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Clase dispersa

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Este documento describe los métodos para almacenar matrices dispersas de gran tamaño en una computadora. Explica tres esquemas principales para almacenar los elementos no nulos de una matriz dispersa: por coordenadas, por filas o columnas, y por perfil o envolvente. También introduce conceptos clave como matrices en banda y la envolvente de una matriz. El objetivo final es poder manipular de forma eficiente estas grandes matrices dispersas mediante algoritmos informáticos.

Ingeniería
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1/165 Full Scrn Imprimir M´etodos Matem´aticos de Especialidad Ingenier´ıa El´ectrica Sistemas lineales de grandes dimensiones: Matrices dispersas Jos´e Luis de la Fuente O’Connor jl.delafuente@iberdrola.es jldelafuente@etsii.upm.es Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Polit´ecnica de Madrid
2/165 Full Scrn Imprimir ´Indice 1. Introducci´on 2. Almacenamiento en ordenador de matrices dispersas 3. Operaciones algebraicas elementales con matrices dispersas 4. Soluci´on de grandes sistemas lineales de matriz dispersa 5. Matrices dispersas sim´etricas y eliminaci´on de Gauss • Nociones b´asicas sobre grafos • Interpretaci´on mediante grafos de la eliminaci´on de Gauss • El algoritmo de grado m´ınimo • EL algoritmo de Cuthill-McKee • M´etodo de la disecci´on recurrente 6. Matrices dispersas no sim´etricas y eliminaci´on de Gauss • Grafos y la eliminaci´on de Gauss en matrices no sim´etricas • El algoritmo de Hall
3/165 Full Scrn Imprimir Introducci´on La utilizaci´on masiva de los ordenadores y el aumento constante de su potencia y capacidad de c´alculo, han permitido que la ciencia, t´ecnica e ingenier´ıa utilicen cada vez m´as modelos matem´aticos para interpretar, simular y optimizar fen´omenos de diversa complejidad, y que esos modelos crezcan extraordinariamente en magnitud y exactitud. Muchos de estos modelos conllevan enfrentarse con sistemas de un tama˜no tal –decenas o cientos de miles de variables– que hace s´olo unos pocos a˜nos era casi inimaginable que se pudiesen tratar. Campos de la ciencia y de la tecnolog´ıa donde surgen sistemas de grandes dimensiones son: • Optimizaci´on lineal y no lineal. • An´alisis de sistemas el´ectricos de generaci´on y transporte de energ´ıa.
4/165 Full Scrn Imprimir • Estudios geod´esicos. • Predicciones financieras. • Fotometr´ıa. • An´alisis estructural de mol´eculas. • An´alisis de campos gravitatorios. • Tomograf´ıa. • Prospecciones petrol´ıferas. • C´alculo y an´alisis de estructuras mec´anicas. • Ajuste de superficies, etc. Las matrices dispersas son aquellas matrices de gran tama˜no en las que muchos de los elementos que las configuran son cero. Aunque el t´ermino muchos confiere ambig¨uedad a la definici´on, cabe aceptar que una matriz n × n es dispersa si el n´umero de elementos no nulos es nγ+1 , donde γ < 1.
5/165 Full Scrn Imprimir Valores t´ıpicos de este par´ametro suelen ser: 0,2 para problemas de an´alisis de sistemas el´ectricos de generaci´on y transporte de energ´ıa; 0,5 para matrices en banda asociadas a problemas de an´alisis de estructuras, etc. Si aplicamos el m´as estricto sentido com´un a la cuesti´on, una matriz se debe considerar en general dispersa, sea cual sea su n´umero de elementos distintos de cero, si merece la pena manipularla mediante procedimientos ad hoc dise˜nados con ese prop´osito.
6/165 Full Scrn Imprimir Ejemplos Thermal Simulation; SHERMAN2
7/165 Full Scrn Imprimir Power Systems; BCSPWR07
8/165 Full Scrn Imprimir Economic Modelling; ORANI678
9/165 Full Scrn Imprimir Chemical Engineering; WEST0381
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14/165 Full Scrn Imprimir Muchas m´as en www.cise.ufl.edu/research/sparse/matrices
15/165 Full Scrn Imprimir El estudio de los sistemas con matrices dispersas lo dividiremos en tres grandes ´areas: • Almacenamiento de las matrices dispersas en un ordenador. • Ordenaci´on de las ecuaciones e inc´ognitas del sistema a resolver con el fin de reducir el n´umero de elementos no nulos que se crean al factorizar la matriz. • Adaptaci´on e implementaci´on eficaz de los m´etodos num´ericos conocidos con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes dispersa.
16/165 Full Scrn Imprimir Almacenamiento en ordenador de matrices dispersas La efectividad del trabajo con matrices dispersas se mide no s´olo en t´erminos de la de los algoritmos que las manipulan sino tambi´en por la forma en que el ordenador se integra dentro del proceso que generan esos algoritmos. Cuanto m´as eficaz es el esquema seg´un el cual se almacenan las matrices dispersas en un ordenador y cuanto m´as ´agilmente se pueda recuperar la informaci´on relativa a las mismas, mejores ser´an las prestaciones de los algoritmos que las manipulan. Los esquemas de almacenamiento que se presentan a continuaci´on no son los ´unicos, aunque s´ı los m´as usados.
17/165 Full Scrn Imprimir Almacenamiento por coordenadas La forma m´as intuitiva de almacenar en un ordenador los elementos no nulos de una matriz dispersa es haci´endolo mediante un conjunto ordenado o desordenado de triples (aij, i, j), donde aij = 0. Por ejemplo, si se quiere almacenar la matriz A =      1 0 0 −1 0 2 0 −2 0 3 0 −3 0 0 0 0 4 0 −4 0 5 0 −5 0 6      seg´un este esquema, en FORTRAN se podr´ıa hacer mediante la definici´on de tres vectores, ifi, ico y val: los dos primeros basta que sean integer; val debe ser real. En la siguiente tabla se pueden ver los valores de estos tres vectores para definir por filas, completa y ordenadamente, la matriz A.
18/165 Full Scrn Imprimir Elementos Vector 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ifi 1 1 2 2 2 3 4 4 5 5 5 ico 1 4 1 3 5 2 2 4 1 3 5 val 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 Aunque en su variante desordenada todav´ıa se usa en alguno de los paquetes de software para manejo de matrices dispersas, esta forma de almacenamiento presenta un inconveniente muy importante: la dificultad de recuperar f´acilmente un vector columna o fila de la matriz. En su variante ordenada, el conjunto de instrucciones en FORTRAN para recuperar en vec(·) el vector fila i podr´ıa ser el que sigue.
19/165 Full Scrn Imprimir vec = 0 do ii=1,nelem if (ifi(ii).eq.i) then ia = ii do while (ifi(ia).eq.i) vec(ico(ia)) = val(ia) ia = ia+1 end do exit endif end do El ´ındice ii que define el bucle principal de este programa podr´ıa tambi´en variar de n a 1, o en el rango que se considerase oportuno, buscando optimizar el tiempo de b´usqueda del comienzo de la fila i. Una dificultad a˜nadida surge cuando se quiere hacer distinto de cero un valor que originalmente es cero.
20/165 Full Scrn Imprimir Almacenamiento por filas o columnas Este esquema es el m´as universalmente usado para matrices sin ninguna estructura particular. Si nos referimos a la variante de almacenamiento por filas, consiste en definir tres vectores: • El primero, por ejemplo val, debe contener todos los elementos distintos de cero de la matriz, agrupados por filas; • El segundo, ico por ejemplo, de la misma dimensi´on de val, los sub´ındices columna de los elementos de val; • el tercero, un vector de punteros, ia por ejemplo, de dimensi´on n + 1, las posiciones en val y ico del primer elemento no nulo de las filas que se corresponden con el orden de los elementos de ia. Si la matriz A ya definida, sus elementos seg´un este nuevo esquema se almacenar´ıan como indica la tabla siguiente.
21/165 Full Scrn Imprimir Elementos Vector 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ia 1 3 6 7 9 12 ico 1 4 1 3 5 2 2 4 1 3 5 val 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 Obs´ervese que la dimensi´on de ia debe ser n + 1, pues es necesario definir el n´umero de elementos no nulos de la ´ultima fila n. Los valores de los elementos de cada fila da igual guardarlos en orden o en desorden. En general, la informaci´on relativa a la fila r de una matriz A estar´a en las posiciones ia(r) a ia(r + 1)-1 de ico y val, excepto cuando ia(r + 1)=ia(r), en cuyo caso la fila r estar´ıa vac´ıa. La parte de un programa en FORTRAN que recuperase en vec(·) la fila i de una matriz dispersa definida por los vectores ia, ico y val podr´ıa ser como la que sigue.
22/165 Full Scrn Imprimir vec = 0 in = ia(i) if = ia(i+1)-1 do ii=in,if vec(ico(ii)) = val(ii) end do Un programa para recuperar la columna k ser´ıa un poco m´as complicado. vec = 0 do j=1,m do ii=ia(j),ia(j+1)-1 if (ico(ii).gt.k) exit if (ico(ii).lt.k) cycle vec(j) = val(ii) exit end do end do Por lo que respecta al almacenamiento de un nuevo elemento no nulo que se cree a lo largo de un proceso de manipulaci´on de una matriz dispersa, las dificultades son grandes: habr´ıa que redefinir gran parte de la estructura.
23/165 Full Scrn Imprimir Almacenamiento por perfil o envolvente Uno de los tipos de matrices dispersas m´as habituales lo constituye el denominado matrices en banda. Son matrices cuyos elementos est´an contenidos en una estrecha banda, normalmente alrededor de la diagonal principal de la matriz. Definici´on 1 Una matriz A ∈ Rm×n se dice tiene un ancho de banda de filas w si w = m´ax 1≤i≤m wi, wi = (li − fi + 1), donde wi es el ancho de banda de la fila i, fi = m´ın.{j : aij = 0} y li = m´ax{j : aij = 0}. Para que sea de inter´es tener en cuenta que una matriz dispersa dispone de esta estructura, se ha de cumplir que w n.
24/165 Full Scrn Imprimir Matrices de estas caracter´ısticas surgen muy frecuentemente en modelos que plasman situaciones f´ısicas donde s´olo se influyen las variables que representan magnitudes cercanas en el espacio, en el tiempo, etc. De cada fila i se almacenan todos los elementos de sub´ındice ij tales que fi ≤ j ≤ li. Definici´on 2 El conjunto de elementos que forman la envolvente de una matriz A, Env(A), es Env(A) = {(i, j) : fi ≤ j ≤ li, 1 ≤ i ≤ n}.
25/165 Full Scrn Imprimir La envolvente de la matriz 1 2 3 4 5 6 7 A = 1 2 3 4 5 6 7          × × × × × × 0 × × 0 × × × 0 × × × × × × × 0 0 × × ×          es la que forman los elementos inscritos en el pol´ıgono, es decir, Env(A) = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (5, 7), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (6, 7), (7, 7)}. El esquema de almacenamiento por perfil guarda todos los elementos de la envolvente mediante tres vectores: • El primero, val, contiene todos los elementos de la envolvente;
26/165 Full Scrn Imprimir • El segundo, ifa, los ´ındices fi de cada fila i; • El tercero, un vector de punteros, ia, de dimensi´on m + 1 si A ∈ Rm×n , las posiciones en val del primer elemento no nulo de las filas que se corresponden con el orden de los elementos de ia. Por ejemplo, si se quiere almacenar seg´un su perfil o envolvente la matriz A =        1 0 −2 0 0 2 3 0 0 0 0 0 6 0 0 0 −4 0 4 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 6        , los vectores que habr´ıa que definir son los de la siguiente tabla.
27/165 Full Scrn Imprimir Elementos Vector 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ia 1 4 6 7 10 12 ifa 1 1 3 2 4 5 val 1 0 -2 2 3 6 -4 0 4 3 1 6 Con respecto al esquema por filas o columnas, se ha reducido el n´umero de posiciones de memoria necesarias, pues la dimensi´on del vector ifa debe ser sensiblemente inferior a la de ico de aqu´el. La parte de un programa en FORTRAN que recuperase una fila de la matriz A almacenada seg´un este esquema podr´ıa ser como la que sigue. vec = 0 in = ia(i) if = ia(i+1)-1 j = 0 do ii=in,if vec(ifa(i)+j) = val(ii) j = j+1 end do
28/165 Full Scrn Imprimir Si la matriz dispersa que hay que guardar con el esquema envolvente es sim´etrica, s´olo ser´a necesario guardar la parte triangular inferior o superior (incluida la diagonal principal). Definici´on 3 El ancho de banda (o de semibanda) de una matriz sim´etrica B ∈ Rn×n , β, se define como β = m´ax 1≤i≤n βi, βi = i − fi, donde βi es el ancho de banda de la fila i (o, simplemente, el ancho de banda i-´esimo) de B. De forma similar a como lo hac´ıamos anteriormente, la envolvente de una matriz sim´etrica B, Env(B), se define como Env(B) = {(i, j) : fi ≤ j ≤ i, 1 ≤ i ≤ n}. Para almacenar en un ordenador una matriz sim´etrica seg´un el esquema de perfil o envolvente no ser´ıa necesario el vector ifa.
29/165 Full Scrn Imprimir Por ejemplo, la matriz B =      10 2 3 0 0 2 4 0 3 0 3 0 6 0 0 0 3 0 1 8 0 0 0 8 3      se podr´ıa almacenar mediante los vectores de la tabla que sigue. Elementos Vector 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ib 1 4 7 8 10 val 10 2 3 4 0 3 6 1 8 3 Obs´ervese que en este caso la dimensi´on del vector ib es n. Si los anchos de banda, βi, de las filas de una matriz sim´etrica son iguales, el vector ib, incluso, no ser´ıa necesario: s´olo val y el n´umero βi.
30/165 Full Scrn Imprimir Operaciones algebraicas elementales con matrices dispersas Para introducir un poco la cuesti´on, nos interesaremos s´olo por alguna de las operaciones que m´as habitualmente realizan los algoritmos que estudiamos en la asignatura. Producto interior de dos vectores Supongamos que se desea calcular el producto interior, h = n i=1 aibi, de dos vectores a y b almacenados como dispersos seg´un el esquema de filas. Al tratarse de vectores (una sola fila), el vector ia no ser´ıa necesario; s´ı lo ser´ıan ico y val.
31/165 Full Scrn Imprimir Habr´a que conocer tambi´en el n´umero de componentes no nulos de a y b. Una forma directa de llevar este producto interior a cabo ser´ıa comprobando, para cada componente no nulo de a, si el correspondiente componente de b es cero, y caso de no serlo, multiplicando esos componentes y acumulando el resultado en h. Llevar esto a efecto en FORTRAN, suponiendo que el almacenamiento es ordenado, ser´ıa como sigue. h = 0.0 do i=1,na do j=1,nb if (icob(j).gt.icoa(i)) exit if (icob(j).lt.icoa(i)) cycle h = h+vala(icoa(i))*valb(icob(j)) exit end do end do Proceder de esta forma es sumamente ineficaz pues hay que inspeccionar el vector a o el b un n´umero de veces proporcional al producto de elementos no nulos de a y de b.
32/165 Full Scrn Imprimir Una forma mucho m´as eficaz de hacer ese producto interior, v´alida incluso cuando el almacenamiento es desordenado, consiste en definir un nuevo vector ip, de dimensi´on n, en el que se guarden los punteros de los elementos no nulos de, seg´un se desee, vala o valb. Por ejemplo, si el vector a est´a definido por Elementos Vector 1 2 3 4 icoa 10 3 7 4 vala 0,2 0,3 0,4 -0,5 el vector ip, una vez almacenados los punteros, quedar´ıa Elementos Vector 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 · · · ip 0 0 2 4 0 0 3 0 0 1 0 · · ·
33/165 Full Scrn Imprimir lo cual quiere decir que a3 est´a en la posici´on 2 de vala, a4 en la posici´on 4, a7 en la 3, etc. A continuaci´on, conocidos los elementos no nulos de b, se usa ip y, si ha lugar, se multiplican los componentes acumulando el resultado en h. Si, por ejemplo, el vector b est´a definido por Elementos Vector 1 2 3 icob 5 4 10 valb 0,6 0,7 0,5 el primer componente no nulo de b es b5 = 0,6. Ahora bien, ip(5)=0, por lo que a5b5 = 0, no siendo necesario efectuar esta ´ultima operaci´on . . . Estas ideas expresadas en FORTRAN dar´ıan lugar a un conjunto de instrucciones como el que sigue.
34/165 Full Scrn Imprimir ip = 0 do i=1,na ip((icoa(i)) = i end do h = 0.0 do i=1,nb if (ip(icob(i)).ne.0) h=h+vala(ip(icob(i)))*valb(i) end do Es importante tener en cuenta que hacer ip(· · · )=0 es caro: es necesario realizar muchas operaciones, aunque triviales, si n es grande. Si un vector se multiplica por otros muchos (caso por ejemplo de productos de matrices), evidentemente, s´olo es necesario inicializar ip a cero una vez.
35/165 Full Scrn Imprimir Multiplicaci´on de matrices por vectores Supondremos que el vector por el que se ha de multiplicar la matriz dispersa est´a almacenado en toda su extensi´on. Para llegar a tal vector se pueden aplicar las ideas apuntadas para recuperar un vector al introducir los distintos modos de almacenar matrices dispersas. Multiplicaci´on de una matriz por un vector Nos interesamos en primer lugar por la operaci´on c = Ab, donde A ∈ Rm×n , b ∈ Rn y c ∈ Rm . Si se supone que el vector c se guarda en toda su extensi´on y la matriz A seg´un el esquema por filas, para realizar la operaci´on basta saber
36/165 Full Scrn Imprimir qu´e elementos son no nulos en cada fila de la matriz A, multiplicarlos por el correspondiente de b y acumular el resultado. En FORTRAN esto se podr´ıa hacer como sigue. do i=1,m s = 0. do ii=ia(i),ia(ii+1)-1 s = s+val(ii)*b(ico(ii)) end do c(i) = s end do Multiplicaci´on de un vector por una matriz En este caso queremos efectuar la operaci´on cT = bT A, donde A ∈ Rm×n , b ∈ Rm y c ∈ Rn .
37/165 Full Scrn Imprimir Consideremos el siguiente ejemplo simb´olico de este producto, [c1 c2 c3] = [b1 b2] a11 a12 a13 a21 a22 a23 . Efectuando las operaciones del producto de un vector por una matriz, se tiene que, c1 = b1a11 + b2a21 c2 = b1a12 + b2a22 c3 = b1a13 + b2a23. Usar estas ecuaciones resultar´ıa altamente ineficaz si la matriz est´a almacenada por filas. Reescribamos las ecuaciones de la siguiente manera, c1 ← b1a11 c2 ← b1a12 c3 ← b1a13 c1 ← c1 + b2a21 c2 ← c2 + b2a22 c3 ← c3 + b2a23. En este caso se puede acceder a los elementos secuencialmente por filas e ir acumulando los resultados de las operaciones en los propios
38/165 Full Scrn Imprimir elementos de c En FORTRAN, teniendo en cuenta que la matriz A se almacena por filas, este producto se har´ıa como sigue. c = 0 do i=1,n bi = b(i) do ii=ia(i),ia(i+1)-1 j = ico(ii) c(j) = c(j)+val(ii)*bi end do end do
39/165 Full Scrn Imprimir Otras operaciones Operaciones como la suma de matrices, la multiplicaci´on, la multiplicaci´on AT A, etc. se pueden llevar a cabo muy eficazmente, en general, mediante en dos etapas: la simb´olica y la num´erica. La simb´olica determina la estructura de la matiz resultante. La num´erica los valores distintos de cero en las posiciones ya reservadas al efecto.
40/165 Full Scrn Imprimir Soluci´on de grandes sistemas lineales de matriz dispersa Como hemos indicado al principio, resolver sistemas de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes dispersa lleva aparejadas tres tareas esenciales: • El almacenamiento eficaz de la matriz; • La ordenaci´on de la ecuaciones para mantener la estructura de dispersidad al factorizar la matriz y la • Implementaci´on eficaz del proceso de soluci´on. En general, si las tres tareas apuntadas se estructuran convenientemente en un algoritmo, ´este constar´ıa de los pasos que se indican en la tabla.
41/165 Full Scrn Imprimir Paso 1 – Determinar la estructura simb´olica de A. Paso 2 – Determinar unas permutaciones P y Q tales que PAQ tenga una estructura dispersa ventajosa en relaci´on con el tipo de sistema a resolver. Paso 3 – Factorizar simb´olicamente la matriz PAQ y generar las estructuras de datos y memoria necesarias para L y U. Paso 4 – Obtener num´ericamente LU = PAQ y c = Pb. Paso 5 – Resolver Lz = c, Uy = z y, por fin, x = Qy. Algoritmo para resolver sistemas lineales dispersos
42/165 Full Scrn Imprimir Ordenaci´on de las ecuaciones Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en el que la matriz de coeficientes que lo define es dispersa, el orden en que se disponen las filas o las columnas tiene una importancia fundamental. Por ejemplo, si consideramos la matriz sim´etrica A de un sistema de ecuaciones lineales cuyo patr´on de elementos distintos de cero es el de la figura,
43/165 Full Scrn Imprimir y se utiliza la eliminaci´on de Gauss para resolver dicho sistema, en el transcurso de dicha factorizaci´on se har´an distintos de cero 46 elementos –elementos de relleno (fill-in en la literatura anglosajona)–: los que en la figura aparecen sombreados. Si las filas y las columnas del mismo sistema se reordenan de acuerdo con un criterio que veremos m´as adelante —algoritmo de grado m´ınimo—, obteni´endose un patr´on de elementos distintos de cero como el de la figura, y esta matriz se factoriza tambi´en mediante eliminaci´on de Gauss, el n´umero de elementos cero que se hacen distintos de cero en este caso es cero.
44/165 Full Scrn Imprimir El vector que define las permutaciones que hay que efectuar simult´aneamente en las filas y columnas de la matriz original para llegar a la de la figura se puede ver en la siguiente tabla. Elementos Vector 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Permutaci´on 14 12 10 9 7 6 4 5 8 1 2 3 11 13 Compru´ebese c´omo la fila 1 original, fila 10 en la matriz reordenada, sigue teniendo 4 elementos no nulos, la fila 2 original, fila 11 en la reordenada, 5 elementos, etc. A las permutaciones que act´uan
45/165 Full Scrn Imprimir simult´aneamente sobre filas y columnas se las denomina, como es sabido, permutaciones sim´etricas. Trabajar con matrices reordenadas en las que el n´umero de elementos de relleno se reduce considerablemente presenta tres ventajas fundamentales: • Una disminuci´on del n´umero de posiciones de memoria que se han de reservar para los nuevos elementos que se har´an distintos de cero en un proceso de factorizaci´on. • Una disminuci´on del n´umero de operaciones a realizar y, por lo tanto, del tiempo total de c´alculo para factorizar la matriz y resolver el correspondiente sistema. • Una mejora de la estabilidad num´erica del proceso global de resoluci´on del sistema al disminuir el n´umero de elementos a considerar y por tanto disminuir la probabilidad de encontrar grandes diferencias entre ellos, errores de cancelaci´on, etc. En la tabla se resume en n´umeros las operaciones que habr´ıa que
46/165 Full Scrn Imprimir realizar para transformar la matriz presentada mediante eliminaci´on de Gauss y, posteriormente, resolver el sistema lineal correspondiente, si se operase con esta matriz como si fuese densa, como si fuese dispersa pero sin reordenar filas y columnas y como si fuese dispersa reordenando filas y columnas, tal cual hemos visto. Matriz Matriz Matriz Dispersa Dispersa Operaci´on Densa sin Ordenar Ordenada Factorizaci´on 1911 408 105 Sustituci´on Inversa 196 94 48 Para definir una ordenaci´on ´optima es necesario tener en cuenta la estructura de la matriz, el esquema que define c´omo se almacena la matriz y el tipo de operaciones que con ella se van a realizar. Si, como suele ser muy habitual, las matrices son sim´etricas y se almacenan seg´un un esquema de perfil o envolvente (por dar lugar una vez ordenadas a matrices con estructura en banda), tambi´en
47/165 Full Scrn Imprimir interesa poder disponer de un procedimiento de ordenaci´on que compacte los elementos precisamente cerca de la diagonal principal de la matriz. Este es el caso del algoritmo de Cuthill-Mckee que veremos m´as adelante. El resultado de aplicar a una matriz sim´etrica 35 × 35 este algoritmo se ilustra en la figura. La soluci´on de sistemas con este tipo de matrices dispersas en banda es extremadamente eficaz.
