Matrices introducción
- 1. MATRIZ Es un arreglo de números reales. Se utilizará una matriz para la representación de ecuaciones lineales. DEFINICIÓN: Una matriz se define como un arreglo rectangular de números: a11 a12 … a1j … a1n a21 a22 … a2j … a2n . . … . … . . . … . … . ai1 ai2 … aij … ain . . … . … . . . … . … . am1 am2 … amj … amn Columna j Renglon i
- 2. Cada número aij de la matriz tiene dos índices: el índice de renglón i y el índice de columna j. La matriz anterior tiene m renglones y n columnas. EJEMPLO No. 1 En una encuesta de 1000 personas se obtuvo la siguiente información: 200 hombres piensan que el gasto militar es muy alto. 150 hombres piensan que el gasto militar es muy bajo. 45 hombres no opinaron. 315 mujeres piensan que el gasto militar es muy alto. 125 mujeres piensan que el gasto militar es muy bajo. 165 mujeres no opinaron.
- 3. Podemos arreglar los datos anteriores en un arreglo rectangular: O como: Esta matriz tiene dos renglones (Hombres y mujeres) y tres columnas (¨muy alto¨ ¨muy bajo¨y ¨sin opinión¨). MUY ALTO MUY BAJO NO OPINARON Hombres 200 150 45 Mujeres 315 125 165 200 150 45 315 125 165
- 4. En general, una matriz con m renglones y n columnas es una matriz de m por n. La matriz del ejemplo No. 1 es una matriz 2 por 3. Si una matriz de m * n tiene el mismo número de renglones que de columnas m = n, entonces es una matriz cuadrada. EJEMPLOS DE MATRICES Matriz cuadrada de 2 por 2 Matriz cuadrada de 3 por 3 (a) -5 0 -6 1 (b) 6 -2 4 4 3 5 8 0 1
- 5. MATRICES IGUALES Dos matrices A y B de m por n son iguales, lo cual se denota A = B Siempre y cuando cada entrada aij en A sea igual a la entrada correspondiente bij en B Ejemplos: Ejemplificar cuales no serían matrices iguales. Entradas diferentes y # de columnas o filas no iguales. 𝟐 𝟏 𝟎. 𝟓 − 𝟏 𝟒 𝟏 𝟏/𝟐 − 𝟏 = 𝟑 𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 − 𝟐 𝟗 𝟒 𝟏 𝟎 𝟏 𝟑 −𝟖=
