Modulo2
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Este documento presenta: 1) Un marco teórico sobre modelos de ondas viajeras en líneas de transmisión eléctrica, incluyendo ecuaciones para líneas monofásicas sin pérdidas. 2) Los objetivos de simular una línea monofásica ideal sin pérdidas energizada por una fuente de impulsos y escalón de voltaje. 3) Parámetros a considerar en las simulaciones como resistencia de fuente, carga y longitud de línea.
Modulo2
- 1. 39 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa 5. ONDAS VIAJERAS EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA 5.1 OBJETIVO El objetivo de este módulo sobre onda viajera es entender la solución obtenida analíticamente para la onda viajera en líneas de transmisión y darle la correspondiente interpretación física. A partir de la solución para línea ideal de la ecuación del telegrafista se va a confirmar mediante simulación los resultados obtenidos de la solución analítica. Conocer los modelos matemáticos para la solución de ecuación de onda para línea monofásica con pérdidas y para línea trifásica. 5.2 MARCO TEÓRICO Los modelos que utilizan los programas de simulación digital para la onda viajera en líneas y cables se dividen en forma general: Modelo para línea trifásica transpuesta (Modelo de Clarke). Modelo para línea no transpuesta (Modelo K.C. LEE) Modelos que incluyen variación de los parámetros con la frecuencia El modelo de Clarke utiliza para los cálculos una matriz de transformación constante, ya que para línea transpuesta los parámetros para los modos de propagación siempre se pueden evaluar de la misma manera. Las matrices de transformación básicamente lo que hacen es descomponer una propagación que se daría por una línea acoplada (caso trifásico por ejemplo) en varios modos de propagación. Para el caso de línea trifásica transpuesta, los parámetros para los tres modos de propagación, se pueden obtener a partir de las componentes de secuencia y se obtienen los mismos resultados. Cuando la línea deja de ser transpuesta los modos se evalúan para cada caso en forma particular. Para este caso
- 2. 40 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa se debe calcular una matriz de transformación particular, que se hace normalmente con la opción LINE CONSTANTS del ATP. 5.2.1 Solución para línea monofásica sin pérdidas Para determinar en forma exacta el comportamiento de la línea en régimen transitorio, se plantea las ecuaciones del telegrafista. Estas ecuaciones se plantean a partir de un elemento diferencial como el de la Figura 5.1. x R.x L.x G.x C.x Z1 Z2 I1(t) V1(t) V2(t) I2(t)i(x,t) i(x+x,t) v(x,t) v(x+x,t) + + - + + - - - x=0 x=d Vf(t) Figura 5.1 Elemento diferencial circuital de línea, variables x y t R Resistencia por unidad de longitud L Inductancia por unidad de longitud G Conductancia por unidad de longitud C Capacitancia por unidad de longitud Sobre el elemento diferencial de línea se plantean ecuaciones de voltaje y de corriente de acuerdo a las leyes de Kirchoff. Planteando ley de voltajes: t txi xLtxixRxxvtxv ),( ),(.)(),( (5.1) Dividiendo por x en ambos miembros de la ecuación (5.1)
- 3. 41 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa t txi LtxRi x xxvtxv ),( .),( )(),( (5.2) Tomando límites cuando x 0 t txi LtxiR x txv ),( .),(. ),( (5.3) Planteando ley de corrientes en el elemento diferencial : t txxv xCtxxvxGtxxitxi ),( .),(.),(),( (5.4) Dividiendo por x en ambos miembros de la ecuación (5.4) t txxv CtxxG x txxitxi ),( ),(. ),(),( (5.5) Tomando límites cuando x 0 t txv CtxGv x txi ),( ),( ),( (5.6) Las ecuaciones (5.3) y (5.6) se deben resolver simultáneamente. Existen diferentes métodos para resolver las ecuaciones de la línea: El Método de D’Alembert El Método Clásico El Método mediante la Transformada doble de Laplace Los dos primeros métodos son los más utilizados porque dan una solución realmente simple ya parten de un supuesto de solución que cumpla con las ecuaciones de borde del problema.