48/165 Full Scrn Imprimir Tambi´en existen diversas formas de ordenar matrices dispersas de estructura simb´olica no sim´etrica para resolver r´apida y eficazmente sistemas lineales de ecuaciones en los que est´en presentes. Para tratar matrices generales sin ninguna caracter´ıstica particular, entre los m´etodos m´as usados est´an los que buscan ordenar los elementos de la matriz A de tal forma que se consiga una estructura triangular inferior en bloques del tipo que se indica en la figura. 0 100 200 300 400 250 300 350 400 450 el = 7551 0 100 200 300 400 250 300 350 400 450 el = 24226 A31 A32 A33 A21 A22 A11 A = Si de acuerdo con esta estructura se dividen de la misma forma los vectores x y b de Ax = b, el sistema se resolver´a mucho m´as
49/165 Full Scrn Imprimir eficazmente resolviendo los subsistemas Aiixi = bi − i−1 j=1 Aijxj, i = 1, 2, 3. Esta forma de manipular la matriz A hace que s´olo sea necesario factorizar las submatrices Aii (los bloques o submatrices que no est´an en la diagonal principal, Aij, i > j, s´olo se han de multiplicar por los subvectores xj), y, por tanto, que cualquier nuevo elemento distinto de cero s´olo se pueda crear en esas submatrices. Cualquier otra reordenaci´on que sea necesaria para garantizar la dispersidad y la estabilidad num´erica del proceso, habr´a de efectuarse ´unicamente a los bloques Aii.
50/165 Full Scrn Imprimir Si como ejemplo consideramos la matriz sim´etrica 16 × 16 la reordenaci´on triangular inferior en bloques que de ella se puede obtener es:
51/165 Full Scrn Imprimir Implementaci´on eficaz del proceso de soluci´on Si la matriz es de estructura sim´etrica y definida positiva, la mejor forma de proceder para obtener la soluci´on del sistema correspondiente consiste en ordenar primero la matriz mediante, por ejemplo, el algoritmo de grado m´ınimo, o cualquier otro para estructuras particulares, y luego, una vez sabido qu´e elementos se har´an distintos de cero, utilizar la factorizaci´on de Cholesky. El paquete de software SPARSPAK de la Universidad de Waterloo, Canad´a, se centra esencialmente en este tipo de sistemas. Otros paquetes que tambi´en resuelven estos problemas son YSMP de la Universidad de Yale, EE.UU., Harwell Subroutine Library, Reino Unido: rutinas MA28, MA17, etc. y NAG, Numerical Algorithms Group, Reino Unido. Matlab tambi´en dispone de procedimientos especializados en sistemas de este tipo.
52/165 Full Scrn Imprimir Si la matriz es de estructura sim´etrica y casi definida positiva, se puede proceder separ´andola seg´un A = M − N, donde M es de estructura sim´etrica y definida positiva y N sim´etrica, y resolver Ax = b mediante un proceso iterativo del tipo Mx(k+1) = Nx(k) + b. Este sistema lineal se puede resolver por Cholesky o cualquier otro m´etodo. Otra forma de actuar consiste en olvidarse de la simetr´ıa y utilizar la eliminaci´on de Gauss, o triangularizar por bloques la matriz resolviendo seg´un indic´abamos antes. Si la matriz es de estructura sim´etrica e indefinida y se desea conservar la simetr´ıa, la mejor forma de proceder es utilizar el m´etodo de pivotaci´on diagonal por bloques que mencionamos en su momento.
53/165 Full Scrn Imprimir La rutina MA32 del paquete Harwell Subroutine Library procede de esa manera. Matlab tambi´en puede resolver estos sistemas sin ninguna dificultad. Si la matriz no es sim´etrica se puede proceder de dos formas: • Utilizando eliminaci´on de Gauss con pivotaci´on de acuerdo con el criterio de Markowitz que veremos m´as adelante. • Triangularizando por bloques tal como hemos mencionado con anterioridad. En el paquete de Harwell se pueden encontrar diversas rutinas para hacer frente a este problema operando de las dos formas indicadas. En lo que resta de tema nos centraremos en la forma m´as general de resolver un sistema lineal de ecuaciones, y a la que mayor cantidad de software dedican los paquetes ya mencionados y casi todos los existentes de matrices dispersas: la eliminaci´on de Gauss.
54/165 Full Scrn Imprimir Matrices dispersas sim´etricas y eliminaci´on de Gauss Estudiaremos diversas ordenaciones para matrices dispersas de estructura simb´olica sim´etrica, y c´omo afectan a la eliminaci´on de Gauss en ellas. La factorizaci´on que se obtiene como consecuencia del proceso de eliminaci´on de Gauss de una matriz A sim´etrica es, como sabemos, A = L1DLT 1 , donde L1 es una matriz triangular inferior con todos los elementos de su diagonal principal igual a uno y D una matriz diagonal. Esta factorizaci´on tambi´en se puede escribir, A = L LT . El patr´on de elementos distintos de cero de L es id´entico al de L1.
55/165 Full Scrn Imprimir Como sabemos, en el transcurso de la eliminaci´on de Gauss en una matriz se pueden crear elementos de relleno; si son muchos, no s´olo pueden destruir cualquier estructura de dispersidad que poseyese la matriz, sino tambi´en dar al traste con la consideraci´on hecha a priori de que era dispersa, pues el n´umero de operaciones que requieren los m´etodos que tratan tales matrices es sensiblemente superior, a igualdad de n´umero de elementos no nulos, al de los tradicionales para matrices densas. Para evitar esto se recurre a efectuar una reordenaci´on de filas y columnas, materializada por un conjunto de permutaciones, de tal forma que al factorizar la matriz resultante aparezcan muchos menos elementos de relleno que en la original. Si el sistema que hay que resolver es Ax = b y se le aplican a A un conjunto de permutaciones elementales, representadas por la matriz de permutaci´on P, el sistema se puede
56/165 Full Scrn Imprimir reescribir, P A PT Px = Pb, pues PT P = I. Haciendo y = Px y c = Pb, se tiene que By = c, donde B = PAPT es la matriz A reordenada. La matriz B es tambi´en dispersa y sim´etrica. Si A es tambi´en definida positiva, lo mismo ocurre con B. La idea esencial es encontrar una P adecuada que produzca el menor relleno posible al factorizar B. Si la matriz A es de orden n, el n´umero posible de ordenaciones es n!: evidentemente, resulta imposible analizar todas. Aun cuando de esas n! una al menos ser´a ´optima, no existe ning´un algoritmo que garantice su obtenci´on. Existen, no obstante, bastantes algoritmos heur´ısticos para tratar de
57/165 Full Scrn Imprimir llegar a un resultado ´optimo o cercano a ´el. Para ilustrar la diferencia que supone utilizar una ordenaci´on u otra, o incluso ninguna, en las figuras que siguen se representan los patrones de elementos distintos de cero de una matriz 480 × 480 antes y despu´es de, orden´andola de determinadas maneras, factorizarla de la forma LLT .
58/165 Full Scrn Imprimir La primera figura representa la matriz sin reordenar y el resultado que producir´ıa factorizarla de la forma LLT . 0 100 200 300 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 el = 7551 0 100 200 300 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 el = 30366 0 50 100 0 50 100
59/165 Full Scrn Imprimir La siguiente el mismo caso cuando se reordena la matriz original mediante el algoritmo denominado de grado m´ınimo, que veremos m´as adelante. 0 100 200 300 400 300 350 400 450 el = 7551 0 100 200 300 400 300 350 400 450 el = 30366 0 100 200 300 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 el = 7551 0 100 200 300 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 el = 9196
60/165 Full Scrn Imprimir La ´ultima representa la matriz reordenada mediante el algoritmo de Cuthill-McKee y el factor L correspondiente. 0 100 200 300 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 el = 7551 0 100 200 300 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 el = 24226 Obs´ervese que L tiene en el primer caso 30.366 elementos distintos de cero, 9.196 en el segundo y 24.226 en el tercero. Elegir un buen m´etodo de reordenaci´on de la matriz es esencial.
61/165 Full Scrn Imprimir Nociones b´asicas sobre teor´ıa de grafos El patr´on de elementos distintos de cero de una matriz dispersa cuadrada se puede representar mediante un grafo; en consecuencia, muchos resultados de la teor´ıa de grafos pueden aplicarse para estudiar y obtener mejoras en las prestaciones num´ericas de las matrices dispersas. De la teor´ıa de grafos s´olo introducimos, tanto en este apartado como en el que dedicaremos a matrices dispersas no sim´etricas, aquellos conceptos y resultados que nos ser´an ´utiles para agilizar la comprensi´on de los procedimientos que explicaremos o mejorar la visualizaci´on de los mismos. Un grafo, G = (V, E), es un par formado por un conjunto finito, V , de elementos denominados v´ertices o nudos del grafo, y por otro tambi´en finito, E, de arcos o aristas. Un arco es un par de nudos.
62/165 Full Scrn Imprimir Si los arcos de un grafo son ordenados, el grafo se denomina digrafo o grafo dirigido; si no, grafo a secas o grafo no dirigido. Un grafo no dirigido se puede ver como un digrafo en el que si el arco e = (u, v) ∈ E, tambi´en e = (v, u) ∈ E. Si e = (i, j) ∈ E, este arco une un nudo de origen o cola i = t(e) con otro de destino, final o cabeza j = h(e). El n´umero de elementos, o cardinal de V o E, se designa |V | o |E|. Un grafo G = (V, E) se dice numerado si existe una biyecci´on α : {1, 2, . . . , |N|} → V . En lo sucesivo, cuando hablemos de un grafo, lo supondremos numerado. Un grafo se puede asociar a cualquier matriz A.
63/165 Full Scrn Imprimir Si A es cuadrada de orden n, de estructura simb´olica sim´etrica, con todos sus elementos diagonales distintos de cero, se define el grafo asociado a A, GA = (V A , EA ), como el grafo no dirigido numerado de nudos V A = {v1, v2, . . . , vn} y arcos o aristas EA definidas de tal forma que (vi, vj) ∈ EA ⇔ aij = 0, aji = 0. La suposici´on de que los elementos diagonales son distintos de cero hace que no sea necesario representar los bucles que unen cada nudo consigo mismo.
64/165 Full Scrn Imprimir En la figura se puede ver una matriz 11×11 de estructura simb´olica sim´etrica y su grafo numerado asociado. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11                       × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×                       2 4 7 3 9 11 5 6 1 10 8
65/165 Full Scrn Imprimir Al igual que se define un grafo no dirigido para matrices sim´etricas, para matrices no sim´etricas se define un digrafo; volveremos sobre esta cuesti´on al hablar de matrices no sim´etricas. El grafo asociado a una matriz sim´etrica permanece invariable, salvo la numeraci´on de sus nudos, al aplicarle a dicha matriz una permutaci´on sim´etrica (se la pre y posmultiplica por una misma matriz de permutaci´on P). Esta es una de las propiedades que hacen de los grafos un instrumento muy ´util para estudiar matrices dispersas. Si B = PAPT , los grafos asociados a B y a A son id´enticos salvo en lo que respecta a su numeraci´on. Un subgrafo G = (V , E ) de un grafo G = (V, E) es un grafo formado por algunos o todos los nudos y por algunos de los arcos del grafo G: V ⊆ V , E ⊂ E.
66/165 Full Scrn Imprimir Un subgrafo se dice subgrafo secci´on cuando V contiene s´olo algunos nudos de G y E todos los arcos (u, v) de G tales que u y v pertenecen a V ; ese decir: V ⊂ V y E = {(u, v) ∈ E : u ∈ V y v ∈ V }. En el grafo de la figura anterior, los nudos 3, 5, 7, 8 y 11 junto con los arcos (3,5), (5,8), (8,11), (11,7), (3,7) y (3,11) constituyen un subgrafo secci´on. Si (u, v) es un arco de un grafo, los nudos u y v se dicen adyacentes. El grado de un nudo es el n´umero de arcos que tienen uno de sus extremos en ese nudo. Si W es un subconjunto de los nudos de un grafo G, el conjunto adyacente de W, Adj(W), es el conjunto formado por los nudos de G que no pertenecen a W y son adyacentes a nudos de W. Es decir, Adj(W) = {u ∈ V − W : (u, v) ∈ E para alg´un v ∈ W}.
67/165 Full Scrn Imprimir El grado de un nudo es por consiguiente el n´umero de elementos (cardinal) del conjunto adyacente de ese nudo. En el caso de la matriz 11 × 11 y de su grafo asociado anteriores, los nudos 1 y 6 son adyacentes; ambos de grado 2. Si W fuese el conjunto formado por los nudos 1 y 6, su conjunto adyacente ser´ıa el formado por los nudos 9 y 10. Un camino de un nudo u1 a otro um+1, es un conjunto ordenado de nudos {u1, u2, . . . , um+1} tal que ui y ui+1 son adyacentes para i = 1, 2, . . . , m. La longitud de ese camino es m. El nudo inicial de un camino se suele denominar de partida; el final, de llegada. Un camino tambi´en se puede definir como un conjunto ordenado de m
68/165 Full Scrn Imprimir arcos (u1, u2), (u2, u3), . . . , (um, um+1). Dos nudos dados, u y v, se dicen unidos por un camino, si existe un camino de u a v. Un camino es un ciclo cuando u1 = um+1. La distancia, d(u, v), entre dos nudos, u y v, es la longitud del camino m´as corto entre ambos nudos. Dado un nudo u, a la mayor distancia entre ese nudo y cualquier otro del grafo se la denomina excentricidad, e(u), del nudo u. La mayor excentricidad de un grafo se denomina di´ametro del grafo. Un nudo perif´erico de un grafo es aquel cuya excentricidad es igual al di´ametro del grafo. Volviendo a nuestra matriz 11 × 11 y su grafo asociado, los nudos 1 y 3
69/165 Full Scrn Imprimir est´an unidos por los caminos {1, 10, 11, 3}, de longitud 3, y {1, 6, 9, 11, 3}, de longitud 4. La distancia entre los nudos 1 y 3 es, por consiguiente, 3. El camino {5, 8, 11, 3, 5} es un ciclo. El di´ametro de este grafo es 4. Los nudos perif´ericos: 1, 2, 4, 5 y 6; su excentricidad es igual a 4. Un grafo se dice conexo si cada par de nudos distintos se puede unir por un camino; inconexo en cualquier otro caso. Un grafo inconexo est´a formado por varios componentes conexos. Un separador o conjunto separador es un conjunto de nudos tal que quitando los nudos que pertenecen a ´el y los arcos a ellos unidos en un grafo conexo o componente conexo, resulta un grafo no conexo.
70/165 Full Scrn Imprimir Un separador es m´ınimo si cualquier subconjunto de ´el no es un separador. El grafo de la figura anterior es conexo. El conjunto de nudos de este grafo formado por el 7 y el 11 es un separador m´ınimo: al quitar esos nudos del grafo resultan los componentes conexos {3, 5, 8} y {10, 1, 6, 9, 2, 4}. Dado un grafo y un subconjunto S de sus nudos, si u y v son dos nudos distintos que no pertenecen a S, se dice que v es accesible desde u a trav´es de S cuando u y v est´an unidos por un camino de longitud igual a 1 (u y v son adyacentes) o ese camino est´a formado enteramente por nudos pertenecientes a S (excepto, por supuesto, u y v). Dado ese subconjunto S y u /∈ S, el conjunto accesible, Acc(u, S), de u a trav´es de S, es el conjunto de todos los nudos accesibles desde u a trav´es de S.
71/165 Full Scrn Imprimir Obs´ervese que cuando S es el vac´ıo o u no pertenece a Adj(S), Acc(u, S) = Adj(u). En el grafo de la figura, si se escoge S = {7, 3}, entonces Acc(5, S) = {8, 11, 4} y Acc(8, S) = Adj(8) = {5, 11}. Obs´ervese que el propio u no pertenece a Acc(u, S). Los grafos se pueden dividir de acuerdo con diversos criterios. Cuando los nudos se agrupan en subconjuntos disjuntos S0, S1, . . . , Sm, se obtiene una partici´on. Cuando un grafo se divide de acuerdo con los niveles de los nudos se obtiene una partici´on por niveles, o estructura de niveles. Un grafo conexo que no tiene ciclos se denomina ´arbol. Los ´arboles juegan un papel muy importante en el contexto de las matrices dispersas pues una matriz cuyo grafo asociado es un ´arbol
72/165 Full Scrn Imprimir se puede reordenar de tal forma que, al factorizarla mediante eliminaci´on de Gauss, no experimente ning´un relleno. En un ´arbol s´olo existe un camino entre cualquier par de nudos. Un ´arbol se dice enraizado cuando uno de sus nudos se designa como nudo ra´ız. El camino ´unico que existe entre ese nudo ra´ız y cualquier nudo u del ´arbol define las relaciones ascendiente/descendiente entre nudos: si u y v pertenecen a un camino y la distancia de v al nudo ra´ız es menor que la de u, v se dice es un ascendiente de u y u un descendiente de v. Si u y v son adyacentes, v es el padre de u y u el hijo de v. Como en el caso del grafo, un ´arbol lo supondremos numerado. La numeraci´on se dice mon´otona si cada nudo se numera antes que
73/165 Full Scrn Imprimir su padre. La partici´on de un grafo que no es un ´arbol se puede usar para generar un grafo cociente. Cuando un grafo cociente es un ´arbol, ´este se denomina ´arbol cociente; a la partici´on correspondiente, ´arbol partici´on.
74/165 Full Scrn Imprimir En la figura se puede ver un grafo de 20 nudos, su estructura de niveles y su correspondiente ´arbol cociente. En este ´arbol tambi´en se indica una numeraci´on mon´otona. 8 3 20 6 9 19 7 5 2 10 11 1 17 18 14 16 12 4 13 15 6 13 15 5 20 12 4 14 16 1 7 17 18 11 2 10 9 19 3 8 N6 N5 N4 N3 N2 N1 N0 ¨ © ¨ © ¨ © ¨ © ¨ © ¨ © ¨ © 6 13, 15 5, 20 12, 4 14, 16, 1, 7 17, 18, 11 2, 10 9, 19, 3 8 1 3 2 5 4 6 7 8 9
75/165 Full Scrn Imprimir Dado un grafo conexo G = (V, E), un ´arbol maximal es un subgrafo de G que contiene todos los nudos de G y es adem´as un ´arbol. En la figura se puede ver un ´arbol maximal del grafo de la figura anterior. 6 13 15 5 20 12 4 14 16 1 7 17 18 11 2 10 9 19 3 8
76/165 Full Scrn Imprimir Interpretaci´on mediante grafos de la eliminaci´on de Gauss Al comienzo de una etapa k de un proceso de eliminaci´on de Gauss, todos los elementos distintos de cero debajo de la diagonal principal en las columnas 1, 2, . . . , k − 1 ya se han hecho cero. En esta etapa k se determinan unos multiplicadores y se restan, de las filas que tienen un elemento distinto de cero en la columna k debajo de la diagonal principal, la fila k multiplicada por el multiplicador correspondiente. Al hacer esto se pueden crear nuevos elementos distintos de cero en la submatriz que definen las filas y columnas k + 1, . . . , n. Consideremos la submatriz activa en la etapa k –tal submatriz activa contiene los elementos ak ij, donde i, j ≥ k–.
77/165 Full Scrn Imprimir Sea Gk el grafo asociado a esa submatriz activa, al que se denomina grafo de eliminaci´on. Los nudos de este grafo son los n − k + 1 ´ultimos del grafo asociado a la matriz original A, GA . El grafo Gk contiene todos los arcos que unen esos nudos, y estaban presentes en GA , m´as unos arcos adicionales correspondientes a los rellenos producidos en las k − 1 etapas anteriores del proceso. La sucesi´on de grafos G1 = GA , G2 , . . . se obtiene aplicando la siguiente regla: Para obtener Gk+1 a partir de Gk , borrar en ´este el nudo k y a˜nadir todos los posibles nuevos arcos entre nudos que sean adyacentes al nudo k de Gk . Los arcos que se a˜naden determinan qu´e elementos de relleno se
78/165 Full Scrn Imprimir producir´an en la matriz como consecuencia del proceso de eliminaci´on de Gauss. Como ejemplo de aplicaci´on de estas ideas, en las figuras que siguen se ilustra su adaptaci´on a la matriz 11 × 11 de ejemplos anteriores. Etapa 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11                   × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ⊗ × × × × × × × × × × × ⊗ × × × × × × × × ×                   2 4 7 3 9 11 5 6 1 10 8 G2
79/165 Full Scrn Imprimir Etapa 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A3 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11                   × × × × × × × × × × × × ⊗ × × × × × × ⊗ × × × × × × × ⊗ × × × ⊗ × × × × × × × × ×                   2 4 7 3 9 11 5 6 1 10 8 G3
80/165 Full Scrn Imprimir Etapa 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A4 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11                   × × × × × × × × × × × × ⊗ × ⊗ × × × × ⊗ × ⊗ × × × × × ⊗ × × × ⊗ × × × × × × × ×                   2 4 7 3 9 11 5 6 1 10 8 G4 Etapa . . .
81/165 Full Scrn Imprimir Al final del proceso la matriz simb´olica que indica qu´e elementos ser´an distintos de cero una vez completada la factorizaci´on tendr´a la forma de la figura. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11                   × × × × × × × × × × × × × ⊗ × × ⊗ × × × × × ⊗ × × ⊗ × ⊗ ⊗ × × ⊗ × ⊗ × × ⊗ × ⊗ ⊗ × ⊗ × × ⊗ ⊗ × × × × × × × × ×                   Mediante los grafos de eliminaci´on se puede realizar, independientemente de los valores num´ericos que adopten los elementos de la matriz, una eliminaci´on de Gauss simb´olica, pudi´endose determinar a partir de ella qu´e nuevos elementos distintos de cero se van a crear en el proceso num´erico. Reservando posiciones de memoria para esos nuevos elementos, se
82/165 Full Scrn Imprimir puede pasar a realizar la eliminaci´on o factorizaci´on num´erica.
83/165 Full Scrn Imprimir El algoritmo de grado m´ınimo Este algoritmo (Tinney y Walker [1967]) es el de reordenaci´on de uso m´as extendido para reducir el n´umero de rellenos que produce la eliminaci´on de Gauss –o la factorizaci´on de Cholesky– en una matriz dispersa de estructura simb´olica sim´etrica. Es el que presenta unas caracter´ısticas de eficacia, sencillez y facilidad de implementaci´on en ordenador m´as destacadas. El algoritmo de grado m´ınimo es la versi´on para matrices de estructura simb´olica sim´etrica del de Markowitz [1957] para matrices no sim´etricas; comentaremos ´este en detalle m´as adelante. La idea en que se basa es muy sencilla. Como en cada etapa k del proceso de eliminaci´on de Gauss, debido a las manipulaciones inherentes al proceso que se efect´ua en la submatriz activa, si en la fila k hay elementos no cero a la derecha del
84/165 Full Scrn Imprimir elemento de la diagonal principal, al sumar un m´ultiplo de esta fila a cualquiera de las filas k + 1 a n donde se quiera hacer cero un elemento de la columna k por debajo de la diagonal principal, se pueden producir elementos no nulos en esas filas. Si se examina qu´e fila de la submatriz activa, , tiene el menor n´umero de elementos distintos de cero y se intercambian las filas y k y las columnas y k, en esa submatriz activa se crear´an el m´ınimo de elementos de relleno posible. El nombre de grado m´ınimo viene de que al realizar ese intercambio de filas y columnas en la etapa k, el elemento de la diagonal principal en la fila k representar´a el nudo que est´a unido al menor n´umero –grado m´ınimo– de otros en el grafo de eliminaci´on Gk . El algoritmo completo de grado m´ınimo es el de la tabla.
85/165 Full Scrn Imprimir Paso 1 – Inicializaci´on. Hacer i ← 1. Paso 2 – Selecci´on del nudo de grado m´ınimo. Seleccionar en el grafo de eliminaci´on Gk−1 = (V k−1 , Ek−1 ) aquel nudo vk de grado m´ınimo. Paso 3 – Transformaci´on. Formar el nuevo grafo de eliminaci´on Gk = (V k , Ek ) eliminando vk de Gk−1 . Paso 4 – Bucle. Hacer i ← i + 1. Si i |V |, parar. Si no, ir al paso 2. Algoritmo para resolver sistemas lineales dispersos Obs´ervese que esta implementaci´on, al trabajar con los grafos de eliminaci´on, permite tambi´en conocer al final del proceso qu´e nuevos elementos se har´an distintos de cero al efectuar la correspondiente factorizaci´on.
86/165 Full Scrn Imprimir Para ilustrar el proceso del algoritmo, consideremos el grafo de la figura asociado a una matriz sim´etrica 7 × 7. f g e b d a c En las tablas se describen las 7 etapas de que consta la aplicaci´on del algoritmo de grado m´ınimo a este grafo.
87/165 Full Scrn Imprimir Etapa 1 a 3 Etapa k Grafo de Eliminaci´on Gk−1 Nudo Seleccionado Grado 1 f g e b d a c a 1 2 f g e b d c c 1 3 f g e b d d 2
88/165 Full Scrn Imprimir Etapa 4 a 7 Etapa k Grafo de Eliminaci´on Gk−1 Nudo Seleccionado Grado 4 f g e b e 2 5 f g b b 2 6 f g f 1 7 g g 0
89/165 Full Scrn Imprimir La matriz simb´olica que indica qu´e elementos ser´an distintos de cero una vez completada la reordenaci´on/factorizaci´on simb´olica que lleva a cabo el algoritmo de grado m´ınimo, y el grafo con la numeraci´on ´optima, se indican en la figura. 1 2 3 4 5 6 7 A = 1 2 3 4 5 6 7                × × × × × × × × × × × × × × × × ⊗ × × × × × ⊗ × ×                6 7 4 5 3 1 2 La estrategia que sigue el algoritmo de grado m´ınimo produce en general muy buenos resultados pr´acticos. Como ya apunt´abamos anteriormente, cuando el grafo que se quiere reordenar es un ´arbol, el resultado de aplicarlo no producir´a elementos de relleno al efectuar la eliminaci´on de Gauss o la factorizaci´on ulterior correspondiente.
