ‫1‬ ‫59.0‬ ‫9.0‬ ‫58.0‬ ‫8.0‬ ‫‪y‬‬ ‫57.0‬ ‫‪Exact solution‬‬ ‫7.0‬ ‫)50.0=‪(h‬‬ ‫56.0‬ ‫)1.0=‪(h‬‬ ‫)2.0=‪(h‬‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫مل.‬ ‫شكل (4-6): حنثمر حغمر ط ل حلخط ة أ رل حلعل تط حخرحك طرمق‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-942-‬
  • 27. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫مثااال (4-6) : تط ييحخرحك ط ي ل خط ي ة 50.0، ديير حلعييل حل ييرري لأا طرل ي حلحلطلييأم‬ ‫أمييد ايال حلعييل‬ ‫مأيير، ليطرل حلعيل حلي ي عصيأ‬ ‫حلحطلمي لقيمك 1 ‪ 0  x ‬تط ييحخرحك طرمقي‬ ‫2 ‪ y  x‬لأا طرل حلحلطلأم‬ ‫حلحعأمأ‬ ‫0 ‪y  e y - e x  2x , y(0) ‬‬ ‫2‬ ‫حلعل‬ ‫ل‬ ‫أ حلص ة (6.5) تا ن‬ ‫ر‬ ‫حلا طرل حلحلطلأم‬ ‫‪y   e y - e x  2x‬‬ ‫2‬ ‫ندر ل 0 ‪y0  0 ، x 0 ‬‬ ‫ال حل رط حقتحرح‬ ‫ل عر ر حلاحغمير ‪ x‬ي 6 تايط‬ ‫حلاطأ و ع طو لما حلعل ح حللح ة 1 ‪ 0  x ‬تا ن‬ ‫ر‬ ‫م ن حل حلاحغمر 1 ‪xf ‬‬ ‫حآلل نق ك تححلم حلترنطاج حل طتق اال ت ل حلح رمل لمق ك تطلر ك .‬ ‫‪clc‬‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪Y(i+1)=Y(i)+h*subs(f‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪plot (X,Y,'r.') % numerical solution‬‬ ‫;2^.‪Y1=X‬‬ ‫‪hold on‬‬ ‫‪plot (X,Y1,'b*') % analytical solution‬‬ ‫مأر اال‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق‬ ‫ر‬ ‫برنامج (2-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫اقطرنحد تطلعل حلحعأمأ‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-052-‬
  • 28. ‫الباب السادس‬ ‫مقي ك حلترنيطاج‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطحي ة حلحطلمي‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫تح لمال حل ال (5-6)‬ ‫50.0=‪step size‬‬ ‫‪the function f(x,y)=exp(y)-exp(x^2)+2*x‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫0=0‪y‬‬ ‫1=‪xf‬‬ ‫>>‬ ‫1‬ ‫‪Anlytical solution‬‬ ‫9.0‬ ‫‪Numerical Solution‬‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫‪y‬‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫مأر حلعل حلحعأمأ .‬ ‫شكل (5-6): حلعل حلحقرمت تط حخرحك طرمق‬ ‫ن يير 2 ‪t ‬‬ ‫حلحلطل ييأم حآلحمي ي‬ ‫مثاااال (5-6) : د يير حلع ييل حلحقرمتي ي لادا ي ي حلا ييطرق‬ ‫مأر تط ل خط ة 5.0‬ ‫تط حخرحك طرمق‬ ‫‪dx‬‬ ‫, ‪y‬‬ ‫1 ‪x (0) ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫,‪ 0.5x  0.5y‬‬ ‫2 ‪y(0) ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫مأ يير أي ي حلنعي ي‬ ‫مأ يير(4.5) أي ي حلا ييطرلحمل نعص ييل أي ي ا ييطرق‬ ‫تحطتمي يق ا طرلي ي‬ ‫حلحطل‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-152-‬
  • 29. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪xi 1  xi  hyi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  h  0.5xi  0.5yi  ‬‬ ‫‪ti 1  ti  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ق : نر 0 ‪ i ‬ح ل 2 ‪ x 0  1, y0 ‬اناط ح ل‬ ‫2 ‪x1  x 0  0.5y0  1  0.5(2) ‬‬ ‫57.1 ‪y1  y0  0.5  0.5x 0  0.5y0  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 5.0 ‪t ‬‬ ‫1‪x1, y‬‬ ‫إل‬ ‫عم‬ ‫ثطنمط : نر 1 ‪ i ‬ح ل 57.1 ‪ x1  2, y1 ‬اناط ح ل‬ ‫578.2 ‪x 2  x1  0.5y1 ‬‬ ‫5218.1 ‪y2  y1  0.5  0.5x1  0.5y1  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 1 ‪t ‬‬ ‫إل 2‪x 2 , y‬‬ ‫عم‬ ‫ثطلثط : نر 2 ‪ i ‬ح ل 587.2 ‪ x 2  2.875, y 2 ‬اناط ح ل‬ ‫52187.3 ‪x 3  x 2  0.5y2 ‬‬ ‫521870.2 ‪y3  y2  0.5  0.5x 2  0.5y2  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 5.1 ‪t ‬‬ ‫إل 3‪x 3 , y‬‬ ‫عم‬ ‫حت ط : نر 3 ‪ i ‬ح ل 521870.2 ‪ x3  3.78125, y 3 ‬اناط ح ل‬ ‫ر‬ ‫3028.4 ‪x 3  x 3  0.5y3 ‬‬ ‫9305.2 ‪y4  y3  0.5  0.5x 3  0.5y3  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 2 ‪t ‬‬ ‫إل 4‪x 4 , y‬‬ ‫عم‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-252-‬
  • 30. ‫الباب السادس‬ ‫ثانيا : طريقة رونج كوتا من الرتبة الثانية لحل المعادالت التفاضلية‬ ‫ررمي‬ ‫طرمق‬ ‫طرمق ر نج ا حط ال حلرحت حلثطنم (‪)Runge-Kutta 2nd Order‬‬ ‫ح يحخرك لعيل حلا يطرق‬ ‫مرال لاط تطلرال 2‪ RK‬حلح‬ ‫حلحلطلأم حل طرم‬ ‫لعل حلا طرق‬ ‫أ حلص ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلأم‬ ‫‪dy‬‬ ‫0‪ f  x , y  , y  0   y‬‬ ‫)6.6( ------------‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلص ي ة‬ ‫ر‬ ‫ااييط نالعييظ قتيير ل ححع ي ل حلا طرل ي حلحلطلييأم حل طرم ي اييل حلرحت ي حأل ل ي إل ي‬ ‫مأر.‬ ‫لع ح طرمق‬ ‫(6.6) ااط تق ح لم‬ ‫إل‬ ‫حلصي ي ة ‪ yi 1  yi  f  xi , yi  h‬عمي ي‬ ‫ر‬ ‫أي ي‬ ‫مأ يير ي ي‬ ‫حي ي ار ل ا طرلي ي‬ ‫يينقرك إ ييحنحطدط‬ ‫‪ ، h  xi 1  xi‬لاي ي نلا ييك ا ييط ي ي طرمقي ي ر ن ييج ا ح ييط لأرحتي ي حلثطنمي ي‬ ‫لع ااط مأ‬ ‫مأر تط حخرحك الا ع حمأ ر )‪)Taylor Expansion‬‬ ‫لطرمق‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪1 d y‬‬ ‫2‬ ‫‪yi 1  yi ‬‬ ‫‪ xi 1  xi  ‬‬ ‫‪ xi 1  xi ‬‬ ‫2‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ xi ,yi ‬‬ ‫2 ‪2 ! dx‬‬ ‫‪ xi ,yi ‬‬ ‫‪1 d 3y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xi 1  xi ‬‬ ‫... ‪‬‬ ‫3‬ ‫3 ‪3 ! dx‬‬ ‫‪ xi ,yi ‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫نعصل أ‬ ‫عم إل ‪ f  x , y ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪ yi  f (xi , yi )  xi 1  xi   f '(xi , yi )  xi 1  xi   ...‬‬ ‫2‬ ‫1‪yi ‬‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫)7.6( --- ‪‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫1‪yi ‬‬ ‫... ‪ yi  f  xi , yi  h  f   x i , yi  h ‬‬ ‫2‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ااط نالعظ ند ت اطل حلعر ر إتحرحءح ال حلعر حلثطل ، نعصل أ حلا طرل حلحطلم‬ ‫‪yi 1  yi  f  xi , yi  h‬‬ ‫ناييط طرمق ي ر نييج ا حييط لأرحت ي‬ ‫مأيير أ ي‬ ‫مأيير ت ي لع مااييل ح ييام طرمق ي‬ ‫ي ا طرل ي‬ ‫ي ايل حلعير ر حلحي‬ ‫ي م حلطرمقي‬ ‫حأل لي (‪ )Runge-Kutta 1st order‬ماي ل حلخطين حي‬ ‫حك ع حاط‬ ‫3 ‪f   xi , yi  2 f   xi , yi ‬‬ ‫‪Et ‬‬ ‫‪h ‬‬ ‫... ‪h ‬‬ ‫)8.6( -----------‬ ‫!2‬ ‫!3‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-352-‬