- 6. Suma y resta de matrices Sean: Determinar A + B 𝟐 𝟒 8 -3 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 −𝟑 𝟒 0 1 𝟔 𝟖 𝟐 𝟎A = y B= 𝟐 𝟒 8 -3 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 −𝟑 𝟒 0 1 𝟔 𝟖 𝟐 𝟎A + B = + A + B = 𝟐 + −𝟑 𝟒 + 𝟒 8 + 0 -3 + 1 0 + 𝟔 𝟏 + 𝟖 2 + 2 3 + 0 A + B = -1 𝟖 8 -2 𝟔 𝟗 4 3
- 7. Determinar A – B Si A, B y C son matrices de m por n. Entonces la suma de matrices es conmutativa. PROPIEDAD CONMUTTIVA A + B = B + A PROPIEDAD ASOCIATIVA (A + B) + C = A + (B + C) 𝟐 𝟒 8 -3 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 −𝟑 𝟒 0 1 𝟔 𝟖 𝟐 𝟎 A - B = - A - B = 𝟐− −𝟑 𝟒 − 𝟒 8 - 0 -3 - 1 0 − 𝟔 𝟏 − 𝟖 2 - 2 3 - 0 A - B = 5 𝟎 8 -4 −𝟔 −7 0 3
- 8. Sean: Determinar (a) 4A (b) 1/3C (a) 3A – 2B 𝟑 𝟏 5 − 𝟐 𝟎 𝟔 A = 𝟒 𝟏 0 8 𝟏 − 𝟑 B = 𝟗 𝟎 − 𝟑 𝟔 C = 𝟑 𝟏 5 − 𝟐 𝟎 𝟔 4A = 4 = =𝟒 ∗ 𝟑 𝟒 ∗ 𝟏 𝟒 ∗5 − 𝟐 ∗ 𝟒 𝟎 ∗ 𝟒 𝟒 ∗ 𝟔 𝟏𝟐 𝟒 20 −𝟖 𝟎 𝟐𝟒 𝟗 𝟎 − 𝟑 𝟔 1/3 C = 1/3 = = 𝟏 𝟑 ∗ 𝟗 𝟏 𝟑 ∗ 0 𝟏 𝟑 ∗ −𝟑 𝟏 𝟑 ∗ 𝟔 𝟑 𝟎 −𝟏 𝟐
- 9. 𝟑 𝟏 5 − 𝟐 𝟎 𝟔 3A – 2B= 3 𝟒 𝟏 0 8 𝟏 − 𝟑 -2 𝟑 ∗ 𝟑 𝟑 ∗ 𝟏 𝟑 ∗5 3*−𝟐 𝟑 ∗ 𝟎 𝟑 ∗ 𝟔 3A – 2B= 𝟐 ∗ 𝟒 𝟐 ∗ 𝟏 2* 0 2*8 𝟐 ∗ 𝟏 𝟐 ∗ −𝟑 - 9 𝟑 15 − 𝟔 𝟎 𝟏𝟖 3A – 2B= 𝟖 𝟐 0 1𝟔 𝟐 − 𝟔 - 3A – 2B= 9 − 𝟖 𝟑 − 𝟐 15 - 0 −𝟔 − 𝟏𝟔 𝟎 − 𝟐 𝟏𝟖 − (−𝟔) 3A – 2B= 𝟏 𝟏 15 −𝟐𝟐 − 𝟐 𝟐𝟒
- 10. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA MULTIPLICACIÓN ESCALAR Sean h y k números reales y A y B matrices m por n, entonces: PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR k (h A) = (k h) A (k +h) A = k A + h A k (A + B) = k A + k B
- 11. La demostración de estas propiedades se basan en las propiedades de las números reales. Por ejemplo, si A y B son matrices de 2 por 2, entonces: 𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐 𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟐𝟐 k (A+B) = k + = k 𝒃 𝟏𝟏 𝒃 𝟏𝟐 𝒃 𝟐𝟏 𝒃 𝟐𝟐 𝒂 𝟏𝟏 + 𝒃 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐 + 𝒃 𝟏𝟐 𝒂 𝟐𝟏 + 𝒃 𝟐𝟏 𝒂 𝟐𝟐+𝒃 𝟐𝟐 = = 𝒌(𝒂 𝟏𝟏 + 𝒃 𝟏𝟏) 𝒌(𝒂 𝟏𝟐 + 𝒃 𝟏𝟐) 𝒌(𝒂 𝟐𝟏 + 𝒃 𝟐𝟏 ) 𝒌( 𝒂 𝟐𝟐+ 𝒃 𝟐𝟐) 𝒌𝒂 𝟏𝟏 + 𝒌𝒃 𝟏𝟏 𝒌𝒂 𝟏𝟐 + 𝒌𝒃 𝟏𝟐 𝒌𝒂 𝟐𝟏 + 𝒌𝒃 𝟐𝟏 𝒌𝒂 𝟐𝟐+ 𝒌𝒃 𝟐𝟐 = + = 𝒌𝒂 𝟏𝟏 + 𝒌𝒂 𝟏𝟐 𝒌𝒃 𝟏𝟏 + 𝒌𝒃 𝟏𝟐 𝒌𝒂 𝟐𝟏 + 𝒌𝒂 𝟐𝟐 𝒌𝒃 𝟐𝟏+ 𝒌𝒃 𝟐𝟐 k + k 𝒂 𝟏𝟏 + 𝒂 𝟏𝟐 𝒃 𝟏𝟏 + 𝒃 𝟏𝟐 𝒂 𝟐𝟏 + 𝒂 𝟐𝟐 𝒃 𝟐𝟏+ 𝒃 𝟐𝟐 = k A + k B