90/165 Full Scrn Imprimir No obstante, no siempre da lugar a una ordenaci´on que produzca el menor n´umero posible de elementos de relleno. 1 4 5 6 9 2 3 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9                      × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×                      En efecto, si se aplica al grafo de la figura, el algoritmo elegir´a el nudo n´umero 5 como el inicial, lo que traer´a como consecuencia que se produzca un relleno posterior en las posiciones (4, 6) y (6, 4). Utilizando por el contrario la numeraci´on de la figura no se producir´ıa ning´un elemento de relleno.
91/165 Full Scrn Imprimir La implementaci´on en ordenador de este algoritmo es muy sencilla. Existen diversas variantes del algoritmo de grado m´ınimo para tratar de mejorar alguna de sus prestaciones, concretamente en lo que se refiere a c´omo actuar en el caso de que los posibles nudos iniciales sean varios.
92/165 Full Scrn Imprimir Reducci´on del ancho de banda de una matriz dispersa sim´etrica. El algoritmo de Cuthill-McKee La idea que se persigue es que los elementos distintos de cero est´en lo m´as cerca posible de la diagonal principal. De los algoritmos dedicados a este fin, el de utilizaci´on m´as extendida es el de Cuthill-McKee [1969]. La idea en la que basa su estrategia es muy sencilla: como de lo que se trata es de que los elementos distintos de cero est´en lo m´as cerca posible de la diagonal principal, una vez numerado un nudo k, si se numeran inmediatamente despu´es los que est´an unidos a ´el que no han sido numerados previamente, se conseguir´a que en la fila k se cumpla ese objetivo. El algoritmo que plasma esta idea es el del cuadro que sigue.
93/165 Full Scrn Imprimir Paso 1 – Inicializaci´on. Seleccionar un nudo inicial r. Hacer vi ← r. Paso 2 – Bucle. Para i = 1, . . . , n, determinar todos los nudos adyacentes al vi no numerados y numerarlos en orden creciente de grado (de menor a mayor). Definici´on 4 Se dice que una matriz sim´etrica tiene un perfil mon´otono si para todo k y , donde k , lk ≤ l . A continuaci´on se presentan dos matrices con perfiles mon´otono y no mon´otono, respectivamente.
94/165 Full Scrn Imprimir Perfil Mon´otono 1 2 3 4 5 6 7 × ×× × × × ×× × × × × × × × ×× Perfil No Mon´otono 1 2 3 4 5 6 7 × ×× × × × × × × × × × ×× × Teorema 1 La numeraci´on dada por el algoritmo de Cuthill-McKee con- duce a un perfil mon´otono.
95/165 Full Scrn Imprimir A modo de ejemplo, apliquemos el algoritmo de Cuthill-McKee al grafo de la figura. h i j d e f g a b c 10 8 7 9 4 6 5 1 2 3 Empezando a numerar por el nudo superior izquierdo, a, en la misma figura se puede ver la numeraci´on final que se obtiene con el algoritmo. Con esta numeraci´on, la distribuci´on simb´olica de elementos distintos de cero y ceros en la matriz asociada que habr´a que incluir en el esquema de almacenamiento de envolvente,
96/165 Full Scrn Imprimir considerando s´olo la parte triangular inferior, ser´a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10                × × × × × × × × × 0 × × 0 × × × × × × × 0 0 × × × 0 0 0 × × × × ×                . El ancho de banda de esta matriz es 5. El n´umero de elementos cero en la envolvente, 7. El n´umero de elementos de la envolvente, 33.
97/165 Full Scrn Imprimir Ahora bien, si se comienza a numerar el grafo por el nudo e, el resultado de aplicar el algoritmo de Cuthill-McKee es el de la figura. 8 5 6 3 1 9 10 7 2 4 La distribuci´on simb´olica de elementos distintos de cero y ceros de la
98/165 Full Scrn Imprimir parte triangular inferior de la matriz ser´ıa en este caso, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10                × × × × 0 × × × 0 × × 0 × 0 × × 0 0 0 × × × 0 0 0 0 × × 0 × 0 0 × × 0 × 0 0 × × 0 × 0 0 × ×                . El ancho de banda de esta matriz es 6. El n´umero de elementos cero en la envolvente, 20. El n´umero total de elementos en la envolvente, 46 Como se puede observar, la elecci´on del nudo de partida para comenzar la numeraci´on es una cuesti´on cr´ıtica para el resultado del
99/165 Full Scrn Imprimir algoritmo.
100/165 Full Scrn Imprimir Selecci´on del nudo inicial Para abordar el problema de determinar con qu´e nudo se ha de comenzar el algoritmo de Cuthill-McKee, recordemos los conceptos de excentricidad, di´ametro y nudo perif´erico de un grafo. La idea del procedimiento para determinar el mejor nudo de partida se basa en el hecho de que tal nudo es casi siempre uno perif´erico. Para obtener un nudo perif´erico o pseudoperif´erico (se define por la condici´on de que si v es un nudo para el cual d(u, v) = e(u), entonces e(u) = e(v)) se han desarrollado diversos procedimientos. En la tabla se puede ver una modificaci´on de George y Liu [1979] de un algoritmo originalmente debido a Gibbs, Poole y Stockmeyer [1976] para determinar un nudo pseudoperif´erico en un grafo no dirigido. Tal como se describe es el m´as usado y referenciado en la literatura especializada.
101/165 Full Scrn Imprimir Paso 1 – Inicializaci´on. Seleccionar un nudo arbitrario, r, del gra- fo. Paso 2 – Generar estructura de niveles. Construir la estructura de niveles del grafo tomando como nudo ra´ız el nudo r: L(r) = {L0(r), L1(r), . . . , L (r)(r)}. Paso 3 – Bucle. Escoger un nudo v en L (r)(r) todav´ıa no tratado de grado m´ınimo: a) Si e(v) e(r), hacer r ← v e ir al Paso 2. b) Si e(v) ≤ e(r), escoger otro nudo de L (r)(r) y vol- ver al paso 3; si no hay m´as nudos, parar. Apliquemos este procedimiento para determinar qu´e nudo se debe usar para iniciar el algoritmo de Cuthill-McKee: las tres etapas de que consta se esquematizan en la figura.
102/165 Full Scrn Imprimir h i j d e f g a b c 2 1 1 1 0 2 2 2 1 1 h i j d e f g a b c 4 3 3 3 2 3 3 0 1 2 h i j d e f g a b c 0 1 2 1 2 3 3 4 3 3 Los n´umeros al lado de los nudos del grafo indican su excentricidad tomando como ra´ız el que se indica como 0. El algoritmo comienza en cualquier nudo, por ejemplo, en e. Obs´ervese que del resultado del algoritmo se desprende que tanto el nudo a como el h podr´ıan utilizarse como nudos de partida pues tienen la misma excentricidad: 4.
103/165 Full Scrn Imprimir Reducci´on de la envolvente de una matriz dispersa sim´etrica. El algoritmo inverso de Cuthill-McKee George [1971] descubri´o que, utilizando el algoritmo de Cuthill-McKee para ordenar la numeraci´on del grafo asociado a una matriz dispersa de estructura simb´olica sim´etrica, pero invirtiendo el orden de la numeraci´on final, es decir, asignando el n´umero 1 + n − i al nudo numerado como i, se consegu´ıa una matriz con el mismo ancho de banda pero con una envolvente con un n´umero de elementos menor o igual. Teorema 2 Sea A una matriz cuyo perfil es mon´otono. El n´umero de ele- mentos de Env(A), numerando el grafo asociado a A de acuerdo con el resultado obtenido de aplicar el algoritmo inverso de Cuthill-McKee, es a lo sumo el mismo que el de la matriz asociada al grafo numerado de acuerdo con el resultado del algoritmo ordinario de Cuthill-McKee.
104/165 Full Scrn Imprimir Ejemplo Consid´erese el grafo asociado a una matriz de la figura. a b c d e f g Si se reordena de acuerdo con el algoritmo de Cuthill-McKee, el patr´on de elementos distintos de cero y ceros que habr´ıa que guardar y la numeraci´on que se obtendr´ıa son los que describe la figura.
105/165 Full Scrn Imprimir 1 2 3 4 5 6 7 A = 1 2 3 4 5 6 7                × × × × × × × × × × × 0 0 0 0 × 0 × 0 0 0 × 0 0 × 0 0 × 0 0 0 × 0 × 0 0 0 0 ×                2 4 3 6 7 5 1 Por el contrario, utilizando el algoritmo de Cuthill-McKee inverso se conseguir´ıa el efecto que representa la figura. 1 2 3 4 5 6 7 A = 1 2 3 4 5 6 7                × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×                6 4 5 2 1 3 7
106/165 Full Scrn Imprimir Como se puede observar, desaparecen todos los ceros que aparec´ıan antes, ahorr´andose las correspondientes posiciones de memoria para guardarlos. u Si al grafo que se utilizaba para introducir el algoritmo de Cuthill-McKee, se le aplicada el algoritmo inverso, el resultado que se obtiene es el que describe la figura. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10                         × × × × × × × × × × × × × × × × 0 0 × × × × × × × × × ×                         1 3 4 2 7 5 6 10 9 8
107/165 Full Scrn Imprimir El ancho de banda sigue siendo el mismo que el que obten´ıa el algoritmo de Cuthil-McKee, 5, pero el n´umero de elementos de la Env(A) ha disminuido de 33 a 28.
108/165 Full Scrn Imprimir M´etodo de la disecci´on recurrente Este m´etodo, conocido en la literatura especializada como Nested Dissection, tiene sus ra´ıces en las t´ecnicas de elementos finitos. Se basa en establecer unas particiones, usando separadores, para dividir sistem´aticamente el grafo asociado a una matriz de estructura simb´olica sim´etrica; es decir, utilizar la t´actica “divide y vencer´as”. Cuando se encuentra uno de estos separadores, se numeran sus nudos y se retiran del grafo, dej´andolo dividido en dos o m´as componentes (si se retiran del grafo de la figura (a) los nudos 11 al 15, resultan dos subgrafos sin conexiones comunes).
109/165 Full Scrn Imprimir 1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25 S0R1 1 R2 1 R0 a) b) R1 1 R2 1 S0 R1 1 R2 1 S0 R1 2 R2 2S1 1 R3 2 R4 2 S2 1S0 R1 2 En los componentes que resultan de la primera transformaci´on tambi´en se buscan separadores, continuando el proceso hasta que se numeren todos los nudos del grafo. Suponiendo que el conjunto de los nudos del grafo se puede representar por un rect´angulo R0, en ´el se escoge un separador, S0, formado por un subconjunto de nudos de R0. Al retirar ´estos del grafo, R0 queda dividido en dos subgrafos o componentes, R1 1 y R2 1. Los nudos de R1 1 se numeran primero y luego los de R2 1 y S0.
110/165 Full Scrn Imprimir S0R1 1 R2 1 b) c) R1 2 S1 1 R2 2 R3 2 S2 1 R4 2 S0 R1 1 R2 1 S0 R1 1 R2 1 S0 R1 2 R2 2S1 1 R3 2 R4 2 S2 1S0 S0 S2 1 R4 2 R3 2 S1 1 R2 2 R1 2 El patr´on de elementos distintos de cero al que da lugar esta numeraci´on se representa mediante sectores sombreados en la figura (b). Si esta matriz se factorizase mediante eliminaci´on de Gauss, los posibles rellenos s´olo se producir´ıan en las zonas destacadas.
111/165 Full Scrn Imprimir c) R1 2 S1 1 R2 2 R3 2 S2 1 R4 2 S0 R1 2 R2 2S1 1 R3 2 R4 2 S2 1S0 S0 S2 1 R4 2 R3 2 S1 1 R2 2 R1 2 Si se sigue el proceso y se divide el componente R1 1, mediante un separador S1 1, en R1 2 y R2 2, y R2 1, mediante otro S2 1, en R3 2 y R4 2, numerando primero R1 2, luego R2 2, S1 1, R3 2, R4 2, S2 1 y, por ´ultimo, S0, la nueva numeraci´on producir´ıa un patr´on de elementos cero y distintos de cero seg´un se representa en la figura (c) por las zonas en blanco y sombreadas, respectivamente. El procedimiento continuar´ıa hasta que no se pudiesen encontrar separadores en los subgrafos R.
112/165 Full Scrn Imprimir Matrices dispersas no sim´etricas y eliminaci´on de Gauss La factorizaci´on que se obtiene como consecuencia del proceso de eliminaci´on de una matriz general, A, es, A = L1DU1, donde L1 es una matriz triangular inferior con todos los elementos de su diagonal principal iguales a 1, D una matriz diagonal y U1 una matriz triangular superior, tambi´en con todos los elementos de su diagonal principal iguales a 1. El producto L1D tambi´en se suele englobar en una sola matriz triangular inferior, L, cuyo patr´on de elementos distintos de cero es id´entico al de L1. Para evitar los rellenos, se efect´ua una reordenaci´on de filas y columnas, materializadas por un conjunto de permutaciones, de tal
113/165 Full Scrn Imprimir forma que en la matriz resultante, al factorizarla, la estructura de elementos cero/distintos de cero sea mucho m´as f´acil de manipular, o aparezcan muchos menos elementos de relleno que al factorizar la original. Si el sistema a resolver es Ax = b y se le aplican a A un conjunto de permutaciones elementales a la izquierda y a la derecha representadas por las matrices de permutaci´on P y Q, respectivamente, el sistema se puede reescribir, P A Q QT x = Pb, pues QT Q = I. Haciendo y = QT x y c = Pb, se tiene que, By = c, donde B = PAQ es la matriz A reordenada.
114/165 Full Scrn Imprimir En general Q = PT por lo que B se obtiene de A mediante un conjunto de permutaciones no sim´etricas de sus filas y de sus columnas. El objetivo de estas manipulaciones es conseguir: • Que B tenga una estructura de dispersidad m´as f´acil de tratar que A, • que su factorizaci´on sea lo m´as num´ericamente estable posible y • que el n´umero de rellenos sea el menor posible. Comenzaremos estudiando (cuando la matriz A no posea ninguna propiedad particular) la forma de conseguir en A una estructura triangular inferior en bloques:     A11 A21 A22 ... ... An1 An2 · · · Ann         x1 x2 ... xn     =     b1 b2 ... bn     , (1) donde los coeficientes Aij designan matrices, siendo las Aii matrices cuadradas de orden ni; evidentemente, n i=1 ni = n.
115/165 Full Scrn Imprimir El sistema as´ı obtenido se resuelve mediante una sucesi´on de n subproblemas m´as peque˜nos: el subproblema i ser´a de orden ni y su matriz de coeficientes Aii. Para resolver esos subproblemas ser´a necesario factorizar s´olo las Aii por lo que el relleno de elementos cero s´olo ocurrir´a dentro de esas Aii. El procedimiento de esta resoluci´on lo describen los siguientes pasos: a) Resolver el primer subsistema en n1 inc´ognitas, A11x1 = b1, con A11 como matriz de coeficientes: se obtendr´a x1. b) Restar los vectores Aj1x1 del t´ermino independiente, bj, para j = 2, . . . , n, obteni´endose una matriz triangular inferior en bloques de orden n − n1. Repetir a) y b) hasta completar la soluci´on. Para llevar a cabo este proceso, evidentemente, se supone que los bloques de la diagonal principal son regulares.
116/165 Full Scrn Imprimir Ejemplo El sistema que se ilustra a continuaci´on
117/165 Full Scrn Imprimir una vez reordenado con este objetivo queda como sigue. u
118/165 Full Scrn Imprimir Las siguientes consideraciones son fundamentales para la consecuci´on de la triangularizaci´on en bloques de la matriz A. Definici´on 5 Una matriz se dice que tiene un transversal completo cuando todos los elementos de su diagonal principal son distintos de cero. Cualquier matriz regular se puede reordenar mediante permutaciones no sim´etricas P y Q, de tal forma que PAQ tenga un transversal completo. Si la matriz es singular esto puede no cumplirse. Esta reordenaci´on se consigue mediante permutaciones sim´etricas de la forma PAPT . Si esa estructura de bloques existe, se dice que A es una matriz reducible.
119/165 Full Scrn Imprimir Si una matriz no tiene transversal completo pero puede reordenarse de tal forma que entonces s´ı lo tenga, y as´ı reordenada es reducible, se dice birreducible. Para conseguir triangularizar por bloques una matriz A dispersa cualquiera se procede, pues, en dos fases: Fase 1. – Encontrando un transversal completo de esa matriz. Fase 2. – Reordenando el resultado de la fase 1 mediante permu- taciones sim´etricas. Estas dos fases se materializan mediante sendos algoritmos. Para explicarlos recurrimos una vez m´as al concurso de los grafos; esta vez en su faceta de grafos dirigidos.
120/165 Full Scrn Imprimir Nociones b´asicas sobre grafos dirigidos Un grafo, G = (V, E), es un par formado por un conjunto finito, V , de elementos denominados v´ertices o nudos del grafo, y por otro tambi´en finito, E, de arcos o aristas. Un arco es un par de nudos. Si los arcos de un grafo son ordenados, el grafo se denomina digrafo o grafo dirigido. Si e = (i, j) ∈ E, este arco une un nudo de origen o cola i = t(e) con otro de destino, final o cabeza j = h(e). El n´umero de elementos o cardinal de V o E se designa |V | o |E|. Un grafo G = (V, E) se dice numerado si existe una biyecci´on α : {1, 2, . . . , |N|} → V . En lo sucesivo, cuando hablemos de un grafo dirigido o digrafo, lo
121/165 Full Scrn Imprimir supondremos numerado. A cualquier matriz general cuadrada, A, se le puede asociar un digrafo. El digrafo asociado a una matriz A de orden n, GA = (V A , EA ), es un grafo numerado dirigido de nudos V A = {v1, v2, . . . , vn} y arcos EA definidos de tal forma que (vi, vj) ∈ EA ⇔ aij = 0. Los arcos de un digrafo tambi´en se designan por (u → v). A cualquier elemento diagonal aii = 0 tambi´en le corresponde un arco (bucle) que parte y llega a vi. Cuando todos los elementos de la diagonal principal de la matriz asociada al digrafo son distintos de cero, estos arcos o bucles no se suelen representar.
122/165 Full Scrn Imprimir Al conjunto de elementos de la diagonal principal de una matriz que no son cero se le denomina transversal. En la figura se describe la estructura simb´olica de una matriz no sim´etrica 15 × 15 y su digrafo asociado. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15                                       × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×                                       12 13 14 15 7 8 9 10 11 5 6 1 2 3 4
123/165 Full Scrn Imprimir Si a una matriz A se le efect´uan una serie de permutaciones sim´etricas, su digrafo asociado permanece inalterado: s´olo se modifica la numeraci´on de sus nudos. Un arco de un grafo dirigido (u, v) ´o (u → v) se dice que sale o parte del nudo u y llega o entra a/en el nudo v. Tambi´en se dice que el arco (u → v) lleva del nudo u al nudo v. El grado de entrada o llegada de un nudo es el n´umero de nudos que a ´el llegan; el grado de salida, el n´umero de nudos que de ´el salen. Un nudo de un digrafo se dice de oferta cuando tiene un grado de entrada cero y un grado de salida positivo. Se dice de demanda, si tiene grado de entrada positivo y cero de salida. Si (u → v) es un arco de un digrafo, el nudo v se dice adyacente al u.
124/165 Full Scrn Imprimir Si W es un subconjunto del de nudos del digrafo G, el conjunto adyacente de W, Adj(W), es el conjunto de todos los nudos, no en W, adyacentes a los nudos de W. Es decir, Adj(W) = {v ∈ V − W : (u → v) ∈ E para todo u ∈ W}. Un camino dirigido o camino de un digrafo, es un conjunto ordenado de nudos {u1, u2, . . . , um+1} tal que ui+1 es adyacente a ui para i = 1, 2, . . . , m. La longitud de ese camino es m. Cuando existe un camino de un nudo u a otro v, se dice que v es accesible desde u. La matriz de accesibilidad de un digrafo, A, es una matriz Booleana definida de la siguiente manera: aij = 1 si el nudo vj es accesible desde vi; si no, aij = 0.
125/165 Full Scrn Imprimir Un ciclo de un digrafo o ciclo dirigido es un camino, con al menos dos arcos, que sale y llega al mismo nudo. Si el nudo v es accesible desde u en un digrafo, la distancia desde u a v es la longitud del camino m´as corto de u a v (la distancia desde v a u puede ser distinta o incluso indefinida por no existir camino de v a u). Un digrafo se dice conexo si lo es el grafo no dirigido que se obtiene al suprimir las direcciones en los arcos del digrafo.
126/165 Full Scrn Imprimir 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15                                       × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×                                       12 13 14 15 7 8 9 10 11 5 6 1 2 3 4 Resumiendo estos conceptos en el digrafo de la figura anterior, ´este es conexo; los nudos 6, 7 y 9 son adyacentes al nudo 8; si W = {8, 13}, Adj(W) = {6, 7, 9, 12, 14}; el nudo 5 tiene un grado de entrada de 2 y de salida de 1; el nudo 4 es accesible desde el 8; no hay nudos oferta ni nudos demanda.
127/165 Full Scrn Imprimir Dado un digrafo conexo, G = (V, E), el digrafo se dice fuertemente conexo si para cada par de nudos u, w ∈ V existe un camino de u a w y otro de w a u, es decir, u y w son mutuamente accesibles. Como un camino de u a w seguido de otro de w a u constituye un ciclo, un digrafo se dice fuertemente conexo, por consiguiente, si para cada par de nudos existe un ciclo al que pertenecen. La matriz de accesibilidad de un digrafo fuertemente conexo es totalmente llena. El digrafo de la figura no es fuertemente conexo. Un subgrafo secci´on fuertemente conexo de un grafo G se denomina componente fuertemente conexo o componente fuerte. De la definici´on de subgrafo secci´on y de la de componente fuerte se deriva que cualquier ciclo del grafo G deber´a estar compuesto en su totalidad por nudos del componente fuerte o por ninguno del
128/165 Full Scrn Imprimir componente fuerte, pues si existiese un ciclo que contuviese un nudo u del componente fuerte y otro w no en ese componente fuerte, se podr´ıa a˜nadir w al componente fuerte sin perder su car´acter, lo cual contradir´ıa la hip´otesis. Debido a estas propiedades, un grafo conexo se puede dividir en un conjunto de componentes fuertes disjuntos C1, C2, . . . , Cs. Si G es fuertemente conexo, s = 1. Un arco (v → w) se dice que sale de un componente fuerte C = (Vc, Ec), si v ∈ Vc y w /∈ Vc. El arco (v → w) entra en el componente fuerte C = (Vc, Ec), si v /∈ Vc y w ∈ Vc. Como un componente fuerte es un subgrafo secci´on, los arcos de entrada y salida no pertenecen evidentemente al componente fuerte. Cuando un grafo G es divisible en sus componentes fuertes, es f´acil ver que al menos uno de ellos debe salir de otro sin tener a su vez salida pues si cada componente la tuviese ser´ıa posible trazar un
129/165 Full Scrn Imprimir camino de un componente a otro hasta, eventualmente, llegar a uno de los ya visitados, lo que contradir´ıa la definici´on de componente fuerte. En general, en un digrafo puede haber varios componentes fuertes sin salida. Con las ideas de entradas y salidas se puede construir la denominada estructura de niveles de conexi´on de un digrafo.
130/165 Full Scrn Imprimir Los grafos y la eliminaci´on de Gauss en matrices no sim´etricas En digrafos tambi´en existe el concepto de grafo de eliminaci´on. En una etapa k de la eliminaci´on de Gauss, el digrafo de eliminaci´on (o, indistintamente, tambi´en, grafo de eliminaci´on) correspondiente, relativo a la submatriz activa, se forma eliminando del de la fase k − 1 el nudo vk, todos los arcos que a ´el llegan o de ´el parten, y a˜nadiendo un arco (u → w) cuando existe un camino dirigido {u, v, w}. Por ejemplo, en el digrafo de la figura anterior, en la primera etapa, el grafo de eliminaci´on se obtiene quitando del original el nudo 1 y a˜nadiendo el arco (5 → 2), seg´un se representa en la figura.
131/165 Full Scrn Imprimir 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15                                       × × × × × × × × × ⊗ × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×                                       12 13 14 15 7 8 9 10 11 5 6 1 2 3 4 Al final del proceso, la matriz simb´olica que indica qu´e elementos ser´an distintos de cero una vez completada la factorizaci´on tendr´a la forma que se describe en la figura.