  • 31. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫نعصييل أ ي‬ ‫ي ف ننخ ي عييرح حلييطحمط تا ن ي‬ ‫جظاييطر طرمق ي ر نييج ا حييط لأرحت ي حلثطنم ي‬ ‫ثالث عر ر اطلحطل‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  f  x i , yi  h ‬‬ ‫‪f   x i , yi  h 2 ‬‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫)9.6( --------- ‪‬‬ ‫2 1‬ ‫‪‬‬ ‫1‪yi ‬‬ ‫‪ yi  hf i  h f i ‬‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫اأا ييط، تل ييرل‬ ‫أي ي اث ييطل ييرري لنح ييرف أي ي املمي ي‬ ‫ر ن ييط حآلل نن ييطلل حأ ييع حلطرمقي ي‬ ‫حلا طرل حلحلطلأم حلحطلم‬ ‫‪dy‬‬ ‫5 ‪ e 2 x  3y, y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫انا ي ييط ماي ي ي ل ‪ f  x , y   e 2x  3y‬نالع ي ييظ ل ‪ f  x , y ‬رحلي ي ي حي ي ي ‪ x , y‬حاي ي ي ل‬ ‫حلا حق حأل ل لاط أ حلنع حلحطل‬ ‫‪f  x , y  f  x , y  dy‬‬ ‫‪f   x, y  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)01.6( ------------‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ثك تطلح مل تقما حلرحل ‪f  x , y   e 2 x  3y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f   x, y  ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e 2x  3y    e 2x  3y  e 2x  3y ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2e 2 x  (3) e 2 x  3y   5e 2 x  9y‬‬ ‫تطلح مل تطلا حق حأل ل ح حل الل (9.6) نعصل أ‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  e 2 xi  3yi h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫2 ‪5e 2 xi  9yi h‬‬ ‫‪‬‬ ‫لأعصي ل‬ ‫تا ح عصأنط أ حل الل حلاطأ تي ، لايل يل قعظي اقرح حلا يق حلحي تي ل‬ ‫ذ‬ ‫ر‬ ‫ليع اايط‬ ‫ل صمطت ال لحأيع حل اللي‬ ‫أ حلا حق حأل ل ‪ ، f   x , y ‬ل ح نتع‬ ‫مأ :‬ ‫أ حلص ة حلحطلم‬ ‫ر‬ ‫ماال احطت حلا حق حأل ل‬ ‫‪f  x , y  f  x , y  dy‬‬ ‫‪ dy ‬‬ ‫‪f   x, y  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f   f x  fy ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ dx ‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-452-‬
  • 32. ‫الباب السادس‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ f   f x  f y f‬تيطلح مل نايط‬ ‫نعصيل أي‬ ‫تط حخرحك حل الل ‪ f  x , y ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ح حل الل (6.6) لنعصل أ‬ ‫‪h  f x  fy f‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 1‬ ‫‪yi 1  yi  hf i ‬‬ ‫!2‬ ‫‪i‬‬ ‫حلص ة حلحطلم‬ ‫ر‬ ‫حلح ححع ل إل‬ ‫2‪h‬‬ ‫2‪h‬‬ ‫‪yi 1  yi  hf i ‬‬ ‫)11.6( --------- ‪ f x i   f y i f i‬‬ ‫!2‬ ‫!2‬ ‫نق ك تلرل حلا طرل حلحطلم لحاثل ا طرل ر نج ا حط لأرحت حلثطنم‬ ‫حآلل‬ ‫‪yi 1  yi  a1k1  a 2k 2  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(66.6) --- ‪‬‬ ‫‪k1  f  xi , yi  , k 2  f  xi  p1h , yi  q11k1h  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫حلص ة )21.6(‬ ‫ر‬ ‫نعط ل لال حلا طرل )11.6( أ‬ ‫ء حلحطل‬ ‫ح حلدل‬ ‫ق: ر نط حآلل نق ك تلع حلاقرحر 2 ‪ k‬تط حخرحك الا ع حمأ ر‬ ‫‪k2  f  xi  p1h , yi  q11 k1  h   f i  p1h  f x i  q11  f i  h  f y ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ثطنمط : تطلح مل ل لما 2 ‪ k‬ح حلا طرل (66.6) نعصل أ‬ ‫‪yi 1  yi  a1k1  a 2k 2  h  yi 1  yi  a1 k1  h  a 2 k 2  h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  a1  f i  h  a 2 f i  p1h  f x i  q11  f i  h  f y  h‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  a1  a 2  h  f i   a 2 p1h 2  f x i  a 2q11h 2  f y   f i ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ثطلثط : تاقطرن حلا طرل حلنطحد اال ا طرل ر نج ا حط )21.6( نعصل أ‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫(36.6) --------------------- ‪a1  a2  1, a2 p1  , a2 q11 ‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ادط مل، لعأاط نق ك تلرل احغمر‬ ‫رت‬ ‫ا طرق‬ ‫نالعظ نط ننط عصأنط أ ثال‬ ‫لنعصل أ حلثالث حأل إل، ت ال طك ح ننط ن حخرك لما 2 ‪ a‬لأعص ل أ حلثالث‬ ‫خر‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫أ‬ ‫لحنحج ثالث طرق اخحأل ،‬ ‫,1 ,‬ ‫حألخ إل حنخ 2 ‪ a‬ثالث حعحاطق‬ ‫ر‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫منل (‪ )Heun’s Method‬طرمق حلنقط حل ط (‪)Midpoint method‬‬ ‫حلحرحمو طرمق‬ ‫طرمق حل ح ل (‪. )Ralston’s method‬‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-552-‬
  • 33. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫طريقة هينز (‪)Heun’s Method‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪ a1 ‬ال ثك حلح مل ح‬ ‫نلرل ل ‪ a2 ‬لنعصل أ 1 ‪, p1  1, q11 ‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫حلا طرل (21.6) لنعصل أ‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi   k1  k 2  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫(46.6) -------- ‪‬‬ ‫‪k1  f  xi , yi  , k 2  f  xi  h , yi  k1h  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫إعرإل ص ر طرمق ر نج ا حط لأرحت حلثطنم‬ ‫منل‬ ‫ح ا حأع حلطرمق تطرمق‬ ‫طريقة النقطة الوسطى (‪)Midpoint Method‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪ a1  0, p1  , q11 ‬ال ثك حلح مل ح‬ ‫نلرل ل 1 ‪ a2 ‬لنعصل أ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫حلا طرل (21.6) لنعصل أ‬ ‫‪yi 1  yi  k 2h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫(56.6) -----‬ ‫‪k1  f  xi , yi  , k 2  f  x i  h , yi  k1h  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫ي إعيرإل صي ر طرمقي ر نيج ا حيط لأرحتي‬ ‫ح ا حأع حلطرمق تطرمق حلنقط حل ط‬ ‫حلثطنم‬ ‫طريقة الستون (‪)Ralston’s method‬‬ ‫ر‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫‪ a1  , p1 ‬ا ييل ث ييك حلح ي ي مل‬ ‫‪, q11 ‬‬ ‫‪ a2 ‬لنعص ييل أي ي‬ ‫نل ييرل ل‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫ح حلا طرل (21.6) لنعصل أ‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  ( k1  k 2 )h‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫‪‬‬ ‫(66.6) ------ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫‪‬‬ ‫‪k1  f  x i , yi  , k 2  f  x i  h , yi  k1h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫حلص ة حلثطلث لطرمق ر نج ا حط لأرحت حلثطنم‬ ‫ر‬ ‫ح ا حأع حلطرمق تطرمق حل ح ل‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-652-‬
  • 34. ‫الباب السادس‬ ‫ني يير 1 ‪ x ‬تا أ ام ي ي‬ ‫مثااااال (6-6): دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم ‪y   y  x‬‬ ‫1 ‪y (0) ‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫أ حلص ة 1=)0(‪ y  x  y, y‬اناط ح ل ‪f ( x, y)  x  y‬‬ ‫ر‬ ‫ناحو حلا طرل‬ ‫لع تلرل ل 1.0 ‪ h ‬لنعصل أ‬ ‫منل (46.6)‬ ‫ن حخرك طرمق‬ ‫, ‪k1  f  x i , yi   k1  x i  yi‬‬ ‫‪k 2  f  x i  h , yi  k1h   k 2  x i  h  yi  k1h‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪yi 1  yi   k1  k 2  h‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ق: نر 0 ‪ ، i ‬نعصل أ‬ ‫1‪k1  f  x0 , y0   k1  x0  y0  ‬‬ ‫8.0‪k2  x0  h  y0  k1h  0  0.1  1  (1)(0.1)  ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫19.0 ‪y1  y0   k1  k2  h  1    1   0.8    0.1 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫ثطنمط : نر 1 ‪ ، i ‬نعصل أ‬ ‫18.0 ‪k1  f  x1 , y1   k1  x1  y1  0.1  0.91 ‬‬ ‫926.0‪k2  x1  h  y1  k1h  0.1  0.1  0.91  (0.81)(0.1)  ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫838.0 ‪y2  y1   k1  k2  h  0.91    0.81   0.629    0.1 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫تحا حر اط تق نعصل أ‬ ‫ر‬ ‫1 ‪y0  y (0) ‬‬ ‫8896.0 ‪y6  y (0.6) ‬‬ ‫19.0 ‪y1  y (0.1) ‬‬ ‫4496.0 ‪y7  y (0.7) ‬‬ ‫838.0 ‪y2  y (0.2) ‬‬ ‫0007.0 ‪y8  y (0.8) ‬‬ ‫4287.0 ‪y3  y (0.3) ‬‬ ‫5417.0 ‪y9  y (0.9) ‬‬ ‫6147.0 ‪y4  y (0.4) ‬‬ ‫1737.0 ‪y10  y (1.0) ‬‬ ‫0417.0 ‪y5  y (0.5) ‬‬ ‫تط ييحخرحك طرمق ي ر نييج‬ ‫م ل ي حل الل ي تييمل حلعييل حلحييطك حلعييل حلحقرمت ي‬ ‫حل ييال حلحييطل‬ ‫مأر‬ ‫منل) نالعظ ناط حلل تاثمر ال طرمق‬ ‫ا حط حلرحت حلثطنم (طرمق‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-752-‬
