Math12 adabics62019

‫الرياضيات‬
:‫ليف‬‫أ‬�‫الت‬ ‫فريق‬
)ً‫ا‬‫(منسق‬ ‫زهران‬ ‫يناس‬‫إ‬� .‫أ‬�
‫شبانة‬ ‫قيس‬ .‫أ‬�
‫دويكات‬ ‫نسرين‬ .‫أ‬�
‫مصلح‬ ‫رهام‬.‫أ‬�
‫الفرا‬ ‫محمد‬ .‫أ‬�
12
‫والشرعي‬ ‫دبي‬‫أ‬�‫ال‬

‫فلسطين‬ ‫دولة‬ ‫في‬ ‫والتعليم‬ ‫التربية‬ ‫وزارة‬ ‫قررت‬
‫م‬ 2019 /2018 ‫الدراسي‬ ‫العام‬ ‫من‬ ً‫ا‬‫بدء‬ ‫مدارسها‬ ‫في‬ ‫الكتاب‬ ‫هذا‬ ‫تدريس‬
‫العام‬ ‫شراف‬‫ال�إ‬
‫الفنية‬ ‫الدائـــرة‬
© ‫محفوظة‬ ‫الطبع‬ ‫حقوق‬ ‫جميع‬
‫الــمناهج‬ ‫لـــجـــنـــة‬ ‫رئـــيــــس‬
‫فنــــــي‬ ‫إشـــراف‬�
‫المناهــج‬ ‫لجــنــة‬ ‫رئيس‬ ‫نائب‬
‫فــنــــــي‬ ‫تصميم‬
‫الــمــنـــاهـج‬ ‫مــركــز‬ ‫رئـــيـــس‬
‫عـلــمي‬ ‫تحكـيــم‬
‫لغــــوي‬ ‫تحـريـــر‬
:‫قراءة‬
‫صيدم‬ ‫صبري‬ .‫د‬
‫فحماوي‬ ‫كمال‬ .‫أ‬�
‫صالح‬ ‫بصــري‬ .‫د‬
‫رمضــان‬ ‫منــال‬ ،‫الفتياني‬ ‫صباح‬
‫زيــــــــــد‬ ‫ثـــروت‬ .‫أ‬�
‫غنام‬ ‫عمر‬.‫د‬
‫قاسم‬ ‫سهير‬ .‫د‬
‫حنايشة‬ ‫رابعة‬
‫النخالة‬ ‫سمية‬ .‫د‬
‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الطبعة‬
‫هـ‬ ١٤٤٠ / ‫م‬ ٢٠١٩
mohe.ps  | mohe.pna.ps  | moehe.gov.ps 
.com/MinistryOfEducationWzartAltrbytWaltlym
‫فاكس‬  +970-2-2983250 | ‫هاتف‬  +970-2-2983280
‫الـمـعـاهــد‬ ‫شــارع‬ ،‫المـاصيــون‬ ‫حي‬
‫فلسطين‬ – ‫الله‬ ‫رام‬ – 719 ‫ب‬ .‫ص‬
 pcdc.edu.ps |  pcdc.mohe@gmail.com
‫الجنوبية‬ ‫للمحافظات‬ ‫متابعة‬

‫تــقــديــم‬
‫ـذي‬‫ـ‬‫ال‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫م‬‫أ‬�‫ال‬ ،‫ة‬‫أ‬�‫ـ‬‫ـ‬‫النش‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫واقعي‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫إل‬� ‫ـتند‬‫ـ‬‫المس‬ ،‫ـة‬‫ـ‬‫الحال‬ ‫ـرورات‬‫ـ‬‫ض‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫الناب‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫العلم‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫العقلان‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫المدخ‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫ن‬‫أ‬�‫ب‬ ‫ـوي‬‫ـ‬‫الترب‬ ‫ـلاح‬‫ـ‬‫ص‬ ‫ال�إ‬ ‫ـف‬‫ـ‬‫يتص‬
،‫ـة‬‫ـ‬‫الاجتماعي‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫والاحتياج‬ ‫ـطينية‬‫ـ‬‫الفلس‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الخصوصي‬ ‫ـاكاة‬‫ـ‬‫مح‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـطيني‬‫ـ‬‫الفلس‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫التعليم‬ ‫ـام‬‫ـ‬‫للنظ‬ ‫ـورة‬‫ـ‬‫المط‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الوطني‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الرؤي‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـس‬‫ـ‬‫انعك‬
‫ـوق‬‫ـ‬‫الحق‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫قائ‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫اجتماع‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫عق‬ ‫ـلال‬‫ـ‬‫خ‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ،‫ـون‬‫ـ‬‫القان‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫دول‬ ‫ـاء‬‫ـ‬‫بن‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـاركة‬‫ـ‬‫والمش‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المواطن‬ ‫ـوم‬‫ـ‬‫مفه‬ ‫ـزز‬‫ـ‬‫تع‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫قي‬ ‫ـاء‬‫ـ‬‫إرس‬� ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫والعم‬
،‫ـي‬‫ـ‬‫مان‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـس‬‫ـ‬‫ويلام‬ ،‫ـال‬‫ـ‬‫م‬‫آ‬�‫ال‬ ‫ـق‬‫ـ‬‫يحق‬ ‫ـلاح‬‫ـ‬‫إص‬� ‫ـج‬‫ـ‬‫برنام‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫صياغ‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـهم‬‫ـ‬‫ويس‬ ،‫ـا‬‫ـ‬‫دواته‬‫أ‬�‫و‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫تراكيبه‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ويع‬ ،‫ـا‬‫ـ‬‫معه‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫المواط‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫يتفاع‬ ،‫ـات‬‫ـ‬‫والواجب‬
.‫ـداف‬‫ـ‬‫ه‬‫أ‬�‫وال‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫الغاي‬ ‫ـق‬‫ـ‬‫لتحقي‬ ‫ـو‬‫ـ‬‫ويرن‬
‫ـة‬‫ـ‬‫خط‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ضم‬ ‫ـاءت‬‫ـ‬‫ج‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫فق‬ ،‫ـه‬‫ـ‬‫ومفاهيم‬ ‫ـده‬‫ـ‬‫قواع‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫ل‬ ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫علم‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫بوصفه‬ ،‫ـوي‬‫ـ‬‫الترب‬ ‫ـهد‬‫ـ‬‫المش‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫تطوي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫التربي‬ ‫داة‬‫أ‬� ‫ـج‬‫ـ‬‫المناه‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫ولم‬
‫ـداد‬‫ـ‬‫ع‬ ‫وال�إ‬ ،‫ـدار‬‫ـ‬‫اقت‬ ‫ـكل‬‫ـ‬‫ب‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫النوعي‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫تحدي‬ ‫ـاوز‬‫ـ‬‫تج‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـهم‬‫ـ‬‫يس‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫بم‬ ،‫ـا‬‫ـ‬‫جوانبه‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫بجمي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫التعلمي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫التعليمي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫العملي‬ ‫ركان‬‫أ‬� ‫ـت‬‫ـ‬‫عالج‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫متكامل‬
،‫ـاء‬‫ـ‬‫والانتم‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫صال‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـث‬‫ـ‬‫والبح‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫العولم‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫بي‬ ‫ـتت‬‫ـ‬‫التش‬ ‫ـكالية‬‫ـ‬‫إش‬�‫ب‬ ‫ـورط‬‫ـ‬‫الت‬ ‫دون‬ ،‫ـة‬‫ـ‬‫المعرف‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫عص‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫متطلب‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مواجه‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـادر‬‫ـ‬‫ق‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫لجي‬
.‫ـه‬‫ـ‬‫ونعظم‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫نحمل‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫وط‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫بالرفاهي‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫وينع‬ ،‫ـة‬‫ـ‬‫وعدال‬ ‫ـانية‬‫ـ‬‫إنس‬� ‫ـر‬‫ـ‬‫كث‬‫أ‬� ‫ـه‬‫ـ‬‫في‬ ‫ـش‬‫ـ‬‫العي‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫يك‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫عال‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الفاعل‬ ‫ـاركة‬‫ـ‬‫المش‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫إل‬� ‫ـال‬‫ـ‬‫والانتق‬
‫ـد‬‫ـ‬‫لعدي‬ ٍ‫ع‬‫وا‬ ‫ـتحضار‬‫ـ‬‫وباس‬ ،‫ـا‬‫ـ‬‫إنتاجه‬� ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫يك‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫ـب‬‫ـ‬‫يج‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫لم‬ ً‫ا‬‫ـول‬‫ـ‬‫وص‬ ،‫ـة‬‫ـ‬‫المعرف‬ ‫ـي‬‫ـ‬ّ‫ق‬‫تل‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نمطي‬ ‫ـاوز‬‫ـ‬‫تج‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـرص‬‫ـ‬‫الح‬ ‫ـق‬‫ـ‬‫منطل‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫وم‬
‫ـة‬‫ـ‬‫رؤي‬ ‫ـق‬‫ـ‬‫وف‬ ‫ـطينية‬‫ـ‬‫الفلس‬ ‫ـج‬‫ـ‬‫المناه‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫تطوي‬ ‫ـاء‬‫ـ‬‫ج‬ ،‫ـاة‬‫ـ‬ّ‫المتوخ‬ ‫ـة‬‫ـ‬ّ‫ي‬‫والفكر‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المعرفي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫وللبني‬ ،‫ـد‬‫ـ‬‫نري‬ ‫ـذي‬‫ـ‬‫ال‬ ‫ـب‬‫ـ‬‫للطال‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫رؤيتن‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫تحك‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الت‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫المنطلق‬
‫ـة‬‫ـ‬‫الكفيل‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫المتطلب‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫وتلبي‬ ،‫ـا‬‫ـ‬‫والتكنولوجي‬ ،‫ـة‬‫ـ‬‫والثقاف‬ ،‫ـم‬‫ـ‬‫والعل‬ ،‫ـم‬‫ـ‬‫للقي‬ ‫ـك‬‫ـ‬‫ممتل‬ ‫ـطيني‬‫ـ‬‫فلس‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫مجتم‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫إل‬� ‫ـول‬‫ـ‬‫الوص‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫قوام‬ ‫ـار‬‫ـ‬‫إط‬�‫ب‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫محكوم‬
،‫ـات‬‫ـ‬‫والمرجعي‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫والمنطلق‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫والغاي‬ ‫ـداف‬‫ـ‬‫ه‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫بي‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫التناغ‬ ‫ـولا‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫ليك‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫ل‬ ‫كان‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـو‬‫ـ‬‫وه‬ ،‫ـة‬‫ـ‬‫واقع‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫حقيق‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الرؤي‬ ‫ـذه‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـق‬‫ـ‬‫تحقي‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫بجع‬
.ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫وفكري‬ ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫وتربوي‬ ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫معرفي‬ ‫ـوب‬‫ـ‬‫المطل‬ ‫ـق‬‫ـ‬‫تحق‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫توليف‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ً‫ا‬‫ـر‬‫ـ‬‫تعبي‬ ‫ـاج‬‫ـ‬‫النت‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫ليك‬ ‫ـت؛‬‫ـ‬‫وتكامل‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫آلف‬�‫ت‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫فق‬
‫ـوازن‬‫ـ‬‫لت‬ ‫ـيس؛‬‫ـ‬‫س‬‫أ‬�‫الت‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫م‬‫أ‬�‫الم‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫دوره‬ ‫ـاج‬‫ـ‬‫المنه‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ة‬ّ‫ر‬‫ـر‬‫ـ‬‫المق‬ ‫ـب‬‫ـ‬‫الكت‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫جزئي‬ ‫ـذ‬‫ـ‬‫خ‬‫أ‬� ‫ز‬ّ‫ز‬‫ـ‬‫ـ‬‫يع‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫بم‬ ،‫ـر‬‫ـ‬‫التطوي‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫له‬ ‫ـر‬‫ـ‬ّ‫ط‬‫تؤ‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫مرجعي‬ ‫ـة‬‫ـ‬ّ‫م‬‫ث‬
‫ـا‬‫ـ‬‫طليعته‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫وف‬ ،‫ـا‬‫ـ‬‫إليه‬� ‫ـتناد‬‫ـ‬‫الاس‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫ت‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الت‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫المرجعي‬ ‫ـاءت‬‫ـ‬‫ج‬ ‫ـار‬‫ـ‬‫ط‬ ‫ال�إ‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫وف‬ ،ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫ووطني‬ ،ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫وفكري‬ ،ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫معرفي‬ ‫ـوب‬‫ـ‬‫المطل‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫بي‬ ‫ّاق‬‫ل‬‫ـ‬‫ـ‬‫خ‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫إبداع‬�
‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫ذاته‬ ‫ـس‬‫ـ‬‫وتعك‬ ،‫ـد‬‫ـ‬‫الجه‬ ‫ـه‬‫ـ‬ّ‫لتوج‬ ‫ول؛‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الوطن‬ ‫ـاج‬‫ـ‬‫المنه‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫وثيق‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫إل‬� ‫ـة‬‫ـ‬‫ضاف‬ ‫بال�إ‬ ،‫ـطيني‬‫ـ‬‫الفلس‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ساس‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫والقان‬ ‫ـتقلال‬‫ـ‬‫الاس‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫وثيق‬
.‫ـات‬‫ـ‬‫المخرج‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫مجم‬
،‫ـق‬‫ـ‬‫والتدقي‬ ،‫ـة‬‫ـ‬‫والمراجع‬ ‫ـف‬‫ـ‬‫لي‬‫أ‬�‫الت‬ ‫ـرق‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـا؛‬‫ـ‬‫جميعه‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫العامل‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫للطواق‬ ‫ـكر‬‫ـ‬‫الش‬ ‫ـاء‬‫ـ‬‫إزج‬� ‫ـدو‬‫ـ‬‫يغ‬ ،‫ـد‬‫ـ‬‫الجه‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المرحل‬ ‫ـذه‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـاز‬‫ـ‬‫إنج‬� ‫ـع‬‫ـ‬‫وم‬
‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫واثق‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ونح‬ ،‫ـر‬‫ـ‬‫التطوي‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـث‬‫ـ‬‫الحدي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مرحل‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫تجاوزن‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫فق‬ ،‫ـه‬‫ـ‬‫تقديم‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫يمك‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫ق‬‫أ‬� ‫ـا‬‫ـ‬‫العلي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫وللجن‬ ،‫ـم‬‫ـ‬‫والتصمي‬ ،‫ـراف‬‫ـ‬‫ش‬ ‫وال�إ‬
.‫ـل‬‫ـ‬‫العم‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الحال‬ ‫ـذه‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫تواص‬
‫والتعليم‬ ‫التربية‬ ‫وزارة‬
‫الفلسطينية‬ ‫الــمـنـاهـج‬ ‫مــركــز‬
‫م‬٢٠١٨ / ‫آب‬�

‫مــقــدمــة‬
،‫ـرعي‬‫ـ‬‫والش‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫دب‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـوي‬‫ـ‬‫الثان‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الثان‬ ‫ـف‬‫ـ‬‫للص‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫الرياضي‬ ‫ـاب‬‫ـ‬‫كت‬ ‫ـزاء‬‫ـ‬‫ع‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫ولطلبتن‬ ،‫ـات‬‫ـ‬‫والمعلم‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫المعلمي‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫لزملائن‬ ‫ـدم‬‫ـ‬‫نق‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫ـرنا‬‫ـ‬‫يس‬
‫ـج‬‫ـ‬‫المناه‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫تطوي‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫إل‬� ‫ـة‬‫ـ‬‫الهادف‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫والدراس‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الراجع‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫التغذي‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ً‫ـاء‬‫ـ‬‫بن‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫تطويره‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫ت‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫والت‬ ،‫ـات‬‫ـ‬‫الرياضي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫لوثيق‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫العريض‬ ‫ـوط‬‫ـ‬‫الخط‬ ‫ـق‬‫ـ‬ْ‫ف‬َ‫و‬
.‫ـة‬‫ـ‬‫ودولي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫وطني‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫لمعايي‬ ‫ـك‬‫ـ‬‫ذل‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـتندين‬‫ـ‬‫مس‬ ،‫ـرين‬‫ـ‬‫والعش‬ ‫ـادي‬‫ـ‬‫الح‬ ‫ـرن‬‫ـ‬‫الق‬ ‫ـارات‬‫ـ‬‫لمه‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫ومواكبته‬ ،‫ـطينية‬‫ـ‬‫الفلس‬
،‫ـداع‬‫ـ‬‫ب‬ ‫وال�إ‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫للتفكي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫للطلب‬ ‫ـال‬‫ـ‬‫المج‬ ‫ـاح‬‫ـ‬‫إفس‬� ‫ـل‬‫ـ‬‫ج‬‫أ‬� ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ،ٍ‫ة‬‫ـ‬‫ـ‬‫حياتي‬ ٍ
‫ـياقات‬‫ـ‬‫وس‬ ٍ
‫ـات‬‫ـ‬‫وتطبيق‬ ٍ‫ة‬‫ـط‬‫ـ‬‫نش‬‫أ‬� ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ،‫ـاب‬‫ـ‬‫الكت‬ ‫ـوى‬‫ـ‬‫محت‬ ‫ـتمل‬‫ـ‬‫اش‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫لق‬
. ‫ـات‬‫ـ‬‫والتعميم‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫والنظري‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫للمفاهي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫المنطق‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫التسلس‬ ‫ـاة‬‫ـ‬‫مراع‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫ت‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫وق‬ ،‫ـاة‬‫ـ‬‫الحي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫الرياضي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫همي‬‫أ‬� ‫ـراز‬‫ـ‬‫ب‬ ‫ول�إ‬
:‫هي‬ ،‫وحدات‬ ‫اربعة‬ ‫على‬ ‫الكتاب‬ ‫اشتمل‬ ‫وقد‬
‫ـة‬‫ـ‬‫والقيم‬ ‫ـتقاق‬‫ـ‬‫الاش‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫وقواع‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫التغي‬ ‫ـط‬‫ـ‬‫متوس‬ :‫ـة‬‫ـ‬‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫المفاهي‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫عرض‬ ‫ـث‬‫ـ‬‫حي‬ )‫ـل‬‫ـ‬‫والتكام‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫(التفاض‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫الوح‬

.‫قوانينه‬ ‫وبعض‬ ‫المحدود‬ ‫والتكامل‬ ،‫بالتفاضل‬ ‫التكامل‬ ‫ربط‬ ‫ثم‬ ،‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫قترانات‬ ‫لل�إ‬ ‫القصوى‬
‫ـل‬‫ـ‬‫وح‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الضرب‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫والنظي‬ ‫ـددات‬‫ـ‬‫المح‬ ،‫ـا‬‫ـ‬‫عليه‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫والعملي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المصفــوفــ‬ ‫ـف‬‫ـ‬‫تعري‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫فت‬ )‫ـات‬‫ـ‬‫(المصفوف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الثاني‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫الوح‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫م‬‫أ‬�
.‫ـات‬‫ـ‬‫المصفوف‬ ‫ـتخدام‬‫ـ‬‫باس‬ ‫ـادلات‬‫ـ‬‫المع‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نظم‬‫أ‬�
‫ـادلات‬‫ـ‬‫المع‬ ‫ـض‬‫ـ‬‫بع‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫ح‬ ‫ـك‬‫ـ‬‫وكذل‬ ‫ـادلات‬‫ـ‬‫المع‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫ح‬ ‫ـرق‬‫ـ‬‫ط‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫الوح‬ ‫ـتعرضت‬‫ـ‬‫اس‬ )‫ـلات‬‫ـ‬‫والمتسلس‬ ‫ـادلات‬‫ـ‬‫(المع‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الثالث‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫الوح‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫وف‬
.‫ـا‬‫ـ‬‫ومجموعه‬ ‫ـلات‬‫ـ‬‫المتسلس‬ ‫ـواع‬‫ـ‬‫ن‬‫أ‬� ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـرف‬‫ـ‬‫والتع‬ ،‫ـة‬‫ـ‬‫واللوغارتمي‬ ‫ـية‬‫ـ‬‫س‬‫أ‬�‫ال‬
‫ـع‬‫ـ‬‫التوزي‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫منحن‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫تح‬ ‫ـاحة‬‫ـ‬‫المس‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫معرف‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـداول‬‫ـ‬‫الج‬ ‫ـتخدام‬‫ـ‬‫واس‬ ،‫ـة‬‫ـ‬‫المعياري‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫العلام‬ ‫ـرض‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫فت‬ )‫ـاء‬‫ـ‬‫(الاحص‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الرابع‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫الوح‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫م‬‫أ‬�
.‫ـا‬‫ـ‬‫عليه‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫حياتي‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫وتطبيق‬ ‫ـاري‬‫ـ‬‫المعي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الطبيع‬
‫ـط‬‫ـ‬‫يرب‬ ، ٍ‫ـي‬‫ـ‬‫واقع‬ ٍ‫ـطيني‬‫ـ‬‫فلس‬ ٍ‫ـاج‬‫ـ‬‫منه‬ ‫ـراج‬‫ـ‬‫إخ‬�‫ب‬ ،‫ـة‬‫ـ‬‫كاف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫التعليمي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫العملي‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫عناص‬ ‫ـب‬‫ـ‬‫مطال‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫حققن‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫ق‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫العم‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫به‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫نك‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫ـى‬‫ـ‬‫نتمن‬
‫ـة‬‫ـ‬‫التغذي‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫تقدي‬ ،‫ـن‬‫ـ‬‫الوط‬ ‫ـدارس‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـرات‬‫ـ‬‫والمدي‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫والمديري‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫والمعلم‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫المعلمي‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫زملائن‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫آملي‬� ،ٍ‫ة‬‫ـ‬‫ـ‬‫حياتي‬ ٍ‫ة‬‫ـ‬‫ـ‬‫رياضي‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫بظواه‬ ‫ـب‬‫ـ‬‫الطال‬
.‫ـق‬‫ـ‬‫التطبي‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫وبع‬ ،‫ـدان‬‫ـ‬‫المي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫تطبيق‬ ‫ـاء‬‫ـ‬‫ثن‬‫أ‬�‫و‬ ،‫ـرر‬‫ـ‬‫المق‬ ‫ـاب‬‫ـ‬‫الكت‬ ‫ـق‬‫ـ‬‫تطبي‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫قب‬ ‫ـج‬‫ـ‬‫المناه‬ ‫ـز‬‫ـ‬‫لمرك‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الراجع‬
‫التوفيق‬ ‫ولي‬ ‫والله‬
‫ليف‬‫أ‬�‫الت‬ ‫فريق‬

‫المحتويات‬
4
Rate Of Change
‫التغير‬ ‫متوسط‬ ) ١ - 1 (
10
First Derivative
‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫المشتقة‬ ) 2 - 1 (
14
Derivative Rules
‫قواعدالاشتقاق‬ ) 3 - 1 (
٢٠ Extreme Values
‫ن‬‫قترا‬ ‫لل�إ‬ ‫القصوى‬ ‫القيم‬ ) ٤ - 1 (
٢٥
Indefinite Integral
‫المحدود‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬ ) ٥ - 1 (
٣١
Definite Integral ‫المحدود‬ ‫التكامل‬ ) ٦ - 1 (
٣٨
Chapter Exercises
‫عـــــــامـــــــة‬ ‫تمـــــــاريــــن‬ ) ٧ - 1 (
٤٣ Matrix
‫المصفــوفــة‬ ) ١ - 2 (
٤٩
Matrix Operations
‫المصفوفات‬ ‫على‬ ‫العمليات‬ ) 2 - 2 (
٥٨
Matrix Multiplication
‫المصفوفات‬ ‫ضرب‬ ) 3 - 2 (
٦٣
Matrix Inverse
‫ة‬‫الثاني‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المربعة‬ ‫للمصفوفة‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ) 4 - 2 (
٧١
Cramer`s Rule
‫ر‬‫كريم‬ ‫قاعدة‬ ‫باستخدام‬ ‫خطيتين‬ ‫معادلتين‬ ‫من‬ ‫نظام‬ ‫حل‬ ) 5 - 2 (
٧٥
Chapter Exercises
‫ة‬‫عـــــــامـــــــ‬ ‫تمـــــــاريــــن‬ ) 6 - 2 (
٧٩
Exponent Equations
‫سية‬‫أ‬�‫ال‬ ‫المعادلات‬ ) ١ - ٣ (
٨٢
Logarithmic Equations
‫اللوغاريتمية‬ ‫المعادلات‬ ) ٢ - ٣ (
٨٥
Series
‫المتسلسلات‬ ) ٣ - ٣ (
٨٩
Arithmetic Series
‫الحسابية‬ ‫المتسلسلة‬ ) ٤ - ٣ (
٩٥
Geometric Series
‫الهندسية‬ ‫المتسلسلة‬ ) ٥ - ٣ (
٩٩
Chapter Exercises
‫عـــــــامـــــــة‬ ‫تمـــــــاريــــن‬ ) ٦ - ٣ (
١٠٣
Standard Score
‫المعيارية‬ ‫العلامة‬ ) ١ - 4 (
١٠٨ Standard Normal Distribution
‫المعياري‬ ‫الطبيعي‬ ‫وزيع‬ّ‫ت‬‫ال‬ ) 2 - 4 (
١١٤
Chapter Exercises
‫عـــــــامـــــــة‬ ‫تمـــــــاريــــن‬ ) 3 - 4 (
‫والتكامل‬
‫التفاضل‬
‫والمتسلسلات‬
‫المعادلات‬
‫المصفوفات‬
‫حصاء‬
‫إ‬
�‫ال‬

‫الوحــــــدة‬
‫ّكامل‬‫ت‬‫وال‬ ‫ّفاضل‬‫ت‬‫ال‬
Differentiation and Integration
1
:‫ناقش‬‫أ‬�‫و‬ ‫فكر‬‫أ‬�
‫للمتحف؟‬ ‫الرئيسي‬ ‫للمدخل‬ ‫باب‬ ‫لصناعة‬ ‫ازم‬ّ‫ل‬‫ال‬ ‫الزجاج‬ ‫مساحة‬ ‫حساب‬ ‫يمكن‬ ‫كيف‬
2

3
1
1 .
.)‫ق(س‬ ‫للاقتران‬ ‫التغير‬ ‫متوسط‬ ‫إيجاد‬�
2
2 .
.‫المنحنى‬ ‫ذلك‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫بنقطتين‬ ّ‫ر‬‫الما‬ )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫لمنحنى‬ ‫القاطع‬ ‫ميل‬ ‫إيجاد‬�
3
3 .
.)‫ق(س‬ ‫للاقتران‬ ‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫المشتقة‬ ‫مفهوم‬ ‫على‬ ‫التعرف‬
4
4 .
.)‫ق(س‬ ‫للاقتران‬ ‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫المشتقة‬ ‫إيجاد‬� ‫في‬ ‫الاشتقاق‬ ‫قواعد‬ ‫استخدام‬
5
5 .
.‫مجاله‬ ‫في‬ )‫ق(س‬ ‫للاقتران‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫مجالات‬ ‫تحديد‬
6
6 .
.‫نوعها‬ ‫وتحديد‬ ‫مجاله‬ ‫في‬ )‫ق(س‬ ‫للاقتران‬ ‫المحلية‬ ‫القصوى‬ ‫القيم‬ ‫تعيين‬
7
7 .
.‫التكامل‬ ‫مفهوم‬ ‫على‬ ‫التعرف‬
8
8 .
.‫المحدود‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬ ‫إيجاد‬�
9
9 .
.‫المختلفة‬ ‫التكاملات‬ ‫ايجاد‬ ‫في‬ ‫المحدود‬ ‫التكامل‬ ‫خصائص‬ ‫استخدام‬
‫يكونوا‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫نشطتها‬‫أ‬� ‫مع‬ ‫والتفاعل‬ ‫الوحدة‬ ‫هذه‬ ‫دراسة‬ ‫من‬ ‫نتهاء‬ ‫ال�إ‬ ‫بعد‬ ‫الطلبة‬ ‫من‬ ‫يتوقع‬
:‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫خلال‬ ‫من‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫العمل‬ ‫الحياة‬ ‫في‬ ‫والتكامل‬ ‫التفاضل‬ ‫مبادئ‬ ‫توظيف‬ ‫على‬ ‫قادرين‬

4
‫التغير‬ ‫متوسط‬
)١ - ١(
Rate Of Change
‫تعريف‬
)١( ‫نشاط‬
‫ـتوى‬‫ـ‬‫مس‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـوت‬‫ـ‬‫الزي‬ ‫ـواع‬‫ـ‬‫ن‬‫أ‬� ‫ـود‬‫ـ‬‫ج‬‫أ‬� ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـطيني‬‫ـ‬‫الفلس‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫الزي‬ ّ‫د‬‫ـ‬‫ـ‬‫يع‬
.‫ـطينية‬‫ـ‬‫الفلس‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫للعائل‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫اقتصادي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫دعام‬ ‫ل‬ّ‫ك‬‫ـ‬‫ـ‬‫ويش‬ ،‫ـم‬‫ـ‬‫العال‬
‫ـت‬‫ـ‬‫والزي‬ ،‫ـون‬‫ـ‬‫الزيت‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـطين‬‫ـ‬‫فلس‬ ‫ـاج‬‫ـ‬‫إنت‬� ‫ـاه‬‫ـ‬‫دن‬‫أ‬� ‫ـدول‬‫ـ‬‫الج‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫يرص‬
‫مــن‬ ‫وردت‬ ‫كمــا‬ ،‫م‬2014‫و‬ ‫م‬2013 ‫عامــي‬ ‫فــي‬ ‫المســتخرج‬
.‫المركــزي‬ ‫حصــاء‬ ‫ال�إ‬ ‫جهــاز‬
)‫بالطن‬ ‫(الكميات‬ ‫م‬2014‫و‬ ‫م‬2013 ‫العامين‬ ‫في‬ ‫منه‬ ‫المستخرج‬ ‫يت‬ّ‫ز‬‫ال‬ ‫وكمية‬ ‫يتون‬ّ‫ز‬‫ال‬ ‫كمية‬
:‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ 2
‫س‬ ‫ِلى‬‫إ‬� 1
‫س‬ ‫من‬ ‫س‬ ‫وتغيرت‬ ،ً‫ا‬‫اقتران‬ )‫ق(س‬ =‫ص‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫∆س‬ ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ ،١
‫س‬ − ٢
‫س‬ = ‫س‬ ‫قيمة‬ ‫في‬ ‫التغير‬
‫∆ص‬ ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ )1
‫ق(س‬ − )2
‫ق(س‬ =١
‫ص‬ − ٢
‫ص‬ = ‫ص‬ ‫قيمة‬ ‫في‬ ‫التغير‬
‫السنة‬
‫م‬2013
‫م‬2014
‫العامين‬ ‫بين‬ ‫التغير‬
‫س‬
‫يتون‬ّ‫ز‬‫ال‬ ‫كمية‬
66000
101000
35000
‫ص‬
‫المستخرج‬ ‫يت‬ّ‫ز‬‫ال‬ ‫كمية‬
18000
25000
_________
.‫طن‬ 35000 ‫يساوي‬ )‫م‬ 2014( ‫و‬ )‫م‬ 2013( ‫عامي‬ ‫بين‬ ‫يتون‬ّ‫ز‬‫ال‬ ‫كمية‬ ‫في‬ ‫التغير‬
.________________ ‫يساوي‬ )‫م‬2014(‫و‬ )‫م‬ 2013( ‫عامي‬ ‫بين‬ ‫المستخرج‬ ‫يت‬ّ‫ز‬‫ال‬ ‫كمية‬ ‫في‬ ‫التغير‬

5
)١( ‫مثــال‬
‫تعريف‬
)2( ‫نشاط‬
:‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ 2
‫س‬ ‫ِلى‬‫إ‬� 1
‫س‬ ‫من‬ ‫س‬ ‫وتغيرت‬ ،ً‫ا‬‫اقتران‬ )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
٢
‫س‬ ≠١
‫س‬ ،
)1
‫ق(س‬ − )2
‫ق(س‬
١
‫س‬ − ٢
‫س‬
= ١
‫ص‬ − ٢
‫ص‬
١
‫س‬ − ٢
‫س‬
=
‫∆ص‬
‫∆س‬
= )‫ق(س‬ ‫للاقتران‬ ‫التغير‬ ‫متوسط‬
.4 =2
‫س‬ ‫إلى‬� 1 =1
‫س‬ ‫من‬ ‫س‬ ‫قيمة‬ ‫تتغير‬ ‫عندما‬ ‫س‬ ‫في‬ ‫التغير‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
.__________________________ =١
‫س‬ − ٢
‫س‬ = ‫∆س‬
‫ص؟‬ ‫قيمة‬ ‫في‬ ‫التغير‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،٢= ‫∆س‬ ،١ = ١
‫س‬ ‫وكانت‬ ،٢
‫س‬٢-٥ = )‫ق(س‬ = ‫ص‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
:ّ‫ل‬‫الح‬
١
‫س‬ − ٢
‫س‬ = ‫∆س‬
١−٢
‫س‬ = ٢
٣ =٢
‫س‬
)1(‫ق‬ − )3(‫ق‬ = )1
‫ق(س‬ − )2
‫ق(س‬ = ‫∆ص‬
)‫(لماذا؟‬ )2
)1(2-5( − )2
)3(2-5( =
٣ − ١٣- =
16- =
)١ ‫المثال‬ ‫(في‬ ‫؟‬1 ‫يساوي‬ ‫س‬ ‫في‬ ‫التغير‬ ‫قيمة‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫ص‬ ‫قيمة‬ ‫في‬ ‫التغير‬ ‫ما‬ :‫ناقش‬‫أ‬�

6
:‫التغير‬ ‫لمتوسط‬ ّ‫الهندسي‬ ‫المفهوم‬
‫في‬ )‫ق(س‬ ‫منحنى‬ ‫ل‬ ‫المستقيم‬ ‫قطع‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
))2
‫ق(س‬،2
‫(س‬ ،))1
‫ق(س‬ ،1
‫(س‬ ‫النقطتين‬
‫يساوي‬ ‫ل‬ ‫القاطع‬ ‫المستقيم‬ ‫ميل‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬
)1
‫ق(س‬ − )2
‫ق(س‬
١
‫س‬ − ٢
‫س‬
=
‫∆ص‬
‫∆س‬
= ‫التغير‬ ‫متوسط‬
)٢( ‫مثــال‬
. ٥،٣ ‫في‬ ‫س‬ ‫تتغير‬ ‫عندما‬ ،٥ +٢
‫س‬ = )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫في‬ ‫التغير‬ ‫متوسط‬ ُ
‫حسب‬‫أ‬�
14 = 5 +2
)3( = )3(‫ق‬
30 = 5 +2
)5( = )5(‫ق‬
)٣(‫ق‬ − )٥(‫ق‬
٣ − ٥
= ١
‫ص‬ − ٢
‫ص‬
١
‫س‬ − ٢
‫س‬
= ‫للاقتران‬ ‫التغير‬ ‫متوسط‬
١٤ − ٣٠
٢
=
٨ =
))1
‫ق(س‬ ،1
‫(س‬
‫ل‬
))2
‫ق(س‬،2
‫(س‬
١
‫ص‬−٢
‫ص‬ = ‫∆ص‬
١
‫س‬−٢
‫س‬ = ‫س‬∆
)‫ق(س‬
‫س‬
‫ص‬

7
:‫الرسم‬ ‫من‬
٣ = )1(‫ق‬
٨ = )٩(‫ق‬
)١(‫ق‬ − )٩(‫ق‬
١ − ٩
=
)1
‫ق(س‬ − )2
‫ق(س‬
١
‫س‬ − ٢
‫س‬
= ‫القاطع‬ ‫ميل‬
٥
٨
٣ − ٨
١ − ٩
٥
٨
‫يساوي‬ )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫لمنحنى‬ ‫القاطع‬ ‫ميل‬ ‫إذن‬�
‫ق(س)؟‬ ‫للاقتران‬ ‫التغير‬ ‫متوسط‬ ‫فما‬ ،)0 ،2(‫ب‬ ، )6، 4-( ‫النقطتين‬ ‫في‬ )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫منحنى‬ ‫ل‬ ‫المستقيم‬ ‫قطع‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
)1
‫ق(س‬ − )2
‫ق(س‬
١
‫س‬ − ٢
‫س‬
=
‫∆ص‬
‫∆س‬
= ‫التغير‬ ‫متوسط‬
١
‫ص‬ − ٢
‫ص‬
١
‫س‬ − ٢
‫س‬
=
٠ − ٦
٢ − ٤-
=
1- =
٦
٦-
=
)٤( ‫مثــال‬
)٣( ‫مثــال‬
.‫المجاور‬ ‫بالشكل‬ ‫الممثل‬ )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫لمنحنى‬ ‫القاطع‬ ‫ميل‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
=
)٨ ،٩(
)٣ ،١(
‫س‬
‫ص‬
)‫س‬(‫ق‬ ‫ى‬‫ن‬‫ح‬‫ن‬‫م‬

8
)٥( ‫مثــال‬
‫التغير‬ ‫متوسط‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� ،10 ‫يساوي‬ ]7 ،3[ ‫على‬ )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫تغير‬ ‫متوسط‬ ‫وكان‬ ،4+ )‫ق(س‬2 =)‫(س‬ ‫هـ‬ ‫كان‬ ‫إذا‬�
.‫ذاتها‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ )‫(س‬ ‫هـ‬ ‫للاقتران‬
)٣(‫ق‬ − )٧(‫ق‬
٣ − ٧
= )‫ق(س‬ ‫للاقتران‬ ‫التغير‬ ‫متوسط‬
10 =
)٣(‫هـ‬ − )٧(‫هـ‬
٣ − ٧
= )‫هـ(س‬ ‫للاقتران‬ ‫التغير‬ ‫متوسط‬
)٤ + )٣(‫ق‬٢( − )٤ + )٧(‫ق‬٢(
٣ − ٧
=
)٣(‫ق‬٢ − )٧(‫ق‬٢
٣ − ٧
=
)
)٣(‫ق‬ − )٧(‫ق‬
٣ − ٧
(2 =
10⨯2 =
20 =

9

) ١ - ١ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬
١
٢
٣
٤
٥
٦
.2
‫س‬ ‫ِلى‬‫إ‬� 1
‫س‬ ‫من‬ ‫س‬ ‫تتغير‬ ‫عندما‬ ‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫الاقترانات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫التغير‬ ‫متوسط‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
.3 =2
‫س‬ ، 0=1
‫س‬ ، ‫س‬٢ − ٦ = )‫ق(س‬ )‫أ‬�
.5 =2
‫س‬ ، 2=1
‫س‬ ٢ + ٢
‫س‬ = )‫هـ(س‬ )‫ب‬
.٦ =2
‫س‬ ، 1- =1
‫س‬ ٢+‫س‬ ٣
= )‫ل(س‬ )‫جـ‬
،٣ ‫ـاوي‬‫ـ‬‫يس‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫ميل‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ ،)4 ،‫ــ‬‫ـ‬‫(ج‬ ،)٢-،1(‫ـن‬‫ـ‬‫النقطتي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ )‫ق(س‬ ‫ـران‬‫ـ‬‫الاقت‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫منحن‬ ‫ل‬ ‫ـتقيم‬‫ـ‬‫المس‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫يقط‬
.‫ــ‬‫ـ‬‫ج‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫الثاب‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫قيم‬ ُ‫د‬‫ـ‬‫ـ‬‫ج‬‫أ‬�
‫الاقتران‬ ‫تغير‬ ‫متوسط‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� ،5 ‫يساوي‬ ]4 ،2[ ‫في‬ )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫تغير‬ ‫متوسط‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
.‫الفترة‬ ‫تلك‬ ‫في‬ 2− )‫ق(س‬3 = )‫هـ(س‬
‫؟‬ ‫أ‬� ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� ،9- ‫يساوي‬ ]3، 1[ ‫في‬ ‫س‬5−2
‫س‬‫أ‬� =)‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫تغير‬ ‫متوسط‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
5 =2
‫س‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫إل‬� 3 =1
‫س‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫س‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫تتغي‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫عندم‬ )‫ق(س‬ ‫ـران‬‫ـ‬‫الاقت‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫التغي‬ ‫ـط‬‫ـ‬‫متوس‬ ‫وكان‬ ،8= )3(‫ق‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
.)5( ‫ق‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫ج‬‫أ‬� ،2- ‫ـاوي‬‫ـ‬‫يس‬
]٢ ،٦-[ ‫الفترة‬ ‫على‬ )‫ق(س‬ ‫منحنى‬ ‫المجاور‬ ‫الشكل‬ ‫يمثل‬
))٢(‫ق‬ ،٢( ‫و‬ ))٦-(‫ق‬،٦-( ‫بنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬ ‫القاطع‬ ‫ميل‬ ‫احسب‬