132/165 Full Scrn Imprimir 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15                         × × × × × × × × × × ⊗ ⊗ ⊗ × ⊗ ⊗ × × ⊗ ⊗ × × ⊗ ⊗ × × × × × × × × × × × × × ⊗ ⊗ ⊗ × × ⊗ ⊗ × ⊗ ⊗ ⊗ × × × ⊗ × ⊗ ⊗ × ⊗ × ×                        
133/165 Full Scrn Imprimir Obtenci´on de un transversal completo. Algoritmo de Hall Para conseguir en Ax = b una estructura de la matriz de coeficientes triangular en bloques, la primera tarea consiste en reordenar la matriz de tal forma que, si no lo tiene ya, se consiga un transversal completo; es decir, que todos los elementos de la diagonal principal de la matriz de coeficientes reordenada sean distintos de cero. Si la matriz es regular siempre es posible conseguir un transversal completo; si es singular, no siempre. Si no se puede dar ese transversal completo, la matriz se dice simb´olicamente singular. Si el m´aximo transversal conseguible es k n, a k se le denomina rango simb´olico.
134/165 Full Scrn Imprimir El algoritmo que describimos a continuaci´on para conseguir un transversal completo es una modificaci´on del de Hall [1956]. Requiere n etapas; el objetivo de cada una, k, es colocar un elemento distinto de cero en la posici´on k de la diagonal principal. Funciona de la siguiente manera. Supongamos que se han realizado k etapas del algoritmo y que los k primeros elementos de la diagonal principal son distintos de cero. En la etapa k + 1 podr´a ocurrir: a) Que ak+1 k+1 = 0 con lo que se finaliza la etapa k + 1. b) Que ak+1 k+1 = 0 pero que exista en la submatriz activa, es decir la submatriz de ´ındices de filas y columnas k + 1 a n, un elemento distinto de cero. En este caso, realizando los intercambios de filas y columnas necesarios, se puede llevar ese elemento distinto de cero a la
135/165 Full Scrn Imprimir posici´on (k + 1, k + 1). La submatriz que forman los elementos de sub´ındices 1 a k no se ver´a afectada por estos intercambios por lo que los k primeros elementos de la diagonal principal seguir´an siendo distintos de cero. c) Que s´olo existan elementos cero en la submatriz activa. En este caso tambi´en puede ser posible conseguir colocar un elemento distinto de cero en la posici´on k + 1 de la diagonal principal. Para ello se recurre al trazado de un denominado camino creciente a trav´es de los elementos de la matriz. Si no se puede concluir con ´exito, la matriz ser´a singular y no se podr´a conseguir un transversal completo. El camino creciente comienza (si suponemos que estamos en la etapa k + 1) en la posici´on (k + 1, k + 1) de la matriz A; contin´ua por la fila k + 1 hasta que se encuentra con un elemento distinto de cero en una columna, por ejemplo, la (tal columna debe existir pues de lo contrario todos los elementos de la fila k + 1 ser´an cero y la matriz,
136/165 Full Scrn Imprimir por tanto, singular); de aqu´ı al elemento ( , ) a lo largo de la columna ; a continuaci´on, por la fila hasta encontrar un elemento distinto de cero, por ejemplo en la columna m, etc. El camino va por tanto alternativamente de un elemento diagonal a otro distinto de cero no en la diagonal. Este camino no puede atravesar una misma fila y columna m´as de una vez y, en consecuencia, tampoco un mismo elemento de la diagonal principal. Terminar´a en un elemento distinto de cero en la submatriz que definen las filas de ´ındices 1 a k y las columnas de ´ındices k + 1 a n. Si en el trazado del camino a lo largo de una fila no es posible encontrar un elemento distinto de cero no diagonal en una columna no visitada previamente, se borra la fila del camino (no de la lista de posiciones visitadas) y se vuelve a la fila anterior.
137/165 Full Scrn Imprimir Si en un momento dado, habi´endose visitado r posiciones entre las filas/columnas 1 a k, el camino no puede visitar ning´un nuevo elemento no visitado previamente, la matriz A es singular. En este caso r + 1 filas (las visitadas y la fila k + 1) s´olo tienen elementos distintos de cero en r columnas. Una vez trazado el camino, por ejemplo k + 1, 1, 2, . . . , r, donde r k, se intercambian r + 1 filas y dos columnas a fin de llevar el ´ultimo elemento distinto de cero encontrado en el camino a la posici´on (k + 1, k + 1) de la matriz A. Estos intercambios de filas se hacen de la siguiente manera: la fila k + 1 se intercambia con la 1 la fila 1 se intercambia con la 2 ... ... la fila r−1 se intercambia con la k + 1.
138/165 Full Scrn Imprimir Como las filas se seleccionan de tal manera que la fila 1 tiene un elemento distinto de cero en la posici´on i+1, mediante estos intercambios ese elemento distinto de cero se trasladar´a a la posici´on diagonal ( i+1, i+1) cuando la fila i reemplace a la fila i+1. En consecuencia, la estructura de elementos distintos de cero en la diagonal principal en las posiciones 1 a k no se ver´a afectada por esos intercambios de filas. Adem´as, el ´ultimo elemento distinto de cero encontrado en el camino, una vez efectuados los intercambios, acabar´a en la posici´on (k + 1, r); un ´ultimo intercambio de las columnas k + 1 y r lo llevar´a a la posici´on deseada, (k + 1, k + 1). Obviamente, si r = k + 1, este ´ultimo intercambio de columnas no ser´a necesario. Para aclarar el procedimiento, consideremos una matriz 12 × 12 y el procedimiento descrito es su etapa 9.
139/165 Full Scrn Imprimir 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 × ×× × × ×× × × × ×× ×× × Esta etapa 9 comienza en la posici´on (9, 9). La submatriz que forman los elementos de ´ındices de filas y columnas 9 a 12 son todos cero por lo que se trata de trazar un camino creciente. ´Este comienza en la posici´on (9, 9), sigue por la fila 9 hasta encontrar el elemento distinto de cero de la columna 5; contin´ua por la columna
140/165 Full Scrn Imprimir 5 hasta encontrar el correspondiente elemento distinto de cero de la diagonal principal; sigue por la fila 5 hasta encontrar el elemento distinto de cero de la columna 2; contin´ua por la columna 2 hasta encontrar el elemento distinto de cero de la diagonal principal en la fila 2; sigue por la fila 2 hasta encontrar el elemento distinto de cero de la columna 4; contin´ua por la columna 4 hasta alcanzar el elemento distinto de cero de la diagonal principal en la fila 4; sigue por la fila 4 hasta encontrar el elemento distinto de cero de la columna 7; contin´ua por la columna 7 hasta alcanzar el elemento distinto de cero de la diagonal principal en la fila 7; sigue por la fila 7 encontr´andose que el ´unico elemento distinto de cero de esta fila est´a en la columna 5 que ya se ha visitado. Esto obliga a borrar las filas 7 y 4 del camino (no de la lista de posiciones ya visitadas) y remprender la marcha all´ı donde se abandon´o en la fila 2. Por la fila 2 se llega hasta la columna 6 donde est´a el siguiente elemento distinto de cero; contin´ua en la columna 6 hasta la diagonal principal en la fila 6; sigue por esa fila 6 hasta llegar al elemento
141/165 Full Scrn Imprimir distinto de cero de la columna 1; contin´ua por la columna 1 hasta alcanzar el elemento distinto de cero de la diagonal principal en la fila 1; sigue por la fila 1, par´andose al llegar al primer elemento distinto de cero que encuentra en la columna 12 por estar en la submatriz que nos interesa. El camino es pues {9, 5, 2, 6, 1, 12}. Una vez encontrado el camino, se efect´uan los siguientes intercambios de filas: la fila 9 con la 5; la fila 5 con la 2; la fila 2 con la 6; la fila 6 con la 1; la fila 1 con la 12 y la fila 12 con la 9.
142/165 Full Scrn Imprimir Estos intercambios trasladan el elemento distinto de cero (1, 12) a la posici´on (9, 12). Por ´ultimo se intercambian las columnas 9 y 12. Si el elemento (6, 1) fuese cero, hubi´esemos encontrado que las filas 9, 5, 2, 4, 7 y 6 tienen elementos distintos de cero s´olo en las columnas 5, 2, 4, 7 y 6, lo que significar´ıa que la matriz es singular.
143/165 Full Scrn Imprimir Permutaciones sim´etricas hacia una estructura triangular en bloques Una vez obtenida una permutaci´on P1 de la matriz A de manera que P1A tenga un transversal completo, la siguiente fase de un proceso de triangularizaci´on en bloques de esa matriz consiste en encontrar otra permutaci´on, esta vez sim´etrica, Q, de tal manera que al aplicarla a P1A se consiga la deseada estructura triangular en bloques, es decir, QT (P1A)Q =     B11 B21 B22 ... ... Bn1 Bn2 · · · Bnn     , donde cada bloque diagonal, Bii, no se pueda reducir a una forma triangular inferior. Recordemos una vez m´as que al aplicar permutaciones sim´etricas a un digrafo lo ´unico que var´ıa es la numeraci´on asociada a los nudos.
144/165 Full Scrn Imprimir Los algoritmos m´as eficaces para conseguir este prop´osito se basan en encontrar en el digrafo asociado a una matriz los ciclos que definen sus componentes fuertes. Si existiesen dos de estos componentes fuertes y se reordenase la numeraci´on de los nudos de tal forma que los del primero fuesen los nudos 1 al k y los del segundo del k + 1 al n, se obtendr´ıa una matriz triangular inferior en dos bloques, el primero con k columnas y el segundo con n − k. 1 2 3 4 5 En el grafo dirigido de la figura existen dos componentes fuertes, el formado por los nudos 1 y 2 y el que definen 3, 4 y 5.
145/165 Full Scrn Imprimir La estructura simb´olica de su matriz asociada es × × × × × × × × × × × . Estructura triangular inferior en 2 bloques. Una matriz triangular inferior se puede ver como el caso l´ımite de la triangular inferior en bloques cuando cada bloque diagonal tiene un tama˜no 1 × 1. Rec´ıprocamente, la triangular inferior en bloques se puede ver como una generalizaci´on de la triangular inferior en la que cada componente fuerte hace las veces de un supernudo o nudo generalizado. Los algoritmos para reducir una matriz A cualquiera a una estructura triangular inferior se basan en la siguiente observaci´on:
146/165 Full Scrn Imprimir Si se pudiese reordenar A y transformarla en triangular inferior, deber´ıa haber un nudo en su digrafo asociado del cual no partiese ning´un camino, pues a ese nudo s´olo llegar´ıan arcos en virtud de la estructura de la matriz. Si existiese un tal nudo deber´ıa numerarse el primero en el digrafo renumerado y efectuarse las correspondientes permutaciones de fila y columna en la matriz a fin de llevarlo a la primera posici´on. Una vez hecho esto, eliminando ese nudo y todos los arcos que a ´el llegasen se conseguir´ıa un subgrafo en el cual, en virtud de nuevo de la estructura de la matriz, existir´ıa otro nudo al cual s´olo llegar´ıan arcos. Continuando con esta forma de actuaci´on se llegar´ıa a conseguir una permutaci´on sim´etrica que dar´ıa como resultado una matriz triangular inferior. Para llevar esta forma de proceder a la pr´actica, se puede comenzar
147/165 Full Scrn Imprimir desde cualquier nudo del digrafo asociado correspondiente y trazar un camino hasta que se encuentre un nudo desde el que no parta ning´un otro. Esto es f´acil de implementar pues, dado que sabemos que la matriz es triangularizable, no existen ciclos: cualquier camino s´olo puede tener una longitud como m´aximo igual a n − 1, donde n es el orden de la matriz. Una vez encontrado ese nudo, se numera con el n´umero 1 y se elimina del digrafo inicial as´ı como todos los arcos que a ´el llegan. Del camino trazado se coge el nudo inmediatamente anterior al ya eliminado, u otro cualquiera, hasta encontrar uno del que como antes no parta ning´un arco. Repitiendo esta forma de proceder hasta agotar los nudos se consegu´ıa la estructura triangular inferior esperada.
148/165 Full Scrn Imprimir El digrafo de la figura y la tabla ilustran este proceso. 1 2 4 6 3 5 7 Paso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Camino Trazado 5 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 7 1 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 Los nudos que se van seleccionando para ser numerados se indican en negrita de izquierda a derecha. El digrafo renumerado resultar´a de atribuir, al nudo 3 el n´umero 1, al 5 el 2, al 4 el 3, al 2 el 4, al 1 el 5, al 7 el 6 y al 6 el 7.
149/165 Full Scrn Imprimir Obs´ervese c´omo en el paso 5 no existe camino alguno desde el nudo 5 puesto que el nudo 3 ya hab´ıa sido eliminado. En el paso 9 hay que trazar un nuevo camino pues el anterior se hab´ıa agotado de nudos. Las matrices original y reordenada de este ejemplo son: 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7          × × × × × × × × × × × × × × × ×          y 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7          × × × × × × × × × × × × × × × ×          . Los dos algoritmos m´as eficaces hasta la fecha para implementar lo descrito son el de Sargent y Westerberg y el de Tarjan.
150/165 Full Scrn Imprimir Algoritmo de Sargent y Westerberg Sargent y Westerberg generalizaron la idea expuesta en el apartado anterior para los casos donde en vez de tener s´olo nudos se tienen nudos y bloques de nudos. Para ello parten de una generalizaci´on del concepto de nudo, que denominan nudo compuesto, que definen como aquel que determina un conjunto de nudos tal que a trav´es de ellos se puede definir un ciclo. Algoritmo de Tarjan El algoritmo de Tarjan [1972] se basa en la misma idea que el de Sargent y Westerberg: trazar caminos en el digrafo asociado a la matriz e identificar los componentes fuertes. La ventaja fundamental de ´este frente al de Sargent y Westerberg, radica en que evita la gran cantidad de renumeraciones que puede llegar a ser necesario hacer en aquel.
151/165 Full Scrn Imprimir Caso m´as general Pivotaci´on en matrices dispersas y eliminaci´on de Gauss Si el sistema de ecuaciones lineales que se quiere resolver no presenta ninguna estructura en la matriz de coeficientes digna de ser tenida en cuenta desde el punto de vista de su dispersidad, y ni siquiera interesa triangularizarla por bloques, la forma m´as general de abordar su resoluci´on consiste en utilizar directamente la eliminaci´on de Gauss; eso si, teniendo en cuenta que esa matriz es dispersa y que por tanto conviene proceder con cierta cautela para beneficiarse en lo posible de esta circunstancia. La estrategia forma m´as universalmente aceptada de llevar esto a cabo consiste en hacerlo siguiendo el criterio de Markowitz [1957]. La idea de este autor consiste en factorizar la matriz mediante eliminaci´on de Gauss con pivotaci´on, escogiendo como elemento
152/165 Full Scrn Imprimir pivote en una etapa k aquel ak ij de A que sea num´ericamente aceptable y que minimice el producto (rk i − 1)(ck j − 1), donde rk i es el n´umero de elementos distintos de cero en la fila i de la submatriz activa, Ak , y ck j el n´umero de elementos distintos de cero en la columna j de esa submatriz activa. Obs´ervese que es m´as conveniente usar (rk i − 1)(ck j − 1) que rk i ck j pues de esta manera se fuerza a que se elija un coeficiente ak ij tal que en su fila o columna s´olo exista ´el como elemento distinto de cero. El criterio num´erico de aceptabilidad requiere que |ak ij| ≥ u m´ax l≥k |ak il| o que |ak ij| ≥ u m´ax l≥k |ak lj|, donde u es un par´ametro, 0 u ≤ 1, que se fija previamente.
153/165 Full Scrn Imprimir Supongamos que estamos en la etapa k del proceso y que, como siempre en estos casos, la submatriz activa, Ak , es la que determinan las columnas k a n y las filas k a n de A. En la figura se ilustra la situaci´on para el caso en que n = 7 y k = 3. L U 1 1 1 × × × × × × × × × × × × × × × × c rT Para facilitar la notaci´on, sin p´erdida de generalidad, suponemos que los elementos de la diagonal principal se van haciendo 1. Los vectores r y c son de orden n − k. Si consideramos la matriz cuadrada de rango 1 y orden n − k, crT , la
154/165 Full Scrn Imprimir etapa k de la eliminaci´on de Gauss consiste en restar la matriz crT de la que determinan las filas y columnas k + 1 a n de A. El vector c se convierte en la subcolumna k de L y [1, rT ] en la subfila k de U. El criterio de Markowitz consiste en elegir un ak ij y llevarlo a la posici´on (k, k), por medio de los intercambios de filas y columnas oportunos, de tal forma que el producto del n´umero de elementos del vector c menos 1, ck j − 1, por el del vector r menos 1, rk i − 1, sea m´ınimo. El objetivo que persigue el criterio es encontrar aquel elemento pivote que modifique el menor n´umero posible de coeficientes en la submatriz que resta por factorizar. En el peor de los casos el n´umero de rellenos ser´a (rk i − 1)(ck j − 1).
155/165 Full Scrn Imprimir Problemas de m´ınimos cuadrados de grandes dimensiones Con este nombre se designan aquellos problemas de m´ınimos cuadrados lineales, minimizar x∈ n Ax − b 2, (2) en los que la matriz A es de grandes dimensiones y dispersa. El m´etodo de las ecuaciones normales Como se recordar´a, si S = {x ∈ n : Ax − b 2 = m´ın.}, x ∈ S ⇔ AT (Ax − b) = 0. El segundo miembro de esta ´ultima expresi´on define las ecuaciones normales.
156/165 Full Scrn Imprimir Las ecuaciones normales no son sino un sistema lineal de ecuaciones en el que si A es de rango completo, cosa que supondremos en lo que sigue, la matriz AT A es sim´etrica y definida positiva. Cuando A es dispersa al formar la matriz AT A se pueden crear elementos de relleno. Si ai designa el vector fila i-´esimo de la matriz A ∈ m×n , entonces, AT A = m i=1 aiaT i . (3) Esto expresa la matriz AT A como suma de m matrices de rango 1. Si suponemos que en (3) no se producen errores num´ericos de cancelaci´on, esto es, al sumar o restar dos cantidades distintas de cero el resultado es distinto de cero, la estructura de dispersidad de AT A es la suma de las estructuras de aiaT i , i = 1, 2, . . . , m.
157/165 Full Scrn Imprimir Teorema 3 Sup´ongase que no se producen errores num´ericos de cancela- ci´on en el c´alculo de AT A. Entonces, AT A jk = 0 ⇔ aij = 0 y aik = 0 para al menos una fila i = 1, 2, . . . , m. Este teorema permite determinar muy f´acilmente la posici´on de los elementos distintos de cero de AT A, a partir de los de A, sin necesidad de calcularlos num´ericamente. Si el supuesto de no cancelaci´on num´erica no fuese cierto, el n´umero de elementos que se estimase para AT A podr´ıa ser mucho mayor que el real. Por ejemplo, si A es ortogonal, AT A = I, por lo que AT A es dispersa aun cuando A fuese muy densa o totalmente llena. Del teorema anterior se desprende que si A tiene una sola fila
158/165 Full Scrn Imprimir completamente ocupada, aunque el resto de las filas fuesen dispersas, AT A ser´a totalmente densa. Por ejemplo, si A =      × × × × × × × × ×      , (4) AT A ser´a totalmente densa. Partiendo de estas consideraciones, un algoritmo especializado que utilizase las ecuaciones normales para resolver el problema de m´ınimos cuadrados dispersos ser´ıa el de la tabla. El algoritmo a utilizar para determinar la permutaci´on Q que requiere el paso 2 puede ser el de grado m´ınimo.
159/165 Full Scrn Imprimir Paso 1 – Determinar la estructura simb´olica de AT A. Paso 2 – Determinar una permutaci´on de columnas Q tal que QT AT AQ tenga una estructura dispersa ventajosa en relaci´on con el tipo de sistema a resolver: es decir, que su factor de Cholesky, G, sea disperso. Paso 2’ – Factorizar simb´olicamente por Cholesky la matriz QT AT AQ y generar las estructuras de datos y memo- ria necesarias para G. Paso 3 – Calcular num´ericamente B = QT AT AQ y c = QT AT b; almacenar B en la estructura de datos correspondien- te a G. Paso 4 – Calcular num´ericamente la factorizaci´on de Cholesky, GT G, de B. Resolver GT z = c, Gy = z y, por fin, x = Qy. Algoritmo para m´ınimos cuadrados con matriz dispersa
160/165 Full Scrn Imprimir M´etodos basados en transformaciones ortogonales. M´etodo de George-Heath Las transformaciones ortogonales utilizan una matriz ortogonal Q ∈ m×m para reducir A ∈ m×n (que supondremos de rango n) y b ∈ m de la forma QA = R1 0 y Qb = c d , donde R1 ∈ n×n es una matriz triangular superior y c ∈ n . La soluci´on del problema de m´ınimos cuadrados se obtiene resolviendo el sistema R1x = c; la suma de residuos al cuadrado es d 2 2. El algoritmo que proponen George y Heath [1980], al que denominan ortogonalizaci´on secuencial de filas, procesa las filas de A secuencialmente.
161/165 Full Scrn Imprimir Si Ri−1 designa la matriz triangular superior que se obtiene despu´es de procesar las filas aT 1 , . . . , aT i−1, al procesar la fila aT i = [ai1, ai2, . . . , ain] se buscan de izquierda a derecha los elementos distintos de cero; para cada aij = 0, se define una rotaci´on o transformaci´on de Givens simb´olica que involucre a la fila j de Ri−1 y anule aij. Procediendo as´ı se pueden crear nuevos elementos distintos de cero tanto en Ri−1 como en la fila aT i . El proceso contin´ua hasta conseguir Ri. Si en el transcurso del tratamiento de la fila i, al llegar al elemento j, ´este, rjj, querr´a decir que la fila j en Ri−1 todav´ıa no se ha visto afectada por ninguna rotaci´on y la totalidad de la fila j debe ser cero. Cuando esto ocurre se intercambian la fila j con la i. En la figura se ilustra este proceso al actuar sobre los elementos de la fila 9 de una matriz 9 × 8.
162/165 Full Scrn Imprimir × 0 × 0 0 × 0 0 ⊗ 0 ⊕ ⊗ 0 0 ⊕ × 0 × 0 0 × ⊗ ⊗ 0 0 ⊕ ⊗ ⊗ 0 ⊕ ⊕ 0 ⊕ × 0 × 0 × 0 × ⊕ ⊕ 0 × Los s´ımbolos ⊗ designan los elementos de R8 involucrados en la eliminaci´on de aT 9 ; ⊕ los que se crean en esa eliminaci´on. Obs´ervese que los tres ´ultimos elementos de esta fila 9, una vez anulados del 1 al 5, se intercambiar´ıan con la fila 6. Una vez efectuada la factorizaci´on simb´olica y determinada por tanto la estructura de elementos distintos de cero de R1, se procede con la factorizaci´on num´erica.
163/165 Full Scrn Imprimir Ordenaci´on de filas A pesar de que la matriz R1 que se obtiene es independiente del orden en que se tratan las filas de A, lo cierto es que el n´umero de elementos de relleno en los pasos intermedios, y por tanto el n´umero global de operaciones que necesita el algoritmo de George y Heath, depende mucho de ese orden. Por ejemplo, las matrices A =              × × × × × × ... × × × × × ×                 m    n y PA =              × × ... × × × × × × × × × ×                 m    n requieren, respectivamente, O(mn2 ) y O(n2 ) operaciones para
164/165 Full Scrn Imprimir reducirlas. Una regla que se puede aplicar para reordenar las filas es la siguiente: Si el ´ındice de columna del ´ultimo elemento distinto de cero de la fila aT i es i y el primero fi, ordenar primero las filas de tal forma que los ´ındices fi, i = 1, 2, . . ., cumplan que fi ≤ fk si i k y luego, para cada grupo de filas tales que fi = k, k = 1, . . . , m´axi fi, ordenar las filas seg´un i crecientes. Si se aplica la regla anterior a la matriz A representada m´as arriba, se obtendr´ıa la reordenaci´on que se esquematizaba como PA. El algoritmo completo de George y Heath se describe en la tabla.
165/165 Full Scrn Imprimir Paso 1 – Determinar la estructura simb´olica de AT A. Paso 2 – Determinar una permutaci´on de columnas Q tal que QT AT AQ tenga una estructura dispersa ventajosa en relaci´on con el tipo de sistema a resolver: que su factor de Cholesky, G, sea disperso. Paso 2’ – Factorizar simb´olicamente por Cholesky, GT G, la ma- triz QT AT AQ y generar las estructuras de datos y me- moria necesarias para G. Paso 3 – Determinar una permutaci´on de filas P tal que las filas de PAQ tengan unos i crecientes. Paso 4 – Calcular num´ericamente R1 y c procesando las filas de [PAQ, Pb] mediante transformaciones de Givens. Paso 5 – Resolver Ry = c. Hacer x = Qy. Algoritmo de ortogonalizaci´on dispersa de George y Heath

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Clase dispersa

  • 1. 1/165 Full Scrn Imprimir M´etodos Matem´aticos de Especialidad Ingenier´ıa El´ectrica Sistemas lineales de grandes dimensiones: Matrices dispersas Jos´e Luis de la Fuente O’Connor jl.delafuente@iberdrola.es jldelafuente@etsii.upm.es Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Polit´ecnica de Madrid
  • 2. 2/165 Full Scrn Imprimir ´Indice 1. Introducci´on 2. Almacenamiento en ordenador de matrices dispersas 3. Operaciones algebraicas elementales con matrices dispersas 4. Soluci´on de grandes sistemas lineales de matriz dispersa 5. Matrices dispersas sim´etricas y eliminaci´on de Gauss • Nociones b´asicas sobre grafos • Interpretaci´on mediante grafos de la eliminaci´on de Gauss • El algoritmo de grado m´ınimo • EL algoritmo de Cuthill-McKee • M´etodo de la disecci´on recurrente 6. Matrices dispersas no sim´etricas y eliminaci´on de Gauss • Grafos y la eliminaci´on de Gauss en matrices no sim´etricas • El algoritmo de Hall
  • 3. 3/165 Full Scrn Imprimir Introducci´on La utilizaci´on masiva de los ordenadores y el aumento constante de su potencia y capacidad de c´alculo, han permitido que la ciencia, t´ecnica e ingenier´ıa utilicen cada vez m´as modelos matem´aticos para interpretar, simular y optimizar fen´omenos de diversa complejidad, y que esos modelos crezcan extraordinariamente en magnitud y exactitud. Muchos de estos modelos conllevan enfrentarse con sistemas de un tama˜no tal –decenas o cientos de miles de variables– que hace s´olo unos pocos a˜nos era casi inimaginable que se pudiesen tratar. Campos de la ciencia y de la tecnolog´ıa donde surgen sistemas de grandes dimensiones son: • Optimizaci´on lineal y no lineal. • An´alisis de sistemas el´ectricos de generaci´on y transporte de energ´ıa.