  • 35. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫1‬ ‫‪Exact‬‬ ‫‪Apprximated‬‬ ‫59.0‬ ‫9.0‬ ‫58.0‬ ‫8.0‬ ‫57.0‬ ‫7.0‬ ‫56.0‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫منل، نر 1.0 ‪ h ‬تطلعل حلحطك‬ ‫شكل (6-6): اقطرن حلعل حلحقرمت تطرمق‬ ‫طييرق ( منييل - حلنقطي حل ييط - حل ييح ل )‬ ‫ر‬ ‫م لي نحييط ج حلييثال‬ ‫حلديير ل حلحييطل‬ ‫نر لمك اخحأل ال ‪h‬‬ ‫مأراال حلعل حلحطك‬ ‫اال اقطرنحاك تطرمق‬ ‫ط ل حلخط ة‬ ‫حلعل =8537.0‬ ‫‪h‬‬ ‫مأر‬ ‫منل‬ ‫حلنقط حل ط‬ ‫رل ح ل‬ ‫ح‬ ‫2.0‬ ‫4556.0‬ ‫5147.0‬ ‫5147.0‬ ‫5147.0‬ ‫1.0‬ ‫4796.0‬ ‫1737.0‬ ‫1737.0‬ ‫1737.0‬ ‫50.0‬ ‫0717.0‬ ‫1637.0‬ ‫1637.0‬ ‫1637.0‬ ‫جدول (1-6): اقطرن تمل حلطرق حلاخحأل لطرمق ر نج ا حط ال حلررد حلثطنم‬ ‫) در حلعل حلحقرمتي لأا طرلي‬ ‫عطق‬ ‫مثال (7-6) : تط حخرحك طرمق ر نج ا حط (حلثال‬ ‫حلحلطلأم 0 ‪ (1  x2 ) y  y 2  1 ‬تا أ ام 1 ‪ y(0) ‬نر 2 ‪ x ‬تط حخرحك طي ل خطي ة‬ ‫اقرح م 2.0 ،6.2 ملط 50.0 اثل حلثالث عأ ل تمطنمط.‬ ‫ر‬ ‫حلعل‬ ‫أ ي حلص ي ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫ي ف نق ي ك تحصييامك ترنييطاج جمدييطر عييل ي ا طرل ي حلطلييأم‬ ‫معحيطج حلترنيطاج إلي‬ ‫تط يحخرحك حلصي ر حلاخحألي لطرمقي ر نيج ا حيط ايل حلرحتي حلثطنمي عمي‬ ‫ااط مأ‬ ‫إرخطل ت ل حلتمطنط‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-852-‬
  • 36. ‫الباب السادس‬ ‫إرخطل لما ط ل حلخط ة ‪ Step Size‬مرال لاط تطلرال ‪h‬‬ ‫إرخطل حلرحل ) ‪ f (x , y‬لأا طرل حلحلطلأم ت ر ل اط أ حلص ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫لما ال ال 0 ‪. y 0 ، x‬‬ ‫إرخطل حل رط حقتحرح‬ ‫إرخطل لما ‪ x‬حلاطأ و نر ط ع طو لما ‪ y‬نرال لاط تطلرال ‪xf‬‬ ‫‪ ‬طريقة هينز‬ ‫‪clc‬‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪k1=subs(f‬‬ ‫;‪y=Y(i)+k1*h‬‬ ‫;‪x=X(i)+h‬‬ ‫;)‪k2=subs(f‬‬ ‫;‪Y(i+1)=Y(i)+(0.5*k1+0.5*k2)*h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫منل‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق‬ ‫ر‬ ‫برنامج (3-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫2.0=‪step size‬‬ ‫)2^‪the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=0‪y‬‬ ‫2=‪xf‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫- 3000.0- 5111.0 2152.0 6034.0 2966.0 0000.1‬ ‫2533.0- 4782.0- 2232.0- 8761.0- 7190.0‬ ‫>>‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-952-‬
  • 37. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪ ‬طريقة النقطة الوسطى‬ ‫‪clc‬‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪k1=subs(f‬‬ ‫;‪y=Y(i)+0.5*k1*h‬‬ ‫;‪x=X(i)+0.5*h‬‬ ‫;)‪k2=subs(f‬‬ ‫;‪Y(i+1)=Y(i)+k2*h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق حلنقط‬ ‫ر‬ ‫برنامج (4-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حل ط‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫2.0=‪step size‬‬ ‫)2^‪the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=0‪y‬‬ ‫2=‪xf‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫1162.0 2934.0 2576.0 0000.1‬ ‫4221.0‬ ‫1970.0- 5110.0‬ ‫1023.0- 9272.0- 3812.0- 6451.0-‬ ‫>>‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-062-‬
  • 38. ‫الباب السادس‬ ‫ طريقة الستون‬ ‫ر‬ clc clear all syms f x y h = input('step size='); f = input('the function f(x,y)='); X(1) = input('x0='); Y(1) = input('y0='); xf = input('xf='); for i=1:(xf-X(1))/h y=Y(i); x=X(i); k1=subs(f); y=Y(i)+0.75*k1*h; x=X(i)+0.75*h; k2=subs(f); Y(i+1)=Y(i)+(1/3*k1+2/3*k2)*h; X(i+1)=X(i)+h; end Y ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق حل ح ل‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫برنامج (5-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ step size=0.2 the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x^2) x0=0 y0=1 xf=2 Y= 1.0000 0.6724 0.4351 0.2562 0.1170 0.0057 - 0.0853 -0.1611 -0.2252 -0.2801 -0.3276 >> h  0.2 ‫ال (7-6) حلعل حلنطحج ل حلثالث طرق تط حخرحك ط ل خط ة‬ ‫مل‬ ___________________________________________________ -261-
  • 39. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫1‬ ‫1‪Heun's‬‬ ‫‪Midpoint‬‬ ‫8.0‬ ‫‪Ralston‬‬ ‫6.0‬ ‫4.0‬ ‫‪y‬‬ ‫2.0‬ ‫0‬ ‫2.0-‬ ‫4.0-‬ ‫0‬ ‫2.0‬ ‫4.0‬ ‫6.0‬ ‫8.0‬ ‫1‬ ‫2.1‬ ‫4.1‬ ‫6.1‬ ‫8.1‬ ‫2‬ ‫‪x‬‬ ‫شكل (7-6): اقطرن حلعل حلحقرمت لأثالث طرق تط ل خط ة اقرح م 2.0 ‪h ‬‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-262-‬
  • 40. ‫الباب السادس‬ ‫ثالثا : طريقة رونج كوتا من الرتبة الرابعة‬ ‫يار‬ ‫ح ير طرمقي ر نيج ا حيط ايل حلرحتي حل حت ي ‪ Runge-Kutta 4th Order‬إعيرإل‬ ‫ر‬ ‫مراييل لايط تيطلرال 4‪ RK‬حلحي‬ ‫حلحلطليأم حل طرمي‬ ‫طيرق حلحعأميل حل يرري لعييل حلا يطرق‬ ‫أ حلص ة (76.6)‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلأم‬ ‫ح حخرك لعل حلا طرق‬ ‫‪dy‬‬ ‫(76.6) ---------------- 0‪ f  x , y  , y  0   y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ليع اثييل‬ ‫أي حلصي ة حل ييطتق اثأايط حي‬ ‫ر‬ ‫حي حلترحمي قتير ايل لييال حلا طرلي حلحلطليأم‬ ‫ييرك إ اييطل ي اييل‬ ‫أي‬ ‫ح حايير طرمقي ر نييج ا حييط اييل حلرحتي حل حت ي‬ ‫ر‬ ‫اييل حلطييرق حل ييطتق‬ ‫عر ر حأل ل ال الا ع حمأ ر ااط مأ‬ ‫حلخا‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪1 d y‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi ‬‬ ‫‪xi ,yi  x i 1  x i  ‬‬ ‫‪ xi 1  xi ‬‬ ‫2‬ ‫‪2 xi ,yi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2 ! dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 d 3y‬‬ ‫‪1 d 4y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xi 1  xi  ‬‬ ‫‪ xi 1  xi  ‬‬ ‫3‬ ‫‪‬‬ ‫4‬ ‫‪3 xi ,yi‬‬ ‫‪4 xi ,yi‬‬ ‫‪‬‬ ‫)81.6( ----- ‪‬‬ ‫‪3 ! dx‬‬ ‫‪4 ! dx‬‬ ‫' 1‬ ‫'' 1‬ ‫‪3‬‬ ‫1‪yi ‬‬ ‫‪ yi  f  x i , yi  h  f  x i , yi  h  f  x i , y i  h‬‬ ‫2‬ ‫!2‬ ‫!3‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫4 ‪ f '''  x i , yi  h‬‬ ‫!4‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫أ حلص ة حلحطلم‬ ‫ر‬ ‫حآلل نلال حأع حلا طرل‬ ‫‪yi 1  yi  a1k1  a2k2  a3k3  a4k4 h‬‬ ‫)61.6( ------‬ ‫)91.6( تطلخا ي حلعير ر حأل لي ايل الاي ع حمأي ر اايط حي حلا طرلي‬ ‫تا يط حة حلا طرلي‬ ‫(81.6) نعصل أ‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi ‬‬ ‫‪k1  2k 2  2k3  k 4  h ‬‬ ‫6‬ ‫‪‬‬ ‫1‪k‬‬ ‫‪ f  x i , yi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪ f  x i  h , yi  k1h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)02.6( ----------------‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‪k‬‬ ‫‪ f  x i  h , yi  k 2h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫4‪k‬‬ ‫‪ f  x i  h , yi  k 3h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫اط مطأق أماط ا طرل ر نج ا حط ال حلرحت حل حت‬ ‫ر‬ ‫حأع حلا طرل‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-362-‬