- 4. 42 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa El método de Laplace es mucho más elaborado con la ventaja de que la interpretación de la solución final es mucho más sencilla. Otra ventaja es la de que la suposición de casos particulares de solución, como la de línea ideal sin pérdidas, solo hay que hacerlo al final, permitiendo un paso fácil hacia los modelos de líneas considerando las pérdidas. Utilizando el método de doble transformada de Laplace, para las variables tiempo y para el desplazamiento x, se obtiene una solución analítica para el caso de línea ideal sin pérdidas (R=0, G=0). Esta solución para el voltaje y la corriente corresponde a las ecuaciones 5.7 y 5.8. .../4/4 /4/4 /2/2 /2/2 // ),( 2 2 2 1 2 21 21 2 1 vxdtuvxdtvrr vxdtuvxdtvrr vxdtuvxdtvrr vxdtuvxdtvr vxtuvxtv ZcZ Zc tx f f f f f v (5.7) .../4/4 /4/4 /2/2 /2/2 // 1 ),( 2 2 2 1 2 21 21 2 1 vxdtuvxdtvrr vxdtuvxdtvrr vxdtuvxdtvrr vxdtuvxdtvr vxtuvxtv ZcZ tx f f f f f i (5.8) Donde, Zc C L Impedancia característica de la línea (Ω) ZcZ ZcZ r 1 1 1 Coeficiente de reflexión al inicio de la línea ZcZ ZcZ r 2 2 2 Coeficiente de reflexión al final de la línea
- 5. 43 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa 1Z es la impedancia de la fuente. 2Z es la impedancia en la carga. Cuando la línea es del tipo semi-infinita las ondas reflejadas del lado de la carga nunca llegan y en las dos ecuaciones anteriores solamente aparece el primer término de la serie: vxtuvxtv ZcZ Zc tx fv //),( 1 (5.9) vxtuvxtv ZcZ tx fi // 1 ),( 1 (5.10) Igual sucede cuando la línea tiene una carga resistiva igual a su impedancia característica de la línea. 5.3 SIMULACIONES Se van a realizar una serie de simulaciones, empezando por líneas ideales y luego con líneas reales del sistema de transmisión colombiano. Para las líneas ideales y aún para líneas transpuestas, los parámetros se pueden estimar mediante cálculos manuales, pero para líneas reales, se debe apoyar en el subprograma Line Constants del Atp, para que determine los parámetros correspondientes a los modelos de onda viajera. Este subprograma hace parte del mismo programa ATP. 5.3.1 Energización de línea monofásica sin pérdidas en vacío con una fuente impulso de voltaje Esta primera simulación se va a realizar considerando una línea ideal sin pérdidas. La línea se va dividir en dos tramos de 25 km para efectos únicamente de observar lo que le sucedería a un observador que esté situado a mitad de línea.
- 6. 44 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa Longitud = 50 km Impedancia característica = 500 Velocidad de propagación = 3*105 km/s Tmax = 2.5 ms t = 0.15 s Figura 5.1 Línea energizada con un impulso de voltaje La fuente de voltaje a considerar es una de tipo impulso de 8 s de frente y una constante de tiempo de cola de 20 s (Ver Figura 5.2). Figura 5.2 Ventana de datos fuente tipo impulso de voltaje
- 7. 45 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa Lo que se pretende con esta simulación es entender la solución dada a la propagación de una onda viajera planteada en las ecuaciones 5.7 y 5.8. La energización se realiza con una función impulso con el único fin de que los términos de la solución a la ecuación de onda gráficamente aparezcan en forma separada. Para éste caso se utiliza el modelo de onda viajera monofásico de Clarke, el cual se selecciona de acuerdo a la Figura 5.3 Figura 5.3 Modelo de Clarke monofásico para onda viajera. Para asignar los datos de la línea hay varias opciones dependiendo de la opción ILINE, que puede tomar los valores 0, 1 o 2. Para comprender estas opciones se puede apoyar en la ventana del HELP (Ver Figura 5.4). Figura 5.4 Ventana datos del modelo de Clarke