  • 4. 4/165 Full Scrn Imprimir • Estudios geod´esicos. • Predicciones financieras. • Fotometr´ıa. • An´alisis estructural de mol´eculas. • An´alisis de campos gravitatorios. • Tomograf´ıa. • Prospecciones petrol´ıferas. • C´alculo y an´alisis de estructuras mec´anicas. • Ajuste de superficies, etc. Las matrices dispersas son aquellas matrices de gran tama˜no en las que muchos de los elementos que las configuran son cero. Aunque el t´ermino muchos confiere ambig¨uedad a la definici´on, cabe aceptar que una matriz n × n es dispersa si el n´umero de elementos no nulos es nγ+1 , donde γ < 1.
  • 5. 5/165 Full Scrn Imprimir Valores t´ıpicos de este par´ametro suelen ser: 0,2 para problemas de an´alisis de sistemas el´ectricos de generaci´on y transporte de energ´ıa; 0,5 para matrices en banda asociadas a problemas de an´alisis de estructuras, etc. Si aplicamos el m´as estricto sentido com´un a la cuesti´on, una matriz se debe considerar en general dispersa, sea cual sea su n´umero de elementos distintos de cero, si merece la pena manipularla mediante procedimientos ad hoc dise˜nados con ese prop´osito.
  • 14. 14/165 Full Scrn Imprimir Muchas m´as en www.cise.ufl.edu/research/sparse/matrices
  • 15. 15/165 Full Scrn Imprimir El estudio de los sistemas con matrices dispersas lo dividiremos en tres grandes ´areas: • Almacenamiento de las matrices dispersas en un ordenador. • Ordenaci´on de las ecuaciones e inc´ognitas del sistema a resolver con el fin de reducir el n´umero de elementos no nulos que se crean al factorizar la matriz. • Adaptaci´on e implementaci´on eficaz de los m´etodos num´ericos conocidos con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes dispersa.
  • 16. 16/165 Full Scrn Imprimir Almacenamiento en ordenador de matrices dispersas La efectividad del trabajo con matrices dispersas se mide no s´olo en t´erminos de la de los algoritmos que las manipulan sino tambi´en por la forma en que el ordenador se integra dentro del proceso que generan esos algoritmos. Cuanto m´as eficaz es el esquema seg´un el cual se almacenan las matrices dispersas en un ordenador y cuanto m´as ´agilmente se pueda recuperar la informaci´on relativa a las mismas, mejores ser´an las prestaciones de los algoritmos que las manipulan. Los esquemas de almacenamiento que se presentan a continuaci´on no son los ´unicos, aunque s´ı los m´as usados.
  • 17. 17/165 Full Scrn Imprimir Almacenamiento por coordenadas La forma m´as intuitiva de almacenar en un ordenador los elementos no nulos de una matriz dispersa es haci´endolo mediante un conjunto ordenado o desordenado de triples (aij, i, j), donde aij = 0. Por ejemplo, si se quiere almacenar la matriz A =      1 0 0 −1 0 2 0 −2 0 3 0 −3 0 0 0 0 4 0 −4 0 5 0 −5 0 6      seg´un este esquema, en FORTRAN se podr´ıa hacer mediante la definici´on de tres vectores, ifi, ico y val: los dos primeros basta que sean integer; val debe ser real. En la siguiente tabla se pueden ver los valores de estos tres vectores para definir por filas, completa y ordenadamente, la matriz A.
  • 18. 18/165 Full Scrn Imprimir Elementos Vector 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ifi 1 1 2 2 2 3 4 4 5 5 5 ico 1 4 1 3 5 2 2 4 1 3 5 val 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 Aunque en su variante desordenada todav´ıa se usa en alguno de los paquetes de software para manejo de matrices dispersas, esta forma de almacenamiento presenta un inconveniente muy importante: la dificultad de recuperar f´acilmente un vector columna o fila de la matriz. En su variante ordenada, el conjunto de instrucciones en FORTRAN para recuperar en vec(·) el vector fila i podr´ıa ser el que sigue.
  • 19. 19/165 Full Scrn Imprimir vec = 0 do ii=1,nelem if (ifi(ii).eq.i) then ia = ii do while (ifi(ia).eq.i) vec(ico(ia)) = val(ia) ia = ia+1 end do exit endif end do El ´ındice ii que define el bucle principal de este programa podr´ıa tambi´en variar de n a 1, o en el rango que se considerase oportuno, buscando optimizar el tiempo de b´usqueda del comienzo de la fila i. Una dificultad a˜nadida surge cuando se quiere hacer distinto de cero un valor que originalmente es cero.
  • 20. 20/165 Full Scrn Imprimir Almacenamiento por filas o columnas Este esquema es el m´as universalmente usado para matrices sin ninguna estructura particular. Si nos referimos a la variante de almacenamiento por filas, consiste en definir tres vectores: • El primero, por ejemplo val, debe contener todos los elementos distintos de cero de la matriz, agrupados por filas; • El segundo, ico por ejemplo, de la misma dimensi´on de val, los sub´ındices columna de los elementos de val; • el tercero, un vector de punteros, ia por ejemplo, de dimensi´on n + 1, las posiciones en val y ico del primer elemento no nulo de las filas que se corresponden con el orden de los elementos de ia. Si la matriz A ya definida, sus elementos seg´un este nuevo esquema se almacenar´ıan como indica la tabla siguiente.
  • 21. 21/165 Full Scrn Imprimir Elementos Vector 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ia 1 3 6 7 9 12 ico 1 4 1 3 5 2 2 4 1 3 5 val 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 Obs´ervese que la dimensi´on de ia debe ser n + 1, pues es necesario definir el n´umero de elementos no nulos de la ´ultima fila n. Los valores de los elementos de cada fila da igual guardarlos en orden o en desorden. En general, la informaci´on relativa a la fila r de una matriz A estar´a en las posiciones ia(r) a ia(r + 1)-1 de ico y val, excepto cuando ia(r + 1)=ia(r), en cuyo caso la fila r estar´ıa vac´ıa. La parte de un programa en FORTRAN que recuperase en vec(·) la fila i de una matriz dispersa definida por los vectores ia, ico y val podr´ıa ser como la que sigue.
  • 22. 22/165 Full Scrn Imprimir vec = 0 in = ia(i) if = ia(i+1)-1 do ii=in,if vec(ico(ii)) = val(ii) end do Un programa para recuperar la columna k ser´ıa un poco m´as complicado. vec = 0 do j=1,m do ii=ia(j),ia(j+1)-1 if (ico(ii).gt.k) exit if (ico(ii).lt.k) cycle vec(j) = val(ii) exit end do end do Por lo que respecta al almacenamiento de un nuevo elemento no nulo que se cree a lo largo de un proceso de manipulaci´on de una matriz dispersa, las dificultades son grandes: habr´ıa que redefinir gran parte de la estructura.
  • 23. 23/165 Full Scrn Imprimir Almacenamiento por perfil o envolvente Uno de los tipos de matrices dispersas m´as habituales lo constituye el denominado matrices en banda. Son matrices cuyos elementos est´an contenidos en una estrecha banda, normalmente alrededor de la diagonal principal de la matriz. Definici´on 1 Una matriz A ∈ Rm×n se dice tiene un ancho de banda de filas w si w = m´ax 1≤i≤m wi, wi = (li − fi + 1), donde wi es el ancho de banda de la fila i, fi = m´ın.{j : aij = 0} y li = m´ax{j : aij = 0}. Para que sea de inter´es tener en cuenta que una matriz dispersa dispone de esta estructura, se ha de cumplir que w n.
  • 24. 24/165 Full Scrn Imprimir Matrices de estas caracter´ısticas surgen muy frecuentemente en modelos que plasman situaciones f´ısicas donde s´olo se influyen las variables que representan magnitudes cercanas en el espacio, en el tiempo, etc. De cada fila i se almacenan todos los elementos de sub´ındice ij tales que fi ≤ j ≤ li. Definici´on 2 El conjunto de elementos que forman la envolvente de una matriz A, Env(A), es Env(A) = {(i, j) : fi ≤ j ≤ li, 1 ≤ i ≤ n}.
  • 25. 25/165 Full Scrn Imprimir La envolvente de la matriz 1 2 3 4 5 6 7 A = 1 2 3 4 5 6 7          × × × × × × 0 × × 0 × × × 0 × × × × × × × 0 0 × × ×          es la que forman los elementos inscritos en el pol´ıgono, es decir, Env(A) = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (5, 7), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (6, 7), (7, 7)}. El esquema de almacenamiento por perfil guarda todos los elementos de la envolvente mediante tres vectores: • El primero, val, contiene todos los elementos de la envolvente;
  • 26. 26/165 Full Scrn Imprimir • El segundo, ifa, los ´ındices fi de cada fila i; • El tercero, un vector de punteros, ia, de dimensi´on m + 1 si A ∈ Rm×n , las posiciones en val del primer elemento no nulo de las filas que se corresponden con el orden de los elementos de ia. Por ejemplo, si se quiere almacenar seg´un su perfil o envolvente la matriz A =        1 0 −2 0 0 2 3 0 0 0 0 0 6 0 0 0 −4 0 4 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 6        , los vectores que habr´ıa que definir son los de la siguiente tabla.
  • 27. 27/165 Full Scrn Imprimir Elementos Vector 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ia 1 4 6 7 10 12 ifa 1 1 3 2 4 5 val 1 0 -2 2 3 6 -4 0 4 3 1 6 Con respecto al esquema por filas o columnas, se ha reducido el n´umero de posiciones de memoria necesarias, pues la dimensi´on del vector ifa debe ser sensiblemente inferior a la de ico de aqu´el. La parte de un programa en FORTRAN que recuperase una fila de la matriz A almacenada seg´un este esquema podr´ıa ser como la que sigue. vec = 0 in = ia(i) if = ia(i+1)-1 j = 0 do ii=in,if vec(ifa(i)+j) = val(ii) j = j+1 end do
  • 28. 28/165 Full Scrn Imprimir Si la matriz dispersa que hay que guardar con el esquema envolvente es sim´etrica, s´olo ser´a necesario guardar la parte triangular inferior o superior (incluida la diagonal principal). Definici´on 3 El ancho de banda (o de semibanda) de una matriz sim´etrica B ∈ Rn×n , β, se define como β = m´ax 1≤i≤n βi, βi = i − fi, donde βi es el ancho de banda de la fila i (o, simplemente, el ancho de banda i-´esimo) de B. De forma similar a como lo hac´ıamos anteriormente, la envolvente de una matriz sim´etrica B, Env(B), se define como Env(B) = {(i, j) : fi ≤ j ≤ i, 1 ≤ i ≤ n}. Para almacenar en un ordenador una matriz sim´etrica seg´un el esquema de perfil o envolvente no ser´ıa necesario el vector ifa.
  • 29. 29/165 Full Scrn Imprimir Por ejemplo, la matriz B =      10 2 3 0 0 2 4 0 3 0 3 0 6 0 0 0 3 0 1 8 0 0 0 8 3      se podr´ıa almacenar mediante los vectores de la tabla que sigue. Elementos Vector 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ib 1 4 7 8 10 val 10 2 3 4 0 3 6 1 8 3 Obs´ervese que en este caso la dimensi´on del vector ib es n. Si los anchos de banda, βi, de las filas de una matriz sim´etrica son iguales, el vector ib, incluso, no ser´ıa necesario: s´olo val y el n´umero βi.
  • 30. 30/165 Full Scrn Imprimir Operaciones algebraicas elementales con matrices dispersas Para introducir un poco la cuesti´on, nos interesaremos s´olo por alguna de las operaciones que m´as habitualmente realizan los algoritmos que estudiamos en la asignatura. Producto interior de dos vectores Supongamos que se desea calcular el producto interior, h = n i=1 aibi, de dos vectores a y b almacenados como dispersos seg´un el esquema de filas. Al tratarse de vectores (una sola fila), el vector ia no ser´ıa necesario; s´ı lo ser´ıan ico y val.
  • 31. 31/165 Full Scrn Imprimir Habr´a que conocer tambi´en el n´umero de componentes no nulos de a y b. Una forma directa de llevar este producto interior a cabo ser´ıa comprobando, para cada componente no nulo de a, si el correspondiente componente de b es cero, y caso de no serlo, multiplicando esos componentes y acumulando el resultado en h. Llevar esto a efecto en FORTRAN, suponiendo que el almacenamiento es ordenado, ser´ıa como sigue. h = 0.0 do i=1,na do j=1,nb if (icob(j).gt.icoa(i)) exit if (icob(j).lt.icoa(i)) cycle h = h+vala(icoa(i))*valb(icob(j)) exit end do end do Proceder de esta forma es sumamente ineficaz pues hay que inspeccionar el vector a o el b un n´umero de veces proporcional al producto de elementos no nulos de a y de b.
  • 32. 32/165 Full Scrn Imprimir Una forma mucho m´as eficaz de hacer ese producto interior, v´alida incluso cuando el almacenamiento es desordenado, consiste en definir un nuevo vector ip, de dimensi´on n, en el que se guarden los punteros de los elementos no nulos de, seg´un se desee, vala o valb. Por ejemplo, si el vector a est´a definido por Elementos Vector 1 2 3 4 icoa 10 3 7 4 vala 0,2 0,3 0,4 -0,5 el vector ip, una vez almacenados los punteros, quedar´ıa Elementos Vector 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 · · · ip 0 0 2 4 0 0 3 0 0 1 0 · · ·
  • 33. 33/165 Full Scrn Imprimir lo cual quiere decir que a3 est´a en la posici´on 2 de vala, a4 en la posici´on 4, a7 en la 3, etc. A continuaci´on, conocidos los elementos no nulos de b, se usa ip y, si ha lugar, se multiplican los componentes acumulando el resultado en h. Si, por ejemplo, el vector b est´a definido por Elementos Vector 1 2 3 icob 5 4 10 valb 0,6 0,7 0,5 el primer componente no nulo de b es b5 = 0,6. Ahora bien, ip(5)=0, por lo que a5b5 = 0, no siendo necesario efectuar esta ´ultima operaci´on . . . Estas ideas expresadas en FORTRAN dar´ıan lugar a un conjunto de instrucciones como el que sigue.
  • 34. 34/165 Full Scrn Imprimir ip = 0 do i=1,na ip((icoa(i)) = i end do h = 0.0 do i=1,nb if (ip(icob(i)).ne.0) h=h+vala(ip(icob(i)))*valb(i) end do Es importante tener en cuenta que hacer ip(· · · )=0 es caro: es necesario realizar muchas operaciones, aunque triviales, si n es grande. Si un vector se multiplica por otros muchos (caso por ejemplo de productos de matrices), evidentemente, s´olo es necesario inicializar ip a cero una vez.
  • 35. 35/165 Full Scrn Imprimir Multiplicaci´on de matrices por vectores Supondremos que el vector por el que se ha de multiplicar la matriz dispersa est´a almacenado en toda su extensi´on. Para llegar a tal vector se pueden aplicar las ideas apuntadas para recuperar un vector al introducir los distintos modos de almacenar matrices dispersas. Multiplicaci´on de una matriz por un vector Nos interesamos en primer lugar por la operaci´on c = Ab, donde A ∈ Rm×n , b ∈ Rn y c ∈ Rm . Si se supone que el vector c se guarda en toda su extensi´on y la matriz A seg´un el esquema por filas, para realizar la operaci´on basta saber
  • 36. 36/165 Full Scrn Imprimir qu´e elementos son no nulos en cada fila de la matriz A, multiplicarlos por el correspondiente de b y acumular el resultado. En FORTRAN esto se podr´ıa hacer como sigue. do i=1,m s = 0. do ii=ia(i),ia(ii+1)-1 s = s+val(ii)*b(ico(ii)) end do c(i) = s end do Multiplicaci´on de un vector por una matriz En este caso queremos efectuar la operaci´on cT = bT A, donde A ∈ Rm×n , b ∈ Rm y c ∈ Rn .
  • 37. 37/165 Full Scrn Imprimir Consideremos el siguiente ejemplo simb´olico de este producto, [c1 c2 c3] = [b1 b2] a11 a12 a13 a21 a22 a23 . Efectuando las operaciones del producto de un vector por una matriz, se tiene que, c1 = b1a11 + b2a21 c2 = b1a12 + b2a22 c3 = b1a13 + b2a23. Usar estas ecuaciones resultar´ıa altamente ineficaz si la matriz est´a almacenada por filas. Reescribamos las ecuaciones de la siguiente manera, c1 ← b1a11 c2 ← b1a12 c3 ← b1a13 c1 ← c1 + b2a21 c2 ← c2 + b2a22 c3 ← c3 + b2a23. En este caso se puede acceder a los elementos secuencialmente por filas e ir acumulando los resultados de las operaciones en los propios
  • 38. 38/165 Full Scrn Imprimir elementos de c En FORTRAN, teniendo en cuenta que la matriz A se almacena por filas, este producto se har´ıa como sigue. c = 0 do i=1,n bi = b(i) do ii=ia(i),ia(i+1)-1 j = ico(ii) c(j) = c(j)+val(ii)*bi end do end do
  • 39. 39/165 Full Scrn Imprimir Otras operaciones Operaciones como la suma de matrices, la multiplicaci´on, la multiplicaci´on AT A, etc. se pueden llevar a cabo muy eficazmente, en general, mediante en dos etapas: la simb´olica y la num´erica. La simb´olica determina la estructura de la matiz resultante. La num´erica los valores distintos de cero en las posiciones ya reservadas al efecto.
  • 40. 40/165 Full Scrn Imprimir Soluci´on de grandes sistemas lineales de matriz dispersa Como hemos indicado al principio, resolver sistemas de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes dispersa lleva aparejadas tres tareas esenciales: • El almacenamiento eficaz de la matriz; • La ordenaci´on de la ecuaciones para mantener la estructura de dispersidad al factorizar la matriz y la • Implementaci´on eficaz del proceso de soluci´on. En general, si las tres tareas apuntadas se estructuran convenientemente en un algoritmo, ´este constar´ıa de los pasos que se indican en la tabla.
  • 41. 41/165 Full Scrn Imprimir Paso 1 – Determinar la estructura simb´olica de A. Paso 2 – Determinar unas permutaciones P y Q tales que PAQ tenga una estructura dispersa ventajosa en relaci´on con el tipo de sistema a resolver. Paso 3 – Factorizar simb´olicamente la matriz PAQ y generar las estructuras de datos y memoria necesarias para L y U. Paso 4 – Obtener num´ericamente LU = PAQ y c = Pb. Paso 5 – Resolver Lz = c, Uy = z y, por fin, x = Qy. Algoritmo para resolver sistemas lineales dispersos
  • 42. 42/165 Full Scrn Imprimir Ordenaci´on de las ecuaciones Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en el que la matriz de coeficientes que lo define es dispersa, el orden en que se disponen las filas o las columnas tiene una importancia fundamental. Por ejemplo, si consideramos la matriz sim´etrica A de un sistema de ecuaciones lineales cuyo patr´on de elementos distintos de cero es el de la figura,
  • 43. 43/165 Full Scrn Imprimir y se utiliza la eliminaci´on de Gauss para resolver dicho sistema, en el transcurso de dicha factorizaci´on se har´an distintos de cero 46 elementos –elementos de relleno (fill-in en la literatura anglosajona)–: los que en la figura aparecen sombreados. Si las filas y las columnas del mismo sistema se reordenan de acuerdo con un criterio que veremos m´as adelante —algoritmo de grado m´ınimo—, obteni´endose un patr´on de elementos distintos de cero como el de la figura, y esta matriz se factoriza tambi´en mediante eliminaci´on de Gauss, el n´umero de elementos cero que se hacen distintos de cero en este caso es cero.
  • 44. 44/165 Full Scrn Imprimir El vector que define las permutaciones que hay que efectuar simult´aneamente en las filas y columnas de la matriz original para llegar a la de la figura se puede ver en la siguiente tabla. Elementos Vector 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Permutaci´on 14 12 10 9 7 6 4 5 8 1 2 3 11 13 Compru´ebese c´omo la fila 1 original, fila 10 en la matriz reordenada, sigue teniendo 4 elementos no nulos, la fila 2 original, fila 11 en la reordenada, 5 elementos, etc. A las permutaciones que act´uan
  • 45. 45/165 Full Scrn Imprimir simult´aneamente sobre filas y columnas se las denomina, como es sabido, permutaciones sim´etricas. Trabajar con matrices reordenadas en las que el n´umero de elementos de relleno se reduce considerablemente presenta tres ventajas fundamentales: • Una disminuci´on del n´umero de posiciones de memoria que se han de reservar para los nuevos elementos que se har´an distintos de cero en un proceso de factorizaci´on. • Una disminuci´on del n´umero de operaciones a realizar y, por lo tanto, del tiempo total de c´alculo para factorizar la matriz y resolver el correspondiente sistema. • Una mejora de la estabilidad num´erica del proceso global de resoluci´on del sistema al disminuir el n´umero de elementos a considerar y por tanto disminuir la probabilidad de encontrar grandes diferencias entre ellos, errores de cancelaci´on, etc. En la tabla se resume en n´umeros las operaciones que habr´ıa que
  • 46. 46/165 Full Scrn Imprimir realizar para transformar la matriz presentada mediante eliminaci´on de Gauss y, posteriormente, resolver el sistema lineal correspondiente, si se operase con esta matriz como si fuese densa, como si fuese dispersa pero sin reordenar filas y columnas y como si fuese dispersa reordenando filas y columnas, tal cual hemos visto. Matriz Matriz Matriz Dispersa Dispersa Operaci´on Densa sin Ordenar Ordenada Factorizaci´on 1911 408 105 Sustituci´on Inversa 196 94 48 Para definir una ordenaci´on ´optima es necesario tener en cuenta la estructura de la matriz, el esquema que define c´omo se almacena la matriz y el tipo de operaciones que con ella se van a realizar. Si, como suele ser muy habitual, las matrices son sim´etricas y se almacenan seg´un un esquema de perfil o envolvente (por dar lugar una vez ordenadas a matrices con estructura en banda), tambi´en
  • 47. 47/165 Full Scrn Imprimir interesa poder disponer de un procedimiento de ordenaci´on que compacte los elementos precisamente cerca de la diagonal principal de la matriz. Este es el caso del algoritmo de Cuthill-Mckee que veremos m´as adelante. El resultado de aplicar a una matriz sim´etrica 35 × 35 este algoritmo se ilustra en la figura. La soluci´on de sistemas con este tipo de matrices dispersas en banda es extremadamente eficaz.
  • 48. 48/165 Full Scrn Imprimir Tambi´en existen diversas formas de ordenar matrices dispersas de estructura simb´olica no sim´etrica para resolver r´apida y eficazmente sistemas lineales de ecuaciones en los que est´en presentes. Para tratar matrices generales sin ninguna caracter´ıstica particular, entre los m´etodos m´as usados est´an los que buscan ordenar los elementos de la matriz A de tal forma que se consiga una estructura triangular inferior en bloques del tipo que se indica en la figura. 0 100 200 300 400 250 300 350 400 450 el = 7551 0 100 200 300 400 250 300 350 400 450 el = 24226 A31 A32 A33 A21 A22 A11 A = Si de acuerdo con esta estructura se dividen de la misma forma los vectores x y b de Ax = b, el sistema se resolver´a mucho m´as
  • 49. 49/165 Full Scrn Imprimir eficazmente resolviendo los subsistemas Aiixi = bi − i−1 j=1 Aijxj, i = 1, 2, 3. Esta forma de manipular la matriz A hace que s´olo sea necesario factorizar las submatrices Aii (los bloques o submatrices que no est´an en la diagonal principal, Aij, i > j, s´olo se han de multiplicar por los subvectores xj), y, por tanto, que cualquier nuevo elemento distinto de cero s´olo se pueda crear en esas submatrices. Cualquier otra reordenaci´on que sea necesaria para garantizar la dispersidad y la estabilidad num´erica del proceso, habr´a de efectuarse ´unicamente a los bloques Aii.