  • 41. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫ تا أ ام ي ي ي‬x  1 ‫ ني ي يير‬y  y  x ‫دي ي يير عي ي ييل حلا طرل ي ي ي حلحلطلي ي ييأم‬ : )6-8( ‫مثااااااال‬ y(0)  1 ‫حلع ييل‬ ‫أي حلصي ة (6.76) لححنط ييو اييال طرمقي ر نييج ا حييط ح‬ ‫ر‬ ‫ن مير احطتي حلا طرلي حلحلطلييأم‬ ‫حلرحت حل حت‬ ‫ر‬ y  x  y, y(0)  1 ‫ نعصل أ‬h  0.1 ‫أ ح حتطر حل‬ f ( x, y )  x  y ‫اناط‬ k1  f  x i , yi   k1  x i  yi  1 1  1 1 k 2  f  x i  h , yi  k1h   k 2  x i  h  yi  k1h  2 2  2 2  1 1  1 1 k3  f  x i  h , yi  k 2h   k 3  x i  h  yi  k 2h  2 2  2 2 k 4  f  x i  h , yi  k 3h   k 4  x i  h  yi  k 3h , 1 yi 1  yi  k1  2k 2  2k3  k 4  h 6 ) y0  1, x0  0 ‫ ( اال حل أك ل‬i  0 ‫ق نر‬ k1  x i  yi  0  1  1 1 1 k 2  x i  h  yi  k1h  0  (0.5)(0.1)  1  (0.5)(1)(0.1)  0.9 2 2 1 1 k3  x i  h  yi  k 2h  0  (0.5)(0.1)  1  (0.5)(0.9)(0.1)  0.9050 2 2 k 4  x i  h  yi  k3h  0  0.1  1  (0.9050)(0.1)  0.8095 1 y1  y 0  k1  2k 2  2k3  k 4  h 6 1 y1  1   1  2 * (0.9)  2 * (0.9050)  0.8095  (0.1)  0.9097 6 ___________________________________________________ -264-
  • 42. ‫الباب السادس‬ ‫نالعظ ححطتال حلقمك ال حلدر ل حلحطل‬ ‫‪i‬‬ ‫) ‪x(i‬‬ ‫)‪y (i‬‬ ‫1‪k‬‬ ‫2‪k‬‬ ‫3‪k‬‬ ‫4‪k‬‬ ‫)1 ‪y(i ‬‬ ‫2‬ ‫0.0‬ ‫1‬ ‫1-‬ ‫9.0-‬ ‫509.0-‬ ‫5908.0-‬ ‫7909.0‬ ‫6‬ ‫1.0‬ ‫7909.0‬ ‫86908.0-‬ ‫91917.0-‬ ‫27327.0-‬ ‫3736.0-‬ ‫64738.0‬ ‫6‬ ‫2.0‬ ‫64738.0‬ ‫64736.0-‬ ‫95555.0-‬ ‫86955.0-‬ ‫94184.0-‬ ‫6187.0‬ ‫3‬ ‫3.0‬ ‫6187.0‬ ‫46184.0-‬ ‫65704.0-‬ ‫62114.0-‬ ‫15043.0-‬ ‫6047.0‬ ‫4‬ ‫4.0‬ ‫6047.0‬ ‫46043.0-‬ ‫16372.0-‬ ‫69672.0-‬ ‫49212.0-‬ ‫1317.0‬ ‫5‬ ‫5.0‬ ‫1317.0‬ ‫60312.0-‬ ‫14251.0-‬ ‫44551.0-‬ ‫815790.0-‬ ‫6796.0‬ ‫6‬ ‫6.0‬ ‫6796.0‬ ‫426790.0-‬ ‫347240.0-‬ ‫784540.0-‬ ‫8429600.0‬ ‫2396.0‬ ‫7‬ ‫7.0‬ ‫2396.0‬ ‫8828600.0‬ ‫784650.0‬ ‫400450.0‬ ‫34101.0‬ ‫7896.0‬ ‫8‬ ‫8.0‬ ‫7896.0‬ ‫43101.0‬ ‫72641.0‬ ‫30441.0‬ ‫49681.0‬ ‫1317.0‬ ‫6‬ ‫9.0‬ ‫1317.0‬ ‫68681.0‬ ‫25722.0‬ ‫84522.0‬ ‫13462.0‬ ‫8537.0‬ ‫جدول (2-6): اثطل أ طرمق ر نج ا حط ال حلرحت حل حت‬ ‫ر‬ ‫حللييرق اييط تييمل حلعييل حلحقرمت ي تط ييحخرحك طرمقي ر نييج‬ ‫حل ييال حلحييطل (8-6) م ل ي‬ ‫ا حيط ايل حلرحتي حل حت ي 4‪ RK‬حلعيل حلحيطك، ايل حلنحيط ج نالعيظ ل طرمقي 4‪ RK‬ايل رق‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلأم‬ ‫حلطرق لعل حأع حلا طرق‬ ‫1‬ ‫4‪RK‬‬ ‫‪Exact‬‬ ‫59.0‬ ‫9.0‬ ‫58.0‬ ‫8.0‬ ‫57.0‬ ‫7.0‬ ‫56.0‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫4‪ RK‬حلعل حلحطك‬ ‫شكل (8-6): نحط ج حلعل تط حخرحك طرمق ر نج ال حلرحت حل حت‬ ‫ر‬ ‫مثااال (9-6) : اي ة رردي عررحاييط 2266 األييل، ييا لاييط لأحترميير حي حلاي حء نيير رردي‬ ‫ح‬ ‫ر‬ ‫يط‬ ‫حلع ير ة لأ ييط حلاعييمط اقييرحر ط 223 األييل. ت ي حح حل ل حلع ير ة حلالق ي رة نحمد ي ل‬ ‫حر‬ ‫ر‬ ‫حر‬ ‫أ إ حتطر ل حلا طرل حلحلطلأم حلحطلم حاثل ررد عر ة حلا ة .‬ ‫حر ر‬ ‫حقط،‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-562-‬
  • 43. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪d‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2.2067 1012  4  81108 , 0  1200 K‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬حاثييل ررد ي حلع ير ة تييطلاألل حاثييل ‪ t‬حلييلال تطلثطنم ي . ديير ررد ي حلع ير ة نيير‬ ‫حر‬ ‫حر‬ ‫عم ي‬ ‫084 ‪ t ‬ثطنم تط حخرحك طرمق ر نج ا حط لأرحت حل حت . تطحح حل ط ل حلخط ة246 ثطنم‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫حلعل‬ ‫أي حلصي ة (76.6) لححنط ييو اييال طرمقي ر نييج ا حييط ح‬ ‫ر‬ ‫ن مير احطتي حلا طرلي حلحلطلييأم‬ ‫حلرحت حل حت‬ ‫ر‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ 2.2067  1012  4  81  108 ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ f t ,    2.2067  1012  4  81  108 ‬‬ ‫نق ك تطلح مل ح ا طرل 4‪RK‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪ i 1   i ‬‬ ‫‪k1  2k 2  2k3  k 4  h ‬‬ ‫6‬ ‫‪‬‬ ‫‪k1 ‬‬ ‫‪f  t i , i ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k2 ‬‬ ‫‪f  ti  h ,i  k1h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k3 ‬‬ ‫‪f  ti  h ,i  k 2h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k4 ‬‬ ‫‪f ti  h ,i  k 3h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ق نر 0 ‪ i ‬ح ل ‪ t0  0,0  1200K‬اناط ح ل‬ ‫‪k1  f t0 , 0 ‬‬ ‫9755.4‪ f  0,1200   2.2067  1012 12004  81  108   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪k2  f  t0  h, 0  k1h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f  0  240,1200   4.5579  240 ‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫74383.0‪ f 120, 653.05  2.2067  1012  653.054  81  108   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪k 3  f  t 0  h, 0  k 2 h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f  0  240,1200   0.38347   240 ‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-662-‬
  • 44. ‫الباب السادس‬  f 120,1154.0   2.2067  1012 1154.04  81  108   3.8954 k4  f t0  h,0  k3h  f 0  240,1200   3.894 240  f  240, 265.10   2.2067  1012  265.104  81  108   0.0069750 1 ‫تطلح مل لع طو لما‬ 1 1   0  (k1  2k 2  2k 3  k 4 )h 6  1200  1  4.5579  2 0.38347  2 3.8954  0.069750240 6  1200   2.1848  240  675.65 K ‫حلقما حلحقرمتم لررد حلعر ة نر‬ ‫حر‬ 1 ‫إل‬ ‫عم‬ t  t1 =t0  h  0  240  240 ‫ اناط ح ل‬t1  240,1  675.65 K ‫ ح ل‬i  1 ‫ثطنمط نر‬ k1  f t1 , 1   f  240, 675.65  2.2067  1012  675.654  81  108   0.44199  1 1  k 2  f  t1  h , 1  k1h   2 2   1 1   f  240   240  , 675.65   0.44199  240   2 2   f  360, 622.61  2.2067  1012  622.614  81  108   0.31372  1 1  k3  f  t1  h , 1  k 2h   2 2   1 1   f  240   240  , 675.65   0.31372   240   2 2   f  360, 638.00   2.2067  1012  638.004  81  108   0.34775 k 4  f t1  h , 1  k3h   f  240  240, 675.65   0.34775   240   f  480, 592.19   2.2067  1012  592.194  81  108   0.25351  2 ‫تطلح مل لع طو لما‬ ___________________________________________________ -267-