10
‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫المشتقة‬
)2 - ١(
First Derivative
)١( ‫نشاط‬
‫ـراد‬‫ـ‬‫ف‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫الدخ‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫ضريب‬ ‫ـرار‬‫ـ‬‫إق‬� ‫ـم‬‫ـ‬‫ت‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫وق‬ .‫ـا‬‫ـ‬‫ونفقاته‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الدول‬ ‫ـطة‬‫ـ‬‫نش‬‫أ‬�‫ل‬ ‫ـية‬‫ـ‬‫ساس‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫التموي‬ ‫ـادر‬‫ـ‬‫مص‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـب‬‫ـ‬‫الضرائ‬ ّ‫د‬‫ـ‬‫ـ‬‫تع‬
‫ـنوي‬‫ـ‬‫الس‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫دخله‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫ينحص‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫الذي‬ ‫ـراد‬‫ـ‬‫ف‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ %5 ‫ـل‬‫ـ‬‫الدخ‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫ضريب‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫تك‬ ‫ـث‬‫ـ‬‫حي‬ ،‫ـة‬‫ـ‬‫ضريبي‬ ‫ـرائح‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫توزيعه‬ ‫ـلال‬‫ـ‬‫خ‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬
.‫ـراث‬‫ـ‬‫المي‬ ‫و‬‫أ‬� ‫ـا‬‫ـ‬‫الهداي‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫ضريب‬ ‫ـطين‬‫ـ‬‫فلس‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫تق‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫حي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ،‫ـار‬‫ـ‬‫دين‬ ‫ـف‬‫ـ‬‫ل‬‫أ‬� )15-1( ‫ـن‬‫ـ‬‫بي‬
‫(لماذا)؟‬ ً‫ا‬‫صفر‬ ‫يساوي‬ ً‫ا‬‫دينار‬ 1230 ‫قدره‬ ‫ميراث‬ ‫على‬ ‫الضريبة‬ ‫مقدار‬
.ً‫ا‬‫دينار‬ 50 = 1000 ⨯
5
100
= ‫دينار‬ 1000 ‫على‬ ‫الدخل‬ ‫ضريبة‬ ‫مقدار‬
.________ = 2400⨯
5
100
= ‫دينار‬ 2400 ‫على‬ ‫الدخل‬ ‫ضريبة‬ ‫مقدار‬
.___________________= ‫دينار‬12000 ‫على‬ ‫الدخل‬ ‫ضريبة‬ ‫مقدار‬
:َّ‫ن‬ِ‫إ‬�‫ف‬ ١٥٠٠٠≤‫≤س‬١٠٠٠ ‫حيث‬ )‫(س‬ ‫مقداره‬ ‫الذي‬ ‫الدخل‬ ‫على‬ ‫المفروضة‬ ‫الضريبة‬ ‫مقدار‬ )‫كانت(ص‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :‫وبالرموز‬
‫(لماذا)؟‬ .‫ثابتة‬
5
100 ‫القيمة‬ ‫تبقى‬ ‫المبلغ‬ ‫اختلف‬ ‫مهما‬ ‫نه‬‫أ‬� ‫لاحظ‬ ،‫س‬ ⨯ )
5
100
( =‫ص‬
*
‫تعريف‬
‫يكون‬ )‫ق(س‬ ‫إن‬�‫ف‬ ،‫موجودة‬
) (‫ق‬ − )‫هـ‬ +(‫ق‬
‫هـ‬ ‫هـ‬
‫وكانت‬ ، = ‫س‬ ‫عند‬ ً‫ا‬‫معرف‬ )‫ق(س‬ =‫ص‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
.  =‫س‬ ‫عند‬ )‫ق(س‬ ‫للاقتران‬ ‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫المشتقة‬ ‫وتسمى‬  =‫س‬ ‫عند‬ ‫للاشتقاق‬ ً‫ا‬‫قابل‬
| ́‫ص‬ ‫و‬‫أ‬� . |
‫ص‬
‫س‬ ‫و‬‫أ‬� )(́‫ق‬ ‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫ويرمز‬
.‫صفر‬ =
‫ص‬
‫س‬ =)‫(س‬́‫ق‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ،‫حقيقي‬ ‫عدد‬  ‫حيث‬ ،  =)‫ق(س‬ =‫ص‬ ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :)1( ‫قاعدة‬
.  =
‫ص‬
‫س‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ،‫حقيقيان‬ ‫عددان‬ ‫ب‬ ،  ‫حيث‬ ، ،‫ب‬ +‫س‬  =‫ص‬ ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :)2( ‫قاعدة‬
=‫س‬
=‫س‬
.‫فقط‬ ‫للعلم‬ ‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫المشتقة‬ ‫تعريف‬ *

11
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫الاقترانات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫مشتقة‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
‫س‬4- =‫ص‬2 )‫جـ‬ ‫س‬5=‫ص‬ )‫ب‬ 98 = )‫ق(س‬ )‫أ‬�
:‫حيث‬،١- ‫ن‬
‫س‬‫ن‬ = )‫(س‬́‫ق‬ ّ‫ن‬‫إ‬�‫فـــ‬ ،‫ن‬
‫س‬ = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :)3( ‫قاعدة‬
٠ ≠ ‫س‬ ،٠ ≠‫ن‬ ،‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ن‬
.)32- ،2-( ‫النقطة‬ ‫عند‬٥
‫س‬ = )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫مشتقة‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
4
‫س‬5 = ١-٥
‫س‬٥ = )‫(س‬́‫ق‬
4
)٢-(5 = )٢-(́‫ق‬
16 ×5 =
80=
)‫ثابت‬ ‫(اقتران‬ 98 = )‫ق(س‬
)‫أ‬�
.‫صفر‬ = )‫(س‬ ́‫ق‬ :‫إذن‬�
)‫خطي‬ ‫(اقتران‬ ‫س‬5 = ‫ص‬
)‫ب‬
5 =
‫ص‬
‫س‬ :‫إذن‬�
‫س‬4 - =‫ص‬2 )‫جـ‬
2- =
‫ص‬
‫س‬ ‫ومنها‬ ‫س‬2- = ‫ص‬

12
:)٨-(́‫ق‬ ‫يجاد‬ ‫فل�إ‬
٢
‫س‬ ٣
= )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
٢
‫س‬ ٣
= )‫ق(س‬
‫(لماذا)؟‬ ٣
٢
‫س‬ = )‫ق(س‬
١- ٣
٢
‫س‬ ٢
٣ = )‫(س‬́‫ق‬ ‫ومنها‬
١
‫س‬ ٣
٢
٣ =
._______________________ = )8-(́‫ق‬ ‫ومنها‬
)٢( ‫نشاط‬
)‫ق(س‬. = )‫هـ(س‬ ‫الاقتران‬ ‫إن‬�‫ف‬ ،٠≠  ،ً‫ا‬‫حقيقي‬ ً‫ا‬‫عدد‬  ‫وكان‬ ،‫للاشتقاق‬ ً‫ا‬‫قابل‬ ‫اقترانا‬ )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :)٤( ‫قاعدة‬
)‫(س‬́‫ق‬. = )‫(س‬́‫ـ‬‫ه‬ ‫وتكون‬ ،‫شتقاق‬ ‫لل�إ‬ ‫قابل‬ ‫اقتران‬ ‫هو‬
‫)؟‬6(́‫ـ‬‫ه‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،1- = )6(́‫ق‬ ‫وكان‬ ،)‫ق(س‬5 = )‫هـ(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
)‫ق(س‬٥ = )‫هـ(س‬
)‫(س‬́‫ق‬٥ = )‫(س‬́‫ـ‬‫ه‬
)6(́‫ق‬ × 5 = )6(́‫ـ‬‫ه‬
5- = 1- × 5 = )6(́‫ـ‬‫ه‬ ‫ومنها‬

13

) ٢ - ١ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬
١
٣
٤
2
:‫منها‬ ‫لكل‬ ‫المقابلة‬ ‫س‬ ‫قيمة‬ ‫عند‬ ‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫الاقترانات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫مشتقة‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
١٠٠=‫س‬ ‫عند‬ ٥ ٢- = )‫ق(س‬ )‫أ‬�
١2 = ‫س‬ ‫عند‬ ‫س‬٣ = ‫ص‬ )‫ب‬
7- = ‫س‬ ‫عند‬ ‫س‬ = )‫ك(س‬ )‫جـ‬
١ =‫س‬ ‫عند‬ ٥
‫س‬ ٣
= )‫ق(س‬ )‫د‬
١- = ‫س‬ ‫عند‬ ٣
‫س‬ = )‫ق(س‬ )‫هـ‬
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫الاقترانات‬ ‫من‬ ‫لكل‬ )‫(س‬́‫ق‬ ‫جد‬‫أ‬�
‫صفر‬ ≠ ‫س‬ ، ٥-
‫س‬ ٦٤
٥ = )‫ق(س‬ )‫أ‬�
٥
)٠,٠٠٣( = )‫ق(س‬ )‫ب‬
٤
‫س‬٥ = )‫ق(س‬ )‫جـ‬
5 = ‫س‬ ‫عند‬
‫ص‬
‫س‬ ‫قيمة‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� ،7 = )5(́‫ق‬ ‫وكان‬ ،)‫ق(س‬6 = ‫ص‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫؟‬  ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،60 = )2(́‫ق‬ ‫وكان‬ ،3
‫س‬ = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬�

14
‫قواعدالاشتقاق‬
)3 - ١(
Derivative Rules
)١( ‫نشاط‬
‫هذه‬ ‫وتشكل‬ .‫ببيته‬ ُ‫ه‬‫ق‬ِ‫لح‬ُ‫ي‬ ٍ‫ر‬‫بئ‬ ‫في‬ ‫المنازل‬ ‫سطح‬‫أ‬� ‫عن‬ ‫الشتاء‬ ‫فصل‬ ‫في‬ ‫مطار‬‫أ‬�‫ال‬ ‫مياه‬ ‫تجميع‬ ‫القدم‬ ‫منذ‬ ‫الفلسطيني‬ ‫اعتاد‬
.‫الصيف‬ ‫فصل‬ ‫في‬ ‫المياه‬ ‫نقص‬ ‫مشكلة‬ ‫على‬ ‫للتغلب‬ ‫الفلسطيني‬ ‫به‬ ‫يقوم‬ ‫الذي‬ ‫المائي‬ ‫الحصاد‬ ‫من‬ ً‫ا‬‫جزء‬ ‫العملية‬
.‫المنازل‬ ‫حد‬‫أ‬� ‫سطح‬ ‫المجاور‬ ‫الشكل‬ ‫يمثل‬
)_________( +)2
‫(س‬ =‫المبنى‬ ‫سطح‬ ‫مساحة‬
:‫بالعلاقة‬ ‫تعطى‬ ‫م‬٢٠١٦ ‫العام‬ ‫في‬ )3
‫المتجمعة(م‬ ‫المياه‬ ‫كمية‬
0,8 ⨯ )‫(م‬ ‫العام‬ ‫الامطار‬ ‫سقوط‬ ‫معدل‬ ⨯ )2
‫(م‬ ‫المبنى‬ ‫سطح‬ ‫مساحة‬
،‫م‬0,404 ‫يساوي‬ ‫م‬ 2016 ‫عام‬ ‫الامطار‬ ‫سقوط‬ ‫معدل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬�
._____________________________________________ = ‫البيت‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ ‫المتجمعة‬ ‫المياه‬ ‫كمية‬ ‫إن‬�‫ف‬
‫العلاقة؟‬ ‫هذه‬ ‫اشتقاق‬ ‫يمكن‬ ‫كيف‬
‫س‬
‫س‬
‫س‬
5
:‫إن‬�‫ف‬ )‫هـ(س‬ ± )‫ق(س‬ = )‫ك(س‬ ‫وكان‬ ،‫للاشتقاق‬ ‫قابلين‬ ‫اقترانين‬ )‫هـ(س‬ ‫و‬ )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :)1( ‫قاعدة‬
.)‫(س‬́‫ـ‬‫ه‬ ± )‫(س‬́‫ق‬ = )‫(س‬́‫ك‬ ‫ويكون‬ ،‫للاشتقاق‬ ً‫ا‬‫قابل‬ ‫يكون‬ )‫ك(س‬ ‫الاقتران‬
)‫(س‬́‫ـ‬‫ه‬ + )‫(س‬́‫ق‬ = )‫(س‬́)‫هـ‬ + ‫(ق‬ :‫خرى‬‫أ‬� ‫وبلغة‬
:‫جد‬‫أ‬� ،٣
‫س‬٤ = )‫هـ(س‬ ‫وكان‬ ،٢
‫س‬٥ = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
)‫(س‬́)‫هـ‬ + ‫(ق‬ )‫أ‬�
)١(́)‫هـ‬ − ‫(ق‬ )‫ب‬
2
‫س‬12 = )‫(س‬́‫ـ‬‫ه‬ :‫ن‬‫أ‬� ‫كما‬ .‫س‬10 = )‫(س‬́‫ق‬

15
)٢( ‫نشاط‬
)3( ‫نشاط‬
)‫(س‬́‫ـ‬‫ه‬ + )‫(س‬́‫ق‬ = )‫(س‬́)‫هـ‬ + ‫(ق‬:‫القاعدة‬ ‫بحسب‬ )‫أ‬�
‫(لماذا)؟‬ ٢
‫س‬١٢ + ‫س‬١٠ = )‫(س‬́)‫هـ‬ + ‫(ق‬ :‫ومنها‬
10= )1(10 = )1(́‫ق‬ )‫ب‬
12 = 2
)1(12 = )1(́‫ـ‬‫ه‬
)‫(س‬́‫ـ‬‫ه‬ − )‫(س‬́‫ق‬ = )‫(س‬́)‫هـ‬ − ‫(ق‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫وبما‬
)12( − )10( = )١(́‫ـ‬‫ه‬ − )١( ́‫ق‬ = )1(́)‫هـ‬ − ‫(ق‬ :‫إن‬�‫ف‬
2- =
:‫إن‬�‫ف‬ ،٧ − ‫س‬٥+٢
‫س‬٦ = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
)‫(لماذا؟‬ 5 + )‫س‬2( × 6 = )‫(س‬́‫ق‬
._______________ = )3(́‫ق‬
:‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ،2 + ‫س‬3 = )‫م(س‬ ،٢ + ٣
‫س‬٣ = )‫ك(س‬ :‫حيث‬ ٧ + )‫م(س‬٢ - )‫ك(س‬ = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
2
‫س‬9 = )‫(س‬́‫ك‬
3 = )‫(س‬́‫م‬
)‫(س‬́‫م‬2 − )‫(س‬́‫ك‬ = )‫(س‬́‫ق‬
.______________________ =
._____________________ = )2-(́‫ق‬ :‫ومنها‬
)‫)⨯(س‬1+‫س‬2( = )‫ق(س‬ ‫حيث‬ ،)‫(س‬́‫ق‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� :‫فكر‬‫أ‬�

16
)٢-( /
)‫(ق⨯هـ‬ ‫يجاد‬ِ‫إ‬�‫ل‬ ‫المجاور‬ ‫الجدول‬ ‫في‬ ‫المعطيات‬ ‫اعتمد‬
)٢-(́‫ـ‬‫ه‬ )٢-( ‫هـ‬ )٢-(́‫ق‬ )٢-( ‫ق‬
٧ ١- ٤- ٥
‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الاقتران‬ ‫مشتقة‬ ⨯ ‫الثاني‬ ‫الاقتران‬ + ‫الثاني‬ ‫الاقتران‬ ‫مشتقة‬ ⨯ ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الاقتران‬ =‫اقترانين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫مشتقة‬
)2-(́‫ق‬ ⨯ )2-(‫هـ‬ + )2-(́‫ـ‬‫ه‬ ⨯ )2-(‫ق‬ = )٢-(́)‫هـ‬ ⨯ ‫(ق‬
٤- ⨯ ١- + 7 ⨯ 5 =
39 =
:‫إن‬�‫ف‬  = ‫س‬ ‫عند‬ ‫للاشتقاق‬ ‫قابلين‬ ‫اقترانين‬ )‫هـ(س‬ ، )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :)٢( ‫قاعدة‬
.)(́‫ق‬ ⨯ )(‫هـ‬ + )(́‫ـ‬‫ه‬ ⨯ )(‫ق‬ = )(́)‫هـ‬ ⨯ ‫(ق‬
:‫وبالكلمات‬
‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الاقتران‬ ‫مشتقة‬ ⨯ ‫الثاني‬ ‫الاقتران‬ + ‫الثاني‬ ‫الاقتران‬ ‫مشتقة‬ ⨯ ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الاقتران‬ =‫اقترانين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫مشتقة‬
)٤( ‫نشاط‬
:‫تساوي‬ )‫(س‬́‫ق‬ ‫إن‬�‫ف‬ )‫س‬٤-٧( )‫س‬٥- ٢
‫س‬٣( = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬�
‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الاقتران‬ ‫مشتقة‬ ⨯ ‫الثاني‬ ‫الاقتران‬ + ‫الثاني‬ ‫الاقتران‬ ‫مشتقة‬ ⨯ ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الاقتران‬ = )‫(س‬́‫ق‬
)٥ − ‫س‬٦( )‫س‬٤ − ٧( + )٤-( )‫س‬٥ −٢
‫س‬٣( = )‫(س‬́‫ق‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ = )٢(́‫ق‬ ‫ومنها‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ =

17
:‫وكان‬ ،
)‫ق(س‬
)‫هـ(س‬ = )‫ك(س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬�
.)١٠(/
‫ك‬ ‫جد‬‫أ‬� ،١٧ = )١٠(́‫ـ‬‫ه‬ ،٢- = )١٠( ‫هـ‬ ،٣- = )١٠(́‫ق‬ ،٢ = )١٠(‫ق‬
:‫إن‬�‫ف‬  = ‫س‬ ‫عند‬ ٠ ≠ )‫(س‬ ‫هـ‬ ‫وكان‬ ،‫للاشتقاق‬ ‫قابلين‬ ‫اقترانين‬ )‫هـ(س‬ ،)‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :)٣( ‫قاعدة‬
= )(́)
‫ق‬
‫هـ‬ (
٢
))(‫(هـ‬
))(́‫ـ‬‫ه‬ ⨯ )(‫(ق‬ − ))(́‫ق‬ ⨯ )(‫(هـ‬
)‫المقام‬ ‫مشتقة‬ ⨯ ‫(البسط‬ − )‫البسط‬ ‫مشتقة‬ ⨯ ‫(المقام‬
‫المقام‬ ‫مربع‬
= ‫اقترانين‬ ‫قسمة‬ ‫ناتج‬ ‫مشتقة‬
:‫وبالكلمات‬ ،
٢
))‫(هـ(س‬
))‫(س‬́‫ـ‬‫ه‬ ⨯ )‫(ق(س‬ − ))‫(س‬́‫ق‬ ⨯ )‫(هـ(س‬
= ́)
)‫ق(س‬
)‫(س‬ ‫هـ‬ ( = )‫(س‬́‫ك‬
٢
))١٠(‫(هـ‬
))١٠(́‫ـ‬‫ه‬ ⨯ )١٠(‫(ق‬ − ))١٠(́‫ق‬ ⨯ )١٠(‫(هـ‬
= )١٠(́‫ك‬
٤
)١٧ ⨯ ٢( − )٣- ⨯ ٢-(
=

٤
٢٨-
=
٧- =

18
٨
٩
= )١(́‫ق‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫تحقق‬‫أ‬� ،٣ ≠ ‫س‬ ،
‫س‬٤ − ٣
٦ − ‫س‬٢ = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
)‫المقام‬ ‫مشتقة‬ ⨯ ‫(البسط‬ − )‫البسط‬ ‫مشتقة‬ ⨯ ‫(المقام‬
‫المقام‬ ‫مربع‬ = )‫(س‬́‫ق‬
٢
)٦ − ‫س‬٢(
)٢()‫س‬٤ − ٣( − )٤-( )٦ − ‫س‬٢(
= )‫(س‬́‫ق‬
٢
)٤-(
)٢()١-( − )٤-( )٤-(
= )1(́‫ق‬

٨
٩
= ١٦
١٨
=

19

) ٣ - ١ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬
١
2
3
٤
٥
٦
٧
‫الجدول‬ ‫في‬ ‫البيانات‬ ‫على‬ ‫بالاعتماد‬
:‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫ما‬ ُ
‫حسب‬‫أ‬� ‫المجاور‬
)٥(́)‫هـ‬٤− ‫ق‬٣( )‫ب‬
)٥(́)‫هـ‬2+ ‫)ق‬ ( ‫أ‬�
)5( ́)‫(ق×هـ‬ )‫د‬ )5(́) ‫ق‬
‫هـ‬ ( )‫جـ‬
:‫جد‬‫أ‬� ،‫س‬٣ − ٢ = )‫(س‬ ‫هـ‬ ،٧ + ٢
‫س‬ = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬�
)‫(س‬ ́‫ق‬
)‫(س‬́‫ـ‬‫ه‬
)‫جـ‬
)‫(س‬ ́) ‫ق‬
‫هـ‬ ( )‫ب‬ )١(́)‫هـ‬+ ‫)ق‬ ( ‫أ‬�
)٢-(́))‫ق(س‬ ×٢
‫(س‬ )‫و‬ )٢( ‫هـ‬ × )٢( ́‫ق‬ )‫هـ‬ )٢(́)‫(ق×هـ‬ )‫د‬
)٧( ‫هـ‬ ‫جد‬‫أ‬� ٣ = )٧(́‫ـ‬‫ه‬ ،٦ = )٧(́‫ق‬ ،٣ = )٧(‫ق‬ ،١٢ = )٧(́)‫هـ‬ ⨯ ‫(ق‬ ‫كان‬ ‫إذا‬�
٣- = )٩(‫هـ‬ ،١٢- = )٩(́‫ق‬ ،٥ = )٩(‫ق‬ ،٣ = )٩(́)‫هـ‬ ÷ ‫(ق‬ ‫كان‬ ‫إذا‬�
‫صفر‬ ≠ )‫هـ(س‬ ‫ن‬‫أ‬�‫ب‬ ً‫ا‬‫علم‬ ،)٩( ́‫ـ‬‫ه‬ ‫جد‬‫أ‬�
‫؟‬ ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،0= )3(́‫ق‬ ‫وكان‬ ،5-‫س‬6+2
‫س‬ = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
.‫أ‬� ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬‫أ‬� ،٨ = )١(́)‫هـ‬ ⨯ ‫(ق‬ ‫وكان‬ ،٢ - ٢
‫س‬ = )‫هـ(س‬ ،٣ + ‫س‬‫أ‬�٢ - ٢
‫س‬ = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫؟‬ ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ، ٢
١
- =)١(́‫ق‬ ‫وكان‬ ،
٥ − ‫س‬
‫س‬٤ − ٦ = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬�
)5(‫ق‬
)5(́‫ق‬
)5(‫هـ‬
)5(́‫ـ‬‫ه‬
9
2
3
1-

20
)٤ - ١(
.‫المواطنين‬ ‫حياة‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫ساسي‬‫أ‬� ً‫ا‬‫مطلب‬ ‫الكهرباء‬ ّ‫د‬‫تع‬
‫رصد‬ ‫ويتم‬ .‫الفعاليات‬ ‫من‬ ‫الكثير‬ ‫تتعطل‬ ‫فدونها‬
.‫الساعة‬ ‫مدار‬ ‫على‬ ‫فلسطين‬ ‫في‬ ‫الكهرباء‬ ‫استهلاك‬
‫اليومية‬ ‫حمال‬‫أ‬�‫ال‬ ‫توزيع‬ ‫ح‬ ِّ‫يوض‬ ‫المجاور‬ ‫الشكل‬
‫اليوم‬ ‫في‬ ‫وضواحيها‬ ‫القدس‬ ‫منطقة‬ ‫في‬ ‫الكهرباء‬ ‫من‬
.‫م‬201٨ ‫عام‬ ‫من‬ ‫ول‬ِ‫أ‬�‫ال‬
Extreme Values
‫قتران‬‫إ‬�‫لل‬ ‫القصوى‬ ‫القيم‬
)١( ‫نشاط‬
‫تعريف‬
:َّ‫ن‬ِ‫إ‬�‫ف‬،1
‫س‬2
‫س‬ ‫لكل‬ :‫كان‬ ‫إذا‬�،]‫ب‬ ،[ ‫الفترة‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫متزايد‬ )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫يكون‬
.]‫ب‬ ،[ 2
‫س‬ ،1
‫س‬ ‫عددين‬ ‫ي‬‫أ‬�‫ل‬ )1
‫ق(س‬ )2
‫ق(س‬
)1
‫ق(س‬)2
‫ق(س‬ َّ‫ن‬‫إ‬�‫ف‬،1
‫س‬2
‫س‬ ‫لكل‬ :‫كان‬ ‫إذا‬� ،]‫ب‬ ،[ ‫الفترة‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫متناقص‬ )‫ق(س‬ ‫ويكون‬
.]‫ب‬ ،[ 2
‫س‬ ،1
‫س‬ ‫عددين‬ ‫ي‬‫أ‬�‫ل‬
‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫زاوية‬ )‫ص‬ ، ‫(س‬ ‫نقطة‬ ‫ي‬‫أ‬� ‫عند‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫الموجب‬ ‫الاتجاه‬ ‫مع‬ ‫المماس‬ ‫يصنعها‬ ‫التي‬ ‫الزاوية‬ ‫تسمى‬
.ً‫ا‬‫سالب‬ ‫الميل‬ ‫يكون‬ ‫منفرجة‬ )‫(هـ‬ ‫الزاوية‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬�‫و‬ .ً‫ا‬‫موجب‬ ‫الميل‬ ‫يكون‬ ‫حادة‬ )‫(هـ‬ ‫الزاوية‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬�‫ف‬ .)‫(هـ‬
:‫ّر‬‫ك‬‫تذ‬‫أ‬�
‫صباحا‬ ‫العاشرة‬ ‫الساعة‬ ‫من‬ ‫كذلك‬ ،ً‫مساء‬ ‫التاسعة‬ ‫الساعة‬ ‫وحتى‬ ً‫مساء‬ ‫الخامسة‬ ‫الساعة‬ ‫من‬ ‫تتزايد‬ ‫حمال‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫لاحظ‬‫أ‬� -
.ً‫ا‬‫مساء‬ ‫الثالثة‬ ‫حتى‬
.______________________________ ‫الفترة‬ ‫خلال‬ ‫الكهرباء‬ ‫حمال‬‫أ‬� ‫تتناقص‬ -
.‫كثر‬‫أ‬�‫ال‬ ‫على‬ ‫الثالثة‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫الاقترانات‬ ‫على‬ ‫السياق‬ ‫هذا‬ ‫في‬ ‫الدراسة‬ ‫ستقتصر‬ :‫ملاحظة‬
‫الساعات‬
‫الاستهلاك‬
‫مساء‬ 5 ‫مساء‬ 7 ‫مساء‬ 9 ‫مساء‬ 11 ‫صباحا‬ ١ ‫صباحا‬ ٣ ‫صباحا‬ ٥ ‫صباحا‬ ٧ ‫صباحا‬ ٩ ‫صباحا‬ ١١ ‫مساء‬ ١ ‫مساء‬ ٣

21
)٢( ‫نشاط‬
3 + ‫س‬2 −2
‫س‬ = )‫ك(س‬ ‫الاقتران‬ ‫منحنى‬ ‫المجاور‬ ‫الشكل‬ ‫ح‬ ِّ‫يوض‬
.‫ح‬ ‫على‬ ‫المعرف‬
‫لمحور‬ ‫الموجب‬ ‫الاتجاه‬ ‫مع‬ )١
‫منفرجة(هـ‬ ‫زاوية‬ ‫يصنع‬ )1(‫المماس‬-
.[1 ،∞-] ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫سالبة‬ ‫ميله‬ ‫إشارة‬� َّ‫ن‬‫إ‬�‫ف‬ ‫لذا‬ ،‫السينات‬
.[1 ،∞-] ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متـــناقص‬ )‫ك(س‬ ‫ن‬‫أ‬� ُ‫لاحظ‬‫أ‬� -
_________ ‫ميله‬ ‫إشارة‬� َّ‫ن‬‫إ‬�‫ف‬ ‫لذا‬ ،‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫الموجب‬ ‫الاتجاه‬ ‫مع‬ )٢
‫(هـ‬ _______ ‫زاوية‬ ‫يصنع‬ )2( ‫المماس‬ -
.[∞ ،1[ ‫الفترة‬ ‫في‬
)‫(لماذا‬ .[∞ ،1[ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايد‬ )‫ك(س‬ ‫ن‬‫أ‬� ُ‫لاحظ‬‫أ‬�
:‫يكون‬ )‫ق(س‬ ‫إن‬�‫ف‬ ،]‫ب‬ ،[ ‫الفترة‬ ‫على‬ً‫ا‬‫معرف‬ )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ :
*
‫قاعدة‬
.[‫ب‬،] ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫س‬ ‫لكل‬ ‫صفر‬)‫(س‬́‫ق‬ ‫إذاكانت‬� ،]‫ب‬ ،[ ‫الفترة‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫متزايد‬ )١
.[‫ب‬،] ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫س‬ ‫لكل‬ ‫صفر‬)‫(س‬́‫ق‬ ‫إذاكانت‬� ،]‫ب‬ ،[ ‫الفترة‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫متناقص‬ )2
.[‫ب‬،] ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫س‬ ‫لكل‬ ‫صفر‬= )‫(س‬́‫ق‬ ‫إذاكانت‬� ،]‫ب‬ ،[ ‫الفترة‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫ثابت‬ )٣
‫ح‬  ‫س‬ ، 7 − ‫س‬4 +2
‫س‬ = )‫ق(س‬ ‫للاقتران‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫فترات‬ ‫حدد‬‫أ‬�
:‫فتكون‬ )‫(س‬́‫ق‬ ‫نجد‬ :ّ‫ل‬‫الح‬
4+‫س‬2 = )‫(س‬́‫ق‬
0=4+‫س‬2 :‫ومنها‬ ‫صفر‬ =)‫(س‬́‫ق‬ ‫نضع‬
2- =‫س‬ ‫إذن‬�
)١(‫المماس‬ )٢(‫المماس‬
٢
‫هـ‬
١
‫هـ‬
- -
-
- -
-
- -
-
- -
-
١
)‫(س‬́‫ك‬ ‫إشارة‬�
∞− ∞
‫صفر‬
.‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫من‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ‫التحقق‬ ‫الطالب‬ ‫من‬ ‫يطلب‬ ‫لا‬ *

22
.‫نوعها‬ ‫حدد‬‫أ‬�‫و‬ ،‫وجدت‬ ‫ِن‬‫إ‬� ،‫ح‬‫س‬ ،‫س‬27-3
‫س‬ =)‫هـ(س‬ ‫للاقتران‬ ‫المحلية‬ ‫القصوى‬ ‫ُالقيم‬ ‫جد‬‫أ‬�
- -
-
- -
-
- -
-
- -
-
2-
)‫(س‬ ́‫ق‬ ‫ِشارة‬‫إ‬�
،[∞،2-[ ‫الفترة‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫متزايد‬ )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫يكون‬ ،‫المجاور‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ )‫(س‬́‫ق‬ ‫إشارة‬� ‫من‬
.]2- ،∞-] ‫الفترة‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫متناقص‬ ‫ويكون‬
‫تعـلــــم‬‫أ‬�
:‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� ، =‫س‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ )‫صغرى‬ ‫و‬‫أ‬� ‫(عظمى‬ ‫قصوى‬ ‫قيمة‬ ‫ح‬ ‫على‬ ‫المعرف‬ )‫ق(س‬ ‫للاقتران‬ ‫يكون‬
.‫العكس‬ ‫و‬‫أ‬� ‫التناقص‬ ‫ِلى‬‫إ‬� ‫التزايد‬ ‫من‬  =‫س‬ ‫حول‬ ‫سلوكه‬ ‫من‬ )‫ق(س‬ ‫ر‬ّ‫ي‬‫يغ‬ .2 .ً‫ا‬‫صفر‬ = )(́‫ق‬ .1
3- 3
- -
-
- -
-
- -
-
- -
-
)‫(س‬ ́‫ـ‬‫ه‬ ‫إشارة‬�
.‫التناقص‬ ‫ِلى‬‫إ‬� ‫التزايد‬ ‫من‬ 3- =‫س‬ ‫حول‬ ،‫سلوكه‬ ‫من‬ ‫ر‬ّ‫ي‬‫غ‬ ‫قد‬ )‫هـ(س‬ ‫الاقتران‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫يتضح‬ )‫(س‬ ́‫ـ‬‫ه‬ ‫ِشارة‬‫إ‬� ‫من‬
.54= )3-( ‫هـ‬ ‫وقيمتـها‬ ،3- =‫س‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫قيمة‬ )‫هـ(س‬ ‫للاقتران‬ ‫إذن‬�
٢- =‫س‬ ‫جوار‬ ‫في‬ )‫(س‬ ́‫ق‬ ‫إشارة‬� ‫في‬ ‫بحث‬‫أ‬�
∞−
∞−
∞
∞
27−2
‫س‬ 3 = )‫(س‬ ́‫ـ‬‫ه‬
‫؟‬ )‫(لماذا‬ 0 = )‫(س‬ ́‫ـ‬‫ه‬
٠ = )٣ + ‫(س‬ )٣ − ‫(س‬ ‫ومنها‬ 0 = )9 − 2
‫(س‬ ٣
‫؟‬ )‫(لماذا‬ 3- =‫س‬ ‫و‬‫أ‬� 3 =‫س‬
‫صفر‬
‫صفر‬
‫صفر‬

23
.3 = ‫س‬ ‫حول‬ ‫التزايد‬ ‫ِلى‬‫إ‬� ‫التناقص‬ ‫من‬ ‫سلوكه‬ ‫ر‬ّ‫ي‬‫غ‬ )‫هـ(س‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫كما‬
.54- = )3( ‫هـ‬ ‫وقيمتها‬ 3 =‫س‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫قيمة‬ )‫(س‬ ‫هـ‬ ‫للاقتران‬ ‫إذن‬�
)٣( ‫نشاط‬
3- 5
- -
-
- -
-
- -
-
- -
-
- -
-
- -
-
- -
-
- -
-
.‫ح‬ ‫على‬ ‫المعرف‬ )‫هـ(س‬ ‫الاقتران‬ ‫مشتقة‬ ‫إشارة‬� ‫يمثل‬ ‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫الشكل‬
.________ = ‫س‬ ‫عند‬ ‫و‬ _______ = ‫س‬ ‫عند‬ ‫صفر‬ = )‫(س‬ ́‫ـ‬‫ه‬ )‫أ‬�
.]٥ ،٣-[ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقص‬ )‫(س‬ ‫هـ‬ )‫ب‬
.________________________ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايد‬ )‫(س‬ ‫هـ‬ )‫جـ‬
.______________________________ ‫ن‬‫أ‬�‫ل‬ ،‫صغرى‬ ‫قيمة‬ ‫تعتبر‬ ‫لا‬ )3-( ‫هـ‬ )‫د‬
.______________________________ )5(‫هـ‬ ‫تعتبر‬ )‫هـ‬
∞− ∞
)‫(س‬́‫ـ‬‫ه‬ ‫إشارة‬�
‫صفر‬
‫صفر‬

24

) ٤ - ١ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬
١
2
3
٤
٥
٦
)‫(س‬ ‫هـ‬
٦ )‫هـ(س‬ ‫للاقتران‬ ‫المحلية‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
.‫المجاور‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫المرسوم‬
:‫جد‬‫أ‬� ،‫ح‬‫س‬ ،1-‫س‬6+2
‫س‬3 = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬�
.‫ح‬ ‫على‬ )‫ق(س‬ ‫للاقتران‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫فترات‬ )‫أ‬�
.‫منها‬ ‫كل‬ ‫نوع‬ ‫حدد‬‫أ‬�‫و‬ ،)‫ق(س‬ ‫للاقتران‬ ‫القصوى‬ ‫القيم‬ )‫ب‬
.‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫قيمة‬ )٢(‫ق‬ ‫تجعل‬ ‫والتي‬ ،٢
‫س‬ − ‫س‬ ‫جـ‬ − 5 = )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫في‬ ‫جـ‬ ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫ما‬
.)٤ − ‫س‬٢-( × )٢ + ‫(س‬ = )‫هـ(س‬ ‫للاقتران‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫فترات‬ ‫ما‬
‫القيم‬ ‫وما‬ ،‫ح‬‫س‬ ،5 − ‫س‬5 − 2
‫س‬2 + 3
‫س‬
١
٣ = )‫ك(س‬ ‫للاقتران‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫فترات‬ ُ‫د‬‫حد‬‫أ‬�
‫منها؟‬ ‫كل‬ ‫نوع‬ ‫وما‬ ‫ك(س)؟‬ ‫للاقتران‬ )‫والصغرى‬ ‫(العظمى‬ ‫القصوى‬
.‫مجاله‬ ‫في‬ ‫قصوى‬ ‫قيم‬ 2 + 3
‫س‬2 = )‫ع(س‬ ‫للاقتران‬ ‫يوجد‬ ‫لا‬ ‫نه‬‫أ‬� ‫بين‬‫أ‬�

25
‫المحدود‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬
)٥ - ١(
Indefinite Integral
)١( ‫نشاط‬
)2( ‫نشاط‬
)٣( ‫نشاط‬
‫إلى‬� ‫ستقلال‬ ‫ال�إ‬ ‫حالة‬ ‫من‬ ‫فتتحول‬ ،‫ّراتها‬‫د‬‫بمق‬ ‫خارجية‬ ‫جماعات‬ ‫تطمع‬ ‫مختلفة‬ ٍ
‫سباب‬‫أ‬�‫ول‬ ،‫بطبيعتها‬ ً‫ة‬ّ‫ر‬‫ح‬ ‫الشعوب‬ ‫ولد‬ُ‫ت‬
‫قوى‬‫أ‬� ‫الفلسطيني‬ ‫الشعب‬ ‫ويضرب‬ .‫جديد‬ ‫من‬ ‫لتستقل‬ ‫وتحارب‬ ‫تقاوم‬ ‫فالشعوب‬ ،‫تدوم‬ ‫لا‬ ‫حالة‬ ‫لكنها‬ .‫الاحتلال‬ ‫حالة‬
.‫ذلك‬ ‫على‬ ‫مثلة‬‫أ‬�‫ال‬
‫الاستقلال‬ ‫عكس‬ ‫الاحتلال‬
._________ ‫عكس‬ ‫الهدم‬ ‫كما‬
._______ ‫عكس‬ ‫الطرح‬ ‫وعملية‬
‫ـات‬‫ـ‬‫الاقتران‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫عائل‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫معرف‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫يمك‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫ن‬‫أ‬� ‫ـي‬‫ـ‬‫يعن‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫وه‬ ،‫ـل‬‫ـ‬‫للتفاض‬ ‫ـية‬‫ـ‬‫عكس‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫عملي‬ ،‫ـا‬‫ـ‬‫صوره‬ ‫ـدى‬‫ـ‬‫ِح‬‫إ‬� ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ،‫ـل‬‫ـ‬‫التكام‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫عملي‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫وتعتب‬
. )‫(س‬́‫ق‬ ‫ـت‬‫ـ‬َ‫ف‬ِ‫ر‬ُ‫ع‬ ‫ِذا‬‫إ‬� ،)‫ق(س‬
:‫تكون‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫يمكن‬ )‫ق(س‬ ‫قاعدة‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ،‫س‬2=)‫(س‬/
‫ق‬ ‫مشتقته‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫حيث‬ ،ً‫ا‬‫اقتران‬ )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
.2
‫س‬ = )‫(س‬1
‫ق‬
.‫ــــــــــ‬ +2
‫س‬ = )‫(س‬2
‫ق‬
3
1
+2
‫س‬ = )‫(س‬3
‫ق‬
.________________________________________________ = )‫ق(س‬ ‫هي‬ ‫للاقتران‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫إذن‬�
:‫تكون‬ ‫قد‬ ،‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫خبرتك‬ ‫خلال‬ ‫من‬ ،)‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫قاعدة‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ،7 = )‫(س‬́‫ق‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
2 − ‫س‬7 = )‫ق(س‬
.‫للتفاضل‬ ‫عكسية‬ ‫كعملية‬ ‫التكامل‬ ‫عملية‬ ‫تعريف‬ ‫همية‬‫أ‬� ‫جاءت‬ ‫هنا‬ ‫من‬ ._______ = )‫ق(س‬ ‫و‬‫أ‬�

26
)4( ‫نشاط‬
‫تعريف‬
‫يساوي‬ ‫س‬ ‫لـ‬ ‫بالنسبة‬ )‫(س‬́‫ق‬ ‫للاقتران‬ ‫المحدود‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ،)‫(س‬́‫ق‬ ‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫مشتقته‬ ً‫ا‬‫اقتران‬ )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
:َّ‫ن‬‫إ‬�‫ف‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬ ، ‫بالرمز‬ ‫التكامل‬ ‫لعملية‬ ‫ويرمز‬ ،‫جـ‬+ )‫ق(س‬
.‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫جـ‬ ‫حيث‬ ،‫جـ‬ + )‫ق(س‬ = ‫س‬ )‫(س‬́‫ق‬
.‫س‬6 = )‫(س‬/
‫ق‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫س‬ )‫(س‬́‫ق‬  = )‫ق(س‬ ‫يكون‬
.‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫جـ‬ ‫حيث‬ ،‫جـ‬ +________ = )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫لقاعدة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫إذن‬�
:‫المحدود‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬ ‫قواعد‬
.‫حقيقيان‬ ‫عددان‬ ‫جـ‬، ‫حيث‬ ،‫جـ‬+‫س‬  = ‫س‬   :)1( ‫قاعدة‬
)1( ‫مثــال‬
‫ص‬ ١
٢  )‫ب‬
‫س‬ 9  )‫أ‬� :‫جد‬‫أ‬�
‫جـ‬ + ‫س‬٩ = ‫س‬ 9  )‫أ‬�
‫جـ‬ +
‫ص‬
٢ = ‫ص‬ ١
٢  )‫ب‬