  • 50. 50/165 Full Scrn Imprimir Si como ejemplo consideramos la matriz sim´etrica 16 × 16 la reordenaci´on triangular inferior en bloques que de ella se puede obtener es:
  • 51. 51/165 Full Scrn Imprimir Implementaci´on eficaz del proceso de soluci´on Si la matriz es de estructura sim´etrica y definida positiva, la mejor forma de proceder para obtener la soluci´on del sistema correspondiente consiste en ordenar primero la matriz mediante, por ejemplo, el algoritmo de grado m´ınimo, o cualquier otro para estructuras particulares, y luego, una vez sabido qu´e elementos se har´an distintos de cero, utilizar la factorizaci´on de Cholesky. El paquete de software SPARSPAK de la Universidad de Waterloo, Canad´a, se centra esencialmente en este tipo de sistemas. Otros paquetes que tambi´en resuelven estos problemas son YSMP de la Universidad de Yale, EE.UU., Harwell Subroutine Library, Reino Unido: rutinas MA28, MA17, etc. y NAG, Numerical Algorithms Group, Reino Unido. Matlab tambi´en dispone de procedimientos especializados en sistemas de este tipo.
  • 52. 52/165 Full Scrn Imprimir Si la matriz es de estructura sim´etrica y casi definida positiva, se puede proceder separ´andola seg´un A = M − N, donde M es de estructura sim´etrica y definida positiva y N sim´etrica, y resolver Ax = b mediante un proceso iterativo del tipo Mx(k+1) = Nx(k) + b. Este sistema lineal se puede resolver por Cholesky o cualquier otro m´etodo. Otra forma de actuar consiste en olvidarse de la simetr´ıa y utilizar la eliminaci´on de Gauss, o triangularizar por bloques la matriz resolviendo seg´un indic´abamos antes. Si la matriz es de estructura sim´etrica e indefinida y se desea conservar la simetr´ıa, la mejor forma de proceder es utilizar el m´etodo de pivotaci´on diagonal por bloques que mencionamos en su momento.
  • 53. 53/165 Full Scrn Imprimir La rutina MA32 del paquete Harwell Subroutine Library procede de esa manera. Matlab tambi´en puede resolver estos sistemas sin ninguna dificultad. Si la matriz no es sim´etrica se puede proceder de dos formas: • Utilizando eliminaci´on de Gauss con pivotaci´on de acuerdo con el criterio de Markowitz que veremos m´as adelante. • Triangularizando por bloques tal como hemos mencionado con anterioridad. En el paquete de Harwell se pueden encontrar diversas rutinas para hacer frente a este problema operando de las dos formas indicadas. En lo que resta de tema nos centraremos en la forma m´as general de resolver un sistema lineal de ecuaciones, y a la que mayor cantidad de software dedican los paquetes ya mencionados y casi todos los existentes de matrices dispersas: la eliminaci´on de Gauss.
  • 54. 54/165 Full Scrn Imprimir Matrices dispersas sim´etricas y eliminaci´on de Gauss Estudiaremos diversas ordenaciones para matrices dispersas de estructura simb´olica sim´etrica, y c´omo afectan a la eliminaci´on de Gauss en ellas. La factorizaci´on que se obtiene como consecuencia del proceso de eliminaci´on de Gauss de una matriz A sim´etrica es, como sabemos, A = L1DLT 1 , donde L1 es una matriz triangular inferior con todos los elementos de su diagonal principal igual a uno y D una matriz diagonal. Esta factorizaci´on tambi´en se puede escribir, A = L LT . El patr´on de elementos distintos de cero de L es id´entico al de L1.
  • 55. 55/165 Full Scrn Imprimir Como sabemos, en el transcurso de la eliminaci´on de Gauss en una matriz se pueden crear elementos de relleno; si son muchos, no s´olo pueden destruir cualquier estructura de dispersidad que poseyese la matriz, sino tambi´en dar al traste con la consideraci´on hecha a priori de que era dispersa, pues el n´umero de operaciones que requieren los m´etodos que tratan tales matrices es sensiblemente superior, a igualdad de n´umero de elementos no nulos, al de los tradicionales para matrices densas. Para evitar esto se recurre a efectuar una reordenaci´on de filas y columnas, materializada por un conjunto de permutaciones, de tal forma que al factorizar la matriz resultante aparezcan muchos menos elementos de relleno que en la original. Si el sistema que hay que resolver es Ax = b y se le aplican a A un conjunto de permutaciones elementales, representadas por la matriz de permutaci´on P, el sistema se puede
  • 56. 56/165 Full Scrn Imprimir reescribir, P A PT Px = Pb, pues PT P = I. Haciendo y = Px y c = Pb, se tiene que By = c, donde B = PAPT es la matriz A reordenada. La matriz B es tambi´en dispersa y sim´etrica. Si A es tambi´en definida positiva, lo mismo ocurre con B. La idea esencial es encontrar una P adecuada que produzca el menor relleno posible al factorizar B. Si la matriz A es de orden n, el n´umero posible de ordenaciones es n!: evidentemente, resulta imposible analizar todas. Aun cuando de esas n! una al menos ser´a ´optima, no existe ning´un algoritmo que garantice su obtenci´on. Existen, no obstante, bastantes algoritmos heur´ısticos para tratar de
  • 57. 57/165 Full Scrn Imprimir llegar a un resultado ´optimo o cercano a ´el. Para ilustrar la diferencia que supone utilizar una ordenaci´on u otra, o incluso ninguna, en las figuras que siguen se representan los patrones de elementos distintos de cero de una matriz 480 × 480 antes y despu´es de, orden´andola de determinadas maneras, factorizarla de la forma LLT .
  • 58. 58/165 Full Scrn Imprimir La primera figura representa la matriz sin reordenar y el resultado que producir´ıa factorizarla de la forma LLT . 0 100 200 300 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 el = 7551 0 100 200 300 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 el = 30366 0 50 100 0 50 100
  • 59. 59/165 Full Scrn Imprimir La siguiente el mismo caso cuando se reordena la matriz original mediante el algoritmo denominado de grado m´ınimo, que veremos m´as adelante. 0 100 200 300 400 300 350 400 450 el = 7551 0 100 200 300 400 300 350 400 450 el = 30366 0 100 200 300 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 el = 7551 0 100 200 300 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 el = 9196
  • 60. 60/165 Full Scrn Imprimir La ´ultima representa la matriz reordenada mediante el algoritmo de Cuthill-McKee y el factor L correspondiente. 0 100 200 300 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 el = 7551 0 100 200 300 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 el = 24226 Obs´ervese que L tiene en el primer caso 30.366 elementos distintos de cero, 9.196 en el segundo y 24.226 en el tercero. Elegir un buen m´etodo de reordenaci´on de la matriz es esencial.
  • 61. 61/165 Full Scrn Imprimir Nociones b´asicas sobre teor´ıa de grafos El patr´on de elementos distintos de cero de una matriz dispersa cuadrada se puede representar mediante un grafo; en consecuencia, muchos resultados de la teor´ıa de grafos pueden aplicarse para estudiar y obtener mejoras en las prestaciones num´ericas de las matrices dispersas. De la teor´ıa de grafos s´olo introducimos, tanto en este apartado como en el que dedicaremos a matrices dispersas no sim´etricas, aquellos conceptos y resultados que nos ser´an ´utiles para agilizar la comprensi´on de los procedimientos que explicaremos o mejorar la visualizaci´on de los mismos. Un grafo, G = (V, E), es un par formado por un conjunto finito, V , de elementos denominados v´ertices o nudos del grafo, y por otro tambi´en finito, E, de arcos o aristas. Un arco es un par de nudos.
  • 62. 62/165 Full Scrn Imprimir Si los arcos de un grafo son ordenados, el grafo se denomina digrafo o grafo dirigido; si no, grafo a secas o grafo no dirigido. Un grafo no dirigido se puede ver como un digrafo en el que si el arco e = (u, v) ∈ E, tambi´en e = (v, u) ∈ E. Si e = (i, j) ∈ E, este arco une un nudo de origen o cola i = t(e) con otro de destino, final o cabeza j = h(e). El n´umero de elementos, o cardinal de V o E, se designa |V | o |E|. Un grafo G = (V, E) se dice numerado si existe una biyecci´on α : {1, 2, . . . , |N|} → V . En lo sucesivo, cuando hablemos de un grafo, lo supondremos numerado. Un grafo se puede asociar a cualquier matriz A.
  • 63. 63/165 Full Scrn Imprimir Si A es cuadrada de orden n, de estructura simb´olica sim´etrica, con todos sus elementos diagonales distintos de cero, se define el grafo asociado a A, GA = (V A , EA ), como el grafo no dirigido numerado de nudos V A = {v1, v2, . . . , vn} y arcos o aristas EA definidas de tal forma que (vi, vj) ∈ EA ⇔ aij = 0, aji = 0. La suposici´on de que los elementos diagonales son distintos de cero hace que no sea necesario representar los bucles que unen cada nudo consigo mismo.
  • 64. 64/165 Full Scrn Imprimir En la figura se puede ver una matriz 11×11 de estructura simb´olica sim´etrica y su grafo numerado asociado. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11                       × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×                       2 4 7 3 9 11 5 6 1 10 8
  • 65. 65/165 Full Scrn Imprimir Al igual que se define un grafo no dirigido para matrices sim´etricas, para matrices no sim´etricas se define un digrafo; volveremos sobre esta cuesti´on al hablar de matrices no sim´etricas. El grafo asociado a una matriz sim´etrica permanece invariable, salvo la numeraci´on de sus nudos, al aplicarle a dicha matriz una permutaci´on sim´etrica (se la pre y posmultiplica por una misma matriz de permutaci´on P). Esta es una de las propiedades que hacen de los grafos un instrumento muy ´util para estudiar matrices dispersas. Si B = PAPT , los grafos asociados a B y a A son id´enticos salvo en lo que respecta a su numeraci´on. Un subgrafo G = (V , E ) de un grafo G = (V, E) es un grafo formado por algunos o todos los nudos y por algunos de los arcos del grafo G: V ⊆ V , E ⊂ E.
  • 66. 66/165 Full Scrn Imprimir Un subgrafo se dice subgrafo secci´on cuando V contiene s´olo algunos nudos de G y E todos los arcos (u, v) de G tales que u y v pertenecen a V ; ese decir: V ⊂ V y E = {(u, v) ∈ E : u ∈ V y v ∈ V }. En el grafo de la figura anterior, los nudos 3, 5, 7, 8 y 11 junto con los arcos (3,5), (5,8), (8,11), (11,7), (3,7) y (3,11) constituyen un subgrafo secci´on. Si (u, v) es un arco de un grafo, los nudos u y v se dicen adyacentes. El grado de un nudo es el n´umero de arcos que tienen uno de sus extremos en ese nudo. Si W es un subconjunto de los nudos de un grafo G, el conjunto adyacente de W, Adj(W), es el conjunto formado por los nudos de G que no pertenecen a W y son adyacentes a nudos de W. Es decir, Adj(W) = {u ∈ V − W : (u, v) ∈ E para alg´un v ∈ W}.
  • 67. 67/165 Full Scrn Imprimir El grado de un nudo es por consiguiente el n´umero de elementos (cardinal) del conjunto adyacente de ese nudo. En el caso de la matriz 11 × 11 y de su grafo asociado anteriores, los nudos 1 y 6 son adyacentes; ambos de grado 2. Si W fuese el conjunto formado por los nudos 1 y 6, su conjunto adyacente ser´ıa el formado por los nudos 9 y 10. Un camino de un nudo u1 a otro um+1, es un conjunto ordenado de nudos {u1, u2, . . . , um+1} tal que ui y ui+1 son adyacentes para i = 1, 2, . . . , m. La longitud de ese camino es m. El nudo inicial de un camino se suele denominar de partida; el final, de llegada. Un camino tambi´en se puede definir como un conjunto ordenado de m
  • 68. 68/165 Full Scrn Imprimir arcos (u1, u2), (u2, u3), . . . , (um, um+1). Dos nudos dados, u y v, se dicen unidos por un camino, si existe un camino de u a v. Un camino es un ciclo cuando u1 = um+1. La distancia, d(u, v), entre dos nudos, u y v, es la longitud del camino m´as corto entre ambos nudos. Dado un nudo u, a la mayor distancia entre ese nudo y cualquier otro del grafo se la denomina excentricidad, e(u), del nudo u. La mayor excentricidad de un grafo se denomina di´ametro del grafo. Un nudo perif´erico de un grafo es aquel cuya excentricidad es igual al di´ametro del grafo. Volviendo a nuestra matriz 11 × 11 y su grafo asociado, los nudos 1 y 3
  • 69. 69/165 Full Scrn Imprimir est´an unidos por los caminos {1, 10, 11, 3}, de longitud 3, y {1, 6, 9, 11, 3}, de longitud 4. La distancia entre los nudos 1 y 3 es, por consiguiente, 3. El camino {5, 8, 11, 3, 5} es un ciclo. El di´ametro de este grafo es 4. Los nudos perif´ericos: 1, 2, 4, 5 y 6; su excentricidad es igual a 4. Un grafo se dice conexo si cada par de nudos distintos se puede unir por un camino; inconexo en cualquier otro caso. Un grafo inconexo est´a formado por varios componentes conexos. Un separador o conjunto separador es un conjunto de nudos tal que quitando los nudos que pertenecen a ´el y los arcos a ellos unidos en un grafo conexo o componente conexo, resulta un grafo no conexo.
  • 70. 70/165 Full Scrn Imprimir Un separador es m´ınimo si cualquier subconjunto de ´el no es un separador. El grafo de la figura anterior es conexo. El conjunto de nudos de este grafo formado por el 7 y el 11 es un separador m´ınimo: al quitar esos nudos del grafo resultan los componentes conexos {3, 5, 8} y {10, 1, 6, 9, 2, 4}. Dado un grafo y un subconjunto S de sus nudos, si u y v son dos nudos distintos que no pertenecen a S, se dice que v es accesible desde u a trav´es de S cuando u y v est´an unidos por un camino de longitud igual a 1 (u y v son adyacentes) o ese camino est´a formado enteramente por nudos pertenecientes a S (excepto, por supuesto, u y v). Dado ese subconjunto S y u /∈ S, el conjunto accesible, Acc(u, S), de u a trav´es de S, es el conjunto de todos los nudos accesibles desde u a trav´es de S.
  • 71. 71/165 Full Scrn Imprimir Obs´ervese que cuando S es el vac´ıo o u no pertenece a Adj(S), Acc(u, S) = Adj(u). En el grafo de la figura, si se escoge S = {7, 3}, entonces Acc(5, S) = {8, 11, 4} y Acc(8, S) = Adj(8) = {5, 11}. Obs´ervese que el propio u no pertenece a Acc(u, S). Los grafos se pueden dividir de acuerdo con diversos criterios. Cuando los nudos se agrupan en subconjuntos disjuntos S0, S1, . . . , Sm, se obtiene una partici´on. Cuando un grafo se divide de acuerdo con los niveles de los nudos se obtiene una partici´on por niveles, o estructura de niveles. Un grafo conexo que no tiene ciclos se denomina ´arbol. Los ´arboles juegan un papel muy importante en el contexto de las matrices dispersas pues una matriz cuyo grafo asociado es un ´arbol
  • 72. 72/165 Full Scrn Imprimir se puede reordenar de tal forma que, al factorizarla mediante eliminaci´on de Gauss, no experimente ning´un relleno. En un ´arbol s´olo existe un camino entre cualquier par de nudos. Un ´arbol se dice enraizado cuando uno de sus nudos se designa como nudo ra´ız. El camino ´unico que existe entre ese nudo ra´ız y cualquier nudo u del ´arbol define las relaciones ascendiente/descendiente entre nudos: si u y v pertenecen a un camino y la distancia de v al nudo ra´ız es menor que la de u, v se dice es un ascendiente de u y u un descendiente de v. Si u y v son adyacentes, v es el padre de u y u el hijo de v. Como en el caso del grafo, un ´arbol lo supondremos numerado. La numeraci´on se dice mon´otona si cada nudo se numera antes que
  • 73. 73/165 Full Scrn Imprimir su padre. La partici´on de un grafo que no es un ´arbol se puede usar para generar un grafo cociente. Cuando un grafo cociente es un ´arbol, ´este se denomina ´arbol cociente; a la partici´on correspondiente, ´arbol partici´on.
  • 74. 74/165 Full Scrn Imprimir En la figura se puede ver un grafo de 20 nudos, su estructura de niveles y su correspondiente ´arbol cociente. En este ´arbol tambi´en se indica una numeraci´on mon´otona. 8 3 20 6 9 19 7 5 2 10 11 1 17 18 14 16 12 4 13 15 6 13 15 5 20 12 4 14 16 1 7 17 18 11 2 10 9 19 3 8 N6 N5 N4 N3 N2 N1 N0 ¨ © ¨ © ¨ © ¨ © ¨ © ¨ © ¨ © 6 13, 15 5, 20 12, 4 14, 16, 1, 7 17, 18, 11 2, 10 9, 19, 3 8 1 3 2 5 4 6 7 8 9
  • 75. 75/165 Full Scrn Imprimir Dado un grafo conexo G = (V, E), un ´arbol maximal es un subgrafo de G que contiene todos los nudos de G y es adem´as un ´arbol. En la figura se puede ver un ´arbol maximal del grafo de la figura anterior. 6 13 15 5 20 12 4 14 16 1 7 17 18 11 2 10 9 19 3 8
  • 76. 76/165 Full Scrn Imprimir Interpretaci´on mediante grafos de la eliminaci´on de Gauss Al comienzo de una etapa k de un proceso de eliminaci´on de Gauss, todos los elementos distintos de cero debajo de la diagonal principal en las columnas 1, 2, . . . , k − 1 ya se han hecho cero. En esta etapa k se determinan unos multiplicadores y se restan, de las filas que tienen un elemento distinto de cero en la columna k debajo de la diagonal principal, la fila k multiplicada por el multiplicador correspondiente. Al hacer esto se pueden crear nuevos elementos distintos de cero en la submatriz que definen las filas y columnas k + 1, . . . , n. Consideremos la submatriz activa en la etapa k –tal submatriz activa contiene los elementos ak ij, donde i, j ≥ k–.
  • 77. 77/165 Full Scrn Imprimir Sea Gk el grafo asociado a esa submatriz activa, al que se denomina grafo de eliminaci´on. Los nudos de este grafo son los n − k + 1 ´ultimos del grafo asociado a la matriz original A, GA . El grafo Gk contiene todos los arcos que unen esos nudos, y estaban presentes en GA , m´as unos arcos adicionales correspondientes a los rellenos producidos en las k − 1 etapas anteriores del proceso. La sucesi´on de grafos G1 = GA , G2 , . . . se obtiene aplicando la siguiente regla: Para obtener Gk+1 a partir de Gk , borrar en ´este el nudo k y a˜nadir todos los posibles nuevos arcos entre nudos que sean adyacentes al nudo k de Gk . Los arcos que se a˜naden determinan qu´e elementos de relleno se
  • 78. 78/165 Full Scrn Imprimir producir´an en la matriz como consecuencia del proceso de eliminaci´on de Gauss. Como ejemplo de aplicaci´on de estas ideas, en las figuras que siguen se ilustra su adaptaci´on a la matriz 11 × 11 de ejemplos anteriores. Etapa 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11                   × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ⊗ × × × × × × × × × × × ⊗ × × × × × × × × ×                   2 4 7 3 9 11 5 6 1 10 8 G2
  • 79. 79/165 Full Scrn Imprimir Etapa 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A3 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11                   × × × × × × × × × × × × ⊗ × × × × × × ⊗ × × × × × × × ⊗ × × × ⊗ × × × × × × × × ×                   2 4 7 3 9 11 5 6 1 10 8 G3
  • 80. 80/165 Full Scrn Imprimir Etapa 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A4 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11                   × × × × × × × × × × × × ⊗ × ⊗ × × × × ⊗ × ⊗ × × × × × ⊗ × × × ⊗ × × × × × × × ×                   2 4 7 3 9 11 5 6 1 10 8 G4 Etapa . . .
  • 81. 81/165 Full Scrn Imprimir Al final del proceso la matriz simb´olica que indica qu´e elementos ser´an distintos de cero una vez completada la factorizaci´on tendr´a la forma de la figura. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11                   × × × × × × × × × × × × × ⊗ × × ⊗ × × × × × ⊗ × × ⊗ × ⊗ ⊗ × × ⊗ × ⊗ × × ⊗ × ⊗ ⊗ × ⊗ × × ⊗ ⊗ × × × × × × × × ×                   Mediante los grafos de eliminaci´on se puede realizar, independientemente de los valores num´ericos que adopten los elementos de la matriz, una eliminaci´on de Gauss simb´olica, pudi´endose determinar a partir de ella qu´e nuevos elementos distintos de cero se van a crear en el proceso num´erico. Reservando posiciones de memoria para esos nuevos elementos, se
  • 82. 82/165 Full Scrn Imprimir puede pasar a realizar la eliminaci´on o factorizaci´on num´erica.
  • 83. 83/165 Full Scrn Imprimir El algoritmo de grado m´ınimo Este algoritmo (Tinney y Walker [1967]) es el de reordenaci´on de uso m´as extendido para reducir el n´umero de rellenos que produce la eliminaci´on de Gauss –o la factorizaci´on de Cholesky– en una matriz dispersa de estructura simb´olica sim´etrica. Es el que presenta unas caracter´ısticas de eficacia, sencillez y facilidad de implementaci´on en ordenador m´as destacadas. El algoritmo de grado m´ınimo es la versi´on para matrices de estructura simb´olica sim´etrica del de Markowitz [1957] para matrices no sim´etricas; comentaremos ´este en detalle m´as adelante. La idea en que se basa es muy sencilla. Como en cada etapa k del proceso de eliminaci´on de Gauss, debido a las manipulaciones inherentes al proceso que se efect´ua en la submatriz activa, si en la fila k hay elementos no cero a la derecha del
  • 84. 84/165 Full Scrn Imprimir elemento de la diagonal principal, al sumar un m´ultiplo de esta fila a cualquiera de las filas k + 1 a n donde se quiera hacer cero un elemento de la columna k por debajo de la diagonal principal, se pueden producir elementos no nulos en esas filas. Si se examina qu´e fila de la submatriz activa, , tiene el menor n´umero de elementos distintos de cero y se intercambian las filas y k y las columnas y k, en esa submatriz activa se crear´an el m´ınimo de elementos de relleno posible. El nombre de grado m´ınimo viene de que al realizar ese intercambio de filas y columnas en la etapa k, el elemento de la diagonal principal en la fila k representar´a el nudo que est´a unido al menor n´umero –grado m´ınimo– de otros en el grafo de eliminaci´on Gk . El algoritmo completo de grado m´ınimo es el de la tabla.
  • 85. 85/165 Full Scrn Imprimir Paso 1 – Inicializaci´on. Hacer i ← 1. Paso 2 – Selecci´on del nudo de grado m´ınimo. Seleccionar en el grafo de eliminaci´on Gk−1 = (V k−1 , Ek−1 ) aquel nudo vk de grado m´ınimo. Paso 3 – Transformaci´on. Formar el nuevo grafo de eliminaci´on Gk = (V k , Ek ) eliminando vk de Gk−1 . Paso 4 – Bucle. Hacer i ← i + 1. Si i |V |, parar. Si no, ir al paso 2. Algoritmo para resolver sistemas lineales dispersos Obs´ervese que esta implementaci´on, al trabajar con los grafos de eliminaci´on, permite tambi´en conocer al final del proceso qu´e nuevos elementos se har´an distintos de cero al efectuar la correspondiente factorizaci´on.
  • 86. 86/165 Full Scrn Imprimir Para ilustrar el proceso del algoritmo, consideremos el grafo de la figura asociado a una matriz sim´etrica 7 × 7. f g e b d a c En las tablas se describen las 7 etapas de que consta la aplicaci´on del algoritmo de grado m´ınimo a este grafo.
  • 87. 87/165 Full Scrn Imprimir Etapa 1 a 3 Etapa k Grafo de Eliminaci´on Gk−1 Nudo Seleccionado Grado 1 f g e b d a c a 1 2 f g e b d c c 1 3 f g e b d d 2
  • 88. 88/165 Full Scrn Imprimir Etapa 4 a 7 Etapa k Grafo de Eliminaci´on Gk−1 Nudo Seleccionado Grado 4 f g e b e 2 5 f g b b 2 6 f g f 1 7 g g 0
  • 89. 89/165 Full Scrn Imprimir La matriz simb´olica que indica qu´e elementos ser´an distintos de cero una vez completada la reordenaci´on/factorizaci´on simb´olica que lleva a cabo el algoritmo de grado m´ınimo, y el grafo con la numeraci´on ´optima, se indican en la figura. 1 2 3 4 5 6 7 A = 1 2 3 4 5 6 7                × × × × × × × × × × × × × × × × ⊗ × × × × × ⊗ × ×                6 7 4 5 3 1 2 La estrategia que sigue el algoritmo de grado m´ınimo produce en general muy buenos resultados pr´acticos. Como ya apunt´abamos anteriormente, cuando el grafo que se quiere reordenar es un ´arbol, el resultado de aplicarlo no producir´a elementos de relleno al efectuar la eliminaci´on de Gauss o la factorizaci´on ulterior correspondiente.
