Funcs polinómicas apunte
- 1. ESCUELA MODELO D.E.V.O.N. MATEMÁTICA 5to Año 2014 Unidad Nº2: FUNCIONES POLINÓMICAS Síntesis teórica Una función ( )f x es “polinómica”, si es de la forma f: R→R / 1 2 2 1 2 2 1 0( ) .......n n n n n nf x a x a x a x a x a x a donde los 0 1, ,...., na a a son números reales, nes un número natural o cero y todas las potencias a las que aparece elevado x son números naturales o cero. Los valores 0 1, ,...., na a a son los coeficientes del polinomio, na se llama coeficiente principal 0na , 0a se denomina término independiente y n es el grado del polinomio. En las funciones polinómicas se cumple que 𝐷𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑅. La determinación del 𝐶𝑑 𝑓(𝑥) queda definida una vez trazada su gráfica, ya que cada función puede poseer un codominio distinto debido a sus características. Las funciones polinómicas pueden ser biyectivas, sólo inyectivas, sólo sobreyectivas, o ninguna de las dos. Para realizar el gráfico de una función polinómica es necesario hallar: Dm f(x), Ordenada al origen, Ceros de f(x), intervalos de positividad y negatividad. No es posible resolver en forma analítica el resto de los ítems de un estudio de función (intervalos de monotonía, intervalos de convexidad, extremos relativos y absolutos, etc.). La ordenada al origen es el término independiente , ya que sustituyendo a la variable por el valor cero, se obtiene: 𝑓(0) = 𝑎0 Se deben calcular las raíces del polinomio f(x), es decir 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎0 = 0. Para ello debemos factorizar como un producto de factores algebraicos irreducibles, y tener presente la propiedad A.B=0 A=0 B=0. 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑛 ∙ (𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2) ∙ … … … ∙ (𝑥 − 𝑥 𝑛) La raíz 𝑎 de 𝑃(𝑥) es raíz de multiplicidad 𝒎 si podemos escribir a 𝑃(𝑥) de la forma 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) 𝑚 ∙ 𝑄(𝑥), donde 𝑄(𝑥) es un polinomio con 𝑄(𝑎) ≠ 0 Sea la raíz ade ( )P x de multiplicidad m: ( ) ( ) m P x x a Q x , donde ( )Q x es un polinomio con ( ) 0Q a , llamamos “orden de multiplicidad de la raíz” a la cantidad de veces que ésta se repite como tal (m). Si el Orden de multiplicidad m de la raíz a es PAR: : ( ) ( ) m P x x a Q x con 𝑚 𝑁𝑜 y par, la gráfica de la función corta al eje x pero no lo atraviesa. En otras palabras, las raíces múltiples pares, en el gráfico son tangentes al eje de abscisas, es decir que a ambos lados de la raíz la función es del mismo signo. Si el Orden de multiplicidad m de la raíz a es IMPAR: : ( ) ( ) m P x x a Q x con 𝑚 𝑁𝑜 y impar, la gráfica de la función corta al eje x y lo atraviesa. En otras palabras, las raíces múltiples impares, generan que a ambos lados de la raíz la función sea de signos distintos. Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales. Una vez factorizado el polinomio, la suma de las multiplicidades 𝑚 𝑖 de las raíces es igual a 𝑚, siendo todas las raíces reales. Si el polinomio posee raíces no reales, éstas se dan de a pares. Para hallar los intervalos de positividad y negatividad, es útil diseñar una tabla que contenga como “puntos críticos” a las raíces, y entre ellas se describan los intervalos correspondientes. Por el Teorema de Bolzano-Weierstrass y su corolario sabemos que entre dos raíces consecutivas la función no cambia de signo. Por ello elegimos un representante p de cada intervalo, y extraemos de él su imagen y sobretodo el signo que toma ( )f x . TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSTRASS: Si una función f es continua en un intervalo ;a b y ( ) 0 ( ) 0 (o ( ) 0 ( ) 0)f a f b f a f b , entonces existe un valor ;c a b tal que ( ) 0f c Corolario: Entre dos raíces consecutivas de una función continua, los valores de la función no cambian de signo. O es positiva o es negativa. El gráfico de una función polinómica no posee una curva característica específica sino que se obtiene del estudio analítico mencionado anteriormente.