  • 45. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫1‬ ‫‪ 2  1  (k1  2k 2  2k3  k 4 )h‬‬ ‫6‬ ‫‪ 675.65 ‬‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫042 ‪ 0.44199  2  0.31372   2  0.34775    0.25351  ‬‬ ‫1‬ ‫042 ‪ 675.65   2.0184  ‬‬ ‫‪ 594.91 K‬‬ ‫6‬ ‫حلقما حلحقرمتم لررد حلعر ة نر‬ ‫حر‬ ‫إل 2 ‪‬‬ ‫عم‬ ‫084 ‪t  t 2 =t1  h  240  240 ‬‬ ‫در عل حلا طرل حلحلطلأم ح حلاثطل حل طتق نر 04 ‪ t ‬رلمق‬ ‫مثال (01-6) :‬ ‫اثل حلنطحج تمطنمط.‬ ‫حلعل‬ ‫أي حلصي ة (76.6)‬ ‫ر‬ ‫ي ف نقي ك تحصييامك ترنييطاج قمدييطر عييل ي ا طرلي حلطلييأم‬ ‫إرخيطل ت يل حلتمطنيط‬ ‫معحطج حلترنطاج إل‬ ‫عم‬ ‫تط حخرحك طرمق ر نج ا حط لأرحت حل حت‬ ‫ر‬ ‫ااط مأ :‬ ‫إرخطل لما ط ل حلخط ة ‪ Step Size‬نرال لاط تطلرال ‪h‬‬ ‫إرخييطل حلرحل ي ) ‪ f (x , y‬لأا طرل ي حلحلطلييأم ت يير ل ي اط أ ي حلص ي ة (76.6) نراييل لاييط‬ ‫ر‬ ‫تطلرال ) ‪f (x , y‬‬ ‫لما ال ال 0 ‪. y 0 ، x‬‬ ‫إرخطل حل رط حقتحرح‬ ‫إرخطل لما ‪ x‬حلاطأ و نر ط ع طو لما ‪ y‬نرال لاط تطلرال ‪xf‬‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫042=‪step size‬‬ ‫)8^01*18-4^‪the function f(x,y)=-2.2067*10^(-12)*(y‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫0021=0‪y‬‬ ‫0042=‪xf‬‬ ‫>>‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-862-‬
  • 46. ‫الباب السادس‬ clc clear all syms f x y h = input('step size='); f = input('the function f(x,y)='); X(1) = input('x0='); Y(1) = input('y0='); xf = input('xf='); for i=1:(xf-X(1))/h y=Y(i); x=X(i); k1=subs(f); y=Y(i)+0.5*k1*h; x=X(i)+0.5*h; k2=subs(f); y=Y(i)+0.5*k2*h; x=X(i)+0.5*h; k3=subs(f); y=Y(i)+k3*h; x=X(i)+h; k4=subs(f); Y(i+1)=Y(i)+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)*h; X(i+1)=X(i)+h; end plot (X,Y,'b.') % numerical solution ‫أ حلص ة (76.6) تط حخرحك طرمق‬ ‫ر‬ ‫برنامج (6-6): إمدطر عل ي ا طرل حلطلأم‬ ‫ر نج ا حط لأرحت حل حت‬ ‫ر‬ 42 ‫ماثل ال(9-6) حغمر ررد حلعر ة اال حللال، حا ل ررد حلعر ة ت ر ال‬ ‫حر‬ ‫حر‬ ‫6.424 األل‬ ‫رلمق‬ ___________________________________________________ -269-
  • 47. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫0021‬ ‫0011‬ ‫0001‬ ‫009‬ ‫008‬ ‫‪y‬‬ ‫007‬ ‫006‬ ‫005‬ ‫004‬ ‫0‬ ‫005‬ ‫0001‬ ‫0051‬ ‫0002‬ ‫0052‬ ‫‪t‬‬ ‫شكل (9-6) : حغمر ررد حلعر ة تطلاألل اال حللال‬ ‫حر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-072-‬
  • 48. ‫الباب السادس‬ ‫ابع ا : طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل مجموعة من المعادالت‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫التفاضلية ذات الرتبة األولى‬ ‫أ حلص ة‬ ‫ر‬ ‫تلرل ل لرمنط ا طرلحمل ال حلرحت حأل ل تقمك حتحرح م ا أ ا‬ ‫,) ‪y  F( x, y,v‬‬ ‫)12.6( ------------------- ‪y( 0 )  ‬‬ ‫,) ‪v  G( x, y,v‬‬ ‫)22.6( ------------------- ‪v( 0 )  ‬‬ ‫إل لرمنط ا طرلحمل حلطلأمحمل ح ل لرمنط ادا حمل ال لمك حلث حت ، ادا‬ ‫عم‬ ‫‪ m‬ااط مأ‬ ‫حلث حت‬ ‫‪ k‬ادا‬ ‫حلث حت‬ ‫‪k1  F  xi , yi ,vi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪k2  F  xi  h, yi  hk1 ,vi  hm1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪k3  F  xi  h, yi  hk2 ,vi  hm2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪k4  F  xi  h, yi  k3h,vi  hm3 ‬‬ ‫‪m1  G  xi , yi ,vi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪m2  G  xi  h, yi  hk1 ,vi  hm1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪m3  G  xi  h, yi  hk2 ,vi  hm2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪m4  G  xi  h, yi  k3h,vi  hm3 ‬‬ ‫‪ m‬حخييا‬ ‫‪ k‬حخييا حلا طرل ي )12.6( ح ي عييمل ل حلث حت ي‬ ‫قعييظ نييط ل لييمك حلث حت ي‬ ‫حلا طرل )22.6(‬ ‫ماال ع طو لمك 1‪ yi 1 ,vi ‬ااط مأ‬ ‫تطلحطل‬ ‫1‬ ‫‪yi 1  yi ‬‬ ‫‪ k1  2k2  2k3  k4  h‬‬ ‫6‬ ‫1‬ ‫‪vi 1  vi   m1  2m2  2m3  m4  h‬‬ ‫6‬ ‫ح‬ ‫حلحلطليأم‬ ‫ماال ااط تق ح حنحطج طرمقي ر نيج ا حيط ألي يرر ايل حلا يطرق‬ ‫حلطلأم ما ل عأاط أ حلنع حلحطل‬ ‫ا طرق‬ ‫ال ثال‬ ‫حلرحت حأل ل ، تلرل ادا‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-172-‬
  • 49. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ y  F( x, y,v,w ), y( 0 )   ------------------- (6.23) v  G( x, y,v,w ), v( 0 )   ------------------- (6.24) w  H( x, y,v,w ), w( 0 )   ------------------- (6.25) ‫ال حلث حت ، ادا‬ ‫ادا ط‬ ‫ح ل لرمنط ثال‬ ‫ا طرق‬ ‫إل لرمنط ثال‬ ‫عم‬ ‫ ااط مأ‬n ‫حلث حت‬ ‫ ادا‬m ‫حلث حت‬ ‫ ،ادا‬k ‫حلث حت‬ k1  F  xi , yi ,vi ,wi   1 1 1 1  k2  F  xi  h, yi  hk1 ,vi  hm1 ,wi  hn1   2 2 2 2   1 1 1 1  k3  F  xi  h, yi  hk 2 ,vi  hm2 ,wi  hn2   2 2 2 2  k4  F  xi  h, yi  hk3 ,vi  hm3 ,wi  hn3  m1  G  xi , yi ,vi ,wi   1 1 1 1  m2  G  xi  h, yi  hk1 ,vi  hm1 ,wi  hn1   2 2 2 2   1 1 1 1  m3  G  xi  h, yi  hk2 ,vi  hm2 ,wi  hn2   2 2 2 2  m4  G  xi  h, yi  hk3 ,vi  hm3 ,wi  hn3  n1  H  xi , yi ,vi ,wi   1 1 1 1  n2  H  xi  h, yi  hk1 ,vi  hm1 ,wi  hn1   2 2 2 2   1 1 1 1  n3  H  xi  h, yi  hk 2 ,vi  hm2 ,wi  hn2   2 2 2 2  n4  H  xi  h, yi  hk3 ,vi  hm3 ,wi  hn3  ‫ ااط مأ‬yi 1 ,vi 1 ,wi 1 ‫تطلحطل ماال ع طو لمك‬ 1 yi 1  yi   k1  2k2  2k3  k4  h 6 1 vi 1  vi   m1  2m2  2m3  m4  h 6 1 wi 1  wi   n1  2n2  2n3  n4  h 6 ___________________________________________________ -272-
  • 50. ‫الباب السادس‬ ‫خامس ا : طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل المعادالت التفاضلية‬ ‫ر‬ ‫من الرتبة الثانية‬ ‫أ حلص ة‬ ‫ر‬ ‫تلرل حلا طرل حلحلطلأم ال حلرحت حلثطنم‬ ‫,) ‪y  f ( x, y, y‬‬ ‫, ‪y( 0 )  ‬‬ ‫)62.6( ------------ ‪y( 0 )  ‬‬ ‫أي‬ ‫حلرحت حأل ل‬ ‫ح‬ ‫حلحلطلأم‬ ‫ال حلا طرق‬ ‫ادا‬ ‫تحع مل حلا طرل حلحلطلأم إل‬ ‫حلنع حلحطل‬ ‫,‪y  v‬‬ ‫,) ‪v  f ( x, y,v‬‬ ‫, ‪y( 0 )  ‬‬ ‫‪v( 0 )  ‬‬ ‫)72.6( -------------------‪‬‬ ‫حلررد ي حأل ل ي‬ ‫ادا ي اييل ا ييطرق‬ ‫إل ي‬ ‫تا ي ح ح ي ل ا طرل ي حلررد ي حلثطنم ي ليير حع ل ي‬ ‫حلح ما ل عأاط أ حلص ة‬ ‫ر‬ ‫‪k1  vi‬‬ ‫1‪k2  vi  0.5hm‬‬ ‫2‪k3  vi  0.5hm‬‬ ‫3‪k4  vi  hm‬‬ ‫‪m1  f  xi , yi ,vi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪m2  f  xi  h, yi  hk1 ,vi  hm1   f  xi  h, yi  hvi ,vi  hm1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2 1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪m3  f  xi  h, yi  hk2 ,vi  hm2   f  xi  h, yi  hvi  h m1 ,vi  hm2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 1‬ ‫‪‬‬ ‫‪m4  f  xi  h, yi  hk3 ,vi  hm3   f  xi  h, yi  hvi  h m2 ,vi  hm3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k‬لي ييع ت ي ييتو ا ي ي ل ‪ y   v‬رحل ي ي ح ي ي‬ ‫لادا ي ي حلث حت ي ي‬ ‫قعي ييظ حلحغمي يير حل ي ي ي عي يير‬ ‫أ حلنع حلحطل‬ ‫حا ل لمك ‪y ,v‬‬ ‫حلاحغمر ‪ v‬حقط تمر ا حارة أ حلاحغمرمل ‪x , y‬‬ ‫1‬ ‫‪yi 1  yi ‬‬ ‫‪ k1  2k2  2k3  k4  h‬‬ ‫6‬ ‫1‬ ‫‪ yi   vi   2  vi  0.5hm1   2  vi  0.5hm2    vi  hm3   h‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫2 ‪=yi  hvi   m1  m2  m3  h‬‬ ‫6‬ ‫1‬ ‫‪vi 1  vi   m1  2m2  2m3  m4  h‬‬ ‫6‬ ‫نالعظ نط ل حلا طرق خطلم حاطاط ال حلاحغمر ‪k‬‬ ‫ح‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-372-‬