  • 90. 90/165 Full Scrn Imprimir No obstante, no siempre da lugar a una ordenaci´on que produzca el menor n´umero posible de elementos de relleno. 1 4 5 6 9 2 3 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9                      × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×                      En efecto, si se aplica al grafo de la figura, el algoritmo elegir´a el nudo n´umero 5 como el inicial, lo que traer´a como consecuencia que se produzca un relleno posterior en las posiciones (4, 6) y (6, 4). Utilizando por el contrario la numeraci´on de la figura no se producir´ıa ning´un elemento de relleno.
  • 91. 91/165 Full Scrn Imprimir La implementaci´on en ordenador de este algoritmo es muy sencilla. Existen diversas variantes del algoritmo de grado m´ınimo para tratar de mejorar alguna de sus prestaciones, concretamente en lo que se refiere a c´omo actuar en el caso de que los posibles nudos iniciales sean varios.
  • 92. 92/165 Full Scrn Imprimir Reducci´on del ancho de banda de una matriz dispersa sim´etrica. El algoritmo de Cuthill-McKee La idea que se persigue es que los elementos distintos de cero est´en lo m´as cerca posible de la diagonal principal. De los algoritmos dedicados a este fin, el de utilizaci´on m´as extendida es el de Cuthill-McKee [1969]. La idea en la que basa su estrategia es muy sencilla: como de lo que se trata es de que los elementos distintos de cero est´en lo m´as cerca posible de la diagonal principal, una vez numerado un nudo k, si se numeran inmediatamente despu´es los que est´an unidos a ´el que no han sido numerados previamente, se conseguir´a que en la fila k se cumpla ese objetivo. El algoritmo que plasma esta idea es el del cuadro que sigue.
  • 93. 93/165 Full Scrn Imprimir Paso 1 – Inicializaci´on. Seleccionar un nudo inicial r. Hacer vi ← r. Paso 2 – Bucle. Para i = 1, . . . , n, determinar todos los nudos adyacentes al vi no numerados y numerarlos en orden creciente de grado (de menor a mayor). Definici´on 4 Se dice que una matriz sim´etrica tiene un perfil mon´otono si para todo k y , donde k , lk ≤ l . A continuaci´on se presentan dos matrices con perfiles mon´otono y no mon´otono, respectivamente.
  • 94. 94/165 Full Scrn Imprimir Perfil Mon´otono 1 2 3 4 5 6 7 × ×× × × × ×× × × × × × × × ×× Perfil No Mon´otono 1 2 3 4 5 6 7 × ×× × × × × × × × × × ×× × Teorema 1 La numeraci´on dada por el algoritmo de Cuthill-McKee con- duce a un perfil mon´otono.
  • 95. 95/165 Full Scrn Imprimir A modo de ejemplo, apliquemos el algoritmo de Cuthill-McKee al grafo de la figura. h i j d e f g a b c 10 8 7 9 4 6 5 1 2 3 Empezando a numerar por el nudo superior izquierdo, a, en la misma figura se puede ver la numeraci´on final que se obtiene con el algoritmo. Con esta numeraci´on, la distribuci´on simb´olica de elementos distintos de cero y ceros en la matriz asociada que habr´a que incluir en el esquema de almacenamiento de envolvente,
  • 96. 96/165 Full Scrn Imprimir considerando s´olo la parte triangular inferior, ser´a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10                × × × × × × × × × 0 × × 0 × × × × × × × 0 0 × × × 0 0 0 × × × × ×                . El ancho de banda de esta matriz es 5. El n´umero de elementos cero en la envolvente, 7. El n´umero de elementos de la envolvente, 33.
  • 97. 97/165 Full Scrn Imprimir Ahora bien, si se comienza a numerar el grafo por el nudo e, el resultado de aplicar el algoritmo de Cuthill-McKee es el de la figura. 8 5 6 3 1 9 10 7 2 4 La distribuci´on simb´olica de elementos distintos de cero y ceros de la
  • 98. 98/165 Full Scrn Imprimir parte triangular inferior de la matriz ser´ıa en este caso, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10                × × × × 0 × × × 0 × × 0 × 0 × × 0 0 0 × × × 0 0 0 0 × × 0 × 0 0 × × 0 × 0 0 × × 0 × 0 0 × ×                . El ancho de banda de esta matriz es 6. El n´umero de elementos cero en la envolvente, 20. El n´umero total de elementos en la envolvente, 46 Como se puede observar, la elecci´on del nudo de partida para comenzar la numeraci´on es una cuesti´on cr´ıtica para el resultado del
  • 100. 100/165 Full Scrn Imprimir Selecci´on del nudo inicial Para abordar el problema de determinar con qu´e nudo se ha de comenzar el algoritmo de Cuthill-McKee, recordemos los conceptos de excentricidad, di´ametro y nudo perif´erico de un grafo. La idea del procedimiento para determinar el mejor nudo de partida se basa en el hecho de que tal nudo es casi siempre uno perif´erico. Para obtener un nudo perif´erico o pseudoperif´erico (se define por la condici´on de que si v es un nudo para el cual d(u, v) = e(u), entonces e(u) = e(v)) se han desarrollado diversos procedimientos. En la tabla se puede ver una modificaci´on de George y Liu [1979] de un algoritmo originalmente debido a Gibbs, Poole y Stockmeyer [1976] para determinar un nudo pseudoperif´erico en un grafo no dirigido. Tal como se describe es el m´as usado y referenciado en la literatura especializada.
  • 101. 101/165 Full Scrn Imprimir Paso 1 – Inicializaci´on. Seleccionar un nudo arbitrario, r, del gra- fo. Paso 2 – Generar estructura de niveles. Construir la estructura de niveles del grafo tomando como nudo ra´ız el nudo r: L(r) = {L0(r), L1(r), . . . , L (r)(r)}. Paso 3 – Bucle. Escoger un nudo v en L (r)(r) todav´ıa no tratado de grado m´ınimo: a) Si e(v) e(r), hacer r ← v e ir al Paso 2. b) Si e(v) ≤ e(r), escoger otro nudo de L (r)(r) y vol- ver al paso 3; si no hay m´as nudos, parar. Apliquemos este procedimiento para determinar qu´e nudo se debe usar para iniciar el algoritmo de Cuthill-McKee: las tres etapas de que consta se esquematizan en la figura.
  • 102. 102/165 Full Scrn Imprimir h i j d e f g a b c 2 1 1 1 0 2 2 2 1 1 h i j d e f g a b c 4 3 3 3 2 3 3 0 1 2 h i j d e f g a b c 0 1 2 1 2 3 3 4 3 3 Los n´umeros al lado de los nudos del grafo indican su excentricidad tomando como ra´ız el que se indica como 0. El algoritmo comienza en cualquier nudo, por ejemplo, en e. Obs´ervese que del resultado del algoritmo se desprende que tanto el nudo a como el h podr´ıan utilizarse como nudos de partida pues tienen la misma excentricidad: 4.
  • 103. 103/165 Full Scrn Imprimir Reducci´on de la envolvente de una matriz dispersa sim´etrica. El algoritmo inverso de Cuthill-McKee George [1971] descubri´o que, utilizando el algoritmo de Cuthill-McKee para ordenar la numeraci´on del grafo asociado a una matriz dispersa de estructura simb´olica sim´etrica, pero invirtiendo el orden de la numeraci´on final, es decir, asignando el n´umero 1 + n − i al nudo numerado como i, se consegu´ıa una matriz con el mismo ancho de banda pero con una envolvente con un n´umero de elementos menor o igual. Teorema 2 Sea A una matriz cuyo perfil es mon´otono. El n´umero de ele- mentos de Env(A), numerando el grafo asociado a A de acuerdo con el resultado obtenido de aplicar el algoritmo inverso de Cuthill-McKee, es a lo sumo el mismo que el de la matriz asociada al grafo numerado de acuerdo con el resultado del algoritmo ordinario de Cuthill-McKee.
  • 104. 104/165 Full Scrn Imprimir Ejemplo Consid´erese el grafo asociado a una matriz de la figura. a b c d e f g Si se reordena de acuerdo con el algoritmo de Cuthill-McKee, el patr´on de elementos distintos de cero y ceros que habr´ıa que guardar y la numeraci´on que se obtendr´ıa son los que describe la figura.
  • 105. 105/165 Full Scrn Imprimir 1 2 3 4 5 6 7 A = 1 2 3 4 5 6 7                × × × × × × × × × × × 0 0 0 0 × 0 × 0 0 0 × 0 0 × 0 0 × 0 0 0 × 0 × 0 0 0 0 ×                2 4 3 6 7 5 1 Por el contrario, utilizando el algoritmo de Cuthill-McKee inverso se conseguir´ıa el efecto que representa la figura. 1 2 3 4 5 6 7 A = 1 2 3 4 5 6 7                × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×                6 4 5 2 1 3 7
  • 106. 106/165 Full Scrn Imprimir Como se puede observar, desaparecen todos los ceros que aparec´ıan antes, ahorr´andose las correspondientes posiciones de memoria para guardarlos. u Si al grafo que se utilizaba para introducir el algoritmo de Cuthill-McKee, se le aplicada el algoritmo inverso, el resultado que se obtiene es el que describe la figura. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10                         × × × × × × × × × × × × × × × × 0 0 × × × × × × × × × ×                         1 3 4 2 7 5 6 10 9 8
  • 107. 107/165 Full Scrn Imprimir El ancho de banda sigue siendo el mismo que el que obten´ıa el algoritmo de Cuthil-McKee, 5, pero el n´umero de elementos de la Env(A) ha disminuido de 33 a 28.
  • 108. 108/165 Full Scrn Imprimir M´etodo de la disecci´on recurrente Este m´etodo, conocido en la literatura especializada como Nested Dissection, tiene sus ra´ıces en las t´ecnicas de elementos finitos. Se basa en establecer unas particiones, usando separadores, para dividir sistem´aticamente el grafo asociado a una matriz de estructura simb´olica sim´etrica; es decir, utilizar la t´actica “divide y vencer´as”. Cuando se encuentra uno de estos separadores, se numeran sus nudos y se retiran del grafo, dej´andolo dividido en dos o m´as componentes (si se retiran del grafo de la figura (a) los nudos 11 al 15, resultan dos subgrafos sin conexiones comunes).
  • 109. 109/165 Full Scrn Imprimir 1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25 S0R1 1 R2 1 R0 a) b) R1 1 R2 1 S0 R1 1 R2 1 S0 R1 2 R2 2S1 1 R3 2 R4 2 S2 1S0 R1 2 En los componentes que resultan de la primera transformaci´on tambi´en se buscan separadores, continuando el proceso hasta que se numeren todos los nudos del grafo. Suponiendo que el conjunto de los nudos del grafo se puede representar por un rect´angulo R0, en ´el se escoge un separador, S0, formado por un subconjunto de nudos de R0. Al retirar ´estos del grafo, R0 queda dividido en dos subgrafos o componentes, R1 1 y R2 1. Los nudos de R1 1 se numeran primero y luego los de R2 1 y S0.
  • 110. 110/165 Full Scrn Imprimir S0R1 1 R2 1 b) c) R1 2 S1 1 R2 2 R3 2 S2 1 R4 2 S0 R1 1 R2 1 S0 R1 1 R2 1 S0 R1 2 R2 2S1 1 R3 2 R4 2 S2 1S0 S0 S2 1 R4 2 R3 2 S1 1 R2 2 R1 2 El patr´on de elementos distintos de cero al que da lugar esta numeraci´on se representa mediante sectores sombreados en la figura (b). Si esta matriz se factorizase mediante eliminaci´on de Gauss, los posibles rellenos s´olo se producir´ıan en las zonas destacadas.
  • 111. 111/165 Full Scrn Imprimir c) R1 2 S1 1 R2 2 R3 2 S2 1 R4 2 S0 R1 2 R2 2S1 1 R3 2 R4 2 S2 1S0 S0 S2 1 R4 2 R3 2 S1 1 R2 2 R1 2 Si se sigue el proceso y se divide el componente R1 1, mediante un separador S1 1, en R1 2 y R2 2, y R2 1, mediante otro S2 1, en R3 2 y R4 2, numerando primero R1 2, luego R2 2, S1 1, R3 2, R4 2, S2 1 y, por ´ultimo, S0, la nueva numeraci´on producir´ıa un patr´on de elementos cero y distintos de cero seg´un se representa en la figura (c) por las zonas en blanco y sombreadas, respectivamente. El procedimiento continuar´ıa hasta que no se pudiesen encontrar separadores en los subgrafos R.
  • 112. 112/165 Full Scrn Imprimir Matrices dispersas no sim´etricas y eliminaci´on de Gauss La factorizaci´on que se obtiene como consecuencia del proceso de eliminaci´on de una matriz general, A, es, A = L1DU1, donde L1 es una matriz triangular inferior con todos los elementos de su diagonal principal iguales a 1, D una matriz diagonal y U1 una matriz triangular superior, tambi´en con todos los elementos de su diagonal principal iguales a 1. El producto L1D tambi´en se suele englobar en una sola matriz triangular inferior, L, cuyo patr´on de elementos distintos de cero es id´entico al de L1. Para evitar los rellenos, se efect´ua una reordenaci´on de filas y columnas, materializadas por un conjunto de permutaciones, de tal
  • 113. 113/165 Full Scrn Imprimir forma que en la matriz resultante, al factorizarla, la estructura de elementos cero/distintos de cero sea mucho m´as f´acil de manipular, o aparezcan muchos menos elementos de relleno que al factorizar la original. Si el sistema a resolver es Ax = b y se le aplican a A un conjunto de permutaciones elementales a la izquierda y a la derecha representadas por las matrices de permutaci´on P y Q, respectivamente, el sistema se puede reescribir, P A Q QT x = Pb, pues QT Q = I. Haciendo y = QT x y c = Pb, se tiene que, By = c, donde B = PAQ es la matriz A reordenada.
  • 114. 114/165 Full Scrn Imprimir En general Q = PT por lo que B se obtiene de A mediante un conjunto de permutaciones no sim´etricas de sus filas y de sus columnas. El objetivo de estas manipulaciones es conseguir: • Que B tenga una estructura de dispersidad m´as f´acil de tratar que A, • que su factorizaci´on sea lo m´as num´ericamente estable posible y • que el n´umero de rellenos sea el menor posible. Comenzaremos estudiando (cuando la matriz A no posea ninguna propiedad particular) la forma de conseguir en A una estructura triangular inferior en bloques:     A11 A21 A22 ... ... An1 An2 · · · Ann         x1 x2 ... xn     =     b1 b2 ... bn     , (1) donde los coeficientes Aij designan matrices, siendo las Aii matrices cuadradas de orden ni; evidentemente, n i=1 ni = n.
  • 115. 115/165 Full Scrn Imprimir El sistema as´ı obtenido se resuelve mediante una sucesi´on de n subproblemas m´as peque˜nos: el subproblema i ser´a de orden ni y su matriz de coeficientes Aii. Para resolver esos subproblemas ser´a necesario factorizar s´olo las Aii por lo que el relleno de elementos cero s´olo ocurrir´a dentro de esas Aii. El procedimiento de esta resoluci´on lo describen los siguientes pasos: a) Resolver el primer subsistema en n1 inc´ognitas, A11x1 = b1, con A11 como matriz de coeficientes: se obtendr´a x1. b) Restar los vectores Aj1x1 del t´ermino independiente, bj, para j = 2, . . . , n, obteni´endose una matriz triangular inferior en bloques de orden n − n1. Repetir a) y b) hasta completar la soluci´on. Para llevar a cabo este proceso, evidentemente, se supone que los bloques de la diagonal principal son regulares.
  • 116. 116/165 Full Scrn Imprimir Ejemplo El sistema que se ilustra a continuaci´on
  • 117. 117/165 Full Scrn Imprimir una vez reordenado con este objetivo queda como sigue. u
  • 118. 118/165 Full Scrn Imprimir Las siguientes consideraciones son fundamentales para la consecuci´on de la triangularizaci´on en bloques de la matriz A. Definici´on 5 Una matriz se dice que tiene un transversal completo cuando todos los elementos de su diagonal principal son distintos de cero. Cualquier matriz regular se puede reordenar mediante permutaciones no sim´etricas P y Q, de tal forma que PAQ tenga un transversal completo. Si la matriz es singular esto puede no cumplirse. Esta reordenaci´on se consigue mediante permutaciones sim´etricas de la forma PAPT . Si esa estructura de bloques existe, se dice que A es una matriz reducible.
  • 119. 119/165 Full Scrn Imprimir Si una matriz no tiene transversal completo pero puede reordenarse de tal forma que entonces s´ı lo tenga, y as´ı reordenada es reducible, se dice birreducible. Para conseguir triangularizar por bloques una matriz A dispersa cualquiera se procede, pues, en dos fases: Fase 1. – Encontrando un transversal completo de esa matriz. Fase 2. – Reordenando el resultado de la fase 1 mediante permu- taciones sim´etricas. Estas dos fases se materializan mediante sendos algoritmos. Para explicarlos recurrimos una vez m´as al concurso de los grafos; esta vez en su faceta de grafos dirigidos.
  • 120. 120/165 Full Scrn Imprimir Nociones b´asicas sobre grafos dirigidos Un grafo, G = (V, E), es un par formado por un conjunto finito, V , de elementos denominados v´ertices o nudos del grafo, y por otro tambi´en finito, E, de arcos o aristas. Un arco es un par de nudos. Si los arcos de un grafo son ordenados, el grafo se denomina digrafo o grafo dirigido. Si e = (i, j) ∈ E, este arco une un nudo de origen o cola i = t(e) con otro de destino, final o cabeza j = h(e). El n´umero de elementos o cardinal de V o E se designa |V | o |E|. Un grafo G = (V, E) se dice numerado si existe una biyecci´on α : {1, 2, . . . , |N|} → V . En lo sucesivo, cuando hablemos de un grafo dirigido o digrafo, lo
  • 121. 121/165 Full Scrn Imprimir supondremos numerado. A cualquier matriz general cuadrada, A, se le puede asociar un digrafo. El digrafo asociado a una matriz A de orden n, GA = (V A , EA ), es un grafo numerado dirigido de nudos V A = {v1, v2, . . . , vn} y arcos EA definidos de tal forma que (vi, vj) ∈ EA ⇔ aij = 0. Los arcos de un digrafo tambi´en se designan por (u → v). A cualquier elemento diagonal aii = 0 tambi´en le corresponde un arco (bucle) que parte y llega a vi. Cuando todos los elementos de la diagonal principal de la matriz asociada al digrafo son distintos de cero, estos arcos o bucles no se suelen representar.
  • 122. 122/165 Full Scrn Imprimir Al conjunto de elementos de la diagonal principal de una matriz que no son cero se le denomina transversal. En la figura se describe la estructura simb´olica de una matriz no sim´etrica 15 × 15 y su digrafo asociado. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15                                       × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×                                       12 13 14 15 7 8 9 10 11 5 6 1 2 3 4
  • 123. 123/165 Full Scrn Imprimir Si a una matriz A se le efect´uan una serie de permutaciones sim´etricas, su digrafo asociado permanece inalterado: s´olo se modifica la numeraci´on de sus nudos. Un arco de un grafo dirigido (u, v) ´o (u → v) se dice que sale o parte del nudo u y llega o entra a/en el nudo v. Tambi´en se dice que el arco (u → v) lleva del nudo u al nudo v. El grado de entrada o llegada de un nudo es el n´umero de nudos que a ´el llegan; el grado de salida, el n´umero de nudos que de ´el salen. Un nudo de un digrafo se dice de oferta cuando tiene un grado de entrada cero y un grado de salida positivo. Se dice de demanda, si tiene grado de entrada positivo y cero de salida. Si (u → v) es un arco de un digrafo, el nudo v se dice adyacente al u.
  • 124. 124/165 Full Scrn Imprimir Si W es un subconjunto del de nudos del digrafo G, el conjunto adyacente de W, Adj(W), es el conjunto de todos los nudos, no en W, adyacentes a los nudos de W. Es decir, Adj(W) = {v ∈ V − W : (u → v) ∈ E para todo u ∈ W}. Un camino dirigido o camino de un digrafo, es un conjunto ordenado de nudos {u1, u2, . . . , um+1} tal que ui+1 es adyacente a ui para i = 1, 2, . . . , m. La longitud de ese camino es m. Cuando existe un camino de un nudo u a otro v, se dice que v es accesible desde u. La matriz de accesibilidad de un digrafo, A, es una matriz Booleana definida de la siguiente manera: aij = 1 si el nudo vj es accesible desde vi; si no, aij = 0.
  • 125. 125/165 Full Scrn Imprimir Un ciclo de un digrafo o ciclo dirigido es un camino, con al menos dos arcos, que sale y llega al mismo nudo. Si el nudo v es accesible desde u en un digrafo, la distancia desde u a v es la longitud del camino m´as corto de u a v (la distancia desde v a u puede ser distinta o incluso indefinida por no existir camino de v a u). Un digrafo se dice conexo si lo es el grafo no dirigido que se obtiene al suprimir las direcciones en los arcos del digrafo.
  • 126. 126/165 Full Scrn Imprimir 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15                                       × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×                                       12 13 14 15 7 8 9 10 11 5 6 1 2 3 4 Resumiendo estos conceptos en el digrafo de la figura anterior, ´este es conexo; los nudos 6, 7 y 9 son adyacentes al nudo 8; si W = {8, 13}, Adj(W) = {6, 7, 9, 12, 14}; el nudo 5 tiene un grado de entrada de 2 y de salida de 1; el nudo 4 es accesible desde el 8; no hay nudos oferta ni nudos demanda.
  • 127. 127/165 Full Scrn Imprimir Dado un digrafo conexo, G = (V, E), el digrafo se dice fuertemente conexo si para cada par de nudos u, w ∈ V existe un camino de u a w y otro de w a u, es decir, u y w son mutuamente accesibles. Como un camino de u a w seguido de otro de w a u constituye un ciclo, un digrafo se dice fuertemente conexo, por consiguiente, si para cada par de nudos existe un ciclo al que pertenecen. La matriz de accesibilidad de un digrafo fuertemente conexo es totalmente llena. El digrafo de la figura no es fuertemente conexo. Un subgrafo secci´on fuertemente conexo de un grafo G se denomina componente fuertemente conexo o componente fuerte. De la definici´on de subgrafo secci´on y de la de componente fuerte se deriva que cualquier ciclo del grafo G deber´a estar compuesto en su totalidad por nudos del componente fuerte o por ninguno del
  • 128. 128/165 Full Scrn Imprimir componente fuerte, pues si existiese un ciclo que contuviese un nudo u del componente fuerte y otro w no en ese componente fuerte, se podr´ıa a˜nadir w al componente fuerte sin perder su car´acter, lo cual contradir´ıa la hip´otesis. Debido a estas propiedades, un grafo conexo se puede dividir en un conjunto de componentes fuertes disjuntos C1, C2, . . . , Cs. Si G es fuertemente conexo, s = 1. Un arco (v → w) se dice que sale de un componente fuerte C = (Vc, Ec), si v ∈ Vc y w /∈ Vc. El arco (v → w) entra en el componente fuerte C = (Vc, Ec), si v /∈ Vc y w ∈ Vc. Como un componente fuerte es un subgrafo secci´on, los arcos de entrada y salida no pertenecen evidentemente al componente fuerte. Cuando un grafo G es divisible en sus componentes fuertes, es f´acil ver que al menos uno de ellos debe salir de otro sin tener a su vez salida pues si cada componente la tuviese ser´ıa posible trazar un
  • 129. 129/165 Full Scrn Imprimir camino de un componente a otro hasta, eventualmente, llegar a uno de los ya visitados, lo que contradir´ıa la definici´on de componente fuerte. En general, en un digrafo puede haber varios componentes fuertes sin salida. Con las ideas de entradas y salidas se puede construir la denominada estructura de niveles de conexi´on de un digrafo.
  • 130. 130/165 Full Scrn Imprimir Los grafos y la eliminaci´on de Gauss en matrices no sim´etricas En digrafos tambi´en existe el concepto de grafo de eliminaci´on. En una etapa k de la eliminaci´on de Gauss, el digrafo de eliminaci´on (o, indistintamente, tambi´en, grafo de eliminaci´on) correspondiente, relativo a la submatriz activa, se forma eliminando del de la fase k − 1 el nudo vk, todos los arcos que a ´el llegan o de ´el parten, y a˜nadiendo un arco (u → w) cuando existe un camino dirigido {u, v, w}. Por ejemplo, en el digrafo de la figura anterior, en la primera etapa, el grafo de eliminaci´on se obtiene quitando del original el nudo 1 y a˜nadiendo el arco (5 → 2), seg´un se representa en la figura.
  • 131. 131/165 Full Scrn Imprimir 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15                                       × × × × × × × × × ⊗ × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×                                       12 13 14 15 7 8 9 10 11 5 6 1 2 3 4 Al final del proceso, la matriz simb´olica que indica qu´e elementos ser´an distintos de cero una vez completada la factorizaci´on tendr´a la forma que se describe en la figura.