27
١- ≠ ‫ن‬ ،‫حقيقيان‬ ‫عددان‬ ‫جـ‬،‫ن‬ ‫حيث‬ ،‫جـ‬ +
١+‫ن‬
‫س‬
١ + ‫ن‬ = ‫س‬
‫ن‬
‫س‬ :)٢( ‫قاعدة‬
:‫تيين‬‫آ‬�‫ال‬ ‫التكاملين‬ ‫من‬ ً‫ا‬‫كل‬ ‫جد‬‫أ‬�
‫س‬ ‫س‬ ٣
 )‫ب‬
‫س‬ ٣
‫س‬  )‫أ‬�
‫جـ‬ +٤
‫س‬
1
٤ = ‫جـ‬ +
١+٣
‫س‬
١ + ٣
= ‫س‬ ٣
‫س‬  )‫أ‬�
‫جـ‬ +
٣
١
‫س‬
١+
١+٣
١ = ‫س‬ .
٣
١
‫س‬ = ‫س‬ ‫س‬ ٣
 )‫ب‬
‫جـ‬ +
٣
٤
=
‫س‬ ٤
٣
)٥( ‫نشاط‬
١ = )١(‫ق‬ ‫ن‬‫أ‬�‫ب‬ ً‫ا‬‫علم‬ ،
٣
‫س‬ ٤
= )‫(س‬́‫ق‬ ‫مشتقته‬ ‫الذي‬ )‫ق(س‬ ‫قتران‬ ‫ال�إ‬ ‫قاعدة‬ ‫جد‬‫أ‬�
‫س‬ )‫(س‬́‫ق‬  = )‫(س‬ ‫ق‬
‫س‬
٣
‫س‬ ٤
 =
.___________ = ‫جـ‬ ‫ومنها‬ ١ = )١(‫ق‬ ‫لكن‬
.___________________ = )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫قاعدة‬ ‫اذن‬

28
:‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ‫للتكامل‬ ‫قابلين‬ ‫إقترانين‬� )‫هـ(س‬ ، )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :)٣( ‫قاعدة‬
‫س‬ )‫هـ(س‬  ± ‫س‬ )‫ق(س‬  = ‫س‬ )‫(س‬ )‫هـ‬ ± ‫(ق‬ 
:‫تيين‬‫آ‬�‫ال‬ ‫التكاملين‬ ‫من‬ ً‫ا‬‫كل‬ ‫جد‬‫أ‬�
‫س‬ ) ‫س‬ −
٤
‫(س‬ )‫ب‬
‫س‬ )‫س‬+٣
‫(س‬  )‫أ‬�
‫س‬ ‫س‬  + ‫س‬ ٣
‫س‬  = ‫س‬ )‫س‬+٣
‫(س‬ )‫أ‬�
‫جـ‬ +
٢
‫س‬
٢ +
٤
‫س‬
٤ =
‫س‬
٢
١
‫س‬  − ‫س‬ ٤
‫س‬  = ‫س‬ ) ‫س‬ − ٤
‫(س‬  )‫ب‬
‫جـ‬ +
٢
٣
‫س‬٢
3 −
٥
‫س‬
٥ =
)٦( ‫نشاط‬
‫جـ‬ +
١-
٤
‫س‬٤ +
١-
٢
‫س‬٢ = ‫جـ‬ +
٤-
‫س‬
٤- +
٢-
‫س‬
٢- = ‫س‬ )٥-
‫س‬+ ٣-
‫(س‬  )‫أ‬
. -------------------------------------------------- = ‫س‬ )٥ +
١
٢
‫س‬ (  )‫ب‬

29
)٧( ‫نشاط‬
‫جـ‬ +
٣
‫س‬
٣ +
٣
‫س‬
٣ +
٣
‫س‬
٣ = ‫س‬ )٢
‫س‬ +٢
‫س‬ + ٢
‫(س‬ )١
‫(لماذا)؟‬ ‫جـ‬ +٣
‫س‬ =
. ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ = ‫س‬ ٢
‫س‬٣ )٢
. ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ :‫ن‬‫أ‬� ‫لاحظ‬‫أ‬�
،0≠‫ك‬ ،‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ك‬ ‫حيث‬ ،)‫ق(س‬ .‫ك‬ = )‫ع(س‬ ‫وكان‬ ،‫للتكامل‬ ً‫ا‬‫قابل‬ ً‫ا‬‫اقتران‬ )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :)٤( ‫قاعدة‬
‫س‬ )‫ق(س‬.‫ك‬ = ‫س‬ )‫ق(س‬ .‫ك‬= ‫س‬ )‫ع(س‬ :‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬
‫س‬ 2
‫س‬6 : ُ
‫س‬2
‫س‬  6 = ‫س‬2
‫س‬6
‫جـ‬ +
٣
‫س‬
٣ ⨯ 6 =
‫جـ‬ + ٣
‫س‬٢ =

30

) ٥ - ١ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬
١
2
3
٤
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫التكاملات‬ ‫من‬ ً‫ا‬‫كل‬ ُ
‫س‬ ‫س‬ ٧
 )‫جـ‬
‫س‬
٥
٢
‫س‬ )‫ب‬
‫س‬ )5-‫س‬4+2
‫س‬3( )‫أ‬�
‫س‬ ٤٠٠٢
)٥(  )‫و‬ ‫س‬ )‫س‬٣ + ٢
‫س‬٧ +٣
‫س‬٥٦(  )‫هـ‬ ‫س‬ )
٢
٢
‫س‬ ٥
+٤-
‫س‬٦(  )‫د‬
.)1(́‫ق‬ ‫جد‬‫أ‬� ،‫س‬ )8+3
‫س‬4-5
‫(س‬  = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
.)‫(س‬́‫ق‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� ،‫جـ‬+‫س‬2 + 2
‫س‬3 =‫س‬ )‫(س‬́‫ق‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
. ‫ص‬
‫س‬
ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� ،‫س‬ )3+2
‫(س‬ = ‫ص‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�

31
‫المحدود‬ ‫التكامل‬
)٦ - ١(
Finite Integral
)١( ‫نشاط‬
)2( ‫نشاط‬
‫الصحية‬ ‫الرعاية‬ ‫مراكز‬ ‫نشر‬ ‫على‬ ‫الفلسطينية‬ ‫الصحة‬ ‫وزارة‬ ‫لت‬ِ‫م‬َ‫ع‬
.‫السكانية‬ ‫والتجمعات‬ ،‫القرى‬ ‫مختلف‬ ‫في‬ ‫ولية‬‫أ‬�‫ال‬
.‫طفال‬‫أ‬�‫ال‬ ‫نمو‬ ‫متابعة‬ ‫المراكز‬ ‫هذه‬ ‫هداف‬‫أ‬� ‫من‬
.‫الطفل‬ ‫طول‬ ‫في‬ ‫التغير‬ ‫متابعة‬ ‫خلال‬ ‫من‬ ‫وذلك‬
‫ـن‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـال‬‫ـ‬‫طف‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـو‬‫ـ‬‫نم‬ ‫ـرعة‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫منحن‬ ‫ـح‬‫ـ‬‫يوض‬ ‫ـاور‬‫ـ‬‫المج‬ ‫ـكل‬‫ـ‬‫الش‬
‫ـو‬‫ـ‬‫النم‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫منحن‬ ‫ـتقة‬‫ـ‬‫مش‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫المنحن‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫ويمث‬.ً‫ا‬‫عام‬ 18 ‫ـى‬‫ـ‬‫إل‬� ‫ـر‬‫ـ‬‫صف‬
:‫ن‬‫أ‬� ‫ـد‬‫ـ‬‫نج‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫بالرس‬ ‫ـتعانة‬‫ـ‬‫بالاس‬ .‫ـال‬‫ـ‬‫طف‬‫أ‬�‫لل‬
.‫سنة‬/‫________سم‬ ‫يساوي‬ ‫سنتين‬ ‫عمر‬ ‫في‬ ‫طفل‬ ‫نمو‬ ‫سرعة‬
.‫سنة‬/‫_______سم‬ ‫يساوي‬ ‫سنوات‬9‫عمر‬ ‫في‬ ‫طفل‬ ‫نمو‬ ‫سرعة‬
‫إلى‬� 2=1
‫س‬ ‫من‬ ‫س‬ ‫تتغير‬ ‫عندما‬ ،6-‫س‬2 =)‫(س‬́‫ق‬ ‫بالقاعدة‬ ‫مشتقته‬ ‫تعطى‬ ‫الذي‬ )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫في‬ ‫التغير‬ ‫حساب‬ ‫راد‬ُ‫ي‬
.)‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫لقاعدة‬ ‫نحتاج‬ ،‫الاقتران‬ ‫في‬ ‫التغير‬ ‫يجاد‬ ‫ل�إ‬ .5=2
‫س‬
‫س‬ )‫(س‬́‫ق‬ = )‫ق(س‬
.‫جـ‬+‫س‬6-2
‫س‬ =‫س‬ )6-‫س‬2( = )‫ق(س‬
)1
‫ق(س‬ − )2
‫ق(س‬ = )‫ق(س‬ ‫في‬ ‫التغير‬
‫المحدود‬ ‫التكامل‬ :ً‫ا‬‫ول‬‫أ‬�
‫ناقش‬‫أ‬�
‫سنوات؟‬ 9 - 2 ‫سن‬ ‫بين‬ ‫طفل‬ ‫نمو‬ ‫في‬ ‫التغير‬ ‫مقدار‬ ‫معرفة‬ ‫يمكن‬ ‫كيف‬
‫بالسنوات‬ ‫العمر‬
٢٥
٢٤
٢٣
٢٢
٢١
٢٠
١٩
١٨
١٧
١٦
١٥
١٤
١٣
١٢
١١
١٠
٩
٨
٧
٦
٥
٤
٣
٢
١
٠
٣
٦
٩
١٢
١٥
١٨
‫سنة‬/‫سم‬
‫النمو‬
‫سرعة‬

32
.‫جـ‬ + )5(6 −2
)5( = )5(‫ق‬
._____________ = )2(‫ق‬
)2(‫ق‬ − )5(‫ق‬ =‫التغير‬ ‫مقدار‬ :‫إذن‬�
_________________ = )2(‫ق‬ − )5(‫ق‬ ‫إذن‬�
‫تعريف‬
،)(‫ق‬ − )‫ق(ب‬ =

‫ب‬
| )‫ق(س‬ = ‫س‬ )‫(س‬́‫ق‬

‫ب‬
 :‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ،‫للاشتقاق‬ ً‫ا‬‫قابل‬ ً‫ا‬‫اقتران‬ )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :‫المحدود‬ ‫التكامل‬
.‫حقيقيان‬ ‫عددان‬ ‫ب‬ ،  ، ‫على‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحد‬ :‫ب‬ ، ‫دنى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحد‬ : ‫حيث‬
:‫تيين‬‫آ‬�‫ال‬ ‫التكاملين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ُ
‫س‬ )٥ + ‫س‬٢(
٠
٢
 )١
‫س‬ )٧ − ٢
‫س‬٦(
١-
١
 )٢
٠
٢
|)‫س‬5+2
‫(س‬ = ‫س‬ )٥ + ‫س‬٢(
٠
٢
 )1
14= )0( − )10+4( =
١-
١
|)‫س‬7-3
‫س‬2( = ‫س‬.)٧ − ٢
‫س‬٦(
١-
١
 )2

33
))1-(7-3
)1-(2( − ))1(7 −٣
)1(2( =
5 − 5- =
10- =
.‫س‬ )‫(س‬́‫ق‬2
١-
٢
 ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� ،7 = )2(‫ق‬ ،5 = )1-(‫ق‬ ‫وكان‬ ،)‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫مشتقة‬ )‫(س‬́‫ق‬ ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
)‫(لماذا؟‬ ‫س‬ )‫(س‬́‫ق‬
١-
٢
 ٢ = ‫س‬ )‫(س‬́‫ق‬2
١-
٢


١-
٢
| )‫ق(س‬٢ =
))1-(‫ق‬ − )2(‫(ق‬2 =
4 = )5 − 7(2 =
. ‫ص‬
‫س‬
‫جد‬‫أ‬� ، ‫س‬ ٢
‫س‬
2
3
 =‫ص‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :‫فكر‬‫أ‬�
.ً‫ا‬‫دائم‬ ً‫ا‬‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫المحدود‬ ‫التكامل‬ ‫مشتقة‬
‫ب؟‬ ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ٩٠ = ‫س‬ )٣ + ‫س‬٤(
‫ب‬
٦
 ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫(لماذا)؟‬
‫ب‬
٦
| )‫س‬3 +2
‫س‬2( = ‫س‬.)٣ + ‫س‬٤(
‫ب‬
٦


34
‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ب‬ :‫حيث‬ ،‫صفر‬ = ‫س‬ )‫ق(س‬
‫ب‬
‫ب‬

‫س‬4
)4 − ‫(س‬
٣
٣
 ‫قيمة‬ ‫ما‬
.‫دنى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحد‬ ‫يساوي‬ ‫على‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحد‬ ‫ن‬‫أ‬�‫ل‬ ،‫صفر‬ = ‫س‬4
)4 − ‫(س‬
٣
٣
 :ّ‫ل‬‫الح‬
)‫ق(ب‬ – )6(‫ق‬ =
90 = )‫ب‬3+2
‫ب‬2( – ))6( 3+ )36()2(( =
90 = )‫ب‬3 + 2
‫ب‬٢( − 90=
)‫(لماذا؟‬
٣-
٢ = ‫ب‬ ‫و‬‫أ‬� 0 = ‫ب‬ :‫إذن‬�
.‫المحدود‬ ‫التكامل‬ ‫على‬ ‫المحدود‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬ ‫قواعد‬ ‫جميع‬ ‫تنطبق‬ :‫ملاحظة‬
)٣( ‫نشاط‬
٦
٦
|)‫س‬٨ + ٢
‫(س‬ = ‫س‬)8 + ‫س‬2(
٦
٦

. ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ =
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ : ‫ن‬‫أ‬� ‫ستنتج‬‫أ‬�
‫المحدود‬ ‫ّكامل‬‫ت‬‫ال‬ ‫خصائص‬ :ً‫ا‬‫ثاني‬

35
)٤( ‫نشاط‬
:‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫الجدول‬ ‫كمل‬‫أ‬� ،)‫جـ‬+ ‫س‬6−2
‫(س‬ = ‫س‬ )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ّكامل‬‫ت‬‫ال‬
‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ّكامل‬‫ت‬‫ال‬ ‫قيمة‬
‫اني‬ّ‫ث‬‫ال‬ ‫ّكامل‬‫ت‬‫ال‬
‫اني‬ّ‫ث‬‫ال‬ ‫ّكامل‬‫ت‬‫ال‬ ‫قيمة‬
‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحالة‬
‫س‬ )‫ق(س‬
١
٣

4-
‫س‬ )‫ق(س‬
٣
١

‫الثانية‬ ‫الحالة‬
‫س‬ )‫ق(س‬
٢-
٠

‫س‬ )‫ق(س‬
٠
٢-

16
.‫حالة‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫كاملين‬ّ‫ت‬‫ال‬ ‫قيمة‬ ‫بين‬ ‫قارن‬‫أ‬�
._____________________________________________________________________ :‫ن‬‫أ‬� ‫ستنتج‬‫أ‬�
‫س‬ )‫ق(س‬
‫ب‬

− = ‫س‬ )‫ق(س‬

‫ب‬

‫؟‬ ‫س‬ )٧ + )‫ق(س‬٢(
٤
١
 ‫قيمة‬ ‫فما‬ ٩ = ‫س‬ )‫ق(س‬
١
٤
‫س‬ ٧
٤
١
 + ‫س‬ )‫ق(س‬
٤
١
 2 = ‫س‬ )٧ + )‫ق(س‬٢(
٤
١
٤
١
|‫س‬٧ + ‫س‬ )‫ق(س‬
١
٤
 ٢- =
‫(لماذا)؟‬ )28- 7( + )9()2-( =
39- = 21 − 18- =

36
)٥( ‫نشاط‬
:َّ‫ن‬‫إ‬�‫ف‬ ،‫ب‬  ‫جـ‬   ‫بحيث‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫جـ‬ ‫وكان‬ ،]‫ب‬ ،‫أ‬�[ ‫الفترة‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫معرف‬ )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬�
.‫ضافة‬ ‫ال�إ‬ ‫خاصية‬ ‫الخاصية‬ ‫هذه‬ ‫وتسمى‬ . ‫س‬ )‫ق(س‬
‫جـ‬
‫ب‬
 + ‫س‬ )‫ق(س‬

‫جـ‬
 = ‫س‬ )‫ق(س‬

‫ب‬

)٦( ‫مثــال‬
‫س؟‬ )‫ق(س‬٥
٣-
٦
 ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،٤ = ‫س‬ )‫ق(س‬
٢
٦
 ‫وكان‬ ، 2 = ‫س‬ )‫ق(س‬
3-
2
‫س‬ )‫ق(س‬
٢
٦
 + ‫س‬ )‫ق(س‬
٣-
٢
 = ‫س‬ )‫ق(س‬
٣-
٦
٦ = ٤ + ٢ =
٣٠ = ٦ ⨯ ٥ = ‫س‬ )‫ق(س‬
٣-
٦
 ٥ = ‫س‬ )‫ق(س‬٥
٣-
٦
 :‫اذن‬
10 = )0(‫ق‬ – )2(‫ق‬ =
٠
٢
| )‫س‬+2
‫س‬2( =‫س‬ )1+‫س‬4(
٠
٢
 )‫أ‬�
._______ = )2(‫ق‬ – )5(‫ق‬ =
٢
٥
| )‫س‬+2
‫س‬2( =‫س‬ )1+‫س‬4(
٢
٥
 )‫ب‬
.________ = )٠(‫ق‬ – )5(‫ق‬ =
٠
٥
| )‫س‬+2
‫س‬2( =‫س‬ )1+‫س‬4(
٠
٥
 )‫جـ‬
.‫جـ‬ ‫الفرع‬ ‫في‬ ‫إجابتي‬�‫و‬ ‫ب‬ ‫و‬ ‫أ‬� ‫الفرعين‬ ‫في‬ ‫إجابتي‬� ‫بين‬ ‫قارن‬‫أ‬�
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ : ‫ن‬‫أ‬� ‫ستنتج‬‫أ‬�
:‫إن‬�‫ف‬ ‫س‬ )1+‫س‬4( = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬�

37

) ٦ - ١ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬
١
2
٣
٤
:‫التالية‬ ‫التكاملات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ُ
‫حسب‬‫أ‬� )1
‫س‬ )3 + ‫س‬ (
١
٤
 )‫جـ‬ ‫س‬ )‫س‬2 − 7(
٢
٥
 )‫ب‬ ‫س‬ )1 + ‫س‬3(
٢-
١
 )‫أ‬�
‫س؟‬ )‫ع(س‬2
٢-
٢
 ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،‫جـ‬+‫س‬2-2
‫س‬3 = ‫س‬ )‫ع(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫س؟‬ )1-‫س‬2+)‫(هـ(س‬
٥
١
 ‫قيمة‬ ‫ما‬ ،12= ‫س‬ )‫هـ(س‬3
١
٥
‫ب؟‬ ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،12=‫س‬ )‫ب‬+‫س‬2(
٣
٥
‫جـ؟‬ ‫الثابت‬ ‫قيم‬/‫قيمة‬ ‫فما‬ ،‫صفر‬ = ‫س‬ ‫س‬6
١-
‫جـ‬
 ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� ٥
‫س؟‬ ))‫هـ(س‬ − )‫ق(س‬2(
١-
٥
 :‫قيمة‬ ‫فما‬ ،7 = ‫س‬ )‫هـ(س‬
٥
١-
 ،13 =‫س‬ )‫ق(س‬
١-
٥
‫س؟‬ )‫ق(س‬4
٢
٣
 ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،9- =‫س‬ )‫ق(س‬3
٣
٧
 ‫وكان‬ ،3 =‫س‬ )‫ق(س‬
٢
٧
٥
٦
٧

38
‫عـــــــامـــــــة‬ ‫تمـــــــاريــــن‬
:‫الصحيحة‬ ‫جابة‬ِ‫إ‬�‫ال‬ ‫رمز‬ ‫اختر‬ :‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫السؤال‬
‫)؟‬1(́‫ق‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،0≠‫س‬ ،
٢
‫س‬
=)‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� .١
2- )‫د‬
2 )‫جـ‬
8 )‫ب‬
8- )‫أ‬�
‫؟‬2=2
‫س‬ ،1- =1
‫س‬ ‫عند‬ 2-2
‫س‬3=)‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫لمنحنى‬ ‫القاطع‬ ‫ميل‬ ‫ما‬ .٢
٩ )‫د‬
١٢ )‫جـ‬
٦- )‫ب‬ ٣ )‫أ‬�
‫؟‬ ‫∆ص‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،6=‫∆س‬ ‫وكان‬ ،
٣
٢
‫يساوي‬ )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫في‬ ‫التغير‬ ‫متوسط‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� .٣
٦ )‫د‬
١٨ )‫جـ‬
٣ )‫ب‬
٩ )‫أ‬�
‫؟‬ )1(́‫ق‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ‫؛‬ )‫س‬2( )1−‫س‬5( = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬� .٤
٨ )‫أ‬�
١٠
)‫ ب‬
١٨ )‫جـ‬
٧- )‫د‬
‫)؟‬3(́‫ق‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،2≠‫س‬ ،
١ + ٢
‫س‬٣
‫س‬ − ٢ = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� .٥
٣٧ )‫أ‬�
٣٧-
)‫ ب‬
١٠ )‫جـ‬
١ )‫د‬

39
‫)؟‬7(́)‫هـ‬3⨯‫ق‬2( ‫قيمة‬ ‫فما‬ 1- =)7(́‫ـ‬‫ه‬ ،3= )7(́‫ق‬ ،2= )7(‫هـ‬ ،5- = )7(‫ق‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� .٦
٦٦ )‫أ‬�
٦-
)‫ ب‬
٦ )‫جـ‬
١٨- )‫د‬
‫)؟‬10-(́‫ق‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،)5 ،10-(‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫قيمة‬ )‫ق(س‬ ‫للاقتران‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� .٧
٥ )‫أ‬�
١٠-
)‫ ب‬
‫صفر‬ )‫جـ‬
٣ )‫د‬
‫)؟‬٢(́‫ق‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،‫جـ‬+‫س‬4 − 2
‫س‬3 =‫س‬ )‫(س‬́‫ق‬‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� .٨
١٢ )‫أ‬�
٤
)‫ ب‬
٢- )‫جـ‬
٨ )‫د‬
‫)؟‬٨(́‫ق‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،‫س‬ ٥
)2 − ‫س‬3 +3
‫س‬5(
١
٩
 =)‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� .٩
٢٤ )‫أ‬�
٤٤
)‫ ب‬
‫صفر‬ )‫جـ‬
٢ )‫د‬
‫س؟‬ )2+)‫ق(س‬3(
١
٧
 ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،4=‫س‬ )‫ق(س‬
٥
١
 ،6=‫س‬ )‫ق(س‬2
٥
٧
 ‫كان‬ ‫إذا‬� )10
٣٢ )‫أ‬�
٩
)‫ ب‬
٣٣ )‫جـ‬
٣ )‫د‬

40
‫جـ؟‬ ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬‫أ‬� ، ‫صفر‬ = )٢(́‫ق‬ ‫وكانت‬ ، ٦ _ ‫س‬ ‫جـ‬ _ ٣‫س‬ = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬� :‫الثاني‬ ‫السؤال‬
‫؟‬18=2
‫س‬ ‫إلى‬� 11 =1
‫س‬ ‫من‬ ‫س‬ ‫تتغير‬ ‫عندما‬ ،٢ − ‫س‬ = )‫ق(س‬ ‫الاقتران‬ ‫في‬ ‫التغير‬ ‫متوسط‬ ‫ما‬ :‫الثالث‬ ‫السؤال‬
‫؟‬‫صفر‬ = )‫(س‬́‫ق‬ ‫بحيث‬ ‫س‬ ‫قيم‬ / ‫قيمة‬ ‫جد‬‫أ‬� ‫؛‬٣ − ‫س‬١٢ - ٣
‫س‬ = )‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬� :‫الرابع‬ ‫السؤال‬
:1 + ‫س‬8 −2
‫س‬4 = )‫هـ(س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬� :‫السادس‬ ‫السؤال‬
‫هـ(س)؟‬ ‫للاقتران‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫فترات‬ ‫فما‬ )‫أ‬�
‫نوعها؟‬ ‫وما‬ ،)‫هـ(س‬ ‫للاقتران‬ ‫المحلية‬ ‫القصوى‬ ‫القيم‬ ‫ما‬ )‫ب‬
‫؟‬ ‫ب‬ ‫الثابت‬ ‫قيم‬ / ‫قيمة‬ ‫جد‬‫أ‬� ،٢٤ = ‫س‬ )١ +‫س‬٢(
‫ب‬
٥
 =)‫ق(س‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :‫الخامس‬ ‫السؤال‬
:‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫الجدول‬ ‫كمل‬‫أ‬� :‫ذاتي‬ ‫م‬ّ‫ي‬‫ق‬‫أ‬� :‫السابع‬ ‫السؤال‬
‫الانجاز‬ ‫مستوى‬ ‫الاداء‬ ‫مؤشر‬
‫منخفض‬ ‫متوسط‬ ‫مرتفع‬
‫التغير‬ ‫متوسط‬ ‫على‬ ‫مسائل‬ ‫احل‬
‫القواعد‬ ‫موظفا‬ ‫الاقترانات‬ ‫مشتقة‬ ‫اجد‬
‫للاقترانات‬ ‫المحلية‬ ‫القصوى‬ ‫القيم‬ ‫احدد‬
‫المحدود‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬ ‫على‬ ‫مسائل‬ ‫احل‬
‫منتمية‬ ‫مسائل‬ ‫حل‬ ‫في‬ ‫المحدود‬ ‫التكامل‬ ‫خواص‬ ‫اوظف‬

‫المصفوفات‬
Matrices
٢
‫ـرص‬‫ـ‬‫ويح‬ ،‫ـطين‬‫ـ‬‫فلس‬ ‫ـق‬‫ـ‬‫مناط‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫كثي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الرئيس‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الزراعي‬ ‫ـروات‬‫ـ‬ّ‫ث‬‫ال‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫النخي‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫يعتب‬
.‫ـة‬‫ـ‬‫بالزراع‬ ‫ـط‬‫ـ‬‫النم‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫همي‬‫أ‬� ‫ـش‬‫ـ‬‫ناق‬‫أ‬� ....‫ـدة‬‫ـ‬‫عم‬‫أ‬�‫و‬ ٍ
‫ـوف‬‫ـ‬‫صف‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫زراعت‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫المزارع‬
41

‫يكونوا‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫نشطتها‬‫أ‬� ‫مع‬ ‫والتفاعل‬ ‫الوحدة‬ ‫هذه‬ ‫دراسة‬ ‫من‬ ‫نتهاء‬‫ال�إ‬ ‫بعد‬ ‫الطلبة‬ ‫من‬ ‫يتوقع‬
:‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫خلال‬ ‫من‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫العمل‬ ‫الحياة‬ ‫في‬ ‫عليها‬ ‫والعمليات‬ ‫المصفوفات‬ ‫توظيف‬ ‫على‬ ‫قادرين‬
1
1 .
.‫وعناصرها‬ ‫المصفوفة‬ ‫ِلى‬‫إ‬� ‫عرف‬ّ‫ت‬‫ال‬
2
2 .
.‫وطرحهما‬ ‫ن‬ْ‫ي‬‫مصفوفت‬ ‫جمع‬ ‫ناتج‬ ‫ِيجاد‬‫إ‬�
3
3 .
.‫ن‬ْ‫ي‬‫مصفوفت‬ ‫ضرب‬ ‫ناتج‬ ‫ِيجاد‬‫إ‬�
4
4 .
.‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المربعة‬ ‫للمصفوفة‬ ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫ِيجاد‬‫إ‬�
5
5 .
.ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫باستخدام‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫مصفوف‬ ‫معادلات‬ ّ‫ل‬‫ح‬
6
6 .
.‫كريمر‬ ‫قاعدة‬ ‫باستخدام‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫الخط‬ ‫المعادلات‬ ‫من‬ ‫نظام‬ ّ‫ل‬‫ح‬
7
7 .
‫ـي‬‫ـ‬‫الضرب‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫النظي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫طريق‬ ‫ـتخدام‬‫ـ‬‫باس‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الخطي‬ ‫ـادلات‬‫ـ‬‫المع‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـام‬‫ـ‬‫نظ‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫ح‬
.‫للمصفوفــة‬
42

43
‫المصفــوفــة‬
)١ - 2(
)١( ‫نشاط‬
‫تعريف‬
‫ـر‬‫ـ‬‫توفي‬ ‫ـدف‬‫ـ‬‫به‬ ‫ـنوات؛‬‫ـ‬‫س‬ ١٠ ‫كل‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫واح‬ ‫ـرة‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـام‬‫ـ‬‫الع‬ ّ‫ـكاني‬‫ـ‬‫الس‬ ‫ـداد‬‫ـ‬‫التع‬ ‫ـراء‬‫ـ‬‫ِج‬‫إ‬�‫ب‬ ّ‫ـطيني‬‫ـ‬‫الفلس‬ ّ‫ي‬‫ـز‬‫ـ‬‫المرك‬ ‫ـاء‬‫ـ‬‫حص‬ِ‫إ‬�‫ال‬ ‫ـاز‬‫ـ‬‫جه‬ ‫ـوم‬‫ـ‬‫يق‬
‫ـلال‬‫ـ‬‫خ‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫للبيان‬ ‫ـنوي‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـث‬‫ـ‬‫بتحدي‬ ‫ـاز‬‫ـ‬‫الجه‬ ‫ـوم‬‫ـ‬‫ويق‬ ،ّ‫ـطيني‬‫ـ‬‫الفلس‬ ‫ـرد‬‫ـ‬‫الف‬ ‫ـاة‬‫ـ‬‫حي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫مناح‬ ‫ـتى‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫ح‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الحقيقي‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫البيان‬
.‫ـات‬‫ـ‬‫المحافظ‬ ‫كل‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫عين‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫دراس‬
‫ـام‬‫ـ‬‫الع‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نهاي‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫حت‬ ‫ـطينية‬‫ـ‬‫الفلس‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫المحافظ‬ ‫ـض‬‫ـ‬‫بع‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـكان‬‫ـ‬‫الس‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫ح‬ ّ‫ي‬‫ـز‬‫ـ‬‫المرك‬ ‫ـاء‬‫ـ‬‫حص‬ِ‫إ‬�‫ال‬ ‫ـاز‬‫ـ‬‫جه‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫بيان‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬
َّ‫م‬‫ـ‬‫ـ‬‫فت‬ ‫م‬2014 ‫ـام‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫م‬‫أ‬� ،‫ـف‬‫ـ‬‫ل‬‫أ‬� 570 ‫ـزة‬‫ـ‬‫غ‬ ،‫ـف‬‫ـ‬‫ل‬‫أ‬� 48 ‫ـا‬‫ـ‬‫ريح‬‫أ‬� ،‫ـف‬‫ـ‬‫ل‬‫أ‬� 397 ‫ـدس‬‫ـ‬‫الق‬ :‫ـي‬‫ـ‬‫ت‬‫آ‬�‫كال‬ )‫ـف‬‫ـ‬‫ل‬‫أ‬� ‫ـرب‬‫ـ‬‫ق‬‫أ‬�‫(ل‬ ‫م‬2012
.ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫لف‬‫أ‬� 667 ‫ـزة‬‫ـ‬‫وغ‬ ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫لف‬‫أ‬� 51‫ـا‬‫ـ‬‫ريح‬‫أ‬� ،ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫لف‬‫أ‬� 412 ‫ـدس‬‫ـ‬‫الق‬ :‫ـي‬‫ـ‬‫ت‬‫آ‬�‫كال‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫البيان‬ ‫ـذه‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـث‬‫ـ‬‫تحدي‬
. ______ ‫يساوي‬ ‫م‬2012 ‫عام‬ ‫القدس‬ ‫سكان‬ ‫عدد‬
.______ ‫يساوي‬ ‫م‬2014 ‫عام‬ ‫ريحا‬‫أ‬� ‫سكان‬ ‫عدد‬
.______ ‫يساوي‬ ‫م‬2012 ‫عام‬ ‫غزة‬ ‫سكان‬ ‫عدد‬
:‫تي‬‫آ‬�‫كال‬ ‫عمدة‬‫أ‬�‫و‬ ‫صفوف‬ ‫في‬ ‫البيانات‬ ‫هذه‬ ‫م‬ِّ‫ظ‬‫ن‬‫أ‬�
‫م‬2014 ‫عام‬ ‫السكان‬ ‫عدد‬ ‫م‬2012 ‫عام‬ ‫السكان‬ ‫عدد‬
_____ _____ ‫القدس‬
_____ _____ ‫ريحا‬‫أ‬�
_____ _____ ‫ة‬ّ‫ز‬‫غـــــــــــ‬
‫خرى؟‬‫أ‬� ‫منظومة‬ ‫في‬ ‫البيانات‬ ‫هذه‬ ‫ترتيب‬ ‫يمكن‬ ‫كيف‬
‫محصورة‬ ،)‫عددها(ن‬ ‫عمدة‬‫أ‬�‫و‬ )‫(م‬ ‫عددها‬ ‫صفوف‬ ‫هيئة‬ ‫على‬ ‫حقيقية‬ ‫عداد‬‫أ‬�‫ل‬ ‫الشكل‬ ‫مستطيل‬ ‫تنظيم‬ ‫هي‬ :‫المصفوفة‬
.‫ن‬ × ‫م‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المصفوفة‬ ‫وتكون‬ ،‫الهجائية‬ ‫الحروف‬ ‫حد‬‫أ‬�‫ب‬ ‫لها‬ ‫ويرمز‬ ، ‫النوع‬ ‫من‬ ‫قوسين‬ ‫بين‬
Matrix

44
)2( ‫نشاط‬
٢
٠
٥
= ‫جـ‬ ،
٧
٥
١٠
٠
٧
٢
1
4-
٠
= ‫ب‬ ،
1
3
6
2-
4
8-
=  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
)‫(لماذا؟‬ .2×3 ‫تساوي‬  ‫المصفوفة‬ ‫رتبة‬ )‫أ‬�
.________‫تساوي‬ ‫ب‬ ‫المصفوفة‬ ‫رتبة‬ )‫ب‬
.________‫تساوي‬ ‫جـ‬ ‫المصفوفة‬ ‫رتبة‬ )‫جـ‬
23
 ‫المدخلة‬ ‫يسمى‬ ‫ولذلك‬ ، ‫المصفوفة‬ ‫في‬ ‫الثاني‬ ‫والعمود‬ ‫الثالث‬ ‫الصف‬ ‫تقاطع‬ ‫في‬ 6‫العدد‬ ‫يقع‬ )‫د‬
. ‫المصفوفة‬ ‫في‬ 8- ‫قيمتها‬ ‫التي‬ ‫المدخلة‬ ِّ‫م‬‫س‬‫أ‬� :‫فكر‬‫أ‬�
:‫حيث‬ ،‫هـ‬ ‫ي‬
 ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ ،‫مدخلة‬  ‫المصفوفة‬ ‫في‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫ى‬ّ‫م‬‫يس‬
.‫المدخلة‬ ‫فيه‬ ‫تقع‬ ‫الذي‬ ‫العمود‬ :)‫(هـ‬ ،‫المدخلة‬ ‫فيه‬ ‫تقع‬ ‫الذي‬ ‫الصف‬ :)‫(ي‬
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫سئلة‬‫أ‬�‫ال‬ ‫على‬ ُ
‫جيب‬‫أ‬�‫ف‬ ،
٦
3
٨-
2-
٩
٧
=  ‫المصفوفة‬ ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫؟‬ ‫المصفوفة‬ ‫رتبة‬ ‫ما‬ )‫أ‬�
‫؟‬23
 ،12
 ،21
 :‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المدخلات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫ما‬ )‫ب‬

. ‫المصفوفة‬ ‫في‬ 3 ‫قيمتها‬ ‫التي‬ ‫المدخلة‬ ِّ‫م‬‫س‬‫أ‬� )‫جـ‬

45
.2 × 3 =  ‫المصفوفة‬ ‫رتبة‬ )‫أ‬�
8- =23
 ‫المدخلة‬ ،9 =12
 ‫المدخلة‬ ،6 = 21
 ‫المدخلة‬ )‫ب‬
‫(لماذا)؟‬ .3 =22
 ‫المدخلة‬ )‫جـ‬
)3( ‫نشاط‬
)4( ‫نشاط‬
:‫إن‬�‫ف‬ ،
8
9
3
6-
5
1 =  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
.__________ ‫تساوي‬  ‫المصفوفة‬ ‫رتبة‬
3 = 21

._________ =12

._____=12
- 21

.‫صفر‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫وقيمة‬ ،‫ربعة‬‫أ‬� ‫مدخلاتها‬ ‫عدد‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ،‫الممكنة‬ ‫المصفوفات‬ ‫جميع‬ ُ
‫كتب‬‫أ‬�
0 0 0 0
= 
.____________ =‫ب‬
.____________ = ‫جـ‬

46
:‫المصفوفات‬ ‫نواع‬‫أ‬� ‫من‬
:‫الصف‬ ‫مصفوفة‬
.‫ن‬×1 ‫رتبتها‬ ‫وتكون‬ ،‫عمدة‬‫أ‬�‫ال‬ ‫من‬ )‫و(ن‬ ،‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫صف‬ ‫من‬ ‫ن‬َّ‫و‬‫تتك‬ ‫التي‬ ‫المصفوفة‬ ‫هي‬
:‫العمود‬ ‫مصفوفة‬
.1×‫م‬ ‫رتبتها‬ ‫وتكون‬ ،‫الصفوف‬ ‫من‬ )‫م‬ (‫و‬ ،‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫عمود‬ ‫من‬ ‫ن‬َّ‫و‬‫تتك‬ ‫التي‬ ‫المصفوفة‬ ‫هي‬
:‫المربعة‬ ‫المصفوفة‬
‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوف‬ ‫ـمى‬‫ـ‬‫وتس‬ ،)‫(ن‬ ‫ـاوي‬‫ـ‬‫ويس‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫عم‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـوف‬‫ـ‬‫الصف‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫فيه‬ ‫ـاوى‬‫ـ‬‫يتس‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الت‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوف‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ه‬
.‫ـة‬‫ـ‬‫النوني‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الرتب‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مربع‬
.)‫بالرمز(و‬ ‫لها‬ ‫ويرمز‬ ،ً‫ا‬‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫فيها‬ ‫مدخلة‬ ‫كل‬ ‫تكون‬ ‫التي‬ ‫المصفوفة‬ ‫هي‬ :‫الصفرية‬ ‫المصفوفة‬
.‫ومانوعها‬ ‫تية؟‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المصفوفات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫رتبة‬ ‫ما‬
.
٠
٠
٠
٠
٠
٠ =‫و‬ ،
٣
٤
٩
٩
٥
١-
1
٥
٦
=‫ع‬ ،
3
٠
9
=‫ص‬ ، 0,5 9- 2
=‫س‬
.‫عمود‬ ‫مصفوفة‬ ‫ص‬ ،1×3 =‫ص‬ ‫رتبة‬ )2
.‫صف‬ ‫مصفوفة‬ ‫وهي‬ ،3×1 = ‫س‬ ‫رتبة‬ )1
.‫صفرية‬ ‫مصفوفة‬ ‫وهي‬ ،3×2 =‫و‬ ‫رتبة‬ )4 .‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬ ‫ع‬ )3
‫تعريف‬
.‫متساوية‬ ‫المتناظرة‬ ‫مدخلاتهما‬ ‫جميع‬ ‫وكانت‬ ،‫نفسها‬ ‫الرتبة‬ ‫لهما‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� ‫ب‬ ، ‫المصفوفتان‬ ‫تتساوى‬