  • 51. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫ تط ل خط ة اقرح م‬x  1 ‫نر‬ ‫ر‬ ‫در عل ا نل حلقمك حقتحرح م حلحطلم‬ : )6-11( ‫مثال‬ h  0.1 y   xy   y  3  5x , y ( 0 )  1, y ( 0 )  0 2 ‫الحل‬ ‫حلررد‬ ‫ال ا طرق‬ ‫ادا‬ ‫تحع مل حلا طرل حلحلطلأم ال حلرحت حلثطنم إل‬ ‫حأل ل‬ y  v , y ( 0)  1 v   3  5x 2  xv  y , v ( 0)  0 f ( x , y ,v )  3  5x 2  xv  y ‫تاقطرنحاط تطلا طرل (76.6) ن حنحج ل‬ : ‫ ح ل‬y ( 0 )  0, v ( 0 )  1 ‫إل‬ ‫عم‬ x0  0, y0  1, v0  0, h  0.1 ‫ ح ل‬i  0 ‫ق: نر‬ m1  f  x0 , y0 ,v0   f  0,1, 0   3  5 x0 2  x0v0  y0 =2.000  1 1 1  m2  f  xi  h, yi  hvi ,vi  hm1   f ( 0.05,1, 0.1 )  2.008  2 2 2   1 1 1 2 1  m3  f  xi  h, yi  hvi  h m1 ,vi  hm2   f ( 0.05,1.005,1.004 ) =2.002  2 2 4 2   1 2  m4  f  xi  h, yi  hvi  h m3 ,vi  hm3   f ( 0.1,1.01,0.2002 )  2.01998  2  1 yi 1  yi  hvi   m1  m2  m3  h 2 6 1  y1  y0  hv0   m1  m2  m3  h 2  1.0100 6 1 vi 1  vi   m1  2m2  2m3  m4  h 6 1  v1  v0   m1  2m2  2m3  m4  h  0.2007 6 x1  0.1, y1  1.01, v1  0.2007, h  0. 1 ‫ ح ل‬i  1 ‫ثطنمط : ت لال‬ m1  f  x1 , y1 ,v1   2.020  1 1 1  m2  f  xi  h, yi  hvi ,vi  hm1   2.047  2 2 2   1 1 1 2 1  m3  f  xi  h, yi  vi h  h m2 ,vi  hm2   2.042  2 2 4 2   1 2  m4  f  xi  h, yi  vi h  h m3 ,vi  hm3   2.079  2  ___________________________________________________ -274-
  • 52. ‫الباب السادس‬ ‫1‬ ‫‪yi 1  yi  hvi ‬‬ ‫2 ‪ m1  m2  m3  h‬‬ ‫6‬ ‫1‬ ‫3040.1 ‪ y2  y2  hv1   m1  m2  m3  h 2 ‬‬ ‫6‬ ‫1‬ ‫‪vi 1  vi   m1  2m2  2m3  m4  h‬‬ ‫6‬ ‫1‬ ‫3504.0 ‪ v2  v1   m1  2m2  2m3  m4  h ‬‬ ‫6‬ ‫تحا حر اط تق نعصل أ‬ ‫ر‬ ‫,3190.1 ‪y3 ‬‬ ‫6716.0 ‪v3 ‬‬ ‫,2461.1 ‪y4 ‬‬ ‫0148.0 ‪v4 ‬‬ ‫,0062.1 ‪y5 ‬‬ ‫3870.1 ‪v5 ‬‬ ‫,4083.1 ‪y6 ‬‬ ‫8133.1 ‪v6 ‬‬ ‫,0725.1 ‪y7 ‬‬ ‫8206.1 ‪v7 ‬‬ ‫,5107.1 ‪y8 ‬‬ ‫1298.1 ‪v8 ‬‬ ‫,0609.1 ‪y9 ‬‬ ‫6991.2 ‪v9 ‬‬ ‫,0241.2 ‪y10 ‬‬ ‫6425.2 ‪v10 ‬‬ ‫ماال حصامك ترنطاج لمق ك تاط حك ح حلاثطل حل طتق ااط مأ‬ ‫ااط مأ‬ ‫إرخطل ت ل حلتمطنط‬ ‫معحطج حلترنطاج إل‬ ‫عم‬ ‫إرخطل لما ط ل حلخط ة ‪ Step Size‬مرال لاط تطلرال ‪h‬‬ ‫إرخطل حلرحل ) ‪ f (x, y,v‬لأا طرل حلحلطلأم ت ر ل اط أ حلص ة (76.6)‬ ‫ر‬ ‫لما ال ال 0 ‪. v 0 ، y 0 ، x‬‬ ‫إرخطل حل رط حقتحرح‬ ‫إرخطل لما ‪ x‬حلاطأ و نر ط ع طو لما ‪ v ، y‬نرال لاط تطلرال ‪xf‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-572-‬
  • 53. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ clc clear all syms f x y v h = input('step size='); f = input('the function f(x,y,v)='); X(1) = input('x0='); Y(1) = input('y(x0)='); V(1)= input('v(x0)='); xf = input('xf='); for i=1:(xf-X(1))/h y=Y(i); x=X(i); v=V(i); m1=subs(f); x=X(i)+0.5*h; y=Y(i)+0.5*h*V(i); v=V(i)+0.5*h*m1; m2=subs(f); x=X(i)+0.5*h; y=Y(i)+0.5*h*V(i)+0.25*h^2*m1; v=V(i)+0.5*h*m2; m3=subs(f); x=X(i)+h; y=Y(i)+h*V(i)+0.5*h^2*m2; v=V(i)+h*m3; m4=subs(f); Y(i+1)=Y(i)+h*V(i)+(1/6)*(m1+m2+m3)*h^2; V(i+1)=V(i)+(1/6)*(m1+2*m2+2*m3+m4)*h; X(i+1)=X(i)+h; end subplot(1,2,1) plot (X,Y,'b.') % numerical solution subplot(1,2,2) plot (X,V,'b.') % numerical solution ‫حلحلطلأم ال حلرحت حلثطنم تط حخرحك طرمق ر نج‬ ‫برنامج (7-6): حمدطر عل حلا طرق‬ ‫ا حط لأرحت حل حت‬ ‫ر‬ ___________________________________________________ -276-
  • 54. ‫الباب السادس‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫1.0=‪step size‬‬ ‫‪the function f(x,y,v)=3+5*x^2-x*v-y‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=)0‪y(x‬‬ ‫0=)0‪v(x‬‬ ‫1=‪xf‬‬ ‫>>‬ ‫ال (26-6)‬ ‫ح حلترنطاج ح‬ ‫حظار نحط ج‬ ‫4.2‬ ‫3‬ ‫2.2‬ ‫5.2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫8.1‬ ‫5.1‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪V‬‬ ‫6.1‬ ‫1‬ ‫4.1‬ ‫5.0‬ ‫2.1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫2.0‬ ‫4.0‬ ‫6.0‬ ‫8.0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫2.0‬ ‫4.0‬ ‫6.0‬ ‫8.0‬ ‫1‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫شكل (11-6) : حل الل اطتمل ال ال ‪ y,v‬اال ‪x‬‬ ‫يال‬ ‫مثال (21-6) : تليرل دي ر تنير ل ا أيق نير حلنقطي ‪ o‬طي ل ر يد اايط حي‬ ‫ح‬ ‫(66-6) ليد احأي اقيرحر ط ‪ m‬ارال ييط نير حلنقطي ‪ P‬تلييرل ل ‪ ‬ي حلل مي تطلحقييرمر‬ ‫ح‬ ‫حلييرح ي حلح ي مصيين اط ر حلتنيير ل اييال حلاع ي ر حلر ي ، ديير حلا طرل ي حلحلطلييأم حلح ي‬ ‫ح‬ ‫ر‬ ‫حصف حلعرا .‬ ‫شكل (6-11) : صف عرا حلتنر ل‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-772-‬
  • 55. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫حلعل‬ ‫حلا يينل حص ييف عراي ي ‪ P‬ت يير حع ي م ا ييل ل ييال حل ييا ل، ا ييل حلختي ير حل اأمي ي‬ ‫ح‬ ‫يرر‬ ‫حلتني يير ل‬ ‫ل عرا ي ي حلتني يير ل حخاي يير اي ييال حقي ييرك حلي ييلال ا ي ي لع حلي ييلال تي ييمل عراي ييط‬ ‫محل ي ي‬ ‫حلاحنردع حلاح طلت مقل .‬ ‫حاي ل حلقي ة حلا يتت‬ ‫تلرل ل عرا ‪ P‬حعرر تط حخرحك حلا طرل حلرمنطامامي لنمي حل تعمي‬ ‫لأعرا‬ ‫)82.6( ------------------- ‪Fe  ma‬‬ ‫2‪d‬‬ ‫إل ط ي ي ل حلق ي ي ن ‪ NP‬م ي ييط ي ‪ ، ‬ح ي ي ل ‪ a  2      ‬اناي ييط ححع ي ي ل‬ ‫عم ي ي‬ ‫‪dt‬‬ ‫حلا طرل (86.6) إل‬ ‫‪Fe  ma  m  ‬‬ ‫ارات ل ة حلدط تم‬ ‫‪ ، P‬تلرل ل 1‪F‬‬ ‫أ إ حتطر ل حلق ة ‪ F‬حؤثر أ‬ ‫.0>‪F1  mg sin  , g‬‬ ‫أ حلص ة‬ ‫ر‬ ‫حلق ة حلاخارة حلح‬ ‫تلرل ل حلق ة 2‪F‬‬ ‫.0 ‪F2  c , c ‬‬ ‫حا ل‬ ‫أ إحح حل إ اطل ي ل إل خ إل ، ح ل ل إل حلاقط ا‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫‪Fr  F2  F1  mg sin   c ‬‬ ‫أ حلنع حلحطل‬ ‫لع حا ل ا طرل حلعرا‬ ‫أ‬ ‫‪ c‬‬ ‫‪  g‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m    mg sin   c   0     ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫0 ‪ sin  ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫تطل ر ط حقتحرح م 0=)0(‪ ( 0 )   ,  ‬‬ ‫حاثل ا طرل حلعرا لأتنر ل‬ ‫ل‬ ‫مثااال (31-6) : صييف عراي حلتنيير ل حي حلاثييطل حل ييطتق خييالل 56 ثطنمي إ ح أاي‬ ‫أ حلنع حلحطل‬ ‫حلا طرل حلحلطلأم حلح حصف عراح‬ ‫, 054 ‪    0.3   sin   0,  ( 0 ) ‬‬ ‫0 ‪ ( 0 ) ‬‬ ‫أ ح حتطر ل ط ل حلخط ة اقرح م 10.0 ‪. h ‬‬ ‫ر‬ ‫حلع ييل‬ ‫نق ك تعأاط تط حخرحك طرمق 4‪RK‬‬ ‫ق م در لحأع حلا طرل حلحلطلأم عل حعأمأ‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-872-‬