  • 132. 132/165 Full Scrn Imprimir 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15                         × × × × × × × × × × ⊗ ⊗ ⊗ × ⊗ ⊗ × × ⊗ ⊗ × × ⊗ ⊗ × × × × × × × × × × × × × ⊗ ⊗ ⊗ × × ⊗ ⊗ × ⊗ ⊗ ⊗ × × × ⊗ × ⊗ ⊗ × ⊗ × ×                        
  • 133. 133/165 Full Scrn Imprimir Obtenci´on de un transversal completo. Algoritmo de Hall Para conseguir en Ax = b una estructura de la matriz de coeficientes triangular en bloques, la primera tarea consiste en reordenar la matriz de tal forma que, si no lo tiene ya, se consiga un transversal completo; es decir, que todos los elementos de la diagonal principal de la matriz de coeficientes reordenada sean distintos de cero. Si la matriz es regular siempre es posible conseguir un transversal completo; si es singular, no siempre. Si no se puede dar ese transversal completo, la matriz se dice simb´olicamente singular. Si el m´aximo transversal conseguible es k n, a k se le denomina rango simb´olico.
  • 134. 134/165 Full Scrn Imprimir El algoritmo que describimos a continuaci´on para conseguir un transversal completo es una modificaci´on del de Hall [1956]. Requiere n etapas; el objetivo de cada una, k, es colocar un elemento distinto de cero en la posici´on k de la diagonal principal. Funciona de la siguiente manera. Supongamos que se han realizado k etapas del algoritmo y que los k primeros elementos de la diagonal principal son distintos de cero. En la etapa k + 1 podr´a ocurrir: a) Que ak+1 k+1 = 0 con lo que se finaliza la etapa k + 1. b) Que ak+1 k+1 = 0 pero que exista en la submatriz activa, es decir la submatriz de ´ındices de filas y columnas k + 1 a n, un elemento distinto de cero. En este caso, realizando los intercambios de filas y columnas necesarios, se puede llevar ese elemento distinto de cero a la
  • 135. 135/165 Full Scrn Imprimir posici´on (k + 1, k + 1). La submatriz que forman los elementos de sub´ındices 1 a k no se ver´a afectada por estos intercambios por lo que los k primeros elementos de la diagonal principal seguir´an siendo distintos de cero. c) Que s´olo existan elementos cero en la submatriz activa. En este caso tambi´en puede ser posible conseguir colocar un elemento distinto de cero en la posici´on k + 1 de la diagonal principal. Para ello se recurre al trazado de un denominado camino creciente a trav´es de los elementos de la matriz. Si no se puede concluir con ´exito, la matriz ser´a singular y no se podr´a conseguir un transversal completo. El camino creciente comienza (si suponemos que estamos en la etapa k + 1) en la posici´on (k + 1, k + 1) de la matriz A; contin´ua por la fila k + 1 hasta que se encuentra con un elemento distinto de cero en una columna, por ejemplo, la (tal columna debe existir pues de lo contrario todos los elementos de la fila k + 1 ser´an cero y la matriz,
  • 136. 136/165 Full Scrn Imprimir por tanto, singular); de aqu´ı al elemento ( , ) a lo largo de la columna ; a continuaci´on, por la fila hasta encontrar un elemento distinto de cero, por ejemplo en la columna m, etc. El camino va por tanto alternativamente de un elemento diagonal a otro distinto de cero no en la diagonal. Este camino no puede atravesar una misma fila y columna m´as de una vez y, en consecuencia, tampoco un mismo elemento de la diagonal principal. Terminar´a en un elemento distinto de cero en la submatriz que definen las filas de ´ındices 1 a k y las columnas de ´ındices k + 1 a n. Si en el trazado del camino a lo largo de una fila no es posible encontrar un elemento distinto de cero no diagonal en una columna no visitada previamente, se borra la fila del camino (no de la lista de posiciones visitadas) y se vuelve a la fila anterior.
  • 137. 137/165 Full Scrn Imprimir Si en un momento dado, habi´endose visitado r posiciones entre las filas/columnas 1 a k, el camino no puede visitar ning´un nuevo elemento no visitado previamente, la matriz A es singular. En este caso r + 1 filas (las visitadas y la fila k + 1) s´olo tienen elementos distintos de cero en r columnas. Una vez trazado el camino, por ejemplo k + 1, 1, 2, . . . , r, donde r k, se intercambian r + 1 filas y dos columnas a fin de llevar el ´ultimo elemento distinto de cero encontrado en el camino a la posici´on (k + 1, k + 1) de la matriz A. Estos intercambios de filas se hacen de la siguiente manera: la fila k + 1 se intercambia con la 1 la fila 1 se intercambia con la 2 ... ... la fila r−1 se intercambia con la k + 1.
  • 138. 138/165 Full Scrn Imprimir Como las filas se seleccionan de tal manera que la fila 1 tiene un elemento distinto de cero en la posici´on i+1, mediante estos intercambios ese elemento distinto de cero se trasladar´a a la posici´on diagonal ( i+1, i+1) cuando la fila i reemplace a la fila i+1. En consecuencia, la estructura de elementos distintos de cero en la diagonal principal en las posiciones 1 a k no se ver´a afectada por esos intercambios de filas. Adem´as, el ´ultimo elemento distinto de cero encontrado en el camino, una vez efectuados los intercambios, acabar´a en la posici´on (k + 1, r); un ´ultimo intercambio de las columnas k + 1 y r lo llevar´a a la posici´on deseada, (k + 1, k + 1). Obviamente, si r = k + 1, este ´ultimo intercambio de columnas no ser´a necesario. Para aclarar el procedimiento, consideremos una matriz 12 × 12 y el procedimiento descrito es su etapa 9.
  • 139. 139/165 Full Scrn Imprimir 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 × ×× × × ×× × × × ×× ×× × Esta etapa 9 comienza en la posici´on (9, 9). La submatriz que forman los elementos de ´ındices de filas y columnas 9 a 12 son todos cero por lo que se trata de trazar un camino creciente. ´Este comienza en la posici´on (9, 9), sigue por la fila 9 hasta encontrar el elemento distinto de cero de la columna 5; contin´ua por la columna
  • 140. 140/165 Full Scrn Imprimir 5 hasta encontrar el correspondiente elemento distinto de cero de la diagonal principal; sigue por la fila 5 hasta encontrar el elemento distinto de cero de la columna 2; contin´ua por la columna 2 hasta encontrar el elemento distinto de cero de la diagonal principal en la fila 2; sigue por la fila 2 hasta encontrar el elemento distinto de cero de la columna 4; contin´ua por la columna 4 hasta alcanzar el elemento distinto de cero de la diagonal principal en la fila 4; sigue por la fila 4 hasta encontrar el elemento distinto de cero de la columna 7; contin´ua por la columna 7 hasta alcanzar el elemento distinto de cero de la diagonal principal en la fila 7; sigue por la fila 7 encontr´andose que el ´unico elemento distinto de cero de esta fila est´a en la columna 5 que ya se ha visitado. Esto obliga a borrar las filas 7 y 4 del camino (no de la lista de posiciones ya visitadas) y remprender la marcha all´ı donde se abandon´o en la fila 2. Por la fila 2 se llega hasta la columna 6 donde est´a el siguiente elemento distinto de cero; contin´ua en la columna 6 hasta la diagonal principal en la fila 6; sigue por esa fila 6 hasta llegar al elemento
  • 141. 141/165 Full Scrn Imprimir distinto de cero de la columna 1; contin´ua por la columna 1 hasta alcanzar el elemento distinto de cero de la diagonal principal en la fila 1; sigue por la fila 1, par´andose al llegar al primer elemento distinto de cero que encuentra en la columna 12 por estar en la submatriz que nos interesa. El camino es pues {9, 5, 2, 6, 1, 12}. Una vez encontrado el camino, se efect´uan los siguientes intercambios de filas: la fila 9 con la 5; la fila 5 con la 2; la fila 2 con la 6; la fila 6 con la 1; la fila 1 con la 12 y la fila 12 con la 9.
  • 142. 142/165 Full Scrn Imprimir Estos intercambios trasladan el elemento distinto de cero (1, 12) a la posici´on (9, 12). Por ´ultimo se intercambian las columnas 9 y 12. Si el elemento (6, 1) fuese cero, hubi´esemos encontrado que las filas 9, 5, 2, 4, 7 y 6 tienen elementos distintos de cero s´olo en las columnas 5, 2, 4, 7 y 6, lo que significar´ıa que la matriz es singular.
  • 143. 143/165 Full Scrn Imprimir Permutaciones sim´etricas hacia una estructura triangular en bloques Una vez obtenida una permutaci´on P1 de la matriz A de manera que P1A tenga un transversal completo, la siguiente fase de un proceso de triangularizaci´on en bloques de esa matriz consiste en encontrar otra permutaci´on, esta vez sim´etrica, Q, de tal manera que al aplicarla a P1A se consiga la deseada estructura triangular en bloques, es decir, QT (P1A)Q =     B11 B21 B22 ... ... Bn1 Bn2 · · · Bnn     , donde cada bloque diagonal, Bii, no se pueda reducir a una forma triangular inferior. Recordemos una vez m´as que al aplicar permutaciones sim´etricas a un digrafo lo ´unico que var´ıa es la numeraci´on asociada a los nudos.
  • 144. 144/165 Full Scrn Imprimir Los algoritmos m´as eficaces para conseguir este prop´osito se basan en encontrar en el digrafo asociado a una matriz los ciclos que definen sus componentes fuertes. Si existiesen dos de estos componentes fuertes y se reordenase la numeraci´on de los nudos de tal forma que los del primero fuesen los nudos 1 al k y los del segundo del k + 1 al n, se obtendr´ıa una matriz triangular inferior en dos bloques, el primero con k columnas y el segundo con n − k. 1 2 3 4 5 En el grafo dirigido de la figura existen dos componentes fuertes, el formado por los nudos 1 y 2 y el que definen 3, 4 y 5.
  • 145. 145/165 Full Scrn Imprimir La estructura simb´olica de su matriz asociada es × × × × × × × × × × × . Estructura triangular inferior en 2 bloques. Una matriz triangular inferior se puede ver como el caso l´ımite de la triangular inferior en bloques cuando cada bloque diagonal tiene un tama˜no 1 × 1. Rec´ıprocamente, la triangular inferior en bloques se puede ver como una generalizaci´on de la triangular inferior en la que cada componente fuerte hace las veces de un supernudo o nudo generalizado. Los algoritmos para reducir una matriz A cualquiera a una estructura triangular inferior se basan en la siguiente observaci´on:
  • 146. 146/165 Full Scrn Imprimir Si se pudiese reordenar A y transformarla en triangular inferior, deber´ıa haber un nudo en su digrafo asociado del cual no partiese ning´un camino, pues a ese nudo s´olo llegar´ıan arcos en virtud de la estructura de la matriz. Si existiese un tal nudo deber´ıa numerarse el primero en el digrafo renumerado y efectuarse las correspondientes permutaciones de fila y columna en la matriz a fin de llevarlo a la primera posici´on. Una vez hecho esto, eliminando ese nudo y todos los arcos que a ´el llegasen se conseguir´ıa un subgrafo en el cual, en virtud de nuevo de la estructura de la matriz, existir´ıa otro nudo al cual s´olo llegar´ıan arcos. Continuando con esta forma de actuaci´on se llegar´ıa a conseguir una permutaci´on sim´etrica que dar´ıa como resultado una matriz triangular inferior. Para llevar esta forma de proceder a la pr´actica, se puede comenzar
  • 147. 147/165 Full Scrn Imprimir desde cualquier nudo del digrafo asociado correspondiente y trazar un camino hasta que se encuentre un nudo desde el que no parta ning´un otro. Esto es f´acil de implementar pues, dado que sabemos que la matriz es triangularizable, no existen ciclos: cualquier camino s´olo puede tener una longitud como m´aximo igual a n − 1, donde n es el orden de la matriz. Una vez encontrado ese nudo, se numera con el n´umero 1 y se elimina del digrafo inicial as´ı como todos los arcos que a ´el llegan. Del camino trazado se coge el nudo inmediatamente anterior al ya eliminado, u otro cualquiera, hasta encontrar uno del que como antes no parta ning´un arco. Repitiendo esta forma de proceder hasta agotar los nudos se consegu´ıa la estructura triangular inferior esperada.
  • 148. 148/165 Full Scrn Imprimir El digrafo de la figura y la tabla ilustran este proceso. 1 2 4 6 3 5 7 Paso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Camino Trazado 5 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 7 1 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 Los nudos que se van seleccionando para ser numerados se indican en negrita de izquierda a derecha. El digrafo renumerado resultar´a de atribuir, al nudo 3 el n´umero 1, al 5 el 2, al 4 el 3, al 2 el 4, al 1 el 5, al 7 el 6 y al 6 el 7.
  • 149. 149/165 Full Scrn Imprimir Obs´ervese c´omo en el paso 5 no existe camino alguno desde el nudo 5 puesto que el nudo 3 ya hab´ıa sido eliminado. En el paso 9 hay que trazar un nuevo camino pues el anterior se hab´ıa agotado de nudos. Las matrices original y reordenada de este ejemplo son: 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7          × × × × × × × × × × × × × × × ×          y 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7          × × × × × × × × × × × × × × × ×          . Los dos algoritmos m´as eficaces hasta la fecha para implementar lo descrito son el de Sargent y Westerberg y el de Tarjan.
  • 150. 150/165 Full Scrn Imprimir Algoritmo de Sargent y Westerberg Sargent y Westerberg generalizaron la idea expuesta en el apartado anterior para los casos donde en vez de tener s´olo nudos se tienen nudos y bloques de nudos. Para ello parten de una generalizaci´on del concepto de nudo, que denominan nudo compuesto, que definen como aquel que determina un conjunto de nudos tal que a trav´es de ellos se puede definir un ciclo. Algoritmo de Tarjan El algoritmo de Tarjan [1972] se basa en la misma idea que el de Sargent y Westerberg: trazar caminos en el digrafo asociado a la matriz e identificar los componentes fuertes. La ventaja fundamental de ´este frente al de Sargent y Westerberg, radica en que evita la gran cantidad de renumeraciones que puede llegar a ser necesario hacer en aquel.
  • 151. 151/165 Full Scrn Imprimir Caso m´as general Pivotaci´on en matrices dispersas y eliminaci´on de Gauss Si el sistema de ecuaciones lineales que se quiere resolver no presenta ninguna estructura en la matriz de coeficientes digna de ser tenida en cuenta desde el punto de vista de su dispersidad, y ni siquiera interesa triangularizarla por bloques, la forma m´as general de abordar su resoluci´on consiste en utilizar directamente la eliminaci´on de Gauss; eso si, teniendo en cuenta que esa matriz es dispersa y que por tanto conviene proceder con cierta cautela para beneficiarse en lo posible de esta circunstancia. La estrategia forma m´as universalmente aceptada de llevar esto a cabo consiste en hacerlo siguiendo el criterio de Markowitz [1957]. La idea de este autor consiste en factorizar la matriz mediante eliminaci´on de Gauss con pivotaci´on, escogiendo como elemento
  • 152. 152/165 Full Scrn Imprimir pivote en una etapa k aquel ak ij de A que sea num´ericamente aceptable y que minimice el producto (rk i − 1)(ck j − 1), donde rk i es el n´umero de elementos distintos de cero en la fila i de la submatriz activa, Ak , y ck j el n´umero de elementos distintos de cero en la columna j de esa submatriz activa. Obs´ervese que es m´as conveniente usar (rk i − 1)(ck j − 1) que rk i ck j pues de esta manera se fuerza a que se elija un coeficiente ak ij tal que en su fila o columna s´olo exista ´el como elemento distinto de cero. El criterio num´erico de aceptabilidad requiere que |ak ij| ≥ u m´ax l≥k |ak il| o que |ak ij| ≥ u m´ax l≥k |ak lj|, donde u es un par´ametro, 0 u ≤ 1, que se fija previamente.
  • 153. 153/165 Full Scrn Imprimir Supongamos que estamos en la etapa k del proceso y que, como siempre en estos casos, la submatriz activa, Ak , es la que determinan las columnas k a n y las filas k a n de A. En la figura se ilustra la situaci´on para el caso en que n = 7 y k = 3. L U 1 1 1 × × × × × × × × × × × × × × × × c rT Para facilitar la notaci´on, sin p´erdida de generalidad, suponemos que los elementos de la diagonal principal se van haciendo 1. Los vectores r y c son de orden n − k. Si consideramos la matriz cuadrada de rango 1 y orden n − k, crT , la
  • 154. 154/165 Full Scrn Imprimir etapa k de la eliminaci´on de Gauss consiste en restar la matriz crT de la que determinan las filas y columnas k + 1 a n de A. El vector c se convierte en la subcolumna k de L y [1, rT ] en la subfila k de U. El criterio de Markowitz consiste en elegir un ak ij y llevarlo a la posici´on (k, k), por medio de los intercambios de filas y columnas oportunos, de tal forma que el producto del n´umero de elementos del vector c menos 1, ck j − 1, por el del vector r menos 1, rk i − 1, sea m´ınimo. El objetivo que persigue el criterio es encontrar aquel elemento pivote que modifique el menor n´umero posible de coeficientes en la submatriz que resta por factorizar. En el peor de los casos el n´umero de rellenos ser´a (rk i − 1)(ck j − 1).
  • 155. 155/165 Full Scrn Imprimir Problemas de m´ınimos cuadrados de grandes dimensiones Con este nombre se designan aquellos problemas de m´ınimos cuadrados lineales, minimizar x∈ n Ax − b 2, (2) en los que la matriz A es de grandes dimensiones y dispersa. El m´etodo de las ecuaciones normales Como se recordar´a, si S = {x ∈ n : Ax − b 2 = m´ın.}, x ∈ S ⇔ AT (Ax − b) = 0. El segundo miembro de esta ´ultima expresi´on define las ecuaciones normales.
  • 156. 156/165 Full Scrn Imprimir Las ecuaciones normales no son sino un sistema lineal de ecuaciones en el que si A es de rango completo, cosa que supondremos en lo que sigue, la matriz AT A es sim´etrica y definida positiva. Cuando A es dispersa al formar la matriz AT A se pueden crear elementos de relleno. Si ai designa el vector fila i-´esimo de la matriz A ∈ m×n , entonces, AT A = m i=1 aiaT i . (3) Esto expresa la matriz AT A como suma de m matrices de rango 1. Si suponemos que en (3) no se producen errores num´ericos de cancelaci´on, esto es, al sumar o restar dos cantidades distintas de cero el resultado es distinto de cero, la estructura de dispersidad de AT A es la suma de las estructuras de aiaT i , i = 1, 2, . . . , m.
  • 157. 157/165 Full Scrn Imprimir Teorema 3 Sup´ongase que no se producen errores num´ericos de cancela- ci´on en el c´alculo de AT A. Entonces, AT A jk = 0 ⇔ aij = 0 y aik = 0 para al menos una fila i = 1, 2, . . . , m. Este teorema permite determinar muy f´acilmente la posici´on de los elementos distintos de cero de AT A, a partir de los de A, sin necesidad de calcularlos num´ericamente. Si el supuesto de no cancelaci´on num´erica no fuese cierto, el n´umero de elementos que se estimase para AT A podr´ıa ser mucho mayor que el real. Por ejemplo, si A es ortogonal, AT A = I, por lo que AT A es dispersa aun cuando A fuese muy densa o totalmente llena. Del teorema anterior se desprende que si A tiene una sola fila
  • 158. 158/165 Full Scrn Imprimir completamente ocupada, aunque el resto de las filas fuesen dispersas, AT A ser´a totalmente densa. Por ejemplo, si A =      × × × × × × × × ×      , (4) AT A ser´a totalmente densa. Partiendo de estas consideraciones, un algoritmo especializado que utilizase las ecuaciones normales para resolver el problema de m´ınimos cuadrados dispersos ser´ıa el de la tabla. El algoritmo a utilizar para determinar la permutaci´on Q que requiere el paso 2 puede ser el de grado m´ınimo.
  • 159. 159/165 Full Scrn Imprimir Paso 1 – Determinar la estructura simb´olica de AT A. Paso 2 – Determinar una permutaci´on de columnas Q tal que QT AT AQ tenga una estructura dispersa ventajosa en relaci´on con el tipo de sistema a resolver: es decir, que su factor de Cholesky, G, sea disperso. Paso 2’ – Factorizar simb´olicamente por Cholesky la matriz QT AT AQ y generar las estructuras de datos y memo- ria necesarias para G. Paso 3 – Calcular num´ericamente B = QT AT AQ y c = QT AT b; almacenar B en la estructura de datos correspondien- te a G. Paso 4 – Calcular num´ericamente la factorizaci´on de Cholesky, GT G, de B. Resolver GT z = c, Gy = z y, por fin, x = Qy. Algoritmo para m´ınimos cuadrados con matriz dispersa
  • 160. 160/165 Full Scrn Imprimir M´etodos basados en transformaciones ortogonales. M´etodo de George-Heath Las transformaciones ortogonales utilizan una matriz ortogonal Q ∈ m×m para reducir A ∈ m×n (que supondremos de rango n) y b ∈ m de la forma QA = R1 0 y Qb = c d , donde R1 ∈ n×n es una matriz triangular superior y c ∈ n . La soluci´on del problema de m´ınimos cuadrados se obtiene resolviendo el sistema R1x = c; la suma de residuos al cuadrado es d 2 2. El algoritmo que proponen George y Heath [1980], al que denominan ortogonalizaci´on secuencial de filas, procesa las filas de A secuencialmente.
  • 161. 161/165 Full Scrn Imprimir Si Ri−1 designa la matriz triangular superior que se obtiene despu´es de procesar las filas aT 1 , . . . , aT i−1, al procesar la fila aT i = [ai1, ai2, . . . , ain] se buscan de izquierda a derecha los elementos distintos de cero; para cada aij = 0, se define una rotaci´on o transformaci´on de Givens simb´olica que involucre a la fila j de Ri−1 y anule aij. Procediendo as´ı se pueden crear nuevos elementos distintos de cero tanto en Ri−1 como en la fila aT i . El proceso contin´ua hasta conseguir Ri. Si en el transcurso del tratamiento de la fila i, al llegar al elemento j, ´este, rjj, querr´a decir que la fila j en Ri−1 todav´ıa no se ha visto afectada por ninguna rotaci´on y la totalidad de la fila j debe ser cero. Cuando esto ocurre se intercambian la fila j con la i. En la figura se ilustra este proceso al actuar sobre los elementos de la fila 9 de una matriz 9 × 8.
  • 162. 162/165 Full Scrn Imprimir × 0 × 0 0 × 0 0 ⊗ 0 ⊕ ⊗ 0 0 ⊕ × 0 × 0 0 × ⊗ ⊗ 0 0 ⊕ ⊗ ⊗ 0 ⊕ ⊕ 0 ⊕ × 0 × 0 × 0 × ⊕ ⊕ 0 × Los s´ımbolos ⊗ designan los elementos de R8 involucrados en la eliminaci´on de aT 9 ; ⊕ los que se crean en esa eliminaci´on. Obs´ervese que los tres ´ultimos elementos de esta fila 9, una vez anulados del 1 al 5, se intercambiar´ıan con la fila 6. Una vez efectuada la factorizaci´on simb´olica y determinada por tanto la estructura de elementos distintos de cero de R1, se procede con la factorizaci´on num´erica.
  • 163. 163/165 Full Scrn Imprimir Ordenaci´on de filas A pesar de que la matriz R1 que se obtiene es independiente del orden en que se tratan las filas de A, lo cierto es que el n´umero de elementos de relleno en los pasos intermedios, y por tanto el n´umero global de operaciones que necesita el algoritmo de George y Heath, depende mucho de ese orden. Por ejemplo, las matrices A =              × × × × × × ... × × × × × ×                 m    n y PA =              × × ... × × × × × × × × × ×                 m    n requieren, respectivamente, O(mn2 ) y O(n2 ) operaciones para
  • 164. 164/165 Full Scrn Imprimir reducirlas. Una regla que se puede aplicar para reordenar las filas es la siguiente: Si el ´ındice de columna del ´ultimo elemento distinto de cero de la fila aT i es i y el primero fi, ordenar primero las filas de tal forma que los ´ındices fi, i = 1, 2, . . ., cumplan que fi ≤ fk si i k y luego, para cada grupo de filas tales que fi = k, k = 1, . . . , m´axi fi, ordenar las filas seg´un i crecientes. Si se aplica la regla anterior a la matriz A representada m´as arriba, se obtendr´ıa la reordenaci´on que se esquematizaba como PA. El algoritmo completo de George y Heath se describe en la tabla.
  • 165. 165/165 Full Scrn Imprimir Paso 1 – Determinar la estructura simb´olica de AT A. Paso 2 – Determinar una permutaci´on de columnas Q tal que QT AT AQ tenga una estructura dispersa ventajosa en relaci´on con el tipo de sistema a resolver: que su factor de Cholesky, G, sea disperso. Paso 2’ – Factorizar simb´olicamente por Cholesky, GT G, la ma- triz QT AT AQ y generar las estructuras de datos y me- moria necesarias para G. Paso 3 – Determinar una permutaci´on de filas P tal que las filas de PAQ tengan unos i crecientes. Paso 4 – Calcular num´ericamente R1 y c procesando las filas de [PAQ, Pb] mediante transformaciones de Givens. Paso 5 – Resolver Ry = c. Hacer x = Qy. Algoritmo de ortogonalizaci´on dispersa de George y Heath