47
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫الحالات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫متساويتان‬ ‫المصفوفتان‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬� ‫فيما‬ ‫بين‬‫أ‬�
٠
٣
١
٣
١
٧
٥
٦
٨
=‫ب‬
،
٠
٣
١
٣
١
٧
٥
٦
٨
= 
‫؟‬
٩ ٣ ١
=‫ص‬
،
١
٣
9
=‫س‬
1
1)
.‫متساوية‬ ‫المتناظرة‬ ‫ومدخلاتهما‬ ،‫نفسها‬ ‫الرتبة‬ ‫لهما‬ ‫ن‬‫أ‬�‫ل‬ ‫متساويتان؛‬ ‫ب‬ ، ‫المصفوفتان‬
2
2)
3×1 = ‫ص‬ ‫رتبة‬ ‫ما‬‫أ‬� 1×3 =‫س‬ ‫رتبة‬ ‫ن‬‫أ‬�‫ل‬ ،‫متساويتين‬ ‫غير‬ ‫ص‬ ،‫س‬ ‫المصفوفتان‬
‫ب؟‬ =  ‫تجعل‬ ‫التي‬ ‫س‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ، ٩- ٤
=‫ب‬ ،
٢+‫س‬ ٤
= ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
٩- ٤ = ٢+‫س‬ ٤ ‫ن‬‫أ‬� ‫بما‬
9- = 2+‫س‬ ‫إذن‬�
.11- =‫س‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫ينتج‬ ‫المعادلة‬ ّ‫ل‬‫وبح‬
.2=‫ص‬ ،2=‫س‬ ّ‫ن‬‫أ‬� ‫ن‬ّ‫ي‬‫ب‬‫أ‬� ،
٣
٤
٤
٢+‫س‬ =
١+‫ص‬
٤
٢
‫س‬
٤ :‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�

48
) ١ - ٢ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬
‫ـع‬‫ـ‬‫المصن‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫له‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ .ّ‫ي‬‫ـر‬‫ـ‬‫والدائ‬ ،‫ـتطيل‬‫ـ‬‫المس‬ ،‫ـع‬‫ـ‬‫المرب‬ :‫ـون‬‫ـ‬‫الصح‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـكال‬‫ـ‬‫ش‬‫أ‬� ‫ـة‬‫ـ‬‫ثلاث‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الزجاجي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫وان‬‫أ‬�‫لل‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫مصن‬ ‫ـج‬‫ـ‬‫ينت‬
:‫ـي‬‫ـ‬‫ت‬‫أ‬�‫ي‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫كم‬ ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫يومي‬ ‫ـرع‬‫ـ‬‫ف‬ ‫كل‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫ينتجه‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الت‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫الصح‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ع‬ ‫وكان‬ ،‫ـه‬‫ـ‬‫الل‬ ‫رام‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫خ‬‫آ‬�‫وال‬ ،‫ـل‬‫ـ‬‫الخلي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫حدهم‬‫أ‬� ‫ـن‬‫ـ‬‫فرعي‬
.‫الشكل‬ ‫دائري‬ ً‫ا‬‫صحن‬ 230 ،‫الشكل‬ ‫مستطيل‬ ٍ‫صحن‬ 470،‫الشكل‬ ‫مربع‬ ٍ‫صحن‬ 500:‫الخليل‬
ُ
‫ـب‬‫ـ‬‫كت‬‫أ‬� .‫ـكل‬‫ـ‬‫الش‬ ‫ـري‬‫ـ‬‫دائ‬ ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫صحن‬ 180 ،‫ـكل‬‫ـ‬‫الش‬ ‫ـتطيل‬‫ـ‬‫مس‬ ٍ‫ـن‬‫ـ‬‫صح‬ 250 ،‫ـكل‬‫ـ‬‫الش‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫مرب‬ ٍ‫ـن‬‫ـ‬‫صح‬ 400 :‫ـه‬‫ـ‬‫الل‬ ‫رام‬
.3×2 ‫ـة‬‫ـ‬‫الرتب‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مصفوف‬ ‫ـكل‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـابقة‬‫ـ‬‫الس‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫البيان‬
: ٨ ٣ ١ = ‫جـ‬ ،
٨-
٠
١
٥
٠
١
٢
٣
٠
٤
= ‫ب‬ ،
٠
٠
٠
٠
٠
٠
‫السابقة؟‬ ‫المصفوفات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫رتبة‬ ‫فما‬ )‫أ‬�
‫منها؟‬ ‫كل‬ ‫نوع‬ ‫ما‬ )‫ب‬
‫؟‬ 31
‫ب‬، 12
 ،2 1
‫جـ‬ :‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المدخلات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫ما‬ )‫جـ‬
:‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫فيما‬ ‫جـ‬ ،‫ب‬ ‫الثابتين‬ ‫قيم‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
٥
١ + ‫جـ‬
٧
٧ =
٥
‫ب‬
‫ب‬-٤
٧ )‫أ‬�
٥
٨
٧
=
٥
‫ب‬٣ -٢
‫ب‬ + ‫ـ‬‫ج‬
)‫ب‬
٢
‫جـ‬
‫ب‬
٦
٥
١
٨ =
٩
٢
‫ب‬
٦
٥
١
٨ )‫جـ‬
:‫حيث‬ ‫ص‬ ،‫س‬ ‫قيمة‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
٥
‫ص‬٢ - ‫س‬
٤
٤ =
٥
١
‫ص‬+‫س‬
٤
١
٢
٣
٤

49
‫المصفوفات‬ ‫على‬ ‫العمليات‬
)٢ - 2(
)١( ‫نشاط‬
‫الفلسطينية‬ ‫المحافظات‬ ‫بعض‬ ‫تمتاز‬
‫العاملين‬ ‫عدد‬ ‫ويعتبر‬ ،ّ‫السياحي‬ ‫بالنشاط‬ ‫غيرها‬ ‫عن‬
.‫القطاع‬ ‫لهذا‬ ‫الاقتصادية‬ ‫القوة‬ ‫مؤشرات‬ ‫حد‬‫أ‬� ‫الفنادق‬ ‫في‬
‫عداد‬‫أ‬� ‫تمثلان‬
310
250 = ‫ب‬ ،
190
102 =  ‫المصفوفتان‬
.‫المركزي‬ ‫حصاء‬ ‫ال�إ‬ ‫جهاز‬ ‫بيانات‬ ‫بحسب‬ ،‫م‬2012 ‫عام‬ ‫خلال‬ ‫الفنادق‬ ‫في‬ ‫العاملين‬
‫ـادق‬‫ـ‬‫الفن‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫العاملي‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ب‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوف‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫تمث‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫فيم‬ .‫ـطين‬‫ـ‬‫فلس‬ ‫ـمال‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـادق‬‫ـ‬‫الفن‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫العاملي‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ع‬  ‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوف‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫تمث‬
.‫ـطين‬‫ـ‬‫فلس‬ ‫ـوب‬‫ـ‬‫جن‬
.‫الفنادق‬ ‫في‬ ‫العاملين‬ ‫من‬ ‫ناث‬‫ال�إ‬ ‫عدد‬ ‫الثاني‬ ‫الصف‬ ‫يمثل‬ ‫فيما‬ ،‫الذكور‬ ‫عدد‬ ‫يمثل‬ ‫المصفوفتين‬ ‫كلا‬ ‫في‬ ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الصف‬
.‫عامل‬ 500 = 310+190= ‫م‬2012 ‫عام‬ ‫فلسطين‬ ‫فنادق‬ ‫جميع‬ ‫في‬ ‫الذكور‬ ‫العاملين‬ ‫عدد‬
.__________= ‫م‬2012 ‫عام‬ ‫فلسطين‬ ‫فنادق‬ ‫جميع‬ ‫في‬ ‫العاملات‬ ‫عدد‬
. ‫فلسطين‬ ‫فنادق‬ ‫جميع‬ ‫في‬ )ً‫ا‬‫إناث‬�‫و‬ ً‫ا‬‫ذكور‬ (‫العاملين‬ ‫عداد‬‫أ‬� ‫جـ‬ ‫المصفوفة‬ ‫تمثل‬
500
___ = ‫جـ‬
:‫المصفوفات‬ ‫جمع‬ :ً‫ا‬‫ول‬‫أ‬�
‫تعريف‬
‫ـث‬‫ـ‬‫حي‬ ،‫ــ‬‫ـ‬‫ج‬ = ‫ب‬ + ‫ـن‬‫ـ‬‫المصفوفتي‬ ‫ـوع‬‫ـ‬‫مجم‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫×ن‬ ‫م‬ ‫ـها‬‫ـ‬‫نفس‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الرتب‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫منهم‬ ‫كل‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫مصفوفتي‬ ‫ب‬ ، ‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫ـن‬‫ـ‬‫المناظرتي‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫المدخلتي‬ ‫ـوع‬‫ـ‬‫لمجم‬ ‫ـاوية‬‫ـ‬‫مس‬ ‫ــ‬‫ـ‬‫ج‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوف‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مدخل‬ ‫كل‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫وتك‬ ،‫×ن‬ ‫م‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الرتب‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مصفوف‬ ‫ــ‬‫ـ‬‫ج‬
‫ــ‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ي‬
‫ب‬ + ‫ــ‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ي‬
 = ‫ــ‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ي‬
‫ــ‬‫ـ‬‫ج‬ :‫ن‬‫أ‬� ‫ي‬‫أ‬�، ‫ب‬ ، ‫ـن‬‫ـ‬‫المصفوفتي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫له‬
Matrix Operations

50
._____________________________________ ‫ر‬ِّ‫فس‬‫أ‬� ‫ب؟‬+ ‫العملية‬ ‫ِجراء‬‫إ‬� ‫يمكن‬ ‫هل‬
)٢( ‫نشاط‬
:ّ‫ن‬‫إ‬�‫ف‬
٤-
٩-
٣
٥ = ‫ب‬
٢
٤
٨
٥
٦
٩ =  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
3 × 2 =  ‫رتبة‬
.____ = ‫ب‬ ‫رتبة‬
.)‫مكن‬‫أ‬� ‫إن‬�( ‫ب‬ + ‫أ‬� ‫جد‬‫أ‬� ،
٩
٣
٤
١
٣
٣-
١-
٣
١٠
= ‫ب‬ ،
٢-
٣
٥
٥
١
٤
٨
٤
٨-
=  ‫كانت‬ ‫إذا‬�
.‫تي‬‫آ‬�‫كال‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫ِجراء‬‫إ‬� ‫يمكن‬ ‫ِنه‬‫إ‬�‫ف‬ ،‫ب‬ ‫المصفوفة‬ ‫رتبة‬ =  ‫المصفوفة‬ ‫رتبة‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫بما‬
٩+ ٢-
٣ + ٣
٤ + ٥
١ + ٥
٣ + ١
٣- + ٤
١- + ٨
٣ + ٤
١٠ + ٨-
=
٩
٣
٤
١
٣
٣-
١-
٣
١٠
+
٢-
٣
٥
٥
١
٤
٨
٤
٨-
= ‫ب‬ + 
٧
٦
٩
٦
٤
١
٧
٧
٢
=

51
)٣( ‫نشاط‬
)4( ‫نشاط‬
٩
١-
٦
٣
٤
٦ = ‫ب‬ ،
٢
١
٥
٤
٧
٦ =  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
.___________________________________ = ‫ب‬ + 
.____________________________________ =  + ‫ب‬
‫تلاحظ؟‬ ‫ماذا‬
١١
٣
٥-
١- = ‫جـ‬
،
٢
٠
٤
٣- = ‫هـ‬
،
٥
٨
٣
٧- = ‫ع‬ ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
١٨
١١
٢
١١- =
١١
٣
٥-
١- +
٢
٠
٤
٣- +
٥
٨
٣
٧- = ‫جـ‬ + )‫هـ‬ + ‫(ع‬ )‫أ‬�
_____________________________________ = )‫جـ‬ + ‫(هـ‬ + ‫ع‬ )‫ب‬
.‫النتيجتين‬ ‫بين‬ ‫قارن‬‫أ‬�
.‫تبديلية‬ ‫عملية‬ ‫هي‬ ‫المصفوفات‬ ‫جمع‬ ‫عملية‬
.‫تجميعية‬ ‫عملية‬ ‫هي‬ ‫المصفوفات‬ ‫جمع‬ ‫عملية‬

52
)٥( ‫نشاط‬
:‫إن‬�‫ف‬
٠
٠
٠
٠
٠
٠ = ‫و‬ ،
٣
٤
٤
٥
٥
٧ =  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
٣
٤
٤
٥
٥
٧ =
٠
٠
٠
٠
٠
٠ +
٣
٤
٤
٥
٥
٧ = ‫و‬ + 
‫لاحظ؟‬ُ‫ت‬ ‫ماذا‬ .______________ =  +‫و‬
.‫المصفوفات‬ ‫جمع‬ ‫لعملية‬ ‫المحايدة‬ ‫المصفوفة‬ ‫هي‬ )‫(و‬ ‫الصفرية‬ ‫المصفوفة‬
)٦( ‫نشاط‬
:‫ثابت‬ ‫بعدد‬ ‫المصفوفات‬ ‫ضرب‬ :ً‫ا‬‫ثاني‬
:‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ،
٣
٧
٤
٣
٦
١ =  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
___________ =
٣
٧
٤
٣
٦
١ +
٣
٧
٤
٣
٦
١ +
٣
٧
٤
٣
٦
١ =  +  +  )‫أ‬�
_____________________ =
٣×٣
٣×٧
٣×٤
٣×٣
٣×٦
٣×١ = )3( )‫ب‬
.‫جابتين‬ِ‫إ‬�‫ال‬ ‫بين‬ ُ‫ن‬‫قار‬‫أ‬� )3
‫تعريف‬
‫كل‬ ‫تكون‬ ‫حيث‬ ،‫م×ن‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫مصفوفة‬ . ‫جـ‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ً‫ا‬‫حقيقي‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫جـ‬ ‫وكان‬ ،‫م×ن‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫مصفوفة‬  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
)‫هـ‬ ‫ي‬
‫(جـ‬ = )‫هـ‬ ‫ي‬
(‫جـ‬ :‫ن‬‫أ‬� ‫ي‬‫أ‬� .‫جـ‬ ‫بالثابت‬ ‫مضروبة‬  ‫المصفوفة‬ ‫في‬ ‫لها‬ ‫المناظرة‬ ‫للمدخلة‬ ‫مساوية‬ ‫فيها‬ ‫مدخلة‬

53
‫ص)؟‬-( +‫س‬ : ‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫العملية‬ ‫ِجراء‬‫إ‬� ‫يمكن‬ ‫هل‬
:‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
٦
٤
١
٨
٠
٣ = ‫ص‬ ،
٣
١
٤
٧
٥
٤
٦
١ = ‫س‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬�
‫ص‬ ٣
٥ )‫ب‬
‫س‬٧ )‫أ‬�
.
٢١
٧
٢٨
٤٩
٣٥
٢٨
٤٢
٧ = ‫س‬٧ )‫أ‬�
١٨
٥
١٢
٥
٣
٥
٢٤
٥
٠
٩
٥
= ‫ص‬ ٣
٥ )‫ب‬
:‫المصفوفات‬ ‫طرح‬ :ً‫ا‬‫ثالث‬
‫تعريف‬
:‫المصفوفتين‬ ‫طرح‬ ‫ناتج‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ،‫×ن‬‫م‬ ‫نفسها‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫مصفوفتين‬ ‫ب‬ ، ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫طــرح‬ ‫لناتــج‬ ً‫ة‬‫مســاوي‬ ‫ــ‬‫ـ‬‫ج‬ ‫فــي‬ ‫مدخلــة‬ ‫كل‬ ‫وتكــون‬ .‫×ن‬‫م‬ ‫الرتبــة‬ ‫مــن‬ ‫مصفوفــة‬ ‫ــ‬‫ـ‬‫ج‬ ‫حيــث‬ ،‫ــ‬‫ـ‬‫ج‬ = ‫ب‬ - 
،‫ب‬ ، ‫المصفوفتيــن‬ ‫فــي‬ ‫لهــا‬ ‫المناظرتيــن‬ ‫المدخلتيــن‬
‫هـ‬ ‫ي‬
‫ب‬ - ‫هـ‬ ‫ي‬
=‫هـ‬ ‫ي‬
‫جـ‬ :‫ن‬‫أ‬� ‫ي‬‫أ‬�

54
: )‫مكن‬‫أ‬� ‫ِن‬‫إ‬�( ‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫ما‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬‫أ‬�
٤
٢-
9
−
٤
٦
٨
)١
.
٥
٨
٨
٧
٤
٣- −
٣
٦
١
٩ )٢
٠
٨
١-
=
٤
٢-
٩
−
−
−
٤
٦
٨
=
٤
٢-
9
−
٤
٦
٨
)١
.‫متساويتين‬ ‫غير‬ ‫المصفوفتين‬ ‫رتبتي‬ ‫ن‬‫أ‬�‫ل‬ ‫الطرح‬ ‫عملية‬ ‫ِجراء‬‫إ‬� ‫لايمكن‬ )٢
:‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫ما‬ ‫جد‬‫أ‬� ،
٣
١-
٣-
٤ = ‫ب‬ ،
٣-
١
٣
٤- =  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
 + ‫ب‬ )٢ ‫ب‬ +  )١
٠
٠
٠
٠ =
٣
١-
٣-
٤ +
٣-
١
٣
٤- = ‫ب‬ +  )١
٠
٠
٠
٠ =
٣-
١
٣
٤- +
٣
١-
٣-
٤ =  + ‫ب‬ )٢

55
، ‫للمصفوفة‬ ّ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫هي‬ ‫ب‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ،‫و‬ =  + ‫ب‬ = ‫ب‬ +  :‫حيث‬ ‫مصفوفتين‬ ‫ب‬ ، ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
- = ‫ب‬ ‫وتكون‬
)٧( ‫نشاط‬
‫ـة‬‫ـ‬‫والنخال‬ ‫ـض‬‫ـ‬‫بي‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫والطحي‬ ‫ـدي‬‫ـ‬‫البل‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫الطحي‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ )‫ـن‬‫ـ‬‫(بالط‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫مبيعاته‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫رص‬ ‫ـطيني‬‫ـ‬‫الفلس‬ ‫ـح‬‫ـ‬‫القم‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫مطاح‬ ‫ـركة‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـادت‬‫ـ‬‫اعت‬
.‫ـا‬‫ـ‬‫له‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫التابعي‬ ‫ـاج‬‫ـ‬‫نت‬ ‫ال�إ‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫خط‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ،‫ـهور‬‫ـ‬‫ش‬ 4 ‫كل‬ ‫ـرة‬‫ـ‬‫م‬
‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫م‬201٨ ‫ـام‬‫ـ‬‫الع‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـباط‬‫ـ‬‫وش‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ثان‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫كان‬ ‫ـهري‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـلال‬‫ـ‬‫خ‬ ‫ـركة‬‫ـ‬‫الش‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫مبيع‬ ،
٦٠
٢٠
١٠
٥٠
٢٠
١٠
=  ‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوفــ‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫تمث‬
.ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫مع‬ ‫ـاج‬‫ـ‬‫الانت‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫خط‬
‫م‬201٨ ‫ـام‬‫ـ‬‫الع‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫ربع‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـهر‬‫ـ‬‫ش‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـركة‬‫ـ‬‫الش‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫مبيع‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫مجم‬ ،
١٣٠
٥٠
٣٠
١١٠
٦٠
٣٠
= ‫ــ‬‫ـ‬‫ج‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوفــ‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫وتمث‬
.ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫مع‬ ‫ـاج‬‫ـ‬‫الانت‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫خط‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬
.________ ‫جـ‬ ، ‫المصفوفتين‬ ‫بدلالة‬ ً‫ا‬‫مع‬ ‫ونيسان‬ ‫آذار‬� ‫شهري‬ ‫مبيعات‬ ‫تمثل‬ ‫التي‬ ‫س‬ ‫المصفوفة‬ ‫عن‬ ‫ر‬ّ‫ب‬‫ع‬‫أ‬� -
._________ =‫ونيسان‬ ‫آذار‬� ‫شهري‬ ‫خلال‬ ‫الشركة‬ ‫مبيعات‬ ‫تمثل‬ ‫التي‬ ‫س‬ ‫المصفوفة‬ ‫جد‬‫أ‬� -

56
٣
٢
١
٥- =
٥-
١-
٢
٣- 3 +‫س‬ :‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫المصفوف‬ ‫المعادلة‬ ّ‫ل‬‫ح‬‫أ‬�
:‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ّ‫حقيقي‬ ‫بعدد‬ ‫المصفوفات‬ ‫ضرب‬ ‫خاصية‬ ‫باستخدام‬
٣
٢
١
٥- =
١٥-
٣-
٦
٩- + ‫س‬
٨
٢
٧-
١ + ‫س‬ =
١٢
٠
٩
١١ - ‫س‬3 :‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫المصفوف‬ ‫المعادلة‬ ّ‫ل‬‫ح‬‫أ‬�
١٢
٠
٩
١١ +
٨
٢
٧-
١ =‫س‬ - ‫س‬3
،
٢٠
٢
٢
١٢ =‫س‬2
١٠
١
١
٦ =‫س‬ ‫ومنها‬
:‫ينتج‬ ‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫إلـى‬�
١٥-
٣-
٦
٩- ‫للمصفوفة‬ ّ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫ِضافة‬‫إ‬�‫وب‬
١٥
٣
٦-
٩ +
٣
٢
١
٥- =
١٥
٣
٦-
٩ +
١٥-
٣-
٦
٩- +‫س‬
١٨
٥
٥-
٤ =
٠
٠
٠
٠ +‫س‬
١٨
٥
٥-
٤ = ‫س‬
:‫إذن‬�

57

١
٢
٣
٤
٥
٦
٢٢ ،25 ،٣٢ ‫للبنات‬ ‫الزهراء‬ ‫فاطمة‬ ‫مدرسة‬ ‫في‬ ّ‫والزراعي‬ ّ‫ي‬‫والرياد‬ ّ‫دبي‬‫أ‬�‫ال‬ :‫الفروع‬ ‫طالبات‬ ‫عدد‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
ُ
‫جيب‬‫أ‬� .‫الترتيب‬ ‫على‬ 16 ،٢٠ ،٣٠ ‫الفروع‬ ‫نفس‬ ‫في‬ ‫للذكور‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫الهاشمــ‬ ‫المدرسة‬ ‫طلاب‬ ‫عدد‬ ،‫الترتيب‬ ‫على‬
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫سئلة‬‫أ‬�‫ال‬ ‫عن‬
.‫عمود‬ ‫مصفوفة‬ ‫في‬ ‫مدرسة‬ ‫كل‬ ‫بيانات‬ ‫م‬ّ‫ظ‬‫ن‬‫أ‬� )‫أ‬�
‫المدرستين؟‬ ‫كلا‬ ‫في‬ ّ‫الزراعي‬ ‫الفرع‬ ‫طلبة‬ ‫مجموع‬ ‫ما‬ )‫ب‬
‫المدرستين؟‬ ‫كلا‬ ‫في‬ ‫الطلاب‬ ‫عدد‬ ‫عن‬ ‫الفروع‬ ‫جميع‬ ‫في‬ ‫الطالبات‬ ‫عدد‬ ‫في‬ ‫الزيادة‬ ‫تمثل‬ ‫التي‬ ‫المصفوفة‬ ُ
‫كتب‬‫أ‬� )‫جـ‬
‫؟‬25
‫جـ‬ ‫المدخلة‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،8- =25
‫ب‬ ‫والمدخلة‬ ،9 =25
 ‫المدخلة‬ ‫وكانت‬ ،‫ب‬ + 2 =‫جـ‬ ‫المصفوفة‬ ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
٢
١
٤
٤
١
٧ =‫ع‬ ،
١
٨
٣
٦
٥
٤
٧
٢ =‫ص‬ ،
٦
٣
٢
١
٣
٥
٨
٦ =‫س‬ ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
:)‫مكن‬‫أ‬� ‫ِن‬‫إ‬�( ‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫ما‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
٤ ×٢
‫و‬3 - ‫ص‬2 )‫هـ‬ ‫ع‬2 - ‫س‬ )‫د‬ ‫س‬ - ‫ص‬5 )‫جـ‬ ‫ص‬4 - ‫س‬3 )‫ب‬ ‫ص‬ + ‫س‬ )‫أ‬�
٣
٠
٢
٣
١
٣- 4 −
٣
٥
٢
٦
٥
١ 3 ‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫ما‬ ‫ناتج‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
‫ب‬3 -  =‫س‬2 :‫حيث‬ ‫س‬ ‫المصفوفة‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� ،
٠
١
٧
٤
٨
٢-
= ‫ب‬ ،
٧-
١
١-
٢
٤
٢-
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫المصفوف‬ ‫المعادلات‬ ‫من‬ ً‫ا‬‫كل‬ ّ‫ل‬‫ح‬‫أ‬�
٢-
٥
١
٠ 2 − ‫س‬ =
٣-
٢
٢
١ + ‫س‬ 2 )‫ب‬
٨
١
٣
٤- =
٥
١
١-
٤ 3 + ‫س‬ )‫أ‬�
٦-
٠
٤
٠
٥
٧
= ‫س‬2-
٤
٢
٦
٢
١
٧
)‫جـ‬
) ٢ - ٢ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬

58
‫المصفوفات‬ ‫ضرب‬
)٣ - 2(
)١( ‫نشاط‬
‫فلســطين‬ ‫فــي‬ ‫الرائجــة‬ ‫المشــاريع‬ ‫مــن‬ ‫الســيارات‬ ‫تجــارة‬ ‫تعتبــر‬
‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـواع‬‫ـ‬‫ن‬‫أ‬� ‫ـة‬‫ـ‬‫ثلاث‬ ‫ـارض‬‫ـ‬‫المع‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫ح‬‫أ‬� ‫ـرض‬‫ـ‬‫يع‬ .‫ـرة‬‫ـ‬‫خي‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـنوات‬‫ـ‬‫الس‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬
‫عــداد‬‫أ‬�
٧
٦
٦
٦
٥
٤ = ‫ب‬ ‫المصفوفــة‬ ‫تمثــل‬ .‫الســيارات‬
.‫م‬2016 ‫و‬ ‫م‬2015 ‫العامين‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫المعرض‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫باعه‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫ت‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الت‬ ‫ـيارات‬‫ـ‬‫الس‬
.‫نوع‬ ‫كل‬ ‫من‬ ‫المعرض‬ ‫ذلك‬ ‫في‬ )‫دينار‬ ‫لف‬‫أ‬� ‫قرب‬‫أ‬�‫(ل‬ ‫السيارات‬ ‫تلك‬ ‫سعار‬‫أ‬� ‫ّل‬‫ث‬‫فتم‬
٥
٦
٨
=  ‫المصفوفة‬ ‫ما‬‫أ‬�
)‫(لماذا؟‬ ،‫دينار‬ ‫لف‬‫أ‬� 117 = )8×7( + )6×6( + )5×5( = ‫م‬2015 ‫عام‬ ‫مبيعات‬ ‫مجمل‬
.________________________________ = ‫م‬2016 ‫العام‬ ‫مبيعات‬ ‫مجمل‬
___
___ = ‫جـ‬ ،‫م‬2016‫و‬ ،‫م‬2015 ‫العامين‬ ‫في‬ ‫المبيعات‬ ‫مجمل‬ ‫تمثل‬ ‫جـ‬ ‫المصفوفة‬
‫تعريف‬
:‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ،‫ه‬×‫ن‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫مصفوفة‬ ‫ب‬ ،‫ن‬ ×‫م‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫مصفوفة‬  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫هـ‬ ‫ن‬
‫ب‬ .‫ن‬ ‫ي‬
 +..... +‫هـ‬2
‫ب‬.2‫ي‬
 +‫هـ‬1
‫ب‬.1‫ي‬
 =‫هـ‬ ‫ي‬
‫جـ‬ :‫حيث‬ ،‫×ه‬‫م‬
‫جـ‬ = ‫×ه‬‫ن‬
‫ب‬ . ‫×ن‬‫م‬

Matrix Multiplication

59
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫الحالات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫ب‬ ،  ‫المصفوفتين‬ ‫ضرب‬ ‫ناتج‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
٢
٣-
٠
٥
١
٦
= ‫ب‬
٠
٣
٥
١
٤-
٢
٣
٠
١
= )١
١
٢
٣
٤
٥
٦ = ‫ب‬
١
٢
٣
٤
٥
٦ = )٢
‫ب‬ ‫المصفوفة‬ ‫صفوف‬ ‫عدد‬ = ‫المصفوفة‬ ‫عمدة‬‫أ‬� ‫عدد‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫لاحظ‬‫أ‬� :ّ‫ل‬‫الح‬
)٠ × ٠( + )٣- × ١( + )٢ × ٣( )٦ × ٠( + )١ × ١( + )٥ × ٣(
)٠ × ٣( + )٣- × ٤-( + )٢ × ٠( )٦ × ٣( + )١ × ٤-( + )٥ × ٠(
)٠ × ٥( + )٣- × ٢( + )٢ × ١( )٦ × ٥( + )١ × ٢( + )٥ × ١(
٣
١٢
٤-
١٦
١٤
٣٧
=
.‫ب‬ ‫المصفوفة‬ ‫صفوف‬ ‫عدد‬  ‫المصفوفة‬ ‫عمدة‬‫أ‬� ‫عدد‬ ‫ن‬‫أ‬�‫ل‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫إجراء‬� ‫يمكن‬ ‫لا‬ )٢
)٢( ‫نشاط‬
)٣( ‫نشاط‬
.‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫تساوي‬ ‫جـ‬ ‫المصفوفة‬ ‫رتبة‬ ‫إن‬�‫ف‬ ،‫جـ‬ = ٥×٤
‫ب‬ . ٤×٣
 :‫حيث‬ ‫مصفوفتان‬ ‫ب‬ ، ‫ن‬‫أ‬� ‫علمت‬ ‫إذا‬�
:‫إن‬�‫ف‬
١
٠
٢
٥ = ‫ب‬ ،
٣
١
٤
٢ =  ‫كانت‬ ‫إذا‬�
٤
٢
٢٣
٩ =
)٠ × ٣( + )١ × ٤( )٥ × ٣( + )٢ × ٤(
)٠ × ١( + )١ × ٢( )٥ × ١( + )٢ × ٢( = ‫ب‬ . 
‫تلاحظ؟‬ ‫ماذا‬ .‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ =  . ‫ب‬
= ‫ب‬ . 

60
.‫ة‬ّ‫ي‬‫تبديل‬ ‫ليست‬ ‫المصفوفات‬ ‫ضرب‬ ‫عملية‬
‫ب؟‬ .  ‫جد‬‫أ‬�
٢-
١٠
١
٥- = ‫ب‬ ،
٢
١
١٠
٥ =  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫؟‬ . ‫ب‬ )٢ ‫ب‬ .  )١ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬‫أ‬�
0
1
1
0 = ‫ب‬ ،
1-
2-
7
8 =  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
٠
٠
٠
٠ =
)١٠ × ٢( + )٢- × ١٠( )٥- × ٢( + )١ × ١٠(
)١٠ × ١( + )٢- × ٥( )٥- × ١( + )١ × ٥(
= ‫ب‬ . 
١-
٢-
٧
٨ =
0
1
1
0 ×
1-
2-
7
8 = ‫ب‬ . 
١-
٢-
٧
٨ =
1-
2-
7
8 ×
0
1
1
0 =  . ‫ب‬

61
،‫ـة‬‫ـ‬‫الثاني‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الرتب‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫المصفوف‬ ‫ـرب‬‫ـ‬‫ض‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫لعملي‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫المحاي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوف‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ه‬
٠
١
١
٠ ‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوف‬
.‫الوحدة‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مصفوف‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫اس‬ ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫يض‬‫أ‬� ‫ـا‬‫ـ‬‫عليه‬ ‫ـق‬‫ـ‬‫ويطل‬ ،٢
‫م‬ ‫ـز‬‫ـ‬‫بالرم‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫له‬ ‫ـز‬‫ـ‬‫ويرم‬
:‫إن‬�‫ف‬
٠
٣
٤
١ = ‫جـ‬ ،
3
1
2
0 = ‫ب‬ ، 1- 5 =  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
١١ ٢٩ =
٠
٣
٤
١ +
٣
1
٢
0 × 1- 5 = )‫جـ‬ + ‫(ب‬ . 
______________________________________ =‫جـ‬ + ‫ب‬
‫لاحظ؟‬‫أ‬� ‫ماذا‬
.‫معرفتان‬ ‫والضرب‬ ‫الجمع‬ ‫عمليتا‬ ‫تكون‬ ‫بحيث‬ ،‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫على‬ ‫المصفوفات‬ ‫ضرب‬ ‫عملية‬ ‫تتوزع‬
:‫ن‬‫أ‬� ‫ن‬ِّ‫ي‬‫ب‬‫أ‬�
٤
٥-
٠
٣- =‫جـ‬ ،
٢
٥
٤-
٢- =‫ب‬ ،
٣
1-
١
0 =  :‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�:‫فكر‬‫أ‬�
)‫جـ‬ . ‫(ب‬ .  = ‫جـ‬ . )‫ب‬ . (
)٤( ‫نشاط‬

62
:)‫مكن‬‫أ‬� ‫ِن‬‫إ‬�( ‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫فيما‬ ‫المصفوفات‬ ‫ضرب‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬‫أ‬�
٣
١-
٧
٤
٥
٢
.
١
٢
٥
٤-
٣
٥ )‫ب‬
٠
٢-
١
٣
٤
٥
١
٥-
١
. ٣ ٤ ٧ )‫أ‬�
‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـهرين‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ول‬‫أ‬� ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫د‬ ،‫ــ‬‫ـ‬‫ج‬ ،‫ب‬ ، ‫ـوب‬‫ـ‬‫الحاس‬ ‫ـزة‬‫ـ‬‫جه‬‫أ‬� ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـواع‬‫ـ‬‫ن‬‫أ‬� ‫ـة‬‫ـ‬‫ربع‬‫أ‬� ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ّ‫ي‬‫ـار‬‫ـ‬‫تج‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫مح‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫مبيع‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬
،‫ـار‬‫ـ‬‫دين‬ 300 ،‫ـار‬‫ـ‬‫دين‬ 450 ‫ـزة‬‫ـ‬‫جه‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ثم‬ ‫وكان‬ ،
١٢
١٦
١٥
٢٠
١٧
١٠
١٠
٢٠ = ‫س‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوف‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫ممثل‬ ‫م‬201٨ ‫ـام‬‫ـ‬‫ع‬
‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫المح‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫مبيع‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫تمث‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الت‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوف‬ ‫ـاد‬‫ـ‬‫يج‬ِ‫إ‬�‫ل‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫المصفوف‬ ‫ـتخدم‬‫ـ‬‫اس‬ .‫ـب‬‫ـ‬‫الترتي‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ،‫ـار‬‫ـ‬‫دين‬ 400 ، ‫ـار‬‫ـ‬‫دين‬ 500
.‫ـهرين‬‫ـ‬‫الش‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـزة‬‫ـ‬‫جه‬‫أ‬�‫ال‬
:‫يلي‬ ‫ما‬ ‫جد‬‫أ‬� ،
٢
٦ = ‫ب‬ ،
٥
٢
١-
٧-
٤
٣
=  ‫كانت‬ ‫إذا‬�
)‫ب‬٥( .  )‫جـ‬ ‫ب‬ . )5( )‫ب‬ )‫ب‬ . (5 )‫أ‬�
‫ب؟‬ ،‫أ‬� ‫الثابتيين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫ما‬
٤
‫ب‬ =
٣
١ .
١
٣
‫أ‬�
٢ ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
١
٢
٣
٤
) ٣ - ٢ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬

63
‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المربعة‬ ‫للمصفوفة‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬
)٤ - 2(
)١( ‫نشاط‬
‫جــراءات‬ ‫ال�إ‬ ‫إلــى‬� ‫رئيســي‬ ‫بشــكل‬ ‫ذلــك‬ ‫ويعــود‬ .‫المخاطــرة‬ ‫وضــع‬ ‫فــي‬ ‫نــه‬‫أ‬�‫ب‬ ،‫الفلســطيني‬ َ‫د‬‫الاقتصــا‬ ُ‫الخبــراء‬ ُ‫ــف‬ّ‫ن‬‫يص‬
‫ـال‬‫ـ‬‫الم‬ ‫س‬‫أ‬�‫ر‬ ‫ذات‬ ‫ـرة‬‫ـ‬‫الصغي‬ ‫ـاريع‬‫ـ‬‫المش‬ ‫إن‬�‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫ل‬ .‫ـاد‬‫ـ‬‫الاقتص‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـو‬‫ـ‬‫نم‬ ‫ـق‬‫ـ‬‫تعي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫والت‬ ‫ـرائيلي‬‫ـ‬‫س‬ ‫ال�إ‬ ‫ـلال‬‫ـ‬‫الاحت‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫به‬ ‫ـوم‬‫ـ‬‫يق‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الت‬
.‫ـتثمر‬‫ـ‬‫المس‬ ‫ـرة‬‫ـ‬‫مخاط‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫تقل‬ ،‫ـيط‬‫ـ‬‫البس‬ ‫ـح‬‫ـ‬‫والرب‬ ،‫ـدود‬‫ـ‬‫المح‬
،‫ـد‬‫ـ‬‫الواح‬ ‫ـس‬‫ـ‬‫للكي‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫دناني‬ 10 ‫ـعر‬‫ـ‬‫بس‬ ‫ـلاف‬‫ـ‬‫ع‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫كيس‬ 200‫ـول‬‫ـ‬‫يل‬‫أ‬� ‫ـهر‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـلال‬‫ـ‬‫خ‬ ‫ـترى‬‫ـ‬‫اش‬ .‫ـلاف‬‫ـ‬‫ع‬‫أ‬�‫بال‬ ‫ـارف‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـو‬‫ـ‬‫ب‬‫أ‬� ‫ـر‬‫ـ‬‫تاج‬ُ‫ي‬
.‫ـد‬‫ـ‬‫الواح‬ ‫ـس‬‫ـ‬‫للكي‬ ً‫ا‬‫ـار‬‫ـ‬‫دين‬ 13 ‫ـعر‬‫ـ‬‫بس‬ ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫كيس‬ 192 ‫ـا‬‫ـ‬‫منه‬ ‫ـاع‬‫ـ‬‫وب‬
.‫يلول‬‫أ‬� ‫شهر‬ ‫خلال‬ ‫عارف‬ ‫بو‬‫أ‬� ‫تجارة‬ ‫بيانات‬
10
13
200
192 =  ‫المصفوفة‬ ‫تنظم‬
•
.‫دينار‬ 2600=13 × 200 =‫كياس‬‫أ‬�‫ال‬ ‫جميع‬ ‫باع‬ ‫عارف‬ ‫بو‬‫أ‬� ‫ن‬‫أ‬� ‫لو‬ ‫المتوقع‬ ‫البيع‬ ‫سعر‬ ‫مجمل‬
•
.________________= ‫العلف‬ ‫كياس‬‫أ‬� ‫من‬ ً‫ا‬‫فعل‬ ‫بيعه‬ ‫تم‬ ‫ما‬ِ‫ل‬ ‫التكلفة‬ ‫سعر‬ ‫مجمل‬
•
.________________=‫بيعه‬ َّ‫م‬‫ت‬ ‫ما‬ِ‫ل‬ ‫التكلفة‬ ‫وسعر‬ ‫المتوقع‬ ‫البيع‬ ‫سعر‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬
‫تعريف‬
‫ـدد‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـو‬‫ـ‬‫ه‬
٢١

٢٢

١١

١٢
 =  ‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوف‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫مح‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ ،‫ـة‬‫ـ‬‫الثاني‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الرتب‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مربع‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مصفوف‬  ‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
.)21
×12
 ( − )22
 × 11
( = || ‫ـث‬‫ـ‬‫حي‬ || ‫ـز‬‫ـ‬‫بالرم‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـز‬‫ـ‬‫ويرم‬ ّ‫ـي‬‫ـ‬‫حقيق‬
١٢
٣
٨
٢ = ‫ب‬ )٢
٩
٣-
٣
١ =  )١ :‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المصفوفات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫محدد‬ ‫جد‬‫أ‬�
Matrix Inverse
)Determinants( :‫المحددات‬ :ً‫ا‬‫ول‬‫أ‬�

64
‫تعريف‬
.‫منفردة‬ ‫مصفوفة‬  ‫تجعل‬ ‫التي‬ ‫س‬ ‫قيمة‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� ،
٣
٢
١−‫س‬
٢ =  ‫كانت‬ ‫إذا‬�
٠ = || ‫محدد‬ ‫إن‬�‫ف‬ ‫منفردة‬ ‫مصفوفة‬  ‫ن‬‫أ‬� ‫بما‬
‫صفر‬ = 6-2-‫س‬2 :‫ومنها‬ ‫صفر‬ = ٣ × ٢ − 2 × )1-‫(س‬ ‫ومنها‬
‫=صفر‬8-‫س‬2
.4=‫س‬ ‫إذن‬�
.)21
 ×12
 ( − )22
 × 11
( = || )١
)٩ × ١( − )٣- × ٣( = ||
١٨- = ٩ − ٩- =
١٢
٣
٨
٢ = |‫|ب‬ )٢
.)21
‫ب‬ ×12
‫ب‬ ( − )22
‫ب‬ × 11
‫(ب‬ = |‫|ب‬
)٢ × ١٢( − )٣ × ٨( =
٢٤ − ٢٤ =
‫صفر‬ =
.‫المنفردة‬ ‫بالمصفوفة‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫محددها‬ ‫التي‬ ‫المصفوفة‬ ‫سمى‬ُ‫ت‬