  • 56. ‫الباب السادس‬ ‫أ حلنع حلحطل‬ ‫حلررد حأل ل‬ ‫ال ا طرق‬ ‫ادا‬ ‫نق ك تحع مل حلا طرل إل‬ ‫, ‪  v‬‬ ‫1 ‪( 0) ‬‬ ‫0 ‪v   0.3v  sin  , v ( 0 ) ‬‬ ‫نق ك تحنلم ترنطاج (7-6) لعل حأع حلا نل ااط مأ‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر ح غمل حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫1.0=‪step size‬‬ ‫)‪the function f(x,y,v)=-0.3*v-sin(y‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=)0‪y(x‬‬ ‫4/‪v(x0)=pi‬‬ ‫51=‪xf‬‬ ‫>>‬ ‫تطل ال (21-6)‬ ‫ال‬ ‫نعصل أ حلانعن ااط‬ ‫5.1‬ ‫8.0‬ ‫6.0‬ ‫1‬ ‫4.0‬ ‫2.0‬ ‫5.0‬ ‫0‬ ‫‪Theta‬‬ ‫‪V‬‬ ‫2.0-‬ ‫0‬ ‫4.0-‬ ‫6.0-‬ ‫5.0-‬ ‫8.0-‬ ‫1-‬ ‫1-‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫01‬ ‫51‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫01‬ ‫51‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫شكل (21-6) : حلعرا حلاخارة لعرا حلتنر ل‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-972-‬
  • 57. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫سادسا : طريقة الفروق المحدوده لحل المعادالت التفاضلية العادية‬ ‫حلحلطليأم حل طرمي‬ ‫ح حخرك طرمقي حللير ق حلاعير رم (‪ )Finite difference‬لعيل حلا يطرق‬ ‫يطرة ايط‬ ‫حلح لديها شروط حدودية (‪ )boundary condition‬وليس نر نقطي حلترحمي حقيط.‬ ‫نطأييق أ ي حأييع حلا ييط ل ا ييط ل حلقييمك حلعر رم ي (.‪)Boundary-Value Problems‬‬ ‫حلحلطليأم ايل‬ ‫ي ح حلد ء ي ف نح يرل إلي حأيع حلا يطرق‬ ‫يل‬ ‫إخحصطر ح ا ‪ .BVP‬حي‬ ‫ح‬ ‫أ حلص ة حلحطلم‬ ‫ر‬ ‫حلرحت حلثطنم حلح‬ ‫‪d 2y‬‬ ‫‪ f (x , y, y '), a  x  b‬‬ ‫)62.6( ------------‬ ‫2 ‪dx‬‬ ‫تطل ر ط حلعر رم حلحطلم‬ ‫‪y(a)  ya , y(b)  yb‬‬ ‫)23.6( -----------------‬ ‫حييو (‪)simply supported beam‬‬ ‫اثييطل (41-6) : حآلنعي حف (‪ y )deflection‬حي‬ ‫ر‬ ‫ال (36-6) ا يرل لعايل انيحظك ‪ q‬عايل ير اعي ي (‪T )tensile axial‬‬ ‫ر‬ ‫ااط ح‬ ‫م ط تطل الل‬ ‫)‪d y Ty qx( L  x‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)63.6( ---------------‬ ‫‪dx 2 EI‬‬ ‫‪2 EI‬‬ ‫ل‬ ‫عم‬ ‫‪ I‬حل لك حلثطن لأا طع )4‪(in‬‬ ‫ي ا لال أ حل حو )‪(in‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ q‬اثطح حلعال حلانحظك )‪(lb/in‬‬ ‫عال حل ر حلاؤثر)‪(lbs‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ L‬ط ل حل حو )‪(in‬‬ ‫‪ E‬ا طال منج (‪) Young’s modulus‬‬ ‫تا أ ام‬ ‫4 ‪T  7200 lbs, q  5400 lbs/in, L  75 in, E  30 Msi, I  120 in‬‬ ‫در حنع حف حل حو نر "05 ‪ x ‬تط حخرحك ط ل خطي ة اقيرحر ط " 52 ‪ h ‬تط يحخرحك‬ ‫ر‬ ‫حلحقرمو حللرل حلاق ك حق ط (‪)central divided difference approximation‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-082-‬
  • 58. ‫الباب السادس‬ ‫‪y‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪L‬‬ ‫أ ر طاط‬ ‫شكل (31-6) : حو اثت‬ ‫حلع ييل‬ ‫)‪d 2 y Ty qx( L  x‬‬ ‫نعصل أ ،‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫تطلح مل تطلقمك حلا ططة ح حلا طرل ححلحلطلأم‬ ‫‪dx 2 EI‬‬ ‫‪2 EI‬‬ ‫‪d2y‬‬ ‫‪7200 y‬‬ ‫) ‪(5400) x(75  x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫2‬ ‫)021() 601 ‪(30  10 )(120) 2(30 ‬‬ ‫6‬ ‫‪d2y‬‬ ‫)63.6( -------- )‪ 2  10 6 y  7.5  10 7 x(75  x‬‬ ‫2 ‪dx‬‬ ‫‪d2y‬‬ ‫تحقرميو حلا يحق حلثطنمي 2 تط يحخرحك (‪)central divided difference approximation‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫نر حل قرم ‪ i‬ااط مأ‬ ‫1‪i ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫1‪i ‬‬ ‫شكل (41-6) : حللر ق حلاعر رم تط حخرحك طرمق حلحقرمو حللرل حلاق ك حأل ط‬ ‫1‪d 2 y yi 1  2 yi  yi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)33.6( ------------‬ ‫2 ‪dx‬‬ ‫2 )‪( h‬‬ ‫تطلح مل ناط ح حلا طرل حلحلطلأم ، نعصل أ‬ ‫1‪yi 1  2 yi  yi ‬‬ ‫2‬ ‫)43.6(------ ) ‪ 2 106 yi  7.5 107 xi (75  xi‬‬ ‫)‪( h‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-182-‬
  • 59. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫إل ط ي ي ل حل حي ييو‬ ‫4) عم ي ي‬ ‫52 ‪ ، h ‬ح ي ي ل لي ييرمنط رتي ييال قي يير (‪nodes‬‬ ‫إل‬ ‫عم ي ي‬ ‫57 ‪ L ‬ت ص‬ ‫1‪i ‬‬ ‫2‪i‬‬ ‫3‪i‬‬ ‫4‪i‬‬ ‫0‪x‬‬ ‫52 ‪x ‬‬ ‫05 ‪x ‬‬ ‫57 ‪x ‬‬ ‫57 ‪ x ‬تط حخرحك 52 ‪h ‬‬ ‫شكل (51-6) : حللر ق حلاعر رم ال 0 ‪ x ‬إل‬ ‫ااط مأ‬ ‫قر‬ ‫لع ما ل ا لال حألرت‬ ‫أ‬ ‫0 ‪x1 ‬‬ ‫52 ‪x 2  x1  h  0  25 ‬‬ ‫05 ‪x3  x 2  h  25  25 ‬‬ ‫57 ‪x 4  x3  h  50  25 ‬‬ ‫نر ال قرم نعصل أ‬ ‫تاحطت حلا طرل‬ ‫ايل حلطيرحمل (‪ )simply supported beam‬ح ل‬ ‫نيد حيو اثتي‬ ‫العقده األولاى : عمي‬ ‫نر 0 ‪ x ‬نعصل أ‬ ‫)53.6( ------------------- 0 ‪y1 ‬‬ ‫العقده الثانية : تاحطت حلا طرل لأ قرم حلثطنم نعصل أ ،‬ ‫1‪y3  2 y 2  y‬‬ ‫) 2‪ 2  10 6 y 2  7.5  10 7 x2 (75  x‬‬ ‫2 )52(‬ ‫)52 ‪0.0016 y1  0.003202 y 2  0.0016 y3  7.5  10 7 (25)(75 ‬‬ ‫4‪0.0016 y1  0.003202 y 2  0.0016 y3  9.375  10 ‬‬ ‫)63.6( ---‬ ‫العقده الثالثة : تاحطت حلا طرل لأ قرم حلثطلث نعصل أ ،‬ ‫2 ‪y 4  2 y3  y‬‬ ‫2‬ ‫) 3‪ 2  10 6 y3  7.5  10 7 x3 (75  x‬‬ ‫)52(‬ ‫)05 ‪0.0016 y 2  0.003202 y3  0.0016 y3  7.5  10 7 (50)(75 ‬‬ ‫)73.6( ------ 4‪0.0016 y 2  0.003202 y3  0.0016 y3  9.375  10 ‬‬ ‫ال حلطرحمل ح ل نر 57 ‪ x ‬نعصل أ‬ ‫ند حو اثت‬ ‫العقده ال ابعة : عم‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-282-‬
  • 60. ‫الباب السادس‬ ‫)83.6( --------------------------- 0 ‪y 4 ‬‬ ‫ادط مل‬ ‫رت‬ ‫خطم ح‬ ‫ا طرق‬ ‫رت‬ ‫حل طتق (53.6-83.6)‬ ‫حلا طرق‬ ‫ماال احطتحاط أ حلنع حلحطل‬ ‫1 ‪‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‪0   y1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫202300.0 ‪0.0016 ‬‬ ‫6100.0‬ ‫‪  y  9.375  10  4 ‬‬ ‫‪0  2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0 ‪‬‬ ‫6100.0‬ ‫‪ 0.003202 0.0016  y 3  9.375  10  4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫0 ‪‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‪1   y 4  ‬‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫تط حخرحك ‪ MATLAB‬ااط مأ‬ ‫تعل حأع حلا طرق‬ ‫202300.0- 6100.0 0 ;0 6100.0 202300.0- 6100.0; 0 0 0 1 [=‪a‬‬ ‫]1 0 0 0 ;6100.0‬ ‫;']0 4-^01*573.9 4-^01*573.9 0[=‪b‬‬ ‫‪y=inv(a)*b‬‬ ‫نعصل أ‬ ‫0‪ y1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2    0.5852‬‬ ‫‪ y 3   0.5852‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪ y 4  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫لما ) 2 ‪ y (x‬تا ن‬ ‫ما ل حقنع حف نر "05 ‪x ‬‬ ‫ر‬ ‫"2585.0‪y(50)  y( x2 )  y 2  ‬‬ ‫2 ‪ y   y  x 2 ‬اييال حل أييك ل‬ ‫ديير عييل ا يينل حلقييمك حلعر رم ي‬ ‫مثاااال (51-6) :‬ ‫1- )1(‪ y(0)  0, y(1)  cosh‬تط ي ييحخرحك ط ي ي ل خط ي ي ة اقي ييرحر ط 52.0 ‪ h ‬تط ي ييحخرحك‬ ‫حلحقرمو حللرل حلاق ك حق ط .‬ ‫حلعل‬ ‫‪d2y‬‬ ‫تط يحخرحك (‪)Central Divided Difference Approximation‬‬ ‫تحقرمو حلا حق حلثطنمي‬ ‫2 ‪dx‬‬ ‫نر حل قرم ‪ i‬ااط ح (33.6)‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-382-‬