65
:‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫جد‬‫أ‬� ،
٣
٢
١
١ = ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
||٢
)٣( )٣
|٣| )٢
|| )١
)1×3( − )2×1( = || )1
1- = 3 − 2 =
)3×9( − )6×3( = |3| ‫ومنها‬
٩
٦
٣
٣ = 3 )2
9-=27-18=
‫لاحظ؟‬ُ‫ت‬ ‫ماذا‬ 9- = 1- ×9 = ||2
)3( )3
||2
‫ك‬ = | ‫|ك‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬، ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ك‬ ،‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
)٢( ‫نشاط‬
:‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ، 50- = |5| ‫وكانت‬ ‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
._____________________= ||7 ._____________________= ||
‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المربعة‬ ‫للمصفوفة‬ ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬ :ً‫ا‬‫ثاني‬
‫تعريف‬
ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫ضربي‬ ً‫ا‬‫ـر‬‫ـ‬‫نظي‬ ‫ـمى‬‫ـ‬‫تس‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الثاني‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الرتب‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ب‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوف‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ ،‫ـة‬‫ـ‬‫الثاني‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الرتب‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـردة‬‫ـ‬‫منف‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫غي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مصفوف‬  ‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
.‫ـدة‬‫ـ‬‫المحاي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوف‬2
‫م‬ ‫ـث‬‫ـ‬‫حي‬ ،2
‫م‬ =  . ‫ب‬ = ‫ب‬ .  ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�  ‫ـة‬‫ـ‬‫للمصفوف‬
2
‫م‬ =  .
1-
 =
1-
 .  ‫ن‬‫أ‬� ‫ي‬‫أ‬� ،
1-
 ‫بالرمز‬  ‫للمصفوفة‬ ّ‫الضربي‬ ‫للنظير‬ ‫ويرمز‬

66
.‫ضربي‬ ‫نظير‬ ‫لها‬ ‫ليس‬ ‫المنفردة‬ ‫المصفوفة‬
. ‫للمصفوفة‬ ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫هي‬ ‫ب‬ ‫المصفوفة‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫ن‬ّ‫ي‬‫ب‬‫أ‬� ،
٣,5-
٤
١-
١ = ‫ب‬ ،
٧-
٢
٨-
٢ =  ‫كانت‬ ‫إذا‬�
2
‫م‬ =  . ‫ب‬ =‫ب‬ .  ّ‫ن‬‫إ‬�‫ف‬ ،  ‫للمصفوفة‬ ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫هي‬ ‫ب‬ ‫المصفوفة‬ ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
0
1
1
0 =
٣,5-
٤
١-
١ .
٧-
٢
٨-
٢ =‫ب‬ . 
0
1
1
0 =
٧-
٢
٨-
٢ .
٣,5-
٤
١-
١ =  . ‫ب‬ :‫ن‬‫أ‬� ‫كما‬
. ‫للمصفوفة‬ ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫هي‬ ‫ب‬ ‫ِذن‬‫إ‬�
‫لا؟‬ ‫يها‬‫أ‬�‫و‬ ‫ضربي‬ ‫نظير‬ ‫لها‬ ‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المصفوفات‬ ‫من‬ ‫ي‬‫أ‬� ‫حدد‬‫أ‬�
4
2
8
4 =‫ب‬ )2
7
4
3
1 = )1
.ّ‫ضربي‬ ‫نظير‬ ‫لها‬ ‫ويوجد‬ ،‫منفردة‬ ‫ليست‬  ‫المصفوفة‬ ‫ِذن‬‫إ‬� ، 5= 7 − 12=
7
4
3
1 =|| )1
.‫ي‬ّ‫ب‬‫ضر‬ ‫نظير‬ ‫لها‬ ‫وليس‬ ‫منفردة‬ ‫مصفوفة‬ ‫ب‬ ‫ومنها‬ 0 = 16 − 16 =
4
2
8
4 = |‫|ب‬ )2
‫لماذا؟‬ ،
٣-
٦
٢-
٤ =‫س‬ ‫للمصفوفة‬ ‫ضربي‬ ‫نظير‬ ‫يوجد‬ ‫هل‬ :‫فكر‬‫أ‬�

67
‫تعريف‬
٢١
-
١١

٢٢

١٢
-
١
|| =
1-
 :‫إن‬�‫ف‬ ،‫صفر‬ ≠ || ‫حيث‬ ،
٢١

٢٢

١١

١٢
 =  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
.)‫مكن‬‫أ‬� ‫إن‬�(
٢-
٤-
١
١ =  ‫للمصفوفة‬ ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫جد‬‫أ‬�
)21
 ×12
 ( – )22
×11
( = ||
‫ضربي‬ ‫نظير‬ ‫للمصفوفة‬ ‫يوجد‬ ‫اذا‬ ، 2- = )2-×1( − )4- ×1( = ||
1-
0,5-
2
0,5 =
2
1
4-
1-
١-
٢ =
1-

)3( ‫نشاط‬
١ = ٥ − ٦ = )١ × ٥( − )٣ × ٢( =|| :‫إن‬�‫ف‬ ،
5
3
2
١ = ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
٥-
٢
٣
١-
١
١ =
٢١
-
١١

٢٢

١٢
-
١
|| =
1-
 :‫ومنها‬
‫لاحظ؟‬ُ‫ت‬ ‫ماذا‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ = ١-
)
1-
( ، ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ = |
1-
|
 =
١-
)1-
(

68
)٧( ‫مثــال‬
:‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المعادلات‬ ‫نظام‬ ّ‫ل‬‫لح‬ ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫طريقة‬ ‫استخدم‬
6 = ‫ص‬4 + ‫س‬3
0 = ‫ص‬2 + ‫س‬
:‫حيث‬ ،‫جـ‬ =‫×ع‬  ‫الصورة‬ ‫على‬ ‫المعادلات‬ ‫رتب‬ُ‫ن‬ :ً‫ا‬‫ول‬‫أ‬� :ّ‫ل‬‫الح‬
.‫المعاملات‬ ‫مصفوفة‬ :
.‫المتغيرات‬ ‫مصفوفة‬ :‫ع‬
.‫الثوابت‬ ‫مصفوفة‬ :‫جـ‬
٦
٠ =
‫س‬
‫ص‬ ×
٤
٢
٣
١
)٤( ‫نشاط‬
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫الخط‬ ‫المعادلات‬ ‫نظام‬ ‫في‬
12=‫ص‬2+‫س‬3- ، 7- =‫ص‬2+‫س‬9
٢
٢
٩
٣- =  ‫ن‬‫أ‬� ‫ي‬‫أ‬� ،‫ظام‬ّ‫ن‬‫ال‬ ‫في‬ ‫المعاملات‬ ‫مصفوفة‬ )( ‫تمثل‬ -
._________ = ‫جـ‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫ي‬‫أ‬� ،‫النظام‬ ‫في‬ ‫الثوابت‬ ‫مصفوفة‬ )‫(جـ‬ ‫تمثل‬ -
._________ = = ‫ع‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫ي‬‫أ‬� ‫النظام‬ ‫في‬ ‫المتغيرات‬ ‫مصفوفة‬ )‫(ع‬ ‫تمثل‬ -
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫المصفوف‬ ‫المعادلة‬ ‫صورة‬ ‫على‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫الخط‬ ‫المعادلات‬ ‫نظام‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬
)‫ذلك‬ ‫من‬ ‫تحقق‬‫أ‬�(
٧-
١٢ =
‫س‬
‫ص‬ ×
٢
٢
٩
٣-
‫ص؟‬ ، ‫س‬ ‫قيم‬ ‫ِيجاد‬‫إ‬� ‫يمكن‬ ‫كيف‬
ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫بطريقة‬ ‫المعادلات‬ ‫نظمة‬‫أ‬� ‫حل‬ :ً‫ا‬‫ثالث‬

69
.)(‫المعاملات‬ ‫لمصفوفة‬ ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫نجد‬ :ً‫ا‬‫ثاني‬
)‫صفر‬ ≠ ||( 2 = )4×1( − )2×3( = ||
٤-
٣
٢
1-
١
٢ =
1-

:‫فينتج‬
1-
 ‫بالمصفوفة‬ ‫اليمين‬ ‫من‬ ‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬ :ً‫ا‬‫ثالث‬
‫جـ‬ .
1-
 =‫ع‬ .  .
1-

:‫ينتج‬ ‫المصفوفات‬ ‫ضرب‬ ‫في‬ ‫التجميع‬ ‫خاصية‬ ‫باستخدام‬
‫جـ‬ .
1-
 = ‫ع‬ . ) .
1-
(
‫جـ‬ .
1-
 = ‫ع‬ . 2
‫م‬ :‫ينتج‬ ‫المصفوفات‬ ‫ضرب‬ ‫في‬ ‫المحايدة‬ ‫والمصفوفة‬ ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫وجود‬ ‫خاصيتي‬ ‫وباستخدام‬
٦
٠
٤-
٣
٢
١-
١
٢ =
‫س‬
‫ص‬ :‫ن‬‫أ‬� ‫ي‬‫أ‬� ‫جـ‬ .
1-
 = ‫ع‬ :‫إذن‬�
.ّ‫ل‬‫الح‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫تحقق‬‫أ‬� .)3- ،6( = )‫ص‬ ،‫(س‬:‫الحل‬ ‫ِذن‬‫إ‬�
٦
٣- =
‫س‬
‫ص‬
)٥( ‫نشاط‬
:‫س‬ ‫المصفوفة‬ ‫يجاد‬ ‫فل�إ‬ ،
٢
٢
١
٠ = ‫س‬ ×
5
3-
2
١- ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
٢
٢
١
٠ = ‫س‬× :‫الصورة‬ ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫فتصبح‬
5
3-
2
١- = ‫ن‬‫أ‬� ‫فرض‬‫أ‬�
‫(لماذا)؟‬
5
٢-
٣
١- ‫يساوي‬  ‫للمصفوفة‬ ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬
٢
٢
١
٠ .
1-
 = ‫س‬ .  .
1-
 :‫ومنها‬
.‫(لماذا)؟‬
٢
٢
١
٠
5
٢-
٣
١- = ‫س‬ .
5
٣-
٢
١- .
5
٢-
٣
١-
.______________ = ‫س‬ :‫ومنها‬

70
6 =
5
3-
12-
‫س‬٣ ‫تحقق‬ ‫التي‬ ‫س‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬‫أ‬�
.‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬ ‫ب‬ ‫حيث‬ ،|‫ب‬3| + |‫|ب‬ ‫قيمة‬ :ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� ،32- = |‫ب‬4| ‫كان‬ ‫إذا‬�
:)‫مكن‬‫أ‬� ‫إن‬�( ‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المصفوفات‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫جد‬‫أ‬�
٦
٣
٤
٢ = ‫جـ‬ ،
٠
٢-
٥
٤ = ‫ب‬ ،
١
٣-
٣
٢- = 
:‫ة‬ّ‫ي‬‫مصفوف‬ ‫معادلات‬ ‫صورة‬ ‫على‬ ‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫الخط‬ ‫نظمة‬‫أ‬�‫ال‬ ‫من‬ ً‫ا‬‫كل‬ ‫كتب‬‫أ‬�
‫ص‬ − ‫س‬ = 2 +‫ص‬ )‫ب‬ 2 =‫ص‬ −‫س‬5 )‫أ‬�
12 = ‫س‬ 5- = ‫ص‬4 + ‫س‬3
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫المصفوف‬ ‫المعادلات‬ ‫من‬ ً‫ا‬‫كل‬ ّ‫ل‬‫ح‬‫أ‬�
٧
٠
١-
٢ =
٦-
٤-
٥
٣ . ‫س‬2 )‫ب‬
٢٦
١٣
١٣-
٣٩ = ‫س‬ .
٢-
١
٣
٥ )‫أ‬�
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المعادلات‬ ‫نظمة‬‫أ‬� ‫لحل‬ ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫طريقة‬ ‫ستخدم‬‫أ‬�
7- = ‫ص‬ −‫س‬2 )‫أ‬�
1- = ‫ص‬2 + ‫س‬
١٣ = ‫ص‬٣−‫س‬٢ )‫ب‬
‫س‬ = ٦ + ‫ص‬
١
٢
٣
٤
٥
٦
) ٤ - ٢ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬

71
‫كريمر‬ ‫قاعدة‬ ‫باستخدام‬ ‫خطيتين‬ ‫معادلتين‬ ‫من‬ ‫نظام‬ ‫حل‬
)٥ - 2(
)١( ‫نشاط‬
‫مثلة‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ومن‬ ،‫والمستهلك‬ ‫ج‬ِ‫ت‬‫المن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫تساعد‬ ‫التي‬ ،‫المخاطرة‬ ‫قليلة‬ ‫الاستثمارية‬ ‫فكار‬‫أ‬�‫ال‬ ‫من‬ ‫الصغيرة‬ ‫المشاريع‬ ّ‫د‬‫تع‬
.‫كبير‬ ‫مال‬ ‫س‬‫أ‬�‫لر‬ ‫فيه‬ ‫المستثمر‬ ‫يحتاج‬ ‫لا‬ ‫الذي‬ ‫التموينية‬ ‫المواد‬ ‫توزيع‬ ‫مشروع‬ ‫عليها‬
،‫المعلبات‬ ‫من‬ ‫صناديق‬ 8 ‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫للبقالة‬ ‫عطى‬‫أ‬� ‫إذا‬�‫ف‬ ،‫ة‬ّ‫ي‬‫التجار‬ ‫المحلات‬ ‫على‬ ‫التموينية‬ ‫المواد‬ ‫بتوزيع‬ ‫مهند‬ ‫يقوم‬
‫العصير‬ ‫من‬ ‫صناديق‬ 3‫و‬ ،‫معلبات‬ ‫صناديق‬ 5 ‫الثانية‬ ‫البقالة‬ ‫عطى‬‫أ‬� ‫بينما‬ ،ً‫ا‬‫دينار‬ 40 ً‫ا‬‫مع‬ ‫ثمنها‬ ‫وكان‬ ‫العصير‬ ‫من‬ ‫وصندوقين‬
‫والعصير؟‬ ‫المعلبات‬ ‫من‬ ‫الواحد‬ ‫الصندوق‬ ‫ثمن‬ ‫معرفة‬ ‫يمكن‬ ‫فهل‬ ،ً‫ا‬‫دينار‬ 32 ‫مقابل‬
Cramer`s Rule
:‫كريمر‬ ‫قاعدة‬
‫ـة‬‫ـ‬‫المصفوفي‬ ‫ـورة‬‫ـ‬‫بالص‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫كتابت‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫يمك‬ ‫ـذي‬‫ـ‬‫وال‬ ،‫ـن‬‫ـ‬‫بمتغيري‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫خطيتي‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫معادلتي‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـام‬‫ـ‬‫نظ‬ ّ‫ل‬‫ـ‬‫ـ‬‫لح‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫كريم‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫قاع‬ ‫ـتخدم‬‫ـ‬‫تس‬
:‫حيث‬ ،‫ــ‬‫ـ‬‫ج‬ = ‫ع‬.  :‫ـي‬‫ـ‬‫ت‬‫آ‬�‫كال‬
:‫فيكون‬ ‫صفر‬ ≠ || ،‫الثوابت‬ ‫مصفوفة‬ :‫جـ‬ ،‫المتغيرات‬ ‫مصفوفة‬ :‫ع‬ ،‫المعاملات‬ ‫مصفوفة‬: 
:‫حيث‬
|‫ص‬|
||
= ‫ص‬ ‫و‬
|‫س‬|
||
= ‫س‬
.‫الثوابت‬ ‫مصفوفة‬ ‫بمدخلات‬ ‫فيها‬ ‫س‬ ‫معاملات‬ ‫عمود‬ ‫مدخلات‬ ‫استبدال‬ ‫بعد‬  ‫المصفوفة‬ :‫س‬
.‫الثوابت‬ ‫مصفوفة‬ ‫بمدخلات‬ ‫فيها‬ ‫ص‬ ‫معاملات‬ ‫عمود‬ ‫مدخلات‬ ‫استبدال‬ ‫بعد‬  ‫المصفوفة‬:‫ص‬
:‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المعادلات‬ ‫نظام‬ ‫لحل‬ ‫كريمر‬ ‫قاعدة‬ ُ‫م‬‫استخد‬
4=‫ص‬−‫س‬
6=‫ص‬2+‫س‬5

72
:‫ة‬ّ‫ي‬‫مصفوف‬ ‫معادلة‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الخطية‬ ‫المعادلات‬ ‫نظام‬ ُ
٤
٦ =
‫س‬
‫ص‬ .
١-
٢
١
٥
١-
٢
١
٥ =  ‫فرض‬‫أ‬�
7 = )1-×5( − )2×1( =
١-
٢
١
٥ = ||
١-
٢
٤
٦ =‫س‬ ‫المصفوفة‬
14= )6×1-( − )2×4( =
١-
٢
٤
٦ =|‫س‬| :‫ومنها‬
٤
٦
١
٥ =‫ص‬ ‫المصفوفة‬
14- = )5×4( − )6×1( =
٤
٦
١
٥ =|‫ص‬ | :‫ومنها‬
2- =
١٤-
٧
=
|‫ص‬|
||
=‫ص‬ ، 2 =
١٤
٧
=
|‫س‬ |
||
=‫∴س‬
)2- ،2( = )‫ص‬،‫(س‬ : ‫الحل‬ ‫إذن‬�
‫س‬4 − ‫ص‬2 = 5 − ‫س‬ :‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المعادلات‬ ‫نظام‬ ‫لحل‬ ‫كريمر‬ ‫قاعدة‬ ‫استخدم‬
‫س‬3 + 5 = 4−‫س‬ + ‫ص‬
‫جـ‬ = ‫ص‬ ‫ب‬ + ‫س‬‫أ‬� :‫صورة‬ ‫على‬ ‫النظام‬ ‫في‬ ‫المعادلات‬ ‫رتب‬‫أ‬� :ً‫ا‬‫ول‬‫أ‬� :ّ‫ل‬‫الح‬
٥ = ‫ص‬٢ −‫س‬٥ :‫النظام‬ ‫فيكون‬
٩ = ‫ص‬ + ‫س‬٢-

73
:‫تي‬‫آ‬�‫كال‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫مصفوف‬ ‫معادلة‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫المعادلات‬ ‫نظام‬ ُ
‫كتب‬‫أ‬� :ً‫ا‬‫ثاني‬
٥
٩ =
‫س‬
‫ص‬
٢-
١
٥
٢-
٢-
١
٥
٢- =  ‫فرض‬‫أ‬�
1= )2- ×2-( − )1×5(=
٢-
١
٥
٢- = ||
٢٣ = )2-×9( − )1×5( =
٢-
١
٥
٩ = |‫س‬|
55= )2-×5( − )9×5( =
٥
٩
٥
٢- = |‫ص‬|
٥٥=
٥٥
١
=
|‫ص‬ |
||
=‫ص‬ : ‫ن‬‫أ‬� ‫كما‬ ،2٣ =
٢٣
١
=
|‫س‬ |
||
=‫س‬ :‫ومنها‬
.)55 ،٢٣( = )‫ص‬ ،‫(س‬ :‫الحل‬ ‫إذن‬�
)٢( ‫نشاط‬
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المصفوفية‬ ‫المعادلة‬ ‫لحل‬ ‫كريمر‬ ‫قاعدة‬ ‫استخدام‬
٤
٣ =
‫س‬
‫ص‬ .
٢
١-
٣
١
5- = 2- 3- =|  |
٢
١-
٣
١ = ‫فرض‬‫أ‬�
._________________ =
|‫س‬ |
||
=‫س‬ :‫ومنها‬ ‫(لماذا)؟‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــ‬ =
٢
١-
٤
٣ =|‫س‬
 |
._________________ =
|‫ص‬|
||
=‫ص‬ ‫(لماذا)؟‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــ‬ =
٤
٣
٣
١ =|‫ص‬
 |
) ___ ، ___ ( = )‫ص‬ ، ‫(س‬:‫الحل‬ ‫إذن‬�

74
٢
١ = |‫ص‬
| ،
١
٤
٤
٩ = |‫س‬
| ،
١
٤
٢
١ = || ‫وكان‬ ،‫ـة‬‫ـ‬‫الثاني‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الرتب‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مصفوف‬  ‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
،
٤
٩
.‫ص‬ ،‫س‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬‫أ‬�
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المعادلات‬ ‫نظمة‬‫أ‬� ‫حل‬ ‫في‬ ‫كريمر‬ ‫قاعدة‬ ‫استخدم‬
٨=‫ص‬4-‫س‬3 )‫أ‬�
12 =‫ص‬+‫س‬
0=19-‫ص‬2-‫س‬3 )‫ب‬
13=‫س‬3+‫ص‬
١
٢
) ٥ - ٢ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬

75
:‫يلي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫الصحيحة‬ ‫جابة‬ ‫ال�إ‬ ‫رمز‬ ‫اختر‬ :‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫السؤال‬
‫؟‬21
‫ب‬ -12
‫أ‬�2 ‫قيمة‬ ‫فما‬
5
0
1
4 =‫ب‬ ،
9-
8-
3
2 = ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬� )١
1- )‫د‬
1 )‫ج‬ 2 )‫ب‬ 5 )‫أ‬�
‫الترتيب؟‬ ‫على‬ ‫ص‬ ،‫س‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ٢ ‫س‬+‫ص‬ ١- = ‫س‬ ٣ ١- ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬� )٢
)1 ،1-( )‫د‬ )2 ، 5( )‫ج‬ )1 ، 2( )‫ب‬ )2 ، 1( )‫أ‬�
‫؟‬1-
)1-
‫(ب‬ ‫تمثل‬ ‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المصفوفات‬ ‫من‬ ‫ي‬‫أ‬�‫ف‬ ،
٦
١
٥
١ =‫ب‬ ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬� )٣
٦-
١
٥-
١- )‫د‬
٣
٥
٦
١ )‫ج‬
٦
١
٥
١ )‫ب‬
٦-
٥
١
١- )‫أ‬�
‫س|؟‬3| ‫قيمة‬ ‫فما‬ 8 = |‫س‬2| ‫وكان‬ ،‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬ ‫س‬ ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬� )٤
2 )‫د‬ 4 )‫ج‬ 6 )‫ب‬ 18 )‫أ‬�
‫؟‬ّ‫ضربي‬ ‫نظير‬ ‫لها‬ ‫ليس‬ ‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المصفوفات‬ ‫من‬ ‫ي‬‫أ‬� )5
٢-
١-
٨
٤ )‫د‬
١
١
٢-
٢ )‫ج‬
٢
٤
١
٣ )‫ب‬
٣
٦
٢
٤- )‫أ‬�
‫جـ؟‬ ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬
١-
١
٢
١- =1-
‫ص‬ ،
١
٢
‫جـ‬
١ = ‫ص‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬� )6
2- )‫د‬ 1- )‫ج‬ 1 )‫ب‬ 2 )‫أ‬�
‫س؟‬ ‫ماقيمة‬ 6- = |‫ص‬| ،3- = |‫س‬| ، 2 = ‫ص‬ ‫ن‬‫أ‬� َ‫د‬ِ‫ج‬ُ‫و‬ ،‫خطيتين‬ ‫معادلتين‬ ‫من‬ ‫نظام‬ ‫حل‬ ‫)عند‬7
3- )‫د‬ 1- )‫ج‬ 1 )‫ب‬ 3 )‫أ‬�
‫؟‬ ‫أ‬� ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،
٢
٤ =
٢
‫ب‬
١
٣
‫أ‬�
٢ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� )8
‫صفر‬ )‫د‬ 1 )‫ج‬ 2 )‫ب‬ 4 )‫أ‬�

76
‫؟‬ ‫ب‬ ‫المصفوفة‬ ‫رتبة‬ ‫فما‬4×3
‫جـ‬ ،1×3
 ‫وكانت‬ ‫جـ‬ = ‫ب‬ .  ‫حيث‬ ‫مصفوفات‬ ‫جـ‬،‫ب‬، ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬� )9
3×4 )‫د‬ 1×1 )‫ج‬ 3×1 )‫ب‬ 4×1 )‫أ‬�
‫؟‬ ‫منفردة‬
٨
‫س‬
‫س‬
٢ ‫المصفوفة‬ ‫تجعل‬ ‫التي‬ ‫السالبة‬ ‫س‬ ‫قيمة‬ ‫ما‬ )10
16- )‫د‬ 8- )‫ج‬ 4- )‫ب‬ 2- )‫أ‬�
.)‫جـ‬+‫(ب‬ .  ‫ناتج‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� ،
٠
٢-
٢
٣ = ‫جـ‬ .  ،
٣
٥
١
١- =‫ب‬ .  ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :‫الثاني‬ ‫السؤال‬
:‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المعادلات‬ ‫نظام‬ ‫لحل‬ ‫كريمر‬ ‫قاعدة‬ ُ‫م‬‫ستخد‬‫أ‬� :‫الثالث‬ ‫السؤال‬
4 = ‫ص‬2-‫س‬ ، ‫ص‬ = 1+‫س‬2
:‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المعادلات‬ ‫نظام‬ ّ‫ل‬‫لح‬ ّ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫طريقة‬ ُ‫م‬‫ستخد‬‫أ‬� :‫الرابع‬ ‫السؤال‬
6 = ‫ص‬3 + ‫س‬3
،0 = 1 + ‫ص‬ - ‫س‬
‫؟‬
٠
‫س‬
٤
٦ = 2
‫س‬ +
١
١
٣
٢ ٣ :‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬ ‫س‬ ‫قيم‬ /‫قيمة‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� :‫الخامس‬ ‫السؤال‬
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المصفوفية‬ ‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬ ‫س‬ ‫المصفوفة‬ ‫جد‬‫أ‬� :‫السادس‬ ‫السؤال‬
‫؟‬
٨
٢
١٤-
٨- = ‫س‬ .
٣
١
٤
٢
‫الاساسية‬ ‫ومسمياتها‬ ‫المصفوفات‬ ‫انواع‬ ‫اميز‬
‫المصفوفة‬ ‫محدد‬ ‫اجد‬
‫حياتية‬ ‫مشكلات‬ ‫حل‬ ‫في‬ ‫المحددات‬ ‫خواص‬ ‫اوظف‬
‫طرق‬ ‫بعدة‬ ‫مصفوفية‬ ‫معادلات‬ ‫احل‬

77
‫والمتسلسلات‬ ‫المعادلات‬
Equations and Series
٣
‫ـي‬‫ـ‬‫الثان‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫وف‬ ،‫ـح‬‫ـ‬‫قم‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫حبت‬ ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫المرب‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـع‬‫ـ‬ِ‫ض‬ُ‫و‬ ‫ِذا‬‫إ‬� ،‫ـلاه‬‫ـ‬‫ع‬‫أ‬� ‫ـطرنج‬‫ـ‬‫الش‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫لوح‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬
‫ـذي‬‫ـ‬‫ال‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫المرب‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫رق‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫معرف‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫يمك‬ ‫ـف‬‫ـ‬‫كي‬ ،‫ـذا‬‫ـ‬‫وهك‬ ...‫ـات‬‫ـ‬‫حب‬8 ‫ـث‬‫ـ‬‫الثال‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫وف‬ ،‫ـات‬‫ـ‬‫حب‬ 4
‫ـح؟‬‫ـ‬‫القم‬ ‫ـات‬‫ـ‬ّ‫ب‬‫ح‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ١٠٢٤ ‫ـه‬‫ـ‬‫في‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫توض‬

78
‫على‬ ‫قادرين‬ ‫يكونوا‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫نشطتها‬‫أ‬� ‫مع‬ ‫والتفاعل‬ ‫الوحدة‬ ‫هذه‬ ‫دراسة‬ ‫من‬ ‫نتهاء‬‫ال�إ‬ ‫بعد‬ ‫الطلبة‬ ‫من‬ ‫يتوقع‬
:‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫خلال‬ ‫من‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫العمل‬ ‫الحياة‬ ‫في‬ ‫والمتسلسلات‬ ‫المعادلات‬ ‫توظيف‬
1
1 .
.‫سية‬‫أ‬� ‫معادلات‬ ّ‫ل‬‫ح‬
2
2 .
.‫لوغاريتماتية‬ ‫معادلات‬ ّ‫ل‬‫ح‬
3
3 .
.‫المتسلسلة‬ ‫مفهوم‬ ‫ِلى‬‫إ‬� ‫عرف‬ّ‫ت‬‫ال‬
4
4 .
.‫مجموعها‬ ‫ِيجاد‬‫إ‬�‫و‬ ‫الحسابية‬ ‫المتسلسلة‬ ‫ِلى‬‫إ‬� ‫عرف‬ّ‫ت‬‫ال‬
5
5 .
.‫مجموعها‬ ‫ِيجاد‬‫إ‬�‫و‬ ‫الهندسية‬ ‫المتسلسلة‬ ‫ِلى‬‫إ‬� ‫عرف‬ّ‫ت‬‫ال‬

79
)١( ‫نشاط‬
:‫سية‬‫أ‬�‫ال‬ ‫المعادلات‬
Exponent Equations
‫ـائل‬‫ـ‬‫وس‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫ِعلامي‬‫إ‬� ‫ـيلة‬‫ـ‬‫كوس‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫العنكبوتي‬ ‫ـبكة‬‫ـ‬‫الش‬ ‫ـار‬‫ـ‬‫انتش‬ ‫ـرعة‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫فاق‬
‫مــن‬ ‫كثــر‬‫أ‬� ‫الراديــو‬ ‫اســتغرق‬ ‫حيــث‬ ،‫جميعهــا‬ ‫خــرى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫عــلام‬ ‫ال�إ‬
‫ـتغرق‬‫ـ‬‫اس‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫فيم‬ ،‫ـم‬‫ـ‬‫العال‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫ح‬ ‫ـتمع‬‫ـ‬‫مس‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫ملي‬ 50‫ــ‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫ليص‬ ‫ـنة‬‫ـ‬‫س‬32
‫ـا‬‫ـ‬‫م‬‫أ‬� .‫ـاهدين‬‫ـ‬‫المش‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫نفس‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫الع‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫ِل‬‫إ‬� ‫ـل‬‫ـ‬‫ليص‬ ‫ـنة‬‫ـ‬‫س‬ 16 ‫ـاز‬‫ـ‬‫التلف‬
‫ـدد‬‫ـ‬‫للع‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫لتص‬ ‫ـنوات‬‫ـ‬‫س‬ 4 ‫ـوى‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـتغرق‬‫ـ‬‫تس‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫فل‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫العنكبوتي‬ ‫ـبكة‬‫ـ‬‫الش‬
‫ـتخدمين‬‫ـ‬‫المس‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫ذات‬
.‫سنة‬2
)2(= ‫عوام‬‫أ‬� 4 ‫لتنتشر‬ ‫العنكبوتية‬ ‫الشبكة‬ ‫استغرقت‬
.‫سنة‬4
)2(= ً‫ا‬‫عام‬16 ‫لينتشر‬ ‫التلفاز‬ ‫واستغرق‬
.‫سنة‬---
)2( = ً‫ا‬‫عام‬ 32 ‫لينتشر‬ ‫الراديو‬ ‫استغرق‬
‫ن‬+‫م‬
 =
‫ن‬
)( ×
‫م‬
)( )١
‫ن‬⨯‫م‬
 =
‫ن‬
)
‫م‬
( )٣
‫ن‬−‫م‬
 =
‫م‬
)(
‫ن‬
)(
)٢
١ =
٠
)( )٤
:‫ّر‬‫ك‬‫تذ‬‫أ‬�
.64 = ‫س‬
)4(‫المعادلة‬ ّ‫ل‬‫ح‬ ‫مجموعة‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
3
)4( = 64
)‫(لماذا؟‬ 3 = ‫س‬ :‫ومنها‬ 3
)4( = ‫س‬
)4(
}3{ ‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬
:‫إن‬�‫ف‬ ‫صفر‬ ≠  ، ١ ≠  ، ‫ح‬  ‫ن‬ ،‫م‬ ،  ‫لتكن‬
)1 - ٣(

80
‫س‬-1
)9( = 1-‫س‬2
)27( ‫المعادلة‬ ‫حل‬‫أ‬�
2
)3( = 9 ‫كذلك‬ 3
)3( =)27(
)‫(لماذا؟‬ ‫س‬2-2
)3( = 3-‫س‬6
)3( :‫ومنها‬
:‫متساوية‬ ‫سس‬‫أ‬�‫ال‬ ‫فتكون‬ ‫متشابهة‬ ‫ساسات‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫بما‬
‫س‬2 − 2 = 3 − ‫س‬6 :‫ن‬‫أ‬� ‫ي‬‫أ‬�
5 =‫س‬8
}
٥
٨
{ :‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫ومنها‬
)٢( ‫نشاط‬
2-‫س‬
)
١
١٦
( =3-‫س‬2
)8( ‫المعادلة‬ ّ‫ل‬‫ح‬ ‫مجموعة‬ ‫يجاد‬ ‫ل�إ‬
3
)2( = 8 :‫يمن‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الطرف‬ ‫من‬ ‫أ‬�‫بد‬‫أ‬�
3-‫س‬2
)3
)2(( =3-‫س‬2
)8( ‫ومنها‬
)١( ........ __________________ =
)‫(لماذا؟‬ 1-
)16( =
١
١٦
:‫يسر‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الطرف‬ ‫في‬
1-
)4
)2(( =
)٢( ........ _____________________=2-‫س‬
)4-
)2(( =2-‫س‬
)
١
١٦
(
‫س‬4-8
)2( =9-‫س‬6
)2( ‫تكافئ‬ 2-‫س‬
)
١
١٦
( =3-‫س‬2
)8( ‫المعادلة‬
،‫متساوية‬ ‫سس‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ِذن‬‫إ‬� ،‫متشابهة‬ ‫ساسات‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫بما‬
‫س‬4-8= 9-‫س‬6 :َّ‫ن‬‫أ‬� ‫ي‬‫أ‬�
_________________ :‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫تكون‬ ‫ومنها‬

81
) ١ - ٣ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫سية‬‫أ‬�‫ال‬ ‫المعادلات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ّ‫ل‬‫ح‬ ‫مجموعة‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
‫س‬3-6
)4( = 3-‫س‬5
)8( )‫أ‬�
‫س‬4-5
)49( =2-‫س‬
)7( )‫ب‬
‫س‬-2
)81( =2-‫س‬
)27()‫جـ‬
‫تية؟‬‫آ‬�‫ال‬ ‫سية‬‫أ‬�‫ال‬ ‫المعادلات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ّ‫ل‬‫ح‬ ‫مجموعة‬ ‫ما‬
27 =5 -‫س‬3
)
١
٩
( )‫أ‬�
9-‫س‬2
)5( =‫س‬-2
)125( )‫ب‬
216 = 1-‫س‬2
)6( )‫جـ‬
١
٢

82
‫اللوغاريتمية‬ ‫المعادلات‬
،‫ـزلازل‬‫ـ‬‫لل‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مقاوم‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫بني‬‫أ‬� ‫ـة‬‫ـ‬‫ِقام‬‫إ‬� ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫حديث‬ ‫ـطين‬‫ـ‬‫فلس‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫العم‬ ‫أ‬�‫ـد‬‫ـ‬‫ب‬
‫بمقــدار‬ ‫زيــادة‬ ‫وكل‬ ،‫الــزلازل‬ ‫شــدة‬ ‫لقيــاس‬ ‫ريختــر‬ ‫مقيــاس‬ ‫ويســتخدم‬
‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـابقتها‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـاف‬‫ـ‬‫ضع‬‫أ‬� 10 ‫ـل‬‫ـ‬ِّ‫ث‬‫تم‬ ‫ـاس‬‫ـ‬‫المقي‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫واحــــــــــ‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫درج‬
‫ـزال‬‫ـ‬‫زل‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫يعتب‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫حي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ،ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫قوي‬ 5,3 ‫ـوة‬‫ـ‬‫بق‬ ً‫ا‬‫ـزال‬‫ـ‬‫زل‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫ل‬ .‫ـزال‬‫ـ‬‫الزل‬ ‫ـعة‬‫ـ‬‫س‬
.ً‫ا‬‫ـر‬‫ـ‬‫مدم‬ 6,3 ‫ـوة‬‫ـ‬‫بق‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫آخ‬�
‫ـث‬‫ـ‬‫حي‬ ،‫ـات‬‫ـ‬‫اللوغاريتم‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ساس‬‫أ‬� ‫ـكل‬‫ـ‬‫بش‬ ‫ـاز‬‫ـ‬‫الجه‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫تقني‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫وتعتم‬
.‫ـا‬‫ـ‬‫له‬ ‫ـابقة‬‫ـ‬‫الس‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الدرج‬ ‫ـاف‬‫ـ‬‫ضع‬‫أ‬� 10‫ـدة‬‫ـ‬‫الواح‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الدرج‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫تعن‬
._______ = ١٠ ١٠
 =‫ريختر‬ ‫مقياس‬ ‫على‬ ‫واحدة‬ ‫درجة‬-
.______= ١٠٠ ١٠
 =‫ريختر‬ ‫مقيـــــــاس‬ ‫علــــــــى‬ ‫درجتين‬ -
.________________=‫ريختر‬ ‫مقيـــــــاس‬ ‫على‬ ‫درجات‬ 3 -
:‫ن‬‫أ‬� ‫كما‬ 8=3
)2( ‫ن‬‫أ‬�‫ل‬ 3 = ٨ ٢

._______ ‫ن‬‫أ‬�‫ل‬ ____ = ٤٩ ٧

.________________‫اللوغريتمية‬ ‫الصورة‬ ‫ِلى‬‫إ‬� 64 =2
)8( ‫ل‬ّ‫و‬‫ح‬‫أ‬�
١٦ ٢
 + ٨٢
 = )١٦ ⨯ ٨( ٢

__________= )
٢٧
٩
( ٣
 ‫ن‬‫أ‬� ‫كما‬
Logarithmic Equations
)١( ‫نشاط‬
)٢( ‫نشاط‬
)2 - 3(

83
:‫إن‬�‫ف‬ 1≠  ،‫صفر‬ > ‫ص‬ ،‫س‬ ، ‫كانت‬ ‫إذا‬�
١ =  
 )٢
‫صفر‬ = ١ 
 )١
‫ص‬
 + ‫س‬
 = ‫ـ‬
)‫ص‬ ⨯ ‫(س‬ 
 )٤
‫س‬ =
‫جـ‬
 ْ‫تكافي‬ ‫جـ‬ = ‫س‬ 
 )٣
٠‫س‬ ، ‫س‬
 ⨯ ‫ن‬ =‫ن‬
‫س‬
 )٦
)‫(ص‬
 − )‫(س‬
 = )
‫س‬
‫ص‬( 
 )٥
:‫ّر‬‫ك‬‫تذ‬‫أ‬�
.3 =‫س‬٢
 ‫المعادلة‬ ّ‫ل‬‫ح‬‫أ‬�
.‫سية‬‫أ‬�‫ال‬ ‫للصورة‬ ً‫ا‬‫ول‬‫أ‬� ‫نحولها‬ ‫اللوغاريتمية‬ ‫المعادلة‬ ّ‫ل‬‫لح‬
‫س‬ =3
)2( ‫تكافئ‬ 3 =‫س‬٢

٨ = ‫س‬ :‫ومنها‬
3 = )5 + ‫س‬2 −2
‫(س‬2
 :‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫اللوغاريتمية‬ ‫المعادلة‬ ُّ‫ل‬‫ح‬‫أ‬�
.‫سية‬‫أ‬�‫ال‬ ‫للصورة‬ ً‫ا‬‫ول‬‫أ‬� ‫نحولها‬ ‫اللوغاريتمية‬ ‫المعادلة‬ ّ‫ل‬‫لح‬
3
)2( = 5 + ‫س‬2 −2
‫س‬ : ‫تكافئ‬ 3 = )5 + ‫س‬2 −2
‫(س‬٢

}3 ، 1-{ :ّ‫ل‬‫الح‬ ‫مجموعة‬ 0=)1 + ‫)(س‬3 − ‫(س‬ :‫ومنها‬
0= 3 − ‫س‬2−2
‫س‬
‫س‬٢ − ٣ = ٦٤٤
‫لو‬ ‫المعادلة‬ ّ‫ل‬‫ح‬ ‫مجموعة‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
.‫سية‬‫أ‬�‫ال‬ ‫للصورة‬ ً‫ا‬‫ول‬‫أ‬� ‫نحولها‬ ‫اللوغاريتمية‬ ‫المعادلة‬ ّ‫ل‬‫لح‬ :ّ‫ل‬‫الح‬
، ‫متساوية‬ ‫سس‬‫أ‬�‫ال‬ ‫إن‬�‫ف‬ ‫متشابهة‬ ‫ساسات‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫وبما‬ ٣
٤= ‫س‬٢-٣
)٤(
٣ = ‫س‬٢ − ٣
‫(لماذا)؟‬ ٠= ‫س‬
} ٠ { :ّ‫ل‬‫الح‬ ‫مجموعة‬

84
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المعادلات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ّ‫ل‬‫ح‬ ‫مجموعة‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
4 = )4 − ‫س‬5(٢
 )‫أ‬�
1 − ‫س‬2 = )343(٧
 )‫ب‬
3 = )‫س‬ − 6(٣
 )‫جـ‬
0= )3 − ‫س‬3 +2
‫(س‬5
 )‫د‬
4 + ‫س‬2 =6
)10(10
 )‫هـ‬
١
٢
3
0 = )3−2
‫(س‬3
‫لو‬ ‫المعادلة‬ ّ‫ل‬‫ح‬ ‫مجموعة‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
١ = )٥ − ‫س‬٢(٣
 − )١ − ‫(س‬٣
 :‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫اللوغاريتمية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬‫أ‬�
) ٢ - ٣ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬

85
)١( ‫نشاط‬
‫المتسلسلات‬
Series
‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـطين‬‫ـ‬‫فلس‬ ‫ـاء‬‫ـ‬‫رج‬‫أ‬� ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـار‬‫ـ‬‫بالانتش‬ ‫ـلة‬‫ـ‬‫الس‬ ‫ـرة‬‫ـ‬‫ك‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫رياض‬ ‫ت‬‫أ‬�‫ـد‬‫ـ‬‫ب‬
‫ـدة‬‫ـ‬‫م‬ ،‫ـرات‬‫ـ‬‫فت‬ 4 ‫ـى‬‫ـ‬‫إل‬� ‫ـاراة‬‫ـ‬‫المب‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫وتقس‬ .‫ـي‬‫ـ‬‫الماض‬ ‫ـرن‬‫ـ‬‫الق‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫ثلاثين‬
:‫ـي‬‫ـ‬‫ت‬‫آ‬�‫كال‬ ‫ـداف‬‫ـ‬‫ه‬‫أ‬�‫لل‬ ‫ـاط‬‫ـ‬‫النق‬ ‫ـب‬‫ـ‬‫وتحتس‬ ،‫ـق‬‫ـ‬‫دقائ‬10‫منها‬ ‫كل‬
.‫حرة‬ ‫رمية‬ ‫من‬ ‫هدف‬ :‫واحدة‬ ‫نقطة‬
.‫الجزاء‬ ‫منطقة‬ ‫داخل‬ ‫من‬ ‫مباشر‬ ‫هدف‬ :‫نقطتان‬
.‫الجزاء‬ ‫منطقة‬ ‫خارج‬ ‫من‬ ‫هدف‬ :‫نقاط‬ ‫ثلاث‬
‫ِّل‬‫ث‬‫يم‬ ‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫الجدول‬ ،‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫هداف‬‫أ‬� ‫عشرة‬ ‫الخارجية‬ ‫مبارياته‬ ‫ِحدى‬‫إ‬� ‫في‬ ‫السلة‬ ‫لكرة‬ ‫فلسطين‬ ‫منتخب‬ ‫حرز‬‫أ‬�
:‫هداف‬‫أ‬�‫ال‬ ‫تلك‬ ‫عن‬ ‫احتسابها‬ ‫تم‬ ‫التي‬ ‫النقاط‬
‫الهدف‬
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
‫النقاط‬ ‫عدد‬
2
2
3
1
2
2
2
1
1
2
.___،___،___،___،___،2، 1 ، 3 ،2،2 = )‫ن‬
‫(ف‬ ‫المحتسبة‬ ‫النقاط‬ ‫متتالية‬
___+___+___+___+___+___+___+___ +2+2 ‫المنتخب‬ ‫نقاط‬ ‫مجموع‬ ‫ما‬‫أ‬�
.‫النقاط‬ ‫متسلسلة‬ ‫ى‬ّ‫م‬‫فتس‬
‫تعريف‬
، )

‫ح‬
‫ن‬
١=
( ‫العام‬ ‫حدها‬ ‫ويكون‬ ،‫لها‬ ‫المقابلة‬ )

‫(ح‬ ‫المتتالية‬ ‫حدود‬ ‫مجموع‬ ‫ّل‬‫ث‬‫تم‬ )

‫ح‬
‫ن‬
١=
( ‫المتسلسلة‬
.‫حدودها‬ ‫مجموع‬ ‫عن‬ ‫ن‬
‫جـ‬ ‫ويعبر‬
)٣ - ٣(

86
‫مجموعها‬ ‫جد‬‫أ‬� ‫ثم‬ ،}5- ، 9 ، 4 ، 1- ، 3{ =‫ن‬
‫ف‬ ‫للمتتالية‬ ‫المقابلة‬ ‫المتسلسلة‬ ‫كتب‬‫أ‬�
.5- + 9 + 4 + 1- + 3 =
‫ف‬
٥
1=

5
‫جـ‬ =
‫ف‬
٥
1=
 :‫ن‬‫أ‬� ‫لاحظ‬
)‫(لماذا؟‬ 10 =5
‫جـ‬ :‫ومنها‬
.)٤
‫(جـ‬ ‫منها‬ ‫حدود‬ 4 ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬ ‫جد‬‫أ‬� ‫ثم‬ ،‫لها‬ ‫المقابلة‬ ‫المتسلسلة‬ ‫كتب‬‫أ‬� ، 1+2
‫ن‬ =‫ن‬
‫ح‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
)1+2
 (
‫ن‬
١=
 =
‫ح‬
‫ن‬
١=
 ‫هي‬ ‫المتسلسلة‬
17 + 10 + 5 + 2 = )1+2
 (
٤
١=

34 =4
‫جـ‬ :‫ومنها‬
)2( ‫نشاط‬
‫منتهية‬ 13 + .... + 6 + 5 + 4 + 3 ‫المتسلسلة‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫يعني‬ ‫وهذا‬ ‫منتهية‬ ‫متتالية‬ 13،.....،6،5،4،3 ‫المتتالية‬
‫هي‬ ... + 6 + 12 + 24 + 48 ‫المتسلسلة‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ف‬ ‫لذا‬ ،‫منتهية‬ ‫غير‬ ...6،12،24،48 ‫المتتالية‬ ‫لكن‬ ،ً‫ا‬‫يض‬‫أ‬�
.__________‫متسلسة‬

87
)7 − 2(
∞
1=
‫المتسلسلة‬ ‫في‬ ‫حدود‬ 3 ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
5- = 7 − )1(2 =1
‫ح‬ :ّ‫ل‬‫الح‬
3- = 7 − )2(2 =2
‫ح‬
1- = 7 − )3(2 =3
‫ح‬
.9- = 1- + 3- + 5- =3
‫جـ‬ ‫ِذن‬‫إ‬�

1+ 2
∞
1=
 :‫المتسلسلة‬ ‫من‬ ‫حدود‬ 3 ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
٣
٧ +
٢
٥ +
١
٣ = 
1+ 2
٣
1=
 = 3
‫جـ‬
٤٥
١٠٥ +
٤٢
١٠٥ +
٣٥
١٠٥ =
١٢٢
١٠٥ = 3
‫جـ‬

88
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المتسلسلات‬ ‫من‬ ّ‫ل‬‫ك‬ ‫مفكوك‬ ‫من‬ ‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ربعة‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحدود‬ ُ
٢
‫ن‬
٢+ ‫ن‬
٥
١=‫ن‬
 )‫أ‬�
٢
‫ن‬
∞
١=‫ن‬
 )‫ب‬
:‫منتهية‬ ‫غير‬ ‫يها‬‫أ‬�‫و‬ ‫منتهية‬ ‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المتسلسلات‬ ّ‫ي‬‫أ‬�
... + 32 + 18 + 8 + 2 )‫أ‬�
125 + 64 + 27 + 8 + 1 )‫ب‬
1+ ‫ن‬2
٢ + ‫ن‬
∞
١=‫ن‬
 )‫جـ‬
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المتسلسلات‬ ‫من‬ ‫كل‬ )‫ن‬
‫(جـ‬ ‫مجموع‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
)٤− ‫ن‬٣ − ٢
‫ن‬٢(
٦
١=‫ن‬
 )‫أ‬�
)٨(
٤
١=‫ن‬
 )‫ب‬
1+ ‫ن‬2
٢ + ‫ن‬
٥
١=‫ن‬
 )‫جـ‬
‫؟‬ ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،٩٧
٥
‫يساوي‬
 + ‫ن‬2
٢ + ‫ن‬
∞
١=‫ن‬
 ‫المتسلسلة‬ ‫من‬ ‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ربعة‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحدود‬ ‫مجموع‬ ‫كان‬ ‫إذا‬�
١
٢
٣
٤
) ٣ - ٣ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬

89
)١( ‫نشاط‬
‫ومجموعها‬ ‫الحسابية‬ ‫المتسلسلة‬
Arithmetic Series
‫المادية‬ ‫الناحية‬ ‫من‬ ‫المجدية‬ ‫الاستثمارات‬ ‫من‬ ‫الفراولة‬ ‫زراعة‬ ‫تعتبر‬
‫عبــــــــوات‬ ‫في‬ ،‫توزيعها‬ ،‫نقلها‬ ‫عند‬ ‫ويراعى‬ .‫الفلســــــــــــطيني‬ ‫للمزارع‬
.‫جودتـــــــــها‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫حفاظــــــــــــــ‬ ،ً‫ا‬‫نسبي‬ ‫قليلة‬ ‫لكميات‬ ‫تتسع‬
‫ـوات‬‫ـ‬‫عب‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـوم‬‫ـ‬‫ي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـزة‬‫ـ‬‫غ‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫فراول‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مزرع‬ ‫ـاج‬‫ـ‬‫إنت‬� ‫ع‬ّ‫ز‬ُ‫و‬ ‫إذا‬�
‫ـى‬‫ـ‬‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫العبوتي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الفراول‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫كتل‬ ‫إن‬�‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ ،‫ـم‬‫ـ‬‫كغ‬ 3‫ــ‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫منه‬ ‫كل‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫تتس‬
‫ـم‬‫ـ‬‫كغ‬ 3 +3 = ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫مع‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫والثاني‬
.‫كغم‬ ___________=‫عبوات‬ 3 ‫ول‬‫أ‬� ‫في‬ ‫الفراولة‬ ‫كتلة‬
.‫كغم‬ ___________=‫عبوات‬ 4 ‫ول‬‫أ‬� ‫في‬ ‫الفراولة‬ ‫كتلة‬
.‫كغم‬ 3 + .... + 3 + 3 :‫هي‬ ‫عبوة‬ )‫(ن‬ ‫في‬ ‫والموزعة‬ ‫المزرعة‬ ‫في‬ ‫جة‬َ‫ت‬‫المن‬ ‫الفراولة‬ ‫كتلة‬ ‫متسلسة‬
.‫بها‬ ‫المرتبطة‬ ‫الحسابية‬ ‫المتتالية‬ ‫حدود‬ ‫مجموع‬ ‫نها‬‫أ‬�‫ب‬ ‫الحسابية‬ ‫المتسلسلة‬ ‫تعرف‬
.ً‫ا‬‫دائم‬ ً‫ا‬‫ثابت‬ ً‫ا‬‫مقدار‬ ‫يساوي‬ ‫فيها‬ ‫متتاليين‬ ‫حدين‬ ‫ي‬‫أ‬� ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫المتتالية‬ ‫هي‬ :‫الحسابية‬ ‫المتتالية‬
.‫النوني‬ ‫الحد‬ ‫رتبة‬ :‫ن‬ ،‫ساس‬‫أ‬�‫ال‬ :‫د‬ ،‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحد‬ : ‫حيث‬ ،‫د‬ )١− ‫(ن‬ +  = ‫ن‬
‫ح‬ ‫العام‬ ‫وحدها‬
:‫ّر‬‫ك‬‫تذ‬‫أ‬�
)4 - ٣(

90
:‫ن‬‫أ‬�‫ل‬ ، ‫حسابية‬ ‫المتسلسلة‬ )1
3 = 10− 13 = 7 − 10
3 = 10− 13 =13 − 16
3 = 13 − 16=16 − 19
1- =6 − 5 ‫بينما‬ ، 2− =8 − 6 ‫ن‬‫أ‬�‫ل‬ ، ‫حسابية‬ ‫ليست‬ ‫المتسلسلة‬ )2
.6 − 5 ≠8 − 6
)٢( ‫نشاط‬
‫حيث‬ ،‫دينار‬ 6000 ‫قدره‬ ‫سنوي‬ ‫براتب‬ ‫الفلسطينية‬ ‫المصانع‬ ‫ِحدى‬‫إ‬� ‫في‬ ‫العمل‬ ‫م‬ ٢٠١٨ ‫عام‬ ‫كهربائيات‬ ‫فني‬ ‫أ‬�‫بد‬
.‫دينار‬100 ‫قدرها‬ ‫ثابتة‬ ‫سنوية‬ ‫علاوة‬ ‫يتقاضى‬
__ :‫هي‬ ‫م‬2020 ‫عام‬ ‫نهاية‬ ‫حتى‬ ‫م‬201٨ ‫عام‬ ‫بداية‬ ‫من‬ ً‫ا‬‫سنوي‬ ‫الفني‬ ‫سيتقاضاه‬ ‫ما‬ ‫ِّل‬‫ث‬‫تم‬ ‫التي‬ ‫الحسابية‬ ‫المتسلسلة‬
._____________________________________________________________________
.__________ ‫يساوي‬ ‫واتب‬ّ‫ر‬‫ال‬ ‫هذه‬ ‫مجموع‬
100 = ‫د‬ :‫ساسها‬‫أ‬�‫و‬ 6000= :‫الرواتب‬ ‫متسلسلة‬ ‫في‬ ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحد‬
.__________  = ‫مجموعها‬ ‫ِذن‬‫إ‬�
:‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫فيما‬ ‫غيرها‬ ‫من‬ ‫الحسابية‬ ‫المتسلسلة‬ ‫ز‬ّ‫ي‬‫م‬‫أ‬�
19 + 16 + 13 + 10+ 7 )1
2 + 3 + 5 + 6 + 8 )2

91
:‫بالقانون‬ ‫يعطي‬ ، ‫د‬ ‫ساسها‬‫أ‬�‫و‬  ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫حدها‬ ‫حسابية‬ ‫متسلسلة‬ ‫حدود‬ ‫من‬ ً‫ا‬‫حد‬ ‫ن‬ ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬
.)‫د‬ ⨯ )1− ‫(ن‬ + 2(
‫ن‬
٢ = ‫ن‬
‫جـ‬
000+6+8+10+12 ‫الحسابية‬ ‫المتسلسلة‬ ‫من‬ ً‫ا‬ّ‫د‬‫ح‬ 40 ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
40=‫ن‬
، 2-=‫د‬
، 12= 
.)‫د‬ ⨯ )1− ‫(ن‬ + 2(
‫ن‬
٢ = ‫ن‬
‫جـ‬
)2- ⨯ )1− 40( + 12 × 2(
40
٢ =40
‫جـ‬
)2- ⨯ 39 + 24( 20 =
1080- = )78 − 24( 20 =
.24+20+16+12+8+4 ‫المتسلسلة‬ ‫مجموع‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
6 = ‫ن‬
،4 = ‫د‬ ،4 = :‫وفيها‬ ‫(لماذا)؟‬ ‫حسابية‬ ‫المتسلسلة‬
)‫د‬ ⨯ )1− ‫(ن‬ + 2(
‫ن‬
٢ =‫ن‬
‫جـ‬
)4⨯ )1− ٦( + ٤ ⨯ 2(
٦
٢ = 6
‫جـ‬
.84 = )4 ⨯ 5 + 8(3=

92
:‫ن‬‫أ‬� ‫لاحظ‬‫أ‬�
)4×)1− ٦(+٤×2(
٦
٢ =6
‫جـ‬
)4×)1− ٦(+٤+4(
٦
٢ =
.‫خير‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحد‬ ‫وهو‬
6
‫=ح‬ 4×)1− 6(+4 :‫لكن‬

)6
‫ح‬ + 4(
٦
٢ = 6
‫جـ‬ ‫ِذن‬‫إ‬�
)24+4( ٣ =
‫خرى؟‬‫أ‬� ‫بطريقة‬ ‫الناتج‬ ‫ِيجاد‬‫إ‬� ‫يمكن‬ ‫هل‬ 84=
:‫بالقاعدة‬ ‫ل‬ ‫خير‬‫أ‬�‫ال‬ ‫حدها‬ ‫و‬ ،  ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫حدها‬ ‫حسابية‬ ‫متسلسلة‬ ‫من‬ ‫حدود‬ ‫ن‬ ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬ ‫ِيجاد‬‫إ‬� ‫يمكن‬ :‫نتيجة‬
)‫ل‬ + (
‫ن‬
٢ =‫ن‬
‫جـ‬
)٣( ‫نشاط‬
)‫ن‬ − 12(
٦٠
١=‫ن‬
 ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
‫(لماذا)؟‬ ‫حسابية‬ ‫المتسلسلة‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫لاحظ‬‫أ‬� :ّ‫ل‬‫الح‬
 = ١١ = ١ − ١٢=١
‫ح‬
٤٨- = ٦٠ − ١٢ = ٦٠
‫ح‬
60= ‫ن‬ ،48- = ‫ل‬ ، 11=  ‫فيها‬ ،‫حسابية‬ ‫المتسلسلة‬ ‫ِذن‬‫إ‬�
)‫ل‬ + (
‫ن‬
٢ =‫ن‬
‫ـ‬‫جـ‬
._________________=60
‫جـ‬

93
2
‫ن‬ − ‫ن‬4 =‫ن‬
‫جـ‬ :‫بالعلاقة‬ ‫مجموعها‬ ‫يعطى‬ ‫التي‬ ‫الحسابية‬ ‫المتسلسلة‬ ‫في‬ ‫عشر‬ ‫الخامس‬ ‫الحد‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
.1
‫جـ‬ =  ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحد‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫لاحظ‬‫أ‬�
3 = 2
)1( − )1(4 =1
‫جـ‬
3 =  :‫ومنها‬
2
‫ح‬ +1
‫=ح‬ 2
‫جـ‬ = ‫حدين‬ ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬
4 = 4 − 8 =2
)2( − )2(4 =
)1
‫جـ‬ – 2
‫(جـ‬ = 2
‫ح‬ :‫ومنها‬
1= 3 − 4 =2
‫ح‬
‫(لماذا)؟‬ 1
‫ح‬ − 2
‫ح‬ = ‫المتسلسلة‬ ‫ساس‬‫أ‬� ‫ن‬‫أ‬� ‫كما‬
2- = 3 − 1=
2- = ‫د‬
2- ⨯ )1 − ‫(ن‬ + 3 = ‫ن‬
‫ح‬ :‫ومنها‬
2- ⨯ )1 − 15( + 3 = 15
‫ح‬
25- =
.)‫إخرى؟‬� ‫حلول‬ ‫هناك‬ ‫(هل‬

94
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المتسلسلات‬ ‫من‬ ّ‫ل‬‫ك‬ ‫مفكوك‬ ‫من‬ ‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ربعة‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحدود‬ ُ
)1 + ‫ن‬3(
٧
١=‫ن‬
 )‫أ‬�
)٢(
١٧
١=‫ن‬
 )‫ب‬
.‫منها‬ ً‫ا‬‫حد‬ 20 ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� 5 ‫يساوي‬ ‫ساسها‬‫أ‬�‫و‬ ،14 ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫حدها‬ ‫حسابية‬ ‫متسلسة‬
120 ‫يساوي‬ ‫فيها‬ ً‫ا‬‫حد‬ 60 ‫ول‬‫أ‬� ‫ومجموع‬ 2 ‫ساسها‬‫أ‬� ‫التي‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫الحساب‬ ‫المتسلسلة‬ ‫في‬ ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحد‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
‫؟‬27 = ‫الحدود‬ ‫تلك‬ ‫مجموع‬ ‫ليكون‬ 6 ‫ساسها‬‫أ‬�‫و‬ 3 ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫حدها‬ ‫حسابية‬ ‫متسلسلة‬ ‫من‬ ‫خذه‬‫أ‬� ‫يجب‬ ً‫ا‬‫حد‬ ‫كم‬
.٦٠
‫جـ‬ ‫جد‬‫أ‬� ، ٨٧ = ‫الستون‬ ‫وحدها‬ ٣ ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫حدها‬ ‫حسابية‬ ‫متتالية‬
١
٢
٣
٤
٥
) ٤ - ٣ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬

95
)١( ‫نشاط‬
‫ومجموعها‬ ‫الهندسية‬ ‫المتسلسلة‬
Geometric Series
،‫ـا‬‫ـ‬‫فيه‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫ثري‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫المواق‬ ‫ـرة‬‫ـ‬‫لكث‬ ‫ـك‬‫ـ‬‫وذل‬ ،‫ـياحي‬‫ـ‬‫الس‬ ‫ـاط‬‫ـ‬‫بالنش‬ ‫ـطينية‬‫ـ‬‫الفلس‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫المحافظ‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫غيره‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫ريح‬‫أ‬� ‫ـة‬‫ـ‬‫محافظ‬ ‫ـاز‬‫ـ‬‫تمت‬
.‫ـة‬‫ـ‬‫المحافظ‬ ‫ـزورون‬‫ـ‬‫ي‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫الذي‬ ‫ـياح‬‫ـ‬‫الس‬ ‫ـذب‬‫ـ‬‫تج‬ ‫ـياحية‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫منتجع‬ ‫ـاء‬‫ـ‬‫إنش‬� ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـتثمر‬‫ـ‬‫س‬ُ‫ت‬‫ف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫ثري‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫غي‬ ‫ـق‬‫ـ‬‫المناط‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫م‬‫أ‬�
‫ـي‬‫ـ‬‫ملاه‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫منطق‬ ،‫ـمل‬‫ـ‬‫تش‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫ريح‬‫أ‬� ‫ـة‬‫ـ‬‫محافظ‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـكل‬‫ـ‬‫الش‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مربع‬ ‫رض‬‫أ‬� ‫ـة‬‫ـ‬‫قطع‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫متكام‬ ‫ـياحي‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫منتج‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫ِقام‬‫إ‬� ‫ـتثمر‬‫ـ‬‫مس‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫يري‬
.ً‫ة‬‫كامل‬ ‫القطعة‬ ‫ـغل‬‫ـ‬‫وتش‬ ،‫واحد‬ ‫فقي‬‫أ‬� ‫ـتوى‬‫ـ‬‫مس‬ ‫في‬ ‫جميعها‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫تق‬ ‫ـث‬‫ـ‬‫بحي‬ ،‫ـات‬‫ـ‬‫للمركب‬ ‫ـف‬‫ـ‬‫وموق‬ ،‫ـم‬‫ـ‬‫مطع‬ ،‫ـق‬‫ـ‬‫ومراف‬ ‫ـبح‬‫ـ‬‫مس‬ ،‫ـاب‬‫ـ‬‫لع‬‫أ‬�‫و‬
2
‫م‬400،2
‫م‬800 ،2
‫م‬1600 ، 2
‫م‬3200 :‫الترتيب‬ ‫على‬ ‫منطقة‬ ‫كل‬ ‫مساحة‬
________________ :‫المساحات‬ ‫مجموع‬ ‫على‬ ‫الدالة‬ ‫المتسلسلة‬ )‫أ‬�
_______________________ :‫تساوي‬ ‫رض‬‫أ‬�‫ال‬ ‫لقطعة‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ )‫ب‬
:‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫مما‬ ‫الهندسية‬ ‫المتسلسلات‬ ُ‫ز‬ّ‫ي‬‫م‬‫أ‬�
.18 + 15 + 12 + 9 + 6 )‫ب‬
.1 + 3 + 9 + 27 + 81 )‫أ‬�
.‫بها‬ ‫المرتبطة‬ ‫الهندسية‬ ‫المتتالية‬ ‫مجموع‬ ‫نها‬‫أ‬�‫ب‬ ‫الهندسية‬ ‫المتسلسلة‬ ‫تعرف‬
.ً‫ا‬‫دائم‬ ً‫ا‬‫ثابت‬ ً‫ا‬‫مقدار‬ ‫يساوي‬ ‫فيها‬ ‫متتاليين‬ ‫حدين‬ ‫ي‬‫أ‬� ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫تكون‬ ‫التي‬ ‫المتتالية‬ ‫هي‬ :‫الهندسية‬ ‫المتتالية‬
‫النوني‬ ‫الحد‬ ‫رتبة‬ :‫ن‬ ،‫ساس‬‫أ‬�‫ال‬ : ،‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحد‬ : ‫حيث‬ ،
)١− ‫(ن‬
  = ‫ن‬
‫ح‬ ‫العام‬ ‫وحدها‬
:‫ّر‬‫ك‬‫تذ‬‫أ‬�
)5 - ٣(

96
١
٣ =
٩
٢٧ =
٢٧
٨١ ‫ن‬‫أ‬�‫ل‬ ، ‫هندسية‬ ‫متسلسلة‬ )‫أ‬� :ّ‫ل‬‫الح‬
١
٣ =
٩
٢٧ =
٣
٩
١
٣ =
٣
٩ =
١
٣
١٢
٩ ≠
٩
٦ = ‫ن‬‫أ‬�‫ل‬ ،‫هندسية‬ ‫ليست‬ )‫ب‬
،  ‫ساسها‬‫أ‬�‫و‬  ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫حدها‬ ‫هندسية‬ ‫متسلسلة‬ ‫حدود‬ ‫من‬ ‫حد‬ ‫ن‬ ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬
١ ≠  ،
‫ن‬
− ١
− ١  = ‫ن‬
‫جـ‬ ‫بالقانون‬ ‫يعطي‬
.243 + 81 + 27 + 9 + 3 ‫المتسلسلة‬ ‫مجموع‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
5 = ‫ن‬
، 3 =  ، 3 =  ‫ومنها‬ ‫(لماذا)؟‬ ‫هندسية‬ ‫المتسلسلة‬

‫ن‬
− ١
− ١  =‫ن‬
‫جـ‬
)‫(لماذا؟‬ 363 =
)٢٤٣ − ١( ٣
٣ − ١ =5
‫جـ‬
... + 64 + 16 + 4 + 1 ‫الهندسية‬ ‫المتسلسلة‬ ‫من‬ ‫حدود‬ ٥ ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬ ‫جد‬‫أ‬�
٥ = ‫ن‬ ، 4 = 
، 1 =  :ّ‫ل‬‫الح‬
‫ن‬
− ١
− ١  =‫ن‬
‫جـ‬

97
2 = ‫ساسها‬‫أ‬�‫و‬ ،28= ‫منها‬ ‫حدود‬ 3 ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬ ‫التي‬ ‫الهندسية‬ ‫للمتسلسلة‬ ‫الثامن‬ ‫الحد‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
‫ن‬
− ١
− ١  =‫ن‬
‫جـ‬
)٨ − ١(
)٢− ١( =٣
‫جـ‬
28 = ٧ ⨯ 
)‫لماذا؟‬ ( 4 =  :‫ومنها‬
1-‫ن‬
 =8
‫ح‬
٥١٢ = ‫الثامن‬ ‫حدها‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫ي‬‫أ‬� .7
2×4 =8
‫ح‬
)‫(لماذا؟‬ ٣٤١ =
)١٠٢٤ − ١(
٤ − ١
⨯ 1 =٥
‫جـ‬
)٢( ‫نشاط‬
= )‫ن‬
2(
٨
١=‫ن‬

8
2+...........+4
2+3
2 +2
2+1
2 =
: ‫ن‬‫أ‬�‫ل‬ ‫هندسية‬ ‫المتسلسلة‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫لاحظ‬‫أ‬�
_______ = ‫ن‬
، 2 = 
، 2 =  :‫فيها‬
____________________ =8
‫جـ‬ :‫إذن‬�

98
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫الهندسية‬ ‫المتسلسلات‬ ‫مجموع‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
.)‫ن‬
3 ⨯ 2 (
٤
١=‫ن‬
 )‫أ‬�
.625 + 125 + 25 + 5 + 1 )‫ب‬
١
١٦ −
١
٤ + 1 − 4 )‫ج‬
.‫منها‬ ‫حدود‬ ‫عشر‬ ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� ، 1- ‫ساسها‬‫أ‬� ‫و‬ 7 ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫حدها‬ ‫هندسية‬ ‫متسلسلة‬
.60 ‫يساوي‬ ‫حدود‬ ‫ربعة‬‫أ‬� ‫ول‬‫أ‬� ‫ومجموع‬ 2 ‫ساسها‬‫أ‬� ‫التي‬ ‫الهندسية‬ ‫المتسلسلة‬ ‫في‬ ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الحد‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬�
‫؟‬ 160 ‫مجموعها‬ ‫ليكون‬ 3 ‫ساسها‬‫أ‬�‫و‬ 4 ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫حدها‬ ‫هندسية‬ ‫متسلسلة‬ ‫من‬ ‫خذه‬‫أ‬� ‫يلزم‬ ً‫ا‬‫حد‬ ‫كم‬
١
٢
٣
٤
) ٥ - ٣ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬

99
:‫الصحيحة‬ ‫جابة‬ِ‫إ‬�‫ال‬ ‫رمز‬ ‫حول‬ ‫دائرة‬ ُ‫ع‬‫ض‬‫أ‬� :‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫السؤال‬
‫منها؟‬ ‫حدود‬ ‫عشرة‬ ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬ ‫ما‬ ،٢١ ‫العاشر‬ ‫وحدها‬ 3 ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫حدها‬ ‫حسابية‬ ‫متسلسلة‬ )١
١٢٠ )‫د‬ ٥٠ )‫ج‬ ٤٠ )‫ب‬ 2٠ )‫أ‬�
‫منها؟‬ ‫حدود‬ ‫ثلاثة‬ ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬ ‫ما‬ ،
١
٣ ‫ساسها‬‫أ‬� ، 1- ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫حدها‬ ‫هندسية‬ ‫)متسلسلة‬٢
٥٢
٨١ )‫د‬
٤
٣ )‫ج‬
٩
١٣ )‫ب‬
١٣-
٩ )‫أ‬�
‫؟‬ 
)١-(
٥
١=
 ‫قيمة‬ ‫ما‬ )٣
٥ )‫د‬
١ )‫ج‬
١- )‫ب‬
٥- )‫أ‬�
‫؟‬٦3٥ ‫يساوي‬ ..+ ٢٠+١٠+5 ‫المتسلسلة‬ ‫مجموع‬ ‫ليصبح‬ ‫خذها‬‫أ‬� ‫اللازم‬ ‫الحدود‬ ‫عدد‬ ‫ما‬ )٤
٤ )‫د‬ ٥ )‫ج‬ 6 )‫ب‬ ٧ )‫أ‬�
‫ول؟‬‫أ‬�‫ال‬ ‫حدها‬ ‫ما‬ ،2- ‫ساسها‬‫أ‬�‫و‬ ،٣٢ ‫فيها‬ ً‫ا‬‫حد‬ ‫عشر‬ ‫ستة‬ ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬ ‫حسابية‬ ‫متسلسلة‬ )5
١٣- )‫د‬ ١٦ )‫ج‬ ١٧ )‫ب‬ ٣٤ )‫أ‬�
‫)؟‬٨١ ⨯ ٢٤٣( 3
 :‫قيمة‬ ‫ما‬ )6
٤ )‫د‬ ٩ )‫ج‬ ٢٠ )‫ب‬ ٥ )‫أ‬�
‫؟‬ ‫س‬-١
)
١
٣٢ ( = ٦٤ ‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬ ‫س‬ ‫قيمة‬ ‫ما‬ )٧
١١
٥ )‫د‬ ٥ )‫ج‬
١-
٥ )‫ب‬ ٥- )‫أ‬�
٥ =١−‫س‬٣
)٣(٢٧
 :‫المعادلة‬ ّ‫ل‬‫ح‬ ‫مجموعة‬ ‫ما‬ )٨
٧- )‫د‬
١٦
٣ )‫ج‬ ٣ )‫ب‬ ٧ )‫أ‬�

100
‫ومجموع‬ ،٢٥ = ‫والتاسع‬ ‫الثاني‬ ‫حديها‬ ‫مجموع‬ ‫حسابية‬ ‫لمتسلسلة‬ ‫حدود‬ 5 ‫ول‬‫أ‬� ‫كتب‬‫أ‬� :‫الثــــــاني‬ ‫السؤال‬
.٢٠= ‫والسابع‬ ‫الثالث‬ ‫حديها‬
.٣٦٤ ً‫ا‬‫مساوي‬ ‫المجموع‬ ‫ليكون‬ .... 9 + 3 + 1 ‫الهندسية‬ ‫المتسلسلة‬ ‫من‬ ‫خذه‬‫أ‬� ‫يلزم‬ ً‫ا‬‫حد‬ ‫كم‬ :‫الثــــالث‬ ‫السؤال‬
‫الحد‬ ُ‫د‬‫ج‬‫أ‬� )1+‫ن‬2(‫=ن‬‫ن‬
‫جـ‬ ‫بالعلاقة‬ ‫يعطى‬ ‫حسابية‬ ‫متسلسلة‬ ‫من‬ ً‫ا‬‫حد‬ ‫ن‬ ‫ول‬‫أ‬� ‫مجموع‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :‫الرابــــع‬ ‫السؤال‬
.‫المتسلسلة‬ ‫لتلك‬ ‫ساس‬‫أ‬�‫وال‬ ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬
‫تيتين؟‬‫آ‬�‫ال‬ ‫سيتين‬‫أ‬�‫ال‬ ‫المعادلتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ّ‫ل‬‫ح‬ ‫مجموعة‬ ‫ما‬ :‫السادس‬ ‫السؤال‬
‫س‬4
)٢٧( = 4+‫س‬
)9( )‫ب‬
٢٦ = 7+‫س‬2
)١6٩(2 )‫أ‬�
‫تيتين؟‬‫آ‬�‫ال‬ ‫اللوغاريتميتين‬ ‫المعادلتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ّ‫ل‬‫ح‬ ‫مجموعة‬ ‫ما‬ :‫السابع‬ ‫السؤال‬
١- =
)٠,0٠٠١(١٠
‫س‬
)١٠٠٠٠٠٠(١٠٠

)‫ب‬
‫س‬
)٦٤(8
 = 3-‫س‬2
)٢٥(5
 )‫أ‬�
0 = )١٢٥(5
 ٢ + )٢٤٣(3
‫لــو‬ ‫س‬ + )٦٤ (8
 2
‫س‬
١
٢ :‫المعادلة‬ ّ‫ل‬‫ح‬ ‫مجموعة‬ ‫ما‬ :‫الثــــامن‬ ‫السؤال‬
:‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫الجدول‬ ‫كمل‬‫أ‬� :‫ذاتي‬ ‫م‬ّ‫ي‬‫ق‬‫أ‬� :‫الثــــامن‬ ‫السؤال‬
.ً‫ا‬‫دينار‬ ٥٠ ‫قدرها‬ ‫سنوية‬ ‫وبزيادة‬ ‫دينار‬ ١١٥٠٠ ‫قدره‬ ‫سنوي‬ ‫براتب‬ ‫الشركات‬ ‫ِحدى‬‫إ‬� ‫مع‬ ‫مهندس‬ ‫تعاقد‬ :‫الخامس‬ ‫السؤال‬
‫السادسة؟‬ ‫السنة‬ ‫نهاية‬ ‫في‬ ‫الموظف‬ ‫هذا‬ ‫تقاضاه‬ ‫الذي‬ ‫السنوي‬ ‫الراتب‬ ‫ما‬ )‫أ‬�
‫سنوات؟‬ ‫عشر‬ ‫خلال‬ ‫تقاضاه‬ ‫ما‬ ‫مجموع‬ ‫ما‬ )‫ب‬
‫اسية‬ ‫معادلات‬ ‫احل‬
‫لوغريتيمية‬ ‫معادلات‬ ‫احل‬
‫حسابية‬ ‫متسلسلة‬ ‫مجموع‬ ‫اجد‬
‫هندسية‬ ‫متسلسلة‬ ‫مجموع‬ ‫اجد‬

‫حصاء‬ِ‫إ‬�‫ال‬
Statistics
٤
‫التماثل؟‬ ‫هذا‬ ‫لك‬ ‫يعني‬ ‫ماذا‬...‫طابور‬ ‫جبل‬ ‫في‬ ‫التماثل‬ ‫لاحظ‬
101

‫على‬ ‫قادرين‬ ‫يكونوا‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫نشطتها‬‫أ‬� ‫مع‬ ‫والتفاعل‬ ‫الوحدة‬ ‫هذه‬ ‫دراسة‬ ‫من‬ ‫نتهاء‬‫ال�إ‬ ‫بعد‬ ‫الطلبة‬ ‫من‬ ‫يتوقع‬
:‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫خلال‬ ‫من‬ ‫ة‬ّ‫ي‬‫العمل‬ ‫الحياة‬ ‫في‬ ‫المعياري‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫توظيف‬
1
1 .
.‫المعيارية‬ ‫العلامة‬ ‫إلى‬� ‫التعرف‬
2
2 .
.‫وخواصه‬ ‫المعياري‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫إلى‬� ‫التعرف‬
3
3 .
.‫المعياري‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫منحنى‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬ ‫ايجاد‬ ‫في‬ ‫الجداول‬ ‫استخدام‬
4
4 .
.‫حياتية‬ ‫مشكلات‬ ‫حل‬ ‫في‬ ‫المعياري‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫خواص‬ ‫توظيف‬
102

103
‫المعيارية‬ ‫العلامة‬
)١ - ٤(
‫ـوع‬‫ـ‬‫الن‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـف‬‫ـ‬‫ويتص‬ .‫ـام‬‫ـ‬‫الع‬ ‫ـياقها‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـار‬‫ـ‬‫الاعتب‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫بعي‬ ‫ـذ‬‫ـ‬‫خ‬‫أ‬�‫ال‬ ‫دون‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫ظاهري‬ ‫ـور‬‫ـ‬‫م‬‫أ‬� ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـكام‬‫ـ‬‫ح‬‫أ‬� ‫ـلاق‬‫ـ‬‫ط‬ ‫ل�إ‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫نضط‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫م‬ ً‫ا‬‫ـر‬‫ـ‬‫كثي‬
‫ـر‬‫ـ‬‫العاش‬ ‫ـف‬‫ـ‬‫الص‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫طالب‬ ‫ـس‬‫ـ‬‫خم‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫علام‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫يبي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ت‬‫آ‬�‫ال‬ ‫ـدول‬‫ـ‬‫الج‬ .‫ـان‬‫ـ‬‫حي‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـب‬‫ـ‬‫غل‬‫أ‬� ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الموضوعي‬ ‫ـدم‬‫ـ‬‫بع‬ ‫ـكام‬‫ـ‬‫الاح‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬
.‫ـة‬‫ـ‬‫العربي‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫اللغ‬ ‫ـث‬‫ـ‬‫مبح‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـهرين‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـلال‬‫ـ‬‫خ‬
Standard Score
)١( ‫نشاط‬
‫الطالبة‬
‫سناء‬
‫يسرى‬
‫دعاء‬
‫هديل‬
‫سلمى‬
‫يلول‬‫أ‬� ‫شهر‬ ‫اختبار‬
92
89
87
88
90
‫ول‬‫أ‬� ‫تشرين‬ ‫شهر‬ ‫اختبار‬
77
80
79
76
74
:‫يلول‬‫أ‬� ‫شهر‬ ‫خلال‬ ‫علاماتهن‬ ‫حسب‬ ً‫ا‬‫تنازلي‬ ‫الطالبات‬ ‫سماء‬‫أ‬� ‫ترتيب‬ -
.‫دعاء‬ ،‫هديل‬ ،‫يسرى‬ ،‫سلمى‬ ،‫سناء‬
:‫ول‬‫أ‬� ‫تشرين‬ ‫شهر‬ ‫خلال‬ ‫علاماتهن‬ ‫حسب‬ ً‫ا‬‫تنازلي‬ ‫الطالبات‬ ‫سماء‬‫أ‬� ‫ترتيب‬ -
.____،______،______،_____،____
‫لماذا؟‬ ‫فضل؟‬‫أ‬� ‫دعاء‬ ‫داء‬‫أ‬� ‫كان‬ ‫الشهرين‬ ‫ي‬‫أ‬� ‫في‬ -
‫تلك‬ ‫الحسابي‬ ‫الوسط‬ ‫الاعتبار‬ ‫بعين‬ ‫خذ‬‫أ‬�‫ال‬ ‫مع‬ ‫للظواهر‬ ‫عددية‬ ‫قيم‬ ‫على‬ ‫حكام‬‫أ‬� ‫إطلاق‬� ‫في‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامة‬ ‫تستخدم‬
.‫المعياري‬ ‫وانحرافها‬ ،‫القيم‬
‫تعريف‬
،‫ـاري‬‫ـ‬‫المعي‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫وانحرافه‬ )( ‫ـاوي‬‫ـ‬‫يس‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫البيان‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫لمجموع‬ ‫ـابي‬‫ـ‬‫الحس‬ ‫ـط‬‫ـ‬‫الوس‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :‫ـة‬‫ـ‬‫المعياري‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫العلام‬
‫س‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫القيم‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫تنحرفه‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الت‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المعياري‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫الانحراف‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـل‬‫ـ‬ِّ‫ث‬‫تم‬ )‫(س‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫للقيم‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المقابل‬ )‫ـة(ع‬‫ـ‬‫المعياري‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫العلام‬ ‫ِن‬‫إ‬�‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬
 − ‫س‬