  • 61. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫تطلح مل ناط ح حلا طرل حلحلطلأم ، نعصل أ‬ ‫1‪yi 1  2 yi  yi ‬‬ ‫2‬ ‫)93.6( ------------------- 2 ‪ yi  x 2 ‬‬ ‫)‪( h‬‬ ‫ال (36-6)‬ ‫قر ااط ح‬ ‫إل 52.0 ‪ ، h ‬لرمنط خا‬ ‫عم‬ ‫1‪i ‬‬ ‫2‪i ‬‬ ‫3‪i ‬‬ ‫4‪i ‬‬ ‫5‪i ‬‬ ‫0‪x‬‬ ‫52.0 ‪x ‬‬ ‫5.0 ‪x ‬‬ ‫57.0 ‪x ‬‬ ‫1‪x ‬‬ ‫1 ‪ x ‬تط حخرحك 52.0 ‪h ‬‬ ‫شكل (61-6) : حللر ق حلاعر رم ال 0 ‪ x ‬إل‬ ‫ااط مأ‬ ‫قر‬ ‫لع ما ل ا لال حلخا‬ ‫أ‬ ‫0 ‪x1 ‬‬ ‫52.0 ‪x2  x1  h  0  0.25 ‬‬ ‫5.0 ‪x3  x2  h  0.25  0.25 ‬‬ ‫57.0 ‪x4  x3  h  0.5  0.25 ‬‬ ‫1 ‪x5  x4  h  0.75  0.25 ‬‬ ‫نر ال قرم نعصل أ‬ ‫تاحطت حلا طرل‬ ‫0 ‪ y (0) ‬نعصل أ‬ ‫العقده األولى : عم‬ ‫)04.6( ------------------------ 0 ‪y1 ‬‬ ‫العقده الثانية : تاحطت حلا طرل لأ قرم حلثطنم نعصل أ‬ ‫1‪y3  2 y2  y‬‬ ‫1 ‪ y2  x2 ‬‬ ‫2‬ ‫2 )52.0(‬ ‫1‪y3  2 y2  y‬‬ ‫2‬ ‫)14.6(--- 4432.0‪ y2  (0.25)2  1  y1  2.0625 y2  y3  ‬‬ ‫)52.0(‬ ‫العقده الثالثة : تاحطت حلا طرل لأ قرم حلثطلث نعصل أ‬ ‫2‪y4  2 y3  y‬‬ ‫1 ‪ y3  x3 ‬‬ ‫2‬ ‫2 )52.0(‬ ‫2‪y4  2 y3  y‬‬ ‫2‬ ‫)24.6(--- 5781.0‪ y3  (0.5)2  1  y2  2.0625 y3  y4  ‬‬ ‫)52.0(‬ ‫نعصل أ‬ ‫العقده ال ابعة : تاحطت حلا طرل لأ قرم حل حت‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-482-‬
  • 62. ‫الباب السادس‬ y 5  2y 4  y 3 2  y 4  x 4 1 2 (0.25) y5  2 y4  y3  y4  (0.75)2  1  y3  2.0625 y4  y5  0.1094 --(6.43) (0.25)2 ‫ نعصل أ‬y(1)  cosh(1) 1 ‫: عم‬ ‫حل قرم حلخطا‬ y5  cosh(1)  1 ------------------- (6.44) ‫خطم ي ح ي خا ي ادط مييل‬ ‫حل ييطتق (04.6-44.6) ي خايين ا ييطرق‬ ‫حلا ييطرق‬ ‫أ حلنع حلحطل‬ ‫ماال احطتحاط أ ص ة اصل ح‬ ‫ر‬ 1 0 0 0 0   y1   0  1 2.0625 1 0   y   0.2344  0  2     0 1 2.0625 1 0   y3    0.1875       0 0 1 2.0625 1   y4   0.1094  0  0 0 0 1   y5  cosh(1)  1     ‫ ااط مأ‬MATLAB ‫تط حخرحك ترنطاج‬ ‫تعل حأع حلا طرق‬ a=[ 1 0 0 0 0 ;1 -2.0625 1 0 0;0 1 -2.0625 1 0;0 0 1 -2.0625 1; 0 0 0 0 1]; b=[0 -0.2344 -0.1875 -0.1094 cosh(1)-1]'; y=inv(a)*b ‫نعصل أ‬  y1   0   y   0.3876   2    y3   0.05651      y4   0.5903   y5   0.5431      ___________________________________________________ -285-
  • 63. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫تمارين (1-6) :‬ ‫(1) دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم 0 ‪ y  y 2  2x  x 4 , y(0) ‬تط ي ييحخرحك طرمق ي ي‬ ‫أمييد اييال حلعييل حلحييطك‬ ‫مأيير تا أ ام ي 1.0 ‪ h ‬لييطرل حلعييل حلحقرمت ي حل ي ي عصييأ‬ ‫لحأع حلا طرل حلحلطلأم .‬ ‫(2) دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم 0 ‪ y  e y  e x  2x , y(0) ‬تط ي ييحخرحك طرمق ي ي‬ ‫2‬ ‫أمييد اييال حلعييل حلحييطك‬ ‫مأيير تا أ ام ي 50.0 ‪ h ‬لييطرل حلعييل حلحقرمت ي حلي ي عصييأ‬ ‫لحأع حلا طرل حلحلطلأم .‬ ‫)‬ ‫ر خط ح‬ ‫حلحلطلأم حآلحم ( إ حخرك‬ ‫(3) طتق لط رة مأر أ ال ال حلا طرق‬ ‫‪dy‬‬ ‫)‪i‬‬ ‫,1 ‪ y, y(0) ‬‬ ‫1.0 ‪h ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫) ‪ii‬‬ ‫,1 ‪ y, y(0) ‬‬ ‫10.0 ‪h ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫) ‪iii‬‬ ‫,0 ‪ 2ty, y(0) ‬‬ ‫1.0 ‪h ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ر خط ح )‬ ‫(4) طتق طرمق ر نج ا حط لعل ا نل حلقما حقتحرح م ( إ حخرك‬ ‫‪dy‬‬ ‫,0 ‪ 2  2y, y(0) ‬‬ ‫1.0 ‪h ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫مأ يير حي ي حللحي ي ة 1 ‪0  t ‬‬ ‫ر‬ ‫حلحلطل ييأم تط ييحخرحك طرمقي ي‬ ‫(5) د يير ع ييل نظ ييطك حلا ييطرق‬ ‫تط حخرحك 1.0 ‪h ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫,‪ 2x  3y‬‬ ‫,1.2 ‪x (0) ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫.8.2 ‪ 2x  y, y(0) ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫(6) ح حتر حلا طرل حلحلطلأم‬ ‫‪dy‬‬ ‫2‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫4‪‬‬ ‫,3 ‪ 5y  0, y(0) ‬‬ ‫5‪(0)  ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫2‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫حلحلطلأم‬ ‫م حلا طرل حلحلطلأم تنظطك ال حلا طرق‬ ‫تر ل‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ح ييحخرك طرمقي ي ر ن ييج ا ح ييط لع ييل ي ي ح حلنظ ييطك حي ي حللحي ي ة 1 ‪ 0  t ‬تطي ي ل‬ ‫ر‬ ‫خط ة اقرح م 1.0 ‪h ‬‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-682-‬
  • 64. ‫الباب السادس‬ ‫0 ‪ y  1  2xy, y(0) ‬تط ييحخرحك طرمق ي ر نييج‬ ‫(7) ديير عييل حلا طرل ي حلحلطلييأم‬ ‫ا حط ال حلررد حلثطنم تط ل خط ة 1.0 ‪. h ‬‬ ‫(8) ح ييحخرك طرمقي ي ر ن ييج ا ح ييط تطي ي ل خطي ي ة اق ييرح م 50.0 ‪ ، h ‬لع ييل نظييطك حلا ييطرق‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلأم حآلحم ح حللح ة 2 ‪0  x ‬‬ ‫ر‬ ‫, ‪y   2x  w  z‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫0 ‪y(0) ‬‬ ‫,‪v   y  z‬‬ ‫0 ‪v (0) ‬‬ ‫, ‪w  2x  vx 2  z‬‬ ‫0 ‪w(0) ‬‬ ‫,‪z   -2x  vx  w‬‬ ‫2‬ ‫0 ‪z (0) ‬‬ ‫أمد اال حلعل حلحطك‬ ‫لطرل حلعل حل ي عصأ‬ ‫2 ‪y  x 2 ,v  1, w  x 2 , z  x‬‬ ‫حلحطلم ي ي تط ي ييحخرحك طرمق ي ي ر ني ييج ا حي ييط تط ي ي ل خط ي ي ة‬ ‫(9) دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم‬ ‫10.0 ‪ h ‬ح حللح ة 01 ‪ 0  x ‬ثك اثل حلعل تمطنمط‬ ‫ر‬ ‫‪‬‬ ‫. 0 ‪y   (0.2)y   sin y  0, y(0)  , y (0) ‬‬ ‫4‬ ‫(11) ح ييحخرك طرمق ي ر نييج ا حييط تط ي ل خط ي ة اقييرح م 50.0 ‪ ، h ‬لعييل نظييطك حلا ييطرق‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلأم حآلحم ح حللح ة 3 ‪0  x ‬‬ ‫ر‬ ‫, 2 ‪y  1  v  y 2  v‬‬ ‫0 ‪y(0) ‬‬ ‫, ‪v  1- y - y  v‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1 ‪v (0) ‬‬ ‫,‪y  sin x‬‬ ‫لطرل حلعل اال حلعل حلحطك ‪v  cos x‬‬ ‫(11) دي ي يير لما ي ي ي )4(‪ y‬لأا طرل ي ي ي حلحلطلي ي ييأم 0=)21(‪y  6x  0.5x 2 , y(0)=0, y‬‬ ‫تط ييحخرحك طرمقي ي حلل يير ق حلاعيير رم تط ييحخرحك طرمقي ي حلحقرمييو حللرلي ي حلاق ييك حق ييط‬ ‫تط ل خط ة اقرحر ط 4 ‪. h ‬‬ ‫‪du‬‬‫2‬ ‫‪u‬‬ ‫3‬ ‫(21) دي يير لما ي ي )4(‪ u‬لأا طرل ي ي حلحلطلي ييأم 9=)21(‪ 7  6x , u(0)=4, u‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫2‬ ‫‪x‬‬ ‫تط ييحخرحك طرمقي ي حلل يير ق حلاعيير رم تط ييحخرحك طرمقي ي حلحقرمييو حللرلي ي حلاق ييك حق ييط‬ ‫تط ل خط ة اقرحر ط 4 ‪. h ‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-782-‬
  • 65. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫12.1 ‪ y(0.36) ‬إع ي ي ييو لما ي ي ي ‪ y‬ني ي يير‬ ‫(31) إ ح اي ي ييطل ‪ y   4 x  5 y‬اطن ي ي ي‬ ‫84.0 ,44.0 ,4.0 ‪x ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫نر 8.0 ‪x ‬‬ ‫5.01 ‪ y(0.4) ‬إع و لما ‪y‬‬ ‫‪ y  ‬اطن‬ ‫(41) إ ح اطل‬ ‫‪x y‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-882-‬