= ‫ع‬ :ّ‫ن‬ِ‫إ‬�‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـوز‬‫ـ‬‫وبالرم‬ .‫ـات‬‫ـ‬‫للبيان‬ ‫ـابي‬‫ـ‬‫الحس‬ ‫ـط‬‫ـ‬‫الوس‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬

104
‫محمد‬ ‫حصل‬ ‫فيما‬ ،‫الرياضيات‬ ‫اختبار‬ ‫في‬ 85 ‫علامة‬ ‫على‬ )‫أ‬�( ‫الشعبة‬ ‫في‬ ‫ناصر‬ ‫حصل‬
‫الوسط‬ ‫ن‬ّ‫ي‬‫يب‬ ‫المجاور‬ ‫الجدول‬ .‫نفسه‬ ‫الاختبار‬ ‫في‬ 80 ‫علامة‬ ‫شعبة(ب)على‬ ‫في‬
‫فضل؟‬‫أ‬� ‫تحصيله‬ ‫كان‬ ‫الطالبين‬ ّ‫ي‬‫أ‬� ،‫الشعبتين‬ ‫لكلا‬ ‫المعياري‬ ‫والانحراف‬ ‫الحسابي‬
 − ‫س‬

= ‫ع‬ :ّ‫ل‬‫الح‬
)‫(لماذا؟‬ ١ =
٧٩ − ٨٥
٦
=‫ناصر‬
‫ع‬
.___________=‫محمد‬
‫ع‬
.__________‫تحصيل‬ ‫من‬ ‫فضل‬‫أ‬�____________ ‫تحصيل‬ ‫ِذن‬‫إ‬�
)٢( ‫نشاط‬
)13( ‫ـاوي‬‫ـ‬‫يس‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫الجغرافي‬ ‫ـار‬‫ـ‬‫اختب‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫دب‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫عش‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الثان‬ ‫ـف‬‫ـ‬‫الص‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫طالب‬ )30( ‫ـات‬‫ـ‬‫لعلام‬ ‫ـابي‬‫ـ‬‫الحس‬ ‫ـط‬‫ـ‬‫الوس‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫ـة‬‫ـ‬‫المعياري‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫القي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫فم‬ ،23، 13، 11 :‫ـلامات‬‫ـ‬‫العـــــــ‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـلاب‬‫ـ‬‫ط‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫ثلاث‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫حص‬ ‫إذا‬�‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ .)2( ‫ـاري‬‫ـ‬‫المعي‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫وانحرافه‬
‫ـم؟‬‫ـ‬‫منه‬ ‫ـكل‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـرة‬‫ـ‬‫المناظ‬
 − ‫س‬

= ‫ع‬
١- = ‫ع‬ 
١٣ − ١١
٢
= ‫ع‬ ‫هي‬ )١١= ‫(س‬ ‫للعلامة‬ ‫المقابلة‬ )‫(ع‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامة‬
٠ = ‫ع‬ 
١٣ − ١٣
٢
= ‫ع‬ ‫هي‬ )١٣= ‫(س‬ ‫للعلامة‬ ‫المقابلة‬ )‫(ع‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامة‬
٥ = ‫ع‬ 
١٣ − ٢٣
٢
= ‫ع‬ ‫هي‬ )٢٣= ‫(س‬ ‫للعلامة‬ ‫المقابلة‬ )‫(ع‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامة‬
‫صفر؟‬ ‫تساوي‬ ‫القيم‬ ‫حدى‬ ‫ل�إ‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامة‬ ‫تكون‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫يعني‬ ‫ماذا‬
‫الشعبة‬


‫أ‬�
٧٩
٦
‫ب‬
٧٦
٢

105
.٢٤ ،٢٠ ،١٨ ،١٦ ،١٢ :‫تي‬‫آ‬�‫كال‬ ‫شخاص‬‫أ‬�‫ال‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫عمار‬‫أ‬� ‫كانت‬
4 = ‫المعياري‬ ‫انحرافها‬ ‫و‬ ،18 ‫تساوي‬ ‫شخاص‬‫أ‬�‫ال‬ ‫هؤلاء‬ ‫عمار‬‫أ‬�‫ل‬ ‫الحسابي‬ ‫الوسط‬ )١
1,5 - ‫تساوي‬12 ‫للعمر‬ ‫المناظرة‬ )١
‫(ع‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامة‬ - )٢
._______________ ‫تساوي‬16‫للعمر‬ ‫المناظرة‬ )٢
‫المعيارية(ع‬ ‫العلامة‬ -
._______________ ‫تساوي‬18‫للعمر‬ ‫المناظرة‬ )٣
‫(ع‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامة‬ -
._______________ ‫تساوي‬20‫للعمر‬ ‫المناظرة‬ )٤
._______________ ‫تساوي‬24‫للعمر‬ ‫المناظرة‬ )٥
.____________ = ٥
‫ع‬ + ٤
‫ع‬ +٣
‫ع‬ + ٢
‫ع‬ +١
‫ع‬
٥
= ‫المعيارية‬ ‫العلامات‬ ‫لمجموعة‬ ‫الحسابي‬ ‫الوسط‬ )3
)٣( ‫نشاط‬
‫العلامة‬ ‫وكانت‬ ‫سنة‬ )5( ‫المعياري‬ ‫وانحرافها‬ ‫سنة‬ )43( ‫يساوي‬ ‫باء‬‫آ‬�‫ال‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫عمار‬‫أ‬�‫ل‬ ‫الحسابي‬ ‫الوسط‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫س؟‬ ‫العمر‬ ‫ما‬ )4( ‫تساوي‬ )‫للعمر(س‬ ‫المقابلة‬ ‫المعيارية‬
 − ‫س‬

= ‫ع‬
٤٣ − ‫س‬
٥
= ٤
43 − ‫س‬ = 20
63 = ‫س‬

106
:‫تي‬‫آ‬�‫كال‬ ‫طوال‬‫أ‬�‫ال‬ ‫لتلك‬ ‫المناظرة‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامات‬ ‫وكانت‬ ،‫شخاص‬‫أ‬� ٥ ‫طوال‬‫أ‬� ‫خذت‬‫أ‬�
 ‫قيمة‬ ‫فما‬ ٠,٥- ،٠ ، ١,5 ، ،0,5
‫صفر‬
٠,٥- +٠ + ١,5 ، +0,5
٥
= ‫المعيارية‬ ‫للعلامات‬ ‫الحسابي‬ ‫الوسط‬
:‫ن‬‫أ‬� ‫ي‬‫أ‬�
‫(لماذا)؟‬ ‫صفر‬ = ١,٥ + 
١,٥- = 
*‫تعـلــــم‬‫أ‬�
،‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫ما‬ ‫لتوزيع‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامات‬ ‫لجميع‬ ‫الحسابي‬ ‫الوسط‬
.‫واحد‬ ‫يساوي‬ ‫المعياري‬ ‫وانحرافها‬
.‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫ما‬ ‫لتوزيع‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامات‬ ‫مجموع‬ *

107
) ١ - ٤ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬
.28 = ‫س‬ ‫العلامة‬ ‫تقابل‬ ‫التي‬ )‫(ع‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامة‬ ‫ما‬ ،٤ =  ، ٢٠ =  ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫ما‬ ،
5
2 ‫المعياري‬ ‫وانحرافها‬ ،1000 ‫يساوي‬ ‫التاريخ‬ ‫امتحان‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫طالب‬ 50 ‫علامات‬ ‫مجموع‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫؟‬15 ‫للعلامة‬ ‫المناظرة‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامة‬
‫علامته‬ ‫الذي‬ ‫الطول‬ ‫ما‬ ،‫سم‬ 2 ‫المعياري‬ ‫وانحرافها‬ ‫سم‬150‫يساوي‬ ً‫ا‬‫طالب‬ 20‫طوال‬‫أ‬�‫ل‬ ‫الحسابي‬ ‫الوسط‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫؟‬3 = ‫المعيارية‬
،‫كغم‬  ‫المعياري‬ ‫وانحرافها‬ ،‫كغم‬50 ‫يساوي‬ ‫شخاص‬‫أ‬�‫ال‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫لكتلة‬ ‫الحسابي‬ ‫الوسط‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
:‫الترتيب‬ ‫على‬ 4 ‫و‬ 2- ‫هما‬ 60 ،‫س‬ :‫للكتلتين‬ ‫المقابلتان‬ ‫المعياريتان‬ ‫العلامتان‬ ‫وكانت‬
‫؟‬ ‫و‬ ‫س‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ )‫أ‬�
‫كغم؟‬٥٨ ‫للكتلة‬ ‫المقابلة‬ ‫المعيارية‬ ‫مالعلامة‬ )‫ب‬
١
٢
٣
٤

108
‫المعياري‬ ‫الطبيعي‬ ‫ّوزيع‬‫ت‬‫ال‬
)٢ - ٤(
Standard Normal Distribution
‫ّم‬‫د‬‫ـ‬‫ـ‬‫ال‬ ‫ـات‬‫ـ‬‫كري‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫داخ‬ ‫ـود‬‫ـ‬‫موج‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫بروتي‬ ‫ـو‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫الهيموجلوبي‬
‫ــون‬ّ‫ل‬‫ال‬ ‫ّم‬‫د‬‫الــ‬ ‫خلايــا‬ ‫يكســب‬ ‫الــذي‬ ‫وهــو‬ ،‫الحمــراء‬
‫مــن‬ ‫كســجين‬‫أ‬�‫ال‬ ‫نقــل‬ ‫فــي‬ ‫وظيفتــه‬ ‫ّــص‬‫خ‬‫وتتل‬ ،‫حمــر‬‫أ‬�‫ال‬
‫ـا‬‫ـ‬‫بوظائفه‬ ‫ـوم‬‫ـ‬‫تق‬ ‫ـى‬‫ـ‬ّ‫ت‬‫ح‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫الجس‬ ‫ـاء‬‫ـ‬‫عض‬‫أ‬� ‫ـف‬‫ـ‬‫مختل‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫ِل‬‫إ‬� ‫ـة‬‫ـ‬‫الرئ‬
)١( ‫نشاط‬
.‫ـيليتر‬‫ـ‬‫ديس‬/‫غرام‬17‫و‬ 13 ‫ـن‬‫ـ‬‫بي‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫العال‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫البالغي‬ ‫ـال‬‫ـ‬‫الرج‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫عن‬ ‫ـدم‬‫ـ‬‫ال‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫الهيموجلوبي‬ ‫ـبة‬‫ـ‬‫نس‬ ‫ـراوح‬‫ـ‬‫وتت‬ .‫ـه‬‫ـ‬‫وج‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫كم‬‫أ‬� ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬
‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـبة‬‫ـ‬‫النس‬ ‫ـذه‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫لديه‬ ‫ـض‬‫ـ‬‫تنخف‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫منه‬ ٌ‫ل‬‫ـ‬‫ـ‬‫فقلي‬ .‫ـن‬‫ـ‬‫البالغي‬ ‫ـال‬‫ـ‬‫الرج‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫بي‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫طبيع‬ ‫ـكل‬‫ـ‬‫بش‬ ‫ـدم‬‫ـ‬‫ال‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫الهيموجلوبي‬ ‫ـبة‬‫ـ‬‫نس‬ ‫ـوزع‬‫ـ‬‫تت‬
.17 ‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـم‬‫ـ‬‫عنده‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫الهيموجلوبي‬ ‫ـبة‬‫ـ‬‫نس‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫تزي‬ ً‫ا‬‫ـد‬‫ـ‬‫ج‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫قليل‬ ‫ـبة‬‫ـ‬‫نس‬ ‫ـك‬‫ـ‬‫كذل‬ ،13 ‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـدم‬‫ـ‬‫ال‬
-
-
.‫منخفض‬ ‫لديه‬ ‫الهيموجلوبين‬ ‫فمستوى‬ ،10,4 ‫مر‬ُ‫ع‬ ‫لدى‬ ‫الدم‬ ‫في‬ ‫الهيموجلوبين‬ ‫نسبة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬�
-
-
._____ ‫لديه‬ ‫الهيموجلوبين‬ ‫فمستوى‬ ،15,3 ‫خالد‬ ‫لدى‬ ‫الدم‬ ‫في‬ ‫الهيموجلوبين‬ ‫نسبة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬�
-
-
._____‫لديه‬ ‫الهيموجلوبين‬ ‫فمستوى‬ ،18,2 ‫علي‬ ‫لدى‬ ‫الدم‬ ‫في‬ ‫الهيموجلوبين‬ ‫نسبة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬�
‫ـي‬‫ـ‬‫الت‬ ‫ـار‬‫ـ‬‫مط‬‫أ‬�‫ال‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫وكمي‬ ،‫ـوزن‬‫ـ‬‫وال‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫فالط‬ ،ً‫ا‬‫ـ‬‫ـ‬‫طبيعي‬ ‫ـوزع‬‫ـ‬‫تت‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الت‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫الوحي‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫ليس‬ ‫ـدم‬‫ـ‬‫ال‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫الهيموجلوبي‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫توزي‬ ‫ـرة‬‫ـ‬‫ظاه‬
.‫ـزة‬‫ـ‬‫المي‬ ‫ذات‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫له‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫جميعه‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫م‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫منطق‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫تهط‬
‫تعريف‬
‫بوسط‬ ،‫تكراراتها‬ ‫مقابل‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامات‬ ‫لتوزيع‬ ‫تكراري‬ ‫منحنى‬ ‫هو‬ ‫المعياري‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫منحنى‬
.‫واحد‬ ‫يساوي‬ ‫معياري‬ ‫وانحراف‬ ،‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫حسابي‬
٠ =
—
‫ع‬
.‫الجرس‬ ‫شكل‬ ‫يشبه‬ ‫الشكل‬ ‫وهذا‬

109
٠,09 ٠,08 ٠,07 ٠,06 ٠,05 ٠,04 ٠,03 ٠,02 ٠,01 ٠,٠٠ ‫ع‬
٠,0
٠,1
٠,2
٠,3
٠,4
٠,5
٠,6
٠,7
٠,8
٠,9
1,0
٠,8770 1,1
1,2
:‫خصائصه‬ ‫هم‬‫أ‬�‫و‬
٠ =
—
‫ع‬ ‫حول‬ ‫متماثل‬ .1
.‫وحدة‬ ‫بكل‬ ‫واحد‬ ‫معياري‬ ‫انحراف‬ ‫بمقدار‬ ‫فيه‬ ‫فقي‬‫أ‬�‫ال‬ ‫المحور‬ ‫م‬ّ‫قس‬ُ‫ي‬ .2
.‫واحدة‬ ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫تساوي‬ ‫فقي‬‫أ‬�‫ال‬ ‫والمحور‬ ‫المنحنى‬ ‫بين‬ ‫المحصورة‬ ‫المساحة‬ .3
‫جداول‬ ‫خلال‬ ‫من‬ ‫حسابها‬ ‫يمكن‬ ‫معياريتين‬ ‫قيمتين‬ ‫بين‬ ‫المحصورة‬ ‫المساحة‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫شارة‬ِ‫إ‬�‫بال‬ ‫الجدير‬ ‫ومن‬
.)1( ‫الملحق‬ ‫لاحظ‬ .‫الغرض‬ ‫لهذا‬ ‫ّت‬‫د‬‫ع‬‫أ‬� ‫ودقيقة‬ ‫منظمة‬
)١,١٦ =‫(ع‬ ‫تحت‬ ‫والواقعة‬ ‫المعياري‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫بمنحنى‬ ‫المحصورة‬ ‫المساحة‬ ‫حساب‬ ‫في‬ ‫الجداول‬ ‫ستخدم‬‫أ‬�
)٢( ‫نشاط‬
٠,٨٧٧٠ = )١,١٦ =‫(ع‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬ : ‫ن‬‫أ‬� ‫الجدول‬ ‫من‬ ‫جد‬‫أ‬�

110
)٣( ‫نشاط‬
:‫والواقعة‬ ‫المعياري‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫بمنحنى‬ ‫المحصورة‬ ‫المساحة‬ ‫حساب‬ ‫في‬ ‫الجداول‬ ‫ستخدم‬‫أ‬�
)2 = ‫فوق(ع‬ .3 ) 1,42 = ‫(ع‬ ‫تحت‬ .2 )1 = ‫(ع‬ ‫تحت‬ .١
0,8413 ‫تساوي‬ )1 = ‫(ع‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬ .1 :ّ‫ل‬‫الح‬
0,9222 ‫تساوي‬ )1,42( = ‫ع‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬ .٢
)2 = ‫(ع‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬ -1 =)2 = ‫(ع‬ ‫فوق‬ ‫المساحة‬ .٣
0,9772 -1 =
0,0228 =
) 1,٤ = ‫و(ع‬ )٠,٨- = ‫(ع‬ :‫بين‬ ‫المحصورة‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ ُ
0,٢١١٩ = )٠,٨- = ‫(ع‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬
0,٩١٩٢ = )١,٤ = ‫(ع‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬
‫إلى‬� )١,٤ = ‫(ع‬ ‫و‬ )٠,٨- = ‫(ع‬ ‫بين‬ ‫المحصورة‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ ‫ِذن‬‫إ‬�
__________________ ‫تساوي‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬
‫ـى‬‫ـ‬‫المنحن‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫تح‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫الكلي‬ ‫ـاحة‬‫ـ‬‫المس‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫إل‬� )١
‫(ع<ع‬‫ـا‬‫ـ‬‫عندم‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الطبيع‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫التوزي‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫منحن‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫تح‬ ‫ـورة‬‫ـ‬‫المحص‬ ‫ـاحة‬‫ـ‬‫المس‬ ‫ـبة‬‫ـ‬‫نس‬
)١
‫=ع‬ ‫(ع‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫تح‬ ‫ـاحة‬‫ـ‬‫المس‬ ‫ـاوي‬‫ـ‬‫تس‬
٠ ٢
٠ ١,٤
0,8-

111
: ‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ ‫إيجاد‬� ‫في‬ ‫المعياري‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫جدول‬ ‫استخدم‬
)٢,٦٤- ≤ ‫(ع‬ ‫عندما‬ )2 )٠,٧٤ ≤ ‫(ع‬ ‫عندما‬ )1
)٢,٥٢- ≥ ‫(ع‬ ‫عندما‬ )4 )٣ ≤ ‫≤ع‬٢( ‫عندما‬ )3
٠,٧٧٠٤ = )٠,٧٤ = ‫(ع‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ ‫إن‬�‫ف‬ )٠,٧٤ ≤ ‫(ع‬ ‫عندما‬ )1
.‫المنحنى‬ ‫تحت‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ ‫من‬ %77,04 ‫نسبته‬ ‫ما‬ ‫تشكل‬ )0,74 = ‫(ع‬ ‫تحت‬ ‫المحصورة‬ ‫المساحة‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫لاحظ‬‫أ‬�
)٢,٦٤- = ‫(ع‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ ‫إن‬�‫ف‬ )٢,٦٤- ≤ ‫(ع‬ ‫عندما‬ )2
____________________
)٣ = ‫ع‬ ، ٢ = ‫(ع‬ ‫بين‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ ‫إن‬�‫ف‬ )٣ ≤ ‫≤ع‬٢( ‫عندما‬ )3
)٢ = ‫(ع‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬ − )٣ = ‫(ع‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬ =
0,0215 = ٠,9772 − ٠,٩٩٨٧ =
.‫المنحنى‬ ‫تحت‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ ‫من‬ %2,15 ‫نسبته‬ ‫ما‬ ‫تمثل‬ ٣ = ‫ع‬ ‫و‬ ٢ = ‫ع‬ ‫بين‬ ‫المحصورة‬ ‫المساحة‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫لاحظ‬‫أ‬�
)2,52- = ‫(ع‬ ‫فوق‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ = )2,52- ≥ ‫(ع‬ ‫عندما‬ )٤
2,52- = ‫ع‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ − ١ =
٠,٩941 = ٠,٠59 − ١ =
_______ ‫تساوي‬ )2,52- ≥ ‫(ع‬ ‫عندما‬
٠ ٣
٢
٠ ٣
2,52-

112
:‫المعياري‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫على‬ ‫تطبيقات‬
‫وسطه‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫تتبع‬ ‫الطلبة‬ ‫علامات‬ ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬�‫ف‬ .‫الوطنية‬ ‫النجاح‬ ‫جامعة‬ ‫في‬ ‫ما‬ ‫لامتحان‬ ‫طالب‬ 1000 ‫ّم‬‫د‬‫تق‬
:ُ‫د‬‫جــــــــــــــ‬‫أ‬� . 10 ‫المعياري‬ ‫وانحرافه‬ 60 ‫الحسابي‬
.90‫و‬ ،50 ‫بين‬ ‫علاماتهم‬ ‫تنحصر‬ ‫الذين‬ ‫للطلبة‬ ‫المئوية‬ ‫النسبة‬ )‫أ‬�
. 80 ‫عن‬ ‫تزيد‬ ‫علاماتهم‬ ‫الذين‬ ‫الطلبة‬ ‫عدد‬ )‫ب‬
١٠ =  ، ٦٠ =  ‫حيث‬ ،‫الطلبة‬ ‫علامات‬ ‫ِّل‬‫ث‬‫تم‬ ‫س‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫فرض‬‫أ‬� )‫أ‬�
١- =
٦٠ − ٥٠
١٠
= ‫ع‬
:‫إن‬�‫ف‬ ٥٠ = ‫س‬ ‫عندما‬
٣ =
٦٠ − ٩٠
١٠
= ‫ع‬
:‫إن‬�‫ف‬ ٩٠ = ‫س‬ ‫عندما‬
)٣ ≤ ‫≤ع‬ ١- ( ‫عندما‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ = )٩٠ ≤ ‫س‬ ≤ ٥٠( ‫تمثل‬ ‫التي‬ ‫النسبة‬ ‫إذن‬�
)١ = ‫ع‬ ‫تحت‬ ‫(المساحة‬ − )٣ = ‫ع‬ ‫تحت‬ ‫(المساحة‬ =
٠,٨٤٠ = ٠,١٥٨٧ − ٠,٩٩٨٧ =
٪٨٤ = ٪١٠٠ ⨯ ٠,٨٤٠ = ‫المئوية‬ ‫النسبة‬ ‫إذن‬�
٢ =
٦٠ − ٨٠
١٠
= ‫ع‬ :‫إن‬�‫ف‬ ٨٠ = ‫س‬ ‫عندما‬ )‫ب‬
)٢ = ‫(ع‬ ‫فوق‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ = )٨٠ ≥ ‫(س‬ ‫تمثل‬ ‫التي‬ ‫النسبة‬ ‫إذن‬�
)٢ = ‫(ع‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬ − 1 =
٠,٠٢٢٨ = ٠,٩٧٧٢ − 1 =
٪٢,٢٨ = ٪١٠٠ ⨯ ٠,٠٢٢٨ = ‫المئوية‬ ‫النسبة‬
.ً‫ا‬‫طالب‬ ٢٣  ١٠٠٠ ⨯ 0,0228 = ‫الطلبة‬ ‫عدد‬ ‫إذن‬�
٠ ٣
١-
٠ ٢

113
) ٢ - ٤ ( ‫ومسائل‬ ‫تمارين‬
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ ‫إيجاد‬� ‫في‬ ‫المعياري‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫جدول‬ ‫استخدم‬
)١,٦٧ ≤ ‫≤ع‬ ٢-( ‫عندما‬ )‫جـ‬ )١,٦٤- ≥ ‫(ع‬ ‫عندما‬ )‫ب‬ )٠,٣٤ ≤ ‫(ع‬ ‫عندما‬ )‫أ‬�
2000 ‫حسابي‬ ‫بوسط‬ ،‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫يتبع‬ ‫فلسسطيني‬ ‫مصنع‬ ‫ِنتاج‬‫إ‬� ‫من‬ ‫سيارة‬ ‫لبطارية‬ ‫التشغيل‬ ‫عمر‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬�
‫من‬ ‫كثر‬‫أ‬� ‫لها‬ ‫التشغيل‬ ‫عمر‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫للبطاريات‬ ‫المئوية‬ ‫النسبة‬ ‫ما‬ ،‫ساعة‬ 120 ‫المعياري‬ ‫وانحراف‬ ،‫ساعة‬
‫ساعة؟‬ 1820
‫كغم‬ ،١,٠١ ‫يساوي‬ ‫حسابي‬ ‫بوسط‬ ً‫ا‬‫طبيعي‬ ً‫ا‬‫توزيع‬ ‫تتبع‬ ‫السكر‬ ‫من‬ ‫كيس‬ 400 ‫ينتج‬ ‫مصنع‬ ‫في‬ ‫ِنتاج‬‫إ‬� ّ‫ط‬‫خ‬
:ُ‫د‬‫جـــــــــــــــــــ‬‫أ‬� . ‫كغم‬٠,٠٢ ‫يساوي‬ ‫معياري‬ ‫وانحراف‬
.‫الخط‬ ‫هذا‬ ‫إنتاج‬� ‫من‬ ‫كغم‬ ١,٠٣ ‫من‬ ‫قل‬‫أ‬� ‫كتلتها‬ ‫التي‬ ‫كياس‬‫أ‬�‫لل‬ ‫المئوية‬ ‫النسبة‬ )‫أ‬�
.‫كغم‬ ١,٠٢ ‫من‬ ‫كثر‬‫أ‬� ‫كتلتها‬ ‫التي‬ ‫كياس‬‫أ‬�‫ال‬ ‫عدد‬ )‫ب‬
.‫كغم‬ ١,٠٥ ‫و‬ ‫كغم‬1 ‫بين‬ ‫كتلتها‬ ‫تتراوح‬ ‫التي‬ ‫كياس‬‫أ‬�‫لل‬ ‫المئوية‬ ‫النسبة‬ )‫ج‬
‫علاماتهم‬ ‫وكانت‬ .‫التقنية‬ ‫المهارات‬ ‫في‬ ‫عام‬ ‫لامتحان‬ ‫الفلسطينية‬ ‫الجامعات‬ ‫ِحدى‬‫إ‬� ‫في‬ ‫طالب‬ 1000 ‫تقدم‬
‫حصلوا‬ ‫الذين‬ ‫الطلبة‬ ‫عدد‬ ‫كان‬ ‫إذا‬�‫ف‬ ، ‫معياري‬ ‫وانحراف‬ 68 ‫يساوي‬ ‫حسابي‬ ‫بوسط‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫تتبع‬
.‫طالب‬ ٧١٩ ‫هو‬ ‫قل‬‫أ‬�‫ال‬ ‫على‬ 60 ‫علامة‬ ‫على‬
‫؟‬ ‫قيمة‬ ‫ما‬ )‫أ‬�
‫قل؟‬‫أ‬�‫ال‬ ‫على‬ 40 ‫علامة‬ ‫على‬ ‫حصلوا‬ ‫الذين‬ ‫للطلبة‬ ‫المئوية‬ ‫النسبة‬ ‫ما‬ )‫ب‬
‫كثر؟‬‫أ‬�‫ال‬ ‫على‬ ٧0 ‫علامة‬ ‫على‬ ‫حصلوا‬ ‫الذين‬ ‫الطلبة‬ ‫عدد‬ ‫ما‬ )‫جـ‬
١
٢
٣
٤

114
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫سئلة‬‫أ‬�‫ال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الصحيحة‬ ‫جابة‬ِ‫إ‬�‫ال‬ ‫اختر‬ :‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫السؤال‬
4 ‫يساوي‬ ‫المعياري‬ ‫والانحراف‬ ٥٦ ‫يساوي‬ ‫العلامات‬ ‫من‬ ‫لمجموعة‬ ‫الحسابي‬ ‫الوسط‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� )١
‫الوسط؟‬ ‫تحت‬ ‫معياريين‬ ‫انحرافين‬ ‫تنحرف‬ ‫التي‬ ‫العلامة‬ ‫فما‬
12- )‫د‬ 12 )‫جـ‬ ٤٨ )‫ب‬ 57 )‫أ‬�
‫ـا‬‫ـ‬‫لطوليهم‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫المناظرتي‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫المعياريتي‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫العلامتي‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫بي‬ ‫ـرق‬‫ـ‬‫والف‬ ،‫ـم‬‫ـ‬‫س‬15 ‫ـاوي‬‫ـ‬‫يس‬ ‫ـخصين‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫طول‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫بي‬ ‫ـرق‬‫ـ‬‫الف‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� )٢
‫؟‬ ‫ـاري‬‫ـ‬‫المعي‬ ‫ـراف‬‫ـ‬‫الانح‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫فم‬ ، ١,٥ ‫ـاوي‬‫ـ‬‫يس‬
٠,٧٥ )‫د‬ ١٠ )‫ج‬ ١,٥ )‫ب‬ ١٥ )‫أ‬�
‫علــى‬ 2- ،1 ‫لهمــا‬ ‫المناظرتــان‬ ‫المعياريتــان‬ ‫العلامتــان‬ ‫وكانــت‬ ،‫كغــم‬ 80 ، ‫كغــم‬85 ‫شــخصين‬ ‫كتلتــا‬ ‫كانــت‬ ‫ِذا‬‫إ‬� )٣
‫ـاري؟‬‫ـ‬‫المعي‬ ‫ـراف‬‫ـ‬‫الانح‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫فم‬ ‫ـب‬‫ـ‬‫الترتي‬
١٠ )‫د‬
٥
٣ )‫ج‬
٣
٥ )‫ب‬
١ )‫أ‬�
 = )٢,٢٣ ‫(ع‬ ‫عندما‬ ‫المساحة‬ ‫وكانت‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫تتبع‬ ‫ع‬ ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬� )٤
‫)؟‬٢,٢٣- ‫(ع‬ ‫عندما‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ ‫ما‬
١ +  )‫د‬
١ −  )‫ج‬
 − ١ )‫ب‬
 )‫أ‬�
‫ـة‬‫ـ‬‫الممكن‬ ‫ـاحة‬‫ـ‬‫المس‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫قيم‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫م‬ ،  ‫ـاري‬‫ـ‬‫معي‬ ‫ـراف‬‫ـ‬‫وانح‬  ‫ـابي‬‫ـ‬‫الحس‬ ‫ـط‬‫ـ‬‫بوس‬ ‫ـي‬‫ـ‬‫الطبيع‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫التوزي‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫تتب‬ ‫س‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� )5
‫؟‬ (‫(س‬ ‫عندمــا‬
‫صفر‬ )‫د‬ ١ )‫ج‬ ٠,٥٠ )‫ب‬ ٠,٠٥ )‫أ‬�
:‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ ‫جد‬‫أ‬� ،‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫يتبع‬ ‫ع‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :‫الثاني‬ ‫السؤال‬
)١,٤٢≤ ‫(ع‬ ‫عندما‬ )‫ب‬
)١,١٣≥ ‫(ع‬ ‫عندما‬ )‫أ‬�
)٢,٤٥ ≤ ‫ع‬ ≤١,٤١-( ‫عندما‬ )‫د‬ )٢,٠١ ≤ ‫ع‬ ≤ ١,٣٥-( ‫عندما‬ )‫جـ‬

115
:‫جد‬‫أ‬� 10 ‫لها‬ ‫المعياري‬ ‫والانحراف‬ 50 ‫يساوي‬ ‫المفردات‬ ‫من‬ ‫لمجموعة‬ ‫الحسابي‬ ‫الوسط‬ ‫كان‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :‫الثالث‬ ‫السؤال‬
60 ‫للمفردة‬ ‫المناظرة‬ ‫المعيارية‬ ‫العلامة‬ )‫أ‬�
1,5- ‫المعيارية‬ ‫للعلامة‬ ‫المناظرة‬ ‫المفردة‬ )‫ب‬
‫الوسط‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫حيث‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫تتبع‬ ‫س‬ ‫بحيث‬ ‫ما‬ ‫صف‬ ‫طلبة‬ ‫علامات‬ ‫تمثل‬ ‫س‬ ‫كانت‬ ‫ِذا‬‫إ‬� :‫الرابع‬ ‫السؤال‬
٤ ‫يساوي‬ ‫المعياري‬ ‫والانحراف‬ 20 ‫يساوي‬ ‫الحسابي‬
:‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫مما‬ ً‫ا‬‫كل‬ ‫جد‬‫أ‬�
)١٦ ≥ ‫(س‬ ‫عندما‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ )‫أ‬�
)٩ ≤ ‫(س‬ ‫عندما‬ ‫المساحة‬ ‫نسبة‬ )‫ب‬
،‫الترتيب‬ ‫على‬ ٣،١- ‫هما‬ ٣٥ ، ١٧ ‫للعلامتين‬ ‫المناظرتان‬ ‫المعياريتان‬ ‫العلامتان‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬� :‫الخامس‬ ‫السؤال‬
‫الخام؟‬ ‫للعلامات‬ ‫المعياري‬ ‫والانحراف‬ ‫الحسابي‬ ‫الوسط‬ ‫فما‬
‫س‬ ،٩٠ ،٨٠ ‫هي‬ ‫رائد‬ ، ‫محمد‬ ،‫رامي‬ ‫الطلاب‬ ‫علامات‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬� ،ً‫ا‬‫طالب‬ 40 ‫من‬ ‫مكون‬ ّ‫ف‬ َ‫ص‬ :‫السادس‬ ‫السؤال‬
‫س؟‬ ‫قيمة‬ ‫فما‬ ،‫الترتيب‬ ‫على‬ 1- ،3 ،2 :‫هي‬ ‫المناظرة‬ ‫المعيارية‬ ‫وعلاماتهم‬ ،‫الترتيب‬ ‫على‬
‫المعيارية‬ ‫العلامة‬ ‫اجد‬
‫الطبيعي‬ ‫المنحنى‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬ ‫اجد‬
‫المعياري‬ ‫والانحراف‬ ‫الوسط‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫لايجاد‬ ‫منتمية‬ ‫مسائل‬ ‫احل‬
‫حياتية‬ ‫مشكلات‬ ‫حل‬ ‫في‬ ‫الطبيعي‬ ‫المنحنى‬ ‫اوظف‬

116
‫والمسائل‬ ‫التمارين‬ ‫جابات‬‫إ‬�
‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الوحدة‬
١
١
‫)ــــة‬٩(‫صفحـــ‬ )1-١( ‫تمارين‬
‫)ــــة‬١٣(‫صفحـــ‬ )2-١( ‫تمارين‬
‫)ــــة‬١٩(‫صفحـــ‬ )٣-١( ‫تمارين‬
١
٧ )‫ج‬
7 )‫ب‬
2- )‫أ‬�
٥
٩
- 4
1- ١٥ ٣
٣ )‫هـ‬
٥
٣ )‫د‬
١ )‫جـ‬
٣ )‫ب‬
٠ )‫أ‬�
٥ ٤٢ ٣
‫س‬٢٠ )‫جـ‬
٠ )‫ب‬ ٦٤-
٦
‫س‬
)‫أ‬�
٣- )‫د‬ ٥
٣
)‫جـ‬
١٠ )‫ب‬ ‫صفر‬ )‫أ‬� 1
٣
‫س‬٢-
)‫جـ‬
٢
)‫س‬٣ − ٢(
٢١ + ٢
‫س‬٣ − ‫س‬٤
)‫ب‬
١- )‫أ‬� 2
٦٠- )‫و‬
١٦- )‫هـ‬ ٤٩- )‫د‬
١ 4
٢
١ 3
1- 6
١- 5
٣ 7
٢
٢
٣
٤
3
4
5
٦
116

‫)ــــة‬٣٥(‫صفحـــ‬ )5-١( ‫تمارين‬
‫)ــــة‬42(‫صفحـــ‬ )٧-١( ‫تمارين‬
.[∞ ، ٢-[ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫ومتناقص‬ ]٢- ، ∞-] ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫متزايد‬ )‫هـ(س‬ ‫الاقتران‬ ٤
٤- ٣
.]١ ، ٥-[ ‫على‬ ‫ومتناقص‬ [∞ ، ١[ ⋃ ]٥- ، ∞-] ‫على‬ ‫متزايد‬ )‫ك(س‬ ‫الاقتران‬ )‫أ‬� ٥
١ = ‫س‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫عن‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫محلي‬ ‫ـرى‬‫ـ‬‫صغ‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫قيم‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫ول‬ ،
٣
85 ‫ـا‬‫ـ‬‫وقيمته‬ ٥- = ‫س‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫عن‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫محلي‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عظم‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫قيم‬ )‫ك(س‬ ‫ـران‬‫ـ‬‫للاقت‬ )‫ب‬
‫ح‬ ‫علــى‬ ‫موجبــة‬ )‫(س‬/
‫ع‬ ٦
٣
٢٣ - ‫وقيمتها‬
‫جـ‬ +
٨
٧ ‫س‬٧
٨ )‫ج‬ ‫جـ‬ +
٧
٥ ‫س‬٥
٧ )‫ب‬ ‫جـ‬ + ‫س‬٥ − ٢
‫س‬٢ + ٣
‫س‬ )‫أ‬� ١
‫جـ‬ + ‫س‬ )٤٠٠٢
٥( )‫و‬ ‫جـ‬ +
٢
‫س‬٣
٢ +
٣
‫س‬٧
٣ + ٤
‫س‬١٤ )‫هـ‬
‫جـ‬ +
٢
‫س‬٥ −
٢-
٣
‫س‬
)‫د‬
41
3
)‫ج‬ ‫صفر‬ )‫ب‬
٣
٢ - )‫أ‬� ١
2- ٤ ٢4- ٣ ١٦- ٢
٢٤ 7
33 6
١ ٥
٥ ٢
٢ +‫س‬٦ ٣
٣ + ٢
‫س‬ ٤
١٧ + ‫س‬٢٠ = ‫ص‬ )‫ب‬
١ + ‫س‬٨ + ٣
‫س‬ = )‫ق(س‬ )‫أ‬� ٥
‫)ــــة‬٢٩(‫صفحـــ‬ )4-١( ‫تمارين‬
‫محلية‬ ‫صغرى‬ ١ = )٠(‫ق‬ ، ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ٦ = )٢-(‫ق‬ ١
]١- ، ∞-] ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫ومتناقص‬ ، [∞ ،١-[ ‫على‬ ‫متزايد‬ )‫ق(س‬ )‫أ‬� ٢
٤- ‫وقيمتها‬ ١- = ‫س‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫قيمة‬ )‫ق(س‬ ‫للاقتران‬ )‫ب‬
117

‫)ــــة‬٤٨(‫صفحـــ‬ ‫عامة‬ ‫تمارين‬
‫الفقرة‬ ‫رقم‬
1
2
3
4
5
6
7
8
9
١٠
‫الفقرة‬ ‫إجابة‬�
‫د‬
‫أ‬�
‫أ‬�
‫جـ‬
‫جـ‬
‫أ‬�
‫جـ‬
‫د‬
‫جـ‬
‫ب‬
١
٣ ، ٢- ٥ ٢ ، ٢- ٤
١
٧
٣ ١٢ ٢
. ]١ ، ∞-] ‫على‬ ‫ومتناقص‬ [∞ ،١[ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫متزايد‬ )‫أ‬� ٦
. ٣- ‫وقيمتها‬ ١ = ‫س‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫قيمة‬ )‫هـ(س‬ ‫للاقتران‬ )‫ب‬
‫الثانية‬ ‫الوحدة‬
‫)ــــة‬٥٧(‫صفحـــ‬ )١-٢( ‫تمارين‬
٢٣٠
١٨٠
٤٧٠
٢٥٠
٥٠٠
٤٠٠
١
.3×1 ‫هي‬ ‫جـ‬ ‫المصفوفة‬ ‫رتبة‬ .3×3 ‫هي‬ ‫ب‬ ‫المصفوفة‬ ‫رتبة‬ .٢×٣ ‫هي‬ ‫أ‬� ‫المصفوفة‬ ‫رتبة‬ )‫أ‬� ٢
.‫صف‬ ‫مصفوفة‬ ‫جـ‬ ‫المصفوفة‬ ، ‫مربعة‬ ‫ب‬ ‫المصفوفة‬ ، ‫صفرية‬  ‫المصفوفة‬ )‫ب‬
٨- = ٣١
‫ب‬ ، ٠ =١٢
 ، ٣ = ٢١
‫جـ‬ ) ‫جـ‬
١ = ‫ب‬ ، ٠ = ‫ب‬ ، ٣ = ‫جـ‬ ) ‫جـ‬ ٢- = ‫ب‬ ، ٩ = ‫جـ‬  )‫ب‬ ٣- = ‫ب‬ ، ٤- = ‫جـ‬ )‫أ‬� ٣
١ = ‫ص‬ ،٣ = ‫س‬ ٤
118

‫)ــــة‬٧١(‫صفحـــ‬ )٣-٢( ‫تمارين‬
١٤
٢٣-
٦-
٢١-
١١-
١-
٤-
١٠ = ‫ص‬٤ + ‫س‬٣ )‫ب‬ ،
٧
١١
٥
٧
٨
٩
١٥
٨ = ‫ص‬ + ‫س‬ )‫أ‬� ٣
٢
١٦
٦
١٢
١٠
٨
١٤
٤ )‫هـ‬ ، ‫الرتب‬ ‫لاختلاف‬ ‫لايمكن‬ ‫ع‬٢-‫س‬ )‫د‬ ،
١-
٣٧
١٣
٢٩
٢٢
١٥
٢٧
٤ = ‫س‬ − ‫ص‬٥ )‫جـ‬
٧
٢ -
١-
١١-
٥-
١٠-
٢
٥
٣-
١٥
٢-
٦
١١
١٥
٤
٥
١
١
١
٢-
٠
)‫جـ‬
١٠
١٤-
٦-
٢- )‫ب‬
٧-
٢-
٦
١٦-
)‫أ‬� ٦
١١
٣٣
٣٩
٤ )‫ب‬ ٥- ٥٢ ١٠- )‫أ‬� ١
٨٠
١٠٠
٠
)‫ب‬
٨٠
١٠٠
٠
)‫أ‬� ٣
٢١٩٠٠
٢٨٤٠٠
٢
٩ = ‫ب‬ ، ١ = ‫أ‬� ٤
‫)ــــة‬٦٦(‫صفحـــ‬ )٢-٢( ‫تمارين‬
٢
٥
٦
)‫جـ‬ ٣٨ )‫ب‬
٣٠
٢٠
١٦
= ‫ب‬ ،
٣٢
٢٥
٢٢
= )‫أ‬� ١
١٠ ٢
119

120
‫)ــــة‬٧٩(‫صفحـــ‬ )٤-٢( ‫تمارين‬
‫)ــــة‬٨٣(‫صفحـــ‬ )٥-٢( ‫تمارين‬
٢
١٢ =
‫س‬
‫ص‬
٢-
٠
١
١ )‫ب‬
٢
٥- =
‫س‬
‫ص‬
١-
٤
٥
٣ )‫أ‬� ٤
٢٩-
٤
٣-
١٧
٤
٢
)‫ب‬
٤
٧-
٥
١٤ = ‫س‬ )‫أ‬� ٥
١- = ‫ص‬ ، ٥ = ‫س‬ )‫ب‬
١ = ‫ص‬ ، ٣- = ‫س‬ )‫أ‬� ٦
٢ = ‫س‬ ١
٢ = ‫ص‬ ، ١ = ‫س‬ ١
٢- = ‫ص‬ ، ٥ = ‫س‬ )‫ب‬
٤ = ‫ص‬ ، ٨ = ‫س‬ )‫أ‬� ٢
٢٠ - ٢
‫ضربي‬ ‫نظير‬ ‫لها‬ ‫يوجد‬ ‫لا‬ )‫جـ‬

٠
١-
٢
١
٥
٢
٥
=١-
‫ب‬ )‫ب‬
١
٧
٣-
٧
٣
٧
٢-
٧
=١-
 )‫أ‬� ٣
‫)ــــة‬٨٤(‫صفحـــ‬ )٢( ‫عامة‬ ‫تمارين‬
١
٣- = ‫ص‬ ، ٢- = ‫س‬ ٣
٣
٣
٣
٢ = )‫جـ‬ + ‫(ب‬ ٢
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
‫د‬
‫ب‬
‫ب‬
‫أ‬�
‫د‬
‫ب‬
‫ب‬
‫جـ‬
‫أ‬�
‫ب‬

‫الثالثة‬ ‫الوحدة‬
‫)ــــة‬٩٠(‫صفحـــ‬ )1-٣( ‫تمارين‬
‫)ــــة‬٩٣(‫صفحـــ‬ )٢-٣( ‫تمارين‬
}١{ )‫هـ‬ }٤-،١{ )‫د‬
}٢١-{ )‫جـ‬
}٢{ )‫ب‬
}٤{ )‫أ‬� ١
١٤
٥
٣ ٢ ٢
}٢{ )‫جـ‬
}
٤
٣ { )‫ب‬
}١{ )‫أ‬� ١
}٢{ )‫جـ‬
}٣{ )‫ب‬
}
٧
٦
{ )‫أ‬� ٢
‫)ــــة‬٩٧(‫صفحـــ‬ )٣-٣( ‫تمارين‬
١٦ ، ٩ ، ٤ ، ١ )‫ب‬
٨
٣
+
٩
٥
+ ١ +
١
٣
)‫أ‬� ١
‫منتهية‬ ‫غير‬ )‫جـ‬
‫منتهية‬ )‫ب‬
‫منتهية‬ ‫غير‬ )‫أ‬� ٢
١-
٤
٥-
٢ ٦ ٣ = ‫س‬ ، ١ = ‫س‬ ٥
٣
٢
= ‫ص‬ ،
١
٢
= ‫س‬ ٤
121

‫)ــــة‬١٠٣(‫صفحـــ‬ )٤-٣( ‫تمارين‬
‫)ــــة‬١٠٧(‫صفحـــ‬ )5-٣( ‫تمارين‬
٥١
١٦
)‫جـ‬
٧٨١ )‫ب‬
٢٤٠ )‫أ‬� ١
٠ ٢
٤ ٣
٤ ٤
٢٨٢٣
٤٢٠
)‫جـ‬
٣٢ )‫ب‬
٩٥ )‫أ‬� ٣
١٦ ٤
١٣ + ١٠ + ٧ + ٤ )‫أ‬� ١
١٦ + ٨ + ٤ + ٢ )‫ب‬
١٢٣٠ ٢
٥٧- ٣
٣ ٤
٢٧٠٠ ٥
122

‫)ــــة‬١٠٨(‫صفحـــ‬ )3( ‫عامة‬ ‫تمارين‬
1
2
3
4
5
6
7
8
‫د‬
‫أ‬�
‫ب‬
‫أ‬�
‫ب‬
‫جـ‬
‫د‬
‫جـ‬
١
4 =  ، 3 =  ٤
6 ٣ 10 + 5 + 0 + 5- + 10- ٢
٣
٤
)‫ب‬ ٣ )‫أ‬� ٧
٤
٥
)‫ب‬
١٣
٤
- )‫أ‬� ٦
١١٧٢٥٠ )‫ب‬ ١١٧٥٠ )‫أ‬� 5
٣- ، ٢- ٨
123

‫)ــــة‬122(‫صفحـــ‬ )٢-٤( ‫تمارين‬
٠,92٩7 )‫ج‬
٠,9495 )‫ب‬
٠,٦٣٣١ )‫أ‬� ١
10 =  3
%93,32 2
%66,87 )‫ج‬
١٢٣ )‫ب‬
%84,13 )‫أ‬� 4
ً‫ا‬‫تقريب‬ ‫طالب‬ ٥٦٠ )‫ج‬
%97,٨٨ )‫ب‬
١٣,٨ =  )‫أ‬� 5
124
‫)ــــة‬116(‫صفحـــ‬ )1-٤( ‫تمارين‬
٢ = ‫ع‬ ١
2- = ‫ع‬ 2
١٥٦ =‫س‬ ٣
٤٥ = ‫س‬ ،
٥
٢ =  )‫أ‬ ٤
16
٥ )‫ب‬
‫الرابعة‬ ‫الوحدة‬

‫)ــــة‬12٣(‫صفحـــ‬ ‫عامة‬ ‫تمارين‬
١
5 4 3 2 1
‫ب‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫جـ‬ ‫ب‬
٠,٩١٣٦ )‫د‬
٠,8٨٩٣ )‫جـ‬
٠,٩٢٢٢ )‫ب‬ ٠,١٢٩٢ )‫أ‬� ٢
٠,٠٠٣ )‫ب‬ ٠,8٤١٣ )‫أ‬� ٤
٣٥ )‫ب‬ ١ )‫أ‬� ٣
٥٠ ٦
٤,٥ =  ، ٢١,٥ =  ٥
125

0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 ‫ع‬
0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 3.7-
0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 3.6-
0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 3.5-
0.0002 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 3.4-
0.0003 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0005 0.0005 0.0005 3.3-
0.0005 0.0005 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0007 0.0007 3.2-
0.0007 0.0007 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0009 0.0009 0.0009 0.0010 3.1-
0.0010 0.0010 0.0011 0.0011 0.0011 0.0012 0.0012 0.0013 0.0013 0.0013 3.0-
0.0014 0.0014 0.0015 0.0015 0.0016 0.0016 0.0017 0.0018 0.0018 0.0019 2.9-
0.0019 0.0020 0.0021 0.0021 0.0022 0.0023 0.0023 0.0024 0.0025 0.0026 2.8-
0.0026 0.0027 0.0028 0.0029 0.0030 0.0031 0.0032 0.0033 0.0034 0.0035 2.7-
0.0036 0.0037 0.0038 0.0039 0.0040 0.0041 0.0043 0.0044 0.0045 0.0047 2.6-
0.0048 0.0049 0.0051 0.0052 0.0054 0.0055 0.0057 0.0059 0.0060 0.0062 2.5-
0.0064 0.0066 0.0068 0.0069 0.0071 0.0073 0.0075 0.0078 0.0080 0.0082 2.4-
0.0084 0.0087 0.0089 0.0091 0.0094 0.0096 0.0099 0.0102 0.0104 0.0107 2.3-
0.0110 0.0113 0.0116 0.0119 0.0122 0.0125 0.0129 0.0132 0.0136 0.0139 2.2-
0.0143 0.0146 0.0150 0.0154 0.0158 0.0162 0.0166 0.0170 0.0174 0.0179 2.1-
0.0183 0.0188 0.0192 0.0197 0.0202 0.0207 0.0212 0.0217 0.0222 0.0228 2.0-
0.0233 0.0239 0.0244 0.0250 0.0256 0.0262 0.0268 0.0274 0.0281 0.0287 1.9-
0.0294 0.0301 0.0307 0.0314 0.0322 0.0329 0.0336 0.0344 0.0351 0.0359 1.8-
0.0367 0.0375 0.0384 0.0392 0.0401 0.0409 0.0418 0.0427 0.0436 0.0446 1.7-
0.0455 0.0465 0.0475 0.0485 0.0495 0.0505 0.0516 0.0526 0.0537 0.0548 1.6-
0.0559 0.0571 0.0582 0.0594 0.0606 0.0618 0.0630 0.0643 0.0655 0.0668 1.5-
0.0681 0.0694 0.0708 0.0721 0.0735 0.0749 0.0764 0.0778 0.0793 0.0808 1.4-
0.0823 0.0838 0.0853 0.0869 0.0885 0.0901 0.0918 0.0934 0.0951 0.0968 1.3-
0.0985 0.1003 0.1020 0.1038 0.1056 0.1075 0.1093 0.1112 0.1131 0.1151 1.2-
0.1170 0.1190 0.1210 0.1230 0.1251 0.1271 0.1292 0.1314 0.1335 0.1357 1.1-
0.1379 0.1401 0.1423 0.1446 0.1469 0.1492 0.1515 0.1539 0.1562 0.1587 1.0-
0.1611 0.1635 0.1660 0.1685 0.1711 0.1736 0.1762 0.1788 0.1814 0.1841 0.9-
0.1867 0.1894 0.1922 0.1949 0.1977 0.2005 0.2033 0.2061 0.2090 0.2119 0.8-
0.2148 0.2177 0.2206 0.2236 0.2266 0.2296 0.2327 0.2358 0.2389 0.2420 0.7-
0.2451 0.2483 0.2514 0.2546 0.2578 0.2611 0.2643 0.2676 0.2709 0.2743 0.6-
0.2776 0.2810 0.2843 0.2877 0.2912 0.2946 0.2981 0.3015 0.3050 0.3085 0.5-
0.3121 0.3156 0.3192 0.3228 0.3264 0.3300 0.3336 0.3372 0.3409 0.3446 0.4-
0.3483 0.3520 0.3557 0.3594 0.3632 0.3669 0.3707 0.3745 0.3783 0.3821 0.3-
0.3859 0.3897 0.3936 0.3974 0.4013 0.4052 0.4090 0.4129 0.4168 0.4207 0.2-
0.4247 0.4286 0.4325 0.4364 0.4404 0.4443 0.4483 0.4522 0.4562 0.4602 0.1-
0.4641 0.4681 0.4721 0.4761 0.4801 0.4840 0.4880 0.4920 0.4960 0.5000 0.0
‫التراكمي‬ ‫المعياري‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫جدول‬ :‫ملحق‬
‫ع‬

‫التراكمي‬ ‫المعياري‬ ‫الطبيعي‬ ‫التوزيع‬ ‫جدول‬ ‫تابع‬
0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 ‫ع‬
0.5359 0.5319 0.5279 0.5239 0.5199 0.5160 0.5120 0.5080 0.5040 0.5000 0.0
0.5753 0.5714 0.5675 0.5636 0.5596 0.5557 0.5517 0.5478 0.5438 0.5398 0.1
0.6141 0.6103 0.6064 0.6026 0.5987 0.5948 0.5910 0.5871 0.5832 0.5793 0.2
0.6517 0.6480 0.6443 0.6406 0.6368 0.6331 0.6293 0.6255 0.6217 0.6179 0.3
0.6879 0.6844 0.6808 0.6772 0.6736 0.6700 0.6664 0.6628 0.6591 0.6554 0.4
0.7224 0.7190 0.7157 0.7123 0.7088 0.7054 0.7019 0.6985 0.6950 0.6915 0.5
0.7549 0.7517 0.7486 0.7454 0.7422 0.7389 0.7357 0.7324 0.7291 0.7257 0.6
0.7852 0.7823 0.7794 0.7764 0.7734 0.7704 0.7673 0.7642 0.7611 0.7580 0.7
0.8133 0.8106 0.8078 0.8051 0.8023 0.7995 0.7967 0.7939 0.7910 0.7881 0.8
0.8389 0.8365 0.8340 0.8315 0.8289 0.8264 0.8238 0.8212 0.8186 0.8159 0.9
0.8621 0.8599 0.8577 0.8554 0.8531 0.8508 0.8485 0.8461 0.8438 0.8413 1.0
0.8830 0.8810 0.8790 0.8770 0.8749 0.8729 0.8708 0.8686 0.8665 0.8643 1.1
0.9015 0.8997 0.8980 0.8962 0.8944 0.8925 0.8907 0.8888 0.8869 0.8849 1.2
0.9177 0.9162 0.9147 0.9131 0.9115 0.9099 0.9082 0.9066 0.9049 0.9032 1.3
0.9319 0.9306 0.9292 0.9279 0.9265 0.9251 0.9236 0.9222 0.9207 0.9192 1.4
0.9441 0.9429 0.9418 0.9406 0.9394 0.9382 0.9370 0.9357 0.9345 0.9332 1.5
0.9545 0.9535 0.9525 0.9515 0.9505 0.9495 0.9484 0.9474 0.9463 0.9452 1.6
0.9633 0.9625 0.9616 0.9608 0.9599 0.9591 0.9582 0.9573 0.9564 0.9554 1.7
0.9706 0.9699 0.9693 0.9686 0.9678 0.9671 0.9664 0.9656 0.9649 0.9641 1.8
0.9767 0.9761 0.9756 0.9750 0.9744 0.9738 0.9732 0.9726 0.9719 0.9713 1.9
0.9817 0.9812 0.9808 0.9803 0.9798 0.9793 0.9788 0.9783 0.9778 0.9772 2.0
0.9857 0.9854 0.9850 0.9846 0.9842 0.9838 0.9834 0.9830 0.9826 0.9821 2.1
0.9890 0.9887 0.9884 0.9881 0.9878 0.9875 0.9871 0.9868 0.9864 0.9861 2.2
0.9916 0.9913 0.9911 0.9909 0.9906 0.9904 0.9901 0.9898 0.9896 0.9893 2.3
0.9936 0.9934 0.9932 0.9931 0.9929 0.9927 0.9925 0.9922 0.9920 0.9918 2.4
0.9952 0.9951 0.9949 0.9948 0.9946 0.9945 0.9943 0.9941 0.9940 0.9938 2.5
0.9964 0.9963 0.9962 0.9961 0.9960 0.9959 0.9957 0.9956 0.9955 0.9953 2.6
0.9974 0.9973 0.9972 0.9971 0.9970 0.9969 0.9968 0.9967 0.9966 0.9965 2.7
0.9981 0.9980 0.9979 0.9979 0.9978 0.9977 0.9977 0.9976 0.9975 0.9974 2.8
0.9986 0.9986 0.9985 0.9985 0.9984 0.9984 0.9983 0.9982 0.9982 0.9981 2.9
0.9990 0.9990 0.9989 0.9989 0.9989 0.9988 0.9988 0.9987 0.9987 0.9987 3.0
0.9993 0.9993 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9991 0.9991 0.9991 0.9990 3.1
0.9995 0.9995 0.9995 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9993 0.9993 3.2
0.9997 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9995 0.9995 0.9995 3.3
0.9998 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 3.4
0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.5
0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998 3.6
0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7
‫ع‬

‫ريادية‬ ‫فكار‬‫أ‬�
‫معالمها‬ ‫اهم‬ ‫ابراز‬ ‫مع‬ ،‫باهميتها‬ ‫للتعريف‬ ‫القدس‬ ‫لمدينة‬ ‫ارشادي‬ ‫دليل‬ ‫تصميم‬ *
.‫والسياحية‬ ‫التاريخية‬
. ‫الطلبة‬ ‫تحصيل‬ ‫على‬ ‫الاجتماعي‬ ‫التواصل‬ ‫مواقع‬ ‫استخدام‬ ‫اثر‬ ‫لقياس‬ ‫اداة‬ ‫تصميم‬ *
‫اصمم‬ ، ‫والكهرباء‬ ‫الماء‬ ‫مشكلات‬ ‫من‬ )‫غزة‬ ‫(قطاع‬ ‫الجنوبية‬ ‫المحافظات‬ ‫تعاني‬ *
. ‫الازمات‬ ‫هذه‬ ‫حدة‬ ‫من‬ ‫للتتخفيف‬ ‫الحكومة‬ ‫على‬ ‫لعرضه‬ ‫مقترحا‬
.‫التفاضل‬ ‫وحدة‬ ‫عن‬ )Web quest( ‫معرفية‬ ‫رحلات‬ ‫عداد‬‫إ‬� *
‫المراجع‬
. ‫عمان‬ ،‫المسيرة‬ ‫دار‬ ،1‫ج‬ ‫والتكامل‬ ‫التفاضل‬ :)2012( ‫إبراهيم‬� ‫روحي‬ ،‫الخطيب‬
. ‫عمان‬ ،‫المسيرة‬ ‫دار‬ ،2‫ج‬ ‫والتكامل‬ ‫التفاضل‬ :)2012( ‫إبراهيم‬� ‫روحي‬ ،‫الخطيب‬
. ‫سكندرية‬ ‫ال�إ‬ ،‫الطباعة‬ ‫لدنيا‬ ‫الوفاء‬ ‫دار‬ ،‫العام‬ ‫حصاء‬ ‫ال�إ‬ :)2014(‫حمد‬‫أ‬� ‫جابر‬ ،‫بسيوني‬
‫ردن‬‫أ‬�‫–ال‬ ‫عمان‬ – ‫الفكر‬ ‫–دار‬ )1990( ،‫عزام‬ ‫مفيد‬ ،‫علاونة‬ ‫حمد‬‫أ‬� ،‫عوض‬ ‫عدنان‬
‫القاهرة‬ ‫المعارف‬ ‫دار‬ ، ‫والتكامل‬ ‫التفاضل‬ ‫حساب‬ :)1999( ‫عاصم‬ ،‫حنيف‬
،‫التربية‬ ‫كلية‬ ،‫الثالثة‬ ‫الطبعة‬ :‫الثانوية‬ ‫المدرسة‬ ‫في‬ ‫الرياضيات‬ ‫تدريس‬ ،)1994( ‫السميع‬ ‫عبد‬ ‫خليفة‬
‫القاهرة‬ ‫جامعة‬
‫وممدوح‬ ‫المفتي‬ ‫محمد‬ ‫(ترجمة‬ ‫ول‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الجزء‬ :‫الرياضيات‬ ‫تدريس‬ ‫طرق‬ :)1986( ‫بل‬ ‫فريدريك‬
‫والتوزيع‬ ‫للنشر‬ ‫العربية‬ ‫الدار‬ :‫قبرص‬ .)‫سليمان‬
‫وممدوح‬ ‫المفتي‬ ‫محمد‬ ‫(ترجمة‬ ‫الثاني‬ ‫الجزء‬ :‫الرياضيات‬ ‫تدريس‬ ‫طرق‬ :)1986( ‫بل‬ ‫فريدريك‬
‫والتوزيع‬ ‫للنشر‬ ‫العربية‬ ‫الدار‬ :‫قبرص‬ .)‫سليمان‬
‫الشروق‬ ‫دار‬ .‫الاولى‬ ‫الطبعة‬ ،‫الرياضيات‬ ‫تدريس‬ ‫ساليب‬‫أ‬� :)2010( ‫اللطيف‬ ‫عبد‬ ‫صلاح‬ ،‫سعد‬‫أ‬� ‫ابو‬
‫والتوزيع‬ ‫للنشر‬
.‫والتوزيع‬ ‫للنشر‬ ‫الشروق‬ ‫دار‬ ،‫الاولى‬ ‫الطبعة‬ ،‫التربوي‬ ‫حصاء‬ ‫ال�إ‬ :)2005( ‫عماد‬ ،‫الزغلول‬
،‫ولى‬‫أ‬�‫ال‬ ‫الطبعة‬ ،‫والعشرين‬ ‫الواحد‬ ‫القرن‬ ‫في‬ ‫التدريس‬ ‫طرق‬ :)2005( ‫اللطيف‬ ‫عبد‬ ،‫فرج‬ ‫حسين‬
‫عمان‬ /‫والطباعة‬ ‫والتوزيع‬ ‫للنشر‬ ‫المسيرة‬ ‫دار‬
BostockPerkins(1989): Advanced Mathematics, volume1
Bell,E,T (1937):Men of Mathematics ,Simon and Schuter,N.Y
Lanl B.Boyer(1989): History of Mathematics Wiley,N.Y
BostockPerkins(1989): Advanced Mathematics, volume2

‫المشروع‬
‫لوان‬‫أ‬� ‫من‬ ‫بسلسلة‬ )‫مجموعات‬ ‫و‬‫أ‬� ً‫ا‬‫فراد‬‫أ‬�( ‫الطلبة‬ ‫يقوم‬ ‫النشاط؛‬ ‫منهج‬ ‫شكال‬‫أ‬� ‫من‬ ‫شكل‬
.‫بالمشروع‬ ‫للقائمين‬ ‫همية‬‫أ‬� ‫ذات‬ ‫هداف‬‫أ‬� ‫تحقيق‬ ‫من‬ ‫خلالها‬ ‫يتمكنون‬ ‫التي‬ ‫النشاط‬
‫لتحقيق‬ ‫الجماعة‬ ‫و‬‫أ‬� ‫الفرد‬ ‫به‬ ‫يقوم‬ ‫الذي‬ ‫النشاط‬ ‫من‬ ‫سلسلة‬ :‫نه‬‫أ‬� ‫على‬ ‫تعريفه‬ ‫ويمكن‬
.‫ودافعية‬ ‫برغبة‬ ‫اجتماعي‬ ‫محيط‬ ‫في‬ ‫ومحددة‬ ‫واضحة‬ ‫غراض‬‫أ‬�
:‫المشروع‬ ‫ميزات‬
.‫واحدة‬ ‫دفعة‬ ‫يتم‬ ‫ولا‬ ‫طويلة‬ ‫لمدة‬ ‫المشروع‬ ‫تنفيذ‬ ‫زمن‬ ‫يمتد‬ ‫قد‬
.1
.‫جماعة‬ ‫و‬‫أ‬� ‫فرد‬ ‫ذه‬ّ‫ف‬‫ين‬
.2
.‫بالتنفيذ‬ ‫للقائمين‬ ‫معنى‬ ‫ذات‬ ‫هداف‬‫أ‬� ‫تحقيق‬ ‫لى‬‫إ‬� ‫يرمي‬
.3
‫التفاعل‬ ‫فرصة‬ ‫لمنحهم‬ ‫الطلبة‬ ‫بيئة‬ ‫لى‬‫إ‬� ‫يمتد‬ ‫نما‬‫إ‬�‫و‬ ‫المدرسية‬ ‫البيئة‬ ‫على‬ ‫يقتصر‬ ‫لا‬
.4
.‫وفهمها‬ ‫البيئة‬ ‫مع‬
.‫بالعمل‬ ‫ورغبتهم‬ ‫تهم‬ّ‫ي‬‫دافع‬ ‫ويثير‬ ‫وحاجاتهم‬ ‫الطلبة‬ ‫لميول‬ ‫المشروع‬ ‫يستجيب‬
.5
:‫المشروع‬ ‫خطوات‬
:‫تي‬‫أ‬�‫ي‬ ‫ما‬ ‫المشروع‬ ‫اختيار‬ ‫في‬ ‫يشترط‬ :‫المشروع‬ ‫اختيار‬ :ً‫ا‬‫ول‬‫أ‬�
.‫حاجاتهم‬ ‫ويشبع‬ ‫الطلبة‬ ‫ميول‬ ‫مع‬ ‫يتماشى‬ ‫ن‬‫أ‬�
.1
.‫متنوعة‬ ‫بخبرات‬ ‫للمرور‬ ‫للطلبة‬ ‫فرصة‬ ‫ر‬ّ‫ف‬‫يو‬ ‫ن‬‫أ‬�
.2
.‫والمجتمع‬ ‫المدرسة‬ ‫بين‬ ‫الفجوة‬ ‫ويكسر‬ ‫الطلبة‬ ‫حياة‬ ‫بواقع‬ ‫يرتبط‬ ‫ن‬‫أ‬�
.3
‫ب‬ّ‫ل‬‫تغ‬ ‫لا‬ ،‫ومتوازنة‬ ‫البعض‬ ‫بعضها‬ ‫وتكمل‬ ‫ومترابطة‬ ‫متنوعة‬ ‫المشروعات‬ ‫تكون‬ ‫ن‬‫أ‬�
.4
.‫خر‬‫آ‬�‫ال‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫مجال‬
.‫العمرية‬ ‫والفئة‬ ‫الطلبة‬ ‫وقدرات‬ ‫المدرسة‬ ‫مكانات‬‫إ‬� ‫مع‬ ‫المشروع‬ ‫يتلاءم‬ ‫ن‬‫أ‬�
.5
.ً‫ا‬‫مسبق‬ ‫له‬ ‫ط‬ّ‫ط‬‫خ‬ُ‫ي‬ ‫ن‬‫أ‬�
.6

:‫المشروع‬ ‫خطة‬ ‫وضع‬ :ً‫ا‬‫ثاني‬
‫يقع‬ ‫أ‬�‫خط‬ ‫ي‬‫أ‬� ‫لتصويب‬ ‫ل‬ّ‫خ‬‫يتد‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫له‬ ‫يمكن‬ ‫حيث‬ ‫المعلم‬ ‫شراف‬‫إ‬� ‫تحت‬ ‫الخطة‬ ‫وضع‬ ‫يتم‬
.‫الطلبة‬ ‫فيه‬
:‫تية‬‫آ‬�‫ال‬ ‫الخطة‬ ‫وضع‬ ‫يقتضي‬
.‫واضح‬ ‫بشكل‬ ‫هداف‬‫أ‬�‫ال‬ ‫تحديد‬
.1
.‫عليها‬ ‫الحصول‬ ‫وطرق‬ ،‫المشروع‬ ‫تنفيذ‬ ‫مستلزمات‬ ‫تحديد‬
.2
.‫المشروع‬ ‫سير‬ ‫خطوات‬ ‫تحديد‬
.3
‫فراد‬‫أ‬� ‫جميع‬ ‫يشترك‬ ‫ن‬‫أ‬� ‫(شريطة‬ ،‫المشروع‬ ‫لتنفيذ‬ ‫اللازمة‬ ‫نشطة‬‫أ‬�‫ال‬ ‫تحديد‬
.4
‫شراف‬‫إ‬�‫ب‬ ،‫ي‬‫أ‬�‫الر‬ ‫بداء‬‫إ‬�‫و‬ ‫والحوار‬ ‫المناقشة‬ ‫خلال‬ ‫من‬ ‫المشروع‬ ‫في‬ ‫المجموعة‬
.)‫المعلم‬ ‫وتوجيه‬
.‫ي‬ّ‫ل‬‫ك‬ ‫بشكل‬ ‫المجموعة‬ ‫ودور‬ ،‫المجموعة‬ ‫في‬ ‫فرد‬ ‫كل‬ ‫دور‬ ‫تحديد‬
.5
:‫المشروع‬ ‫تنفيذ‬ :ً‫ا‬‫ثالث‬
‫ومثيرة‬ ‫ممتعة‬ ‫مرحلة‬ ّ‫د‬‫وتع‬ ،‫العملية‬ ‫بالممارسة‬ ‫الخبرات‬ ‫لاكتساب‬ ‫فرصة‬ ‫المشروع‬ ‫تنفيذ‬ ‫مرحلة‬
‫نجاز‬‫ال�إ‬ ‫على‬ ‫وقدرته‬ ‫بذاته‬ ‫الطالب‬ ‫وشعور‬ ،‫الصف‬ ‫قيود‬ ‫من‬ ‫والتخلص‬ ،‫الحرية‬ ‫من‬ ‫ره‬ّ‫ف‬‫تو‬ ‫لما‬
‫يكتسبه‬ ‫ما‬ ‫بقدر‬ ‫النتائج‬ ‫لى‬‫إ‬� ‫الوصول‬ ‫المهم‬ ‫ليس‬ ،ً‫ا‬‫مبدع‬ ً‫ا‬‫اق‬ّ‫ل‬‫خ‬ ً‫ا‬‫متفاعل‬ ً‫ا‬‫يجابي‬‫إ‬� ‫يكون‬ ‫حيث‬
.‫العامة‬ ‫حياتهم‬ ‫على‬ ‫تنعكس‬ ‫فائدة‬ ‫ذات‬ ‫وعادات‬ ‫ومهارات‬ ‫ومعلومات‬ ‫خبرات‬ ‫من‬ ‫الطلبة‬
:‫المعلم‬ ‫دور‬
.‫تدخّل‬ ‫دون‬ ‫وتوجيههم‬ ‫الطلبة‬ ‫متابعة‬
.1
.‫خطاء‬‫أ‬�‫بال‬ ‫م‬ّ‫ل‬‫للتع‬ ‫للطلبة‬ ‫الفرصة‬ ‫تاحة‬‫إ‬�
.2
.‫خطاء‬‫أ‬� ‫من‬ ‫الطلبة‬ ‫فيه‬ ‫يقع‬ ‫مما‬ ‫ّر‬‫ت‬‫التو‬ ‫عن‬ ‫الابتعاد‬
.3
.‫مر‬‫أ‬�‫ال‬ ‫لزم‬ ‫كلما‬ ‫الذكي‬ ‫التدخّل‬
.4

:‫الطلبة‬ ‫دور‬
.‫نفسهم‬‫أ‬�‫ب‬ ‫بالعمل‬ ‫القيام‬
.1
.‫ليها‬‫إ‬� ‫التوصل‬ ‫يتم‬ ‫التي‬ ‫النتائج‬ ‫تسجيل‬
.2
.‫عامة‬ ‫مناقشة‬ ‫لى‬‫إ‬� ‫تحتاج‬ ‫التي‬ ‫الملاحظات‬ ‫تدوين‬
.3
.)ً‫ا‬‫سابق‬ ‫المتوقعة‬ ‫(غير‬ ‫الطارئة‬ ‫المشكلات‬ ‫تدوين‬
.4
:‫تي‬‫آ‬�‫ال‬ ‫المشروع‬ ‫تقويم‬ ‫يتضمن‬ :‫المشروع‬ ‫تقويم‬ :ً‫ا‬‫رابع‬
‫لكل‬ ‫ق‬ّ‫ق‬‫تح‬ ‫الذي‬ ‫المستوى‬ ،‫تحقيقه‬ ‫تم‬ ‫ما‬ ،‫جلها‬‫أ‬� ‫من‬ ‫المشروع‬ ‫وضع‬ ‫التي‬ ‫هداف‬‫أ‬�‫ال‬
.1
.‫العوائق‬ ‫تلك‬ ‫مواجهة‬ ‫وكيفية‬ ‫وجدت‬ ‫ن‬‫إ‬� ‫هداف‬‫أ‬�‫ال‬ ‫تحقيق‬ ‫في‬ ‫العوائق‬ ،‫هدف‬
‫د‬ّ‫ي‬‫التق‬ ،‫التنفيذ‬ ‫ثناء‬‫أ‬� ‫الخطة‬ ‫على‬ ‫جرت‬ ‫التي‬ ‫التعديلات‬ ،‫وقتها‬ ‫حيث‬ ‫من‬ ‫الخطة‬
.2
.‫الخطة‬ ‫ومرونة‬ ،‫للتنفيذ‬ ‫دد‬ّ‫المح‬ ‫بالوقت‬
‫مكانات‬ ‫ال�إ‬ ‫توافر‬ ،‫عليها‬ ‫الطلبة‬ ‫قبال‬‫إ‬� ،‫عها‬ّ‫و‬‫تن‬ ،‫حيث‬ ‫من‬ ‫الطلبة‬ ‫بها‬ ‫قام‬ ‫التي‬ ‫نشطة‬‫أ‬�‫ال‬
.3
.‫المحدد‬ ‫بالوقت‬ ‫التقيد‬ ،‫اللازمة‬
‫عملية‬ ‫في‬ ‫التعاون‬ ،‫ة‬ّ‫ي‬‫بدافع‬ ‫تنفيذه‬ ‫على‬ ‫قبال‬‫ال�إ‬ ،‫حيث‬ ‫من‬ ‫المشروع‬ ‫مع‬ ‫الطلبة‬ ‫تجاوب‬
.4
.‫الطلبة‬ ‫لدى‬ ‫جديدة‬ ‫اتجاهات‬ ‫تنمية‬ ‫في‬ ‫المشروع‬ ‫سهام‬‫إ‬� ،‫بالارتياح‬ ‫الشعور‬ ،‫التنفيذ‬
:‫حيث‬ ‫من‬ ‫المشروع‬ ‫عن‬ ‫شامل‬ ‫تقويمي‬ ‫تقرير‬ ‫بكتابة‬ ‫المعلم‬ ‫يقوم‬
.‫منها‬ ‫ق‬ّ‫ق‬‫تح‬ ‫وما‬ ‫المشروع‬ ‫هداف‬‫أ‬� •
.‫تعديل‬ ‫من‬ ‫عليها‬ ‫أ‬�‫طر‬ ‫وما‬ ‫الخطة‬ •
.‫الطلبة‬ ‫بها‬ ‫قام‬ ‫التي‬ ‫نشطة‬‫أ‬�‫ال‬ •
.‫التنفيذ‬ ‫عند‬ ‫الطلبة‬ ‫واجهت‬ ‫التي‬ ‫المشكلات‬ •
.‫المشروع‬ ‫تنفيذ‬ ‫استغرقها‬ ‫التى‬ ‫المدة‬ •
.‫المشروع‬ ‫لتحسين‬ ‫اللازمة‬ ‫الاقتراحات‬ •

‫الله‬ ِ‫د‬ْ‫م‬َ‫ح‬ِ‫ب‬ َّ‫م‬َ‫ت‬
‫الورشات‬ ‫من‬ ‫العديد‬ ‫عبر‬ ‫الوطن‬ ‫مديريات‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫معلمين‬ ‫قبل‬ ‫من‬ ‫الكتاب‬ ‫مناقشة‬ ‫تمت‬
‫والشرعي‬ ‫دبي‬‫أ‬�‫ال‬ ‫عشر‬ ‫ثاني‬ ‫للصف‬ ‫الرياضيات‬ ‫كتاب‬ ‫من‬ ‫عمل‬ ‫ورشات‬ ‫في‬ ‫المشاركون‬
‫مجاهد‬ ‫فواز‬ .‫م‬
‫صالح‬ ‫بصري‬ .‫د‬
‫صيدم‬ ‫صبري‬ .‫د‬
‫جاموس‬ ‫بو‬‫أ‬� ‫الحكيم‬ ‫عبد‬ .‫أ‬�
‫بكر‬ ‫ابو‬ ‫عزام‬ .‫أ‬�
‫زيد‬ ‫ثروت‬ .‫أ‬�
‫دريدي‬ ‫جهاد‬ .‫م‬
‫الفار‬ ‫شهناز‬ .‫د‬
‫الوزارية‬ ‫المناهج‬ ‫لجنة‬
‫شماسنة‬ ‫مرام‬
‫شاهين‬ ‫مرشد‬
‫الصباغ‬ ‫منال‬
‫زبد‬ ‫نادية‬
‫الطيطي‬ ‫نايف‬
‫بكيرات‬ ‫نجلاء‬
‫حسن‬ ‫نداء‬
‫عبيد‬ ‫هاشم‬
‫حمودة‬ ‫هديل‬
‫عبيات‬ ‫وائل‬
‫موسى‬ ‫وسام‬
‫موسى‬ ‫وفاء‬
‫الساحلي‬ ‫ياسر‬
‫اسليم‬ ‫ابتسام‬
‫كرم‬ ‫رواح‬‫أ‬�

‫ي‬‫العلام‬ ‫آسيا‬�
‫بشارات‬ ‫بيان‬
‫حامد‬ ‫بو‬‫أ‬� ‫حنان‬
‫قشوع‬ ‫حنين‬
‫طنوس‬ ‫خلود‬
‫محيسن‬ ‫خليل‬
‫العال‬ ‫عبد‬ ‫رائد‬

‫ك‬‫ملا‬ ‫رائد‬
‫الصيفي‬ ‫رفيق‬
‫الرب‬ ‫بو‬‫أ‬� ‫سامر‬
‫بدر‬ ‫سامي‬
‫الصغير‬ ‫حاتم‬
:‫الرياضيات‬ ‫لوثيقة‬ ‫الوطنية‬ ‫اللجنة‬
‫زيد‬ ‫ثروت‬ .‫أ‬�
)ً‫ا‬‫(منسق‬ ‫صالح‬ ‫محمد‬ .‫د‬
‫جبر‬ ‫معين‬ .‫د‬
‫المحسن‬ ‫عبد‬ ‫علي‬ .‫د‬
‫المغربي‬ ‫تحسين‬ .‫د‬
‫فوارعة‬ ‫عادل‬ .‫د‬
‫جبر‬ ‫وهيب‬ .‫أ‬�
‫ناجي‬ ‫الكريم‬ ‫عبد‬ .‫د‬
‫بوهاني‬‫أ‬� ‫عطا‬ .‫د‬
‫عساف‬ ‫سعيد‬.‫د‬
‫مطر‬ ‫محمد‬ .‫د‬
‫الخليلي‬ ‫علا‬ .‫د‬
‫الفار‬ ‫شهناز‬ .‫د‬
‫نصار‬ ‫علي‬ .‫د‬

‫ر‬‫شق‬‫أ‬�‫ال‬ ‫يمن‬‫أ‬� .‫د‬
‫كرم‬ ‫رواح‬‫أ‬� .‫أ‬�
‫سكران‬ ‫بو‬‫أ‬� ‫حنان‬.‫أ‬�
‫عطية‬ ‫كوثر‬.‫أ‬�
‫ضاهر‬ ‫وجيه‬ .‫د‬
‫عودة‬ ‫بو‬‫أ‬� ‫فتحي‬ .‫أ‬�
‫سياعرة‬ ‫حمد‬‫أ‬� .‫أ‬�
‫شبانة‬ ‫قيس‬ .‫أ‬�
‫مبارك‬ ‫مبارك‬ .‫أ‬�
‫صالح‬ ‫الكريم‬ ‫عبد‬ .‫أ‬�
‫صلاح‬ ‫حلام‬‫أ‬� .‫أ‬�
‫دويكات‬ ‫نسرين‬ .‫أ‬�
‫جبر‬ ‫نادية‬ .‫أ‬�
‫قاسم‬ ‫ت‬‫أ‬�‫نش‬ .‫أ‬�
‫حنيف‬ ‫سميرة‬
‫شهب‬‫أ‬�‫ال‬ ‫سناء‬
‫عودة‬ ‫سهى‬
‫شبير‬ ‫سهيل‬
‫الترك‬ ‫صلاح‬
‫جرب‬‫أ‬�‫ال‬ ‫عبيدة‬
‫عنبوسي‬ ‫عدنان‬
‫زايد‬ ‫علي‬

‫ة‬‫عود‬ ‫فوزية‬
‫العارضة‬ ‫كريم‬
‫الجمل‬ ‫كمال‬
‫جعنينة‬ ‫ليديا‬
‫الغرباوي‬ ‫محمد‬
‫فايز‬ ‫محمد‬

Math12 adabics62019

More Related Content

Similar to Math12 adabics62019 (20)

Math12 adabics62019