- 8. 46 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa Los parámetros que requiere este modelo son los siguientes: Resistencia de pérdidas (/unidad de longitud) Impedancia característica (), para ILINE=1 (Z,v) Velocidad de propagación (unidad de longitud/s), para ILINE=1 Distancia del tramo de red (unidad de longitud) Variable de control de unidades ILINE. Para el caso de las definiciones anteriores esta variable debe tener valor 1 En las versiones actuales de Atpdraw, el parámetro ILINE es transparente para el usuario, ya que aparecen las tres opciones disponibles mediante un botón, tal como aparece en la Figura 5.4. Considerar las siguientes situaciones para la fuente y la carga: Rfuente de 0.1 y Rcarga de 500 Rfuente de 0.1 y Rcarga de 250 Rfuente de 0.1 y Rcarga de 750 Rfuente de 0.1 y Rcarga de 1 M Rfuente de 500 y Rcarga de 1 M Para cada uno de los anteriores casos y de acuerdo a la solución de la ecuación de onda, indicar cuál es la solución analítica para el voltaje a mitad y al final de la línea. 5.3.2 Energización de línea monofásica sin pérdidas en vacío Figura 5.5 Línea ideal energizada con fuente escalón de voltaje
- 9. 47 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa Para la simulación, implementar el circuito de la Figura 5.5. La energización se va a hacer inicialmente con una fuente constante y para línea ideal sin pérdidas. Una precaución importante para las simulaciones que se hagan utilizando los modelos de onda viajera es la de que la variable Deltat (Delta de tiempo de simulación) debe ser menor que el tiempo de viaje de la línea más corta. Para el caso de la anterior línea que tiene una velocidad de propagación de 300.000 km/s y una distancia de 100 km: seg Velocidad Distancia MáximoDeltat 33.333 300000 100 Se podría tomar un Deltat de 10 s. Con el fin de determinar el tiempo de simulación (Tmax) se debe tener en cuenta la duración del período de la oscilación de voltaje al final de la línea, que para una línea está del orden de cuatro veces el tiempo de viaje, y considerando que se quieren realizar la simulación durante 10 períodos: msmaxT 3.131033.333410 6 Es bueno chequear el número de pasos de cálculo que tendría la simulación: pasos Deltat maxT cálculodepasosdeNúmero 1330 1010 103.13 6 3 Este chequeo se realiza porque el número de pasos podría dar lugar a una simulación muy pesada y habría que afectar adecuadamente los "settings" enteros. Recordar que la variable "Plot Freq" de los "settings" enteros debe ser un número entero impar. 5.3.3 Energización de línea monofásica sin pérdidas con carga Energizar nuevamente la línea pero considerando una carga resistiva con los siguientes valores:
- 10. 48 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa Rcarga de 1000, 100 y 500 Figura 5.6 Línea ideal energizada con carga Para cada caso calcular el coeficiente de reflexión y compararlo con el tipo de oscilación que se presenta. 5.3.4 Energización de línea monofásica sin pérdidas con resistencia de preinserción Figura 5.7 Línea ideal con resistencia de preinserción Una manera de controlar la magnitud del sobrevoltaje que se presenta al final de una línea durante su energización es mediante una resistencia de preinserción. El objetivo de esta resistencia es hacer que la onda viajera que regresa de la línea hacia la fuente vea un coeficiente de reflexión muy pequeño. Considerar el sistema que se ilustra en la Figura 5.7. A la resistencia de preinserción para efectos de la simulación se le debe controlar dos parámetros básicos: Valor de la resistencia Tiempo que debe permanecer conectada en serie con la línea.
- 11. 49 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa Este par de parámetros se debe escoger y justificar adecuadamente de acuerdo al sistema bajo simulación. 5.3.5 Obtención modelos Lee y Clarke Los modelos de onda viajera para línea transpuesta y no transpuesta son los modelos más utilizados para representar adecuadamente una red de transmisión de energía eléctrica para diferentes estudios de un sistema de potencia. Para estudio de transitorios y considerando una línea trifásica se hace una descomposición en modos de propagación. Lo anterior es semejante a la descomposición que se hace en redes de secuencia para estudios de estado estacionario. Cuando la línea es transpuesta y los transitorios a estudiar no son de alta frecuencia, los modos de propagación se pueden obtener a partir de la teoría básica de impedancias de secuencia. Para la práctica se van a calcular los modos de propagación a partir de los parámetros de secuencia. )/( kmsecuenciaRmodoR (5.11) )( F)secuencia(C (H)secuenciaL modoZc (5.12) (km/s) sec.(F/km)deCapac(H/km)sec.deInduc 1 prop.deVel. (5.13) De manera análoga que se obtiene para los parámetros de secuencia, para los modos de propagación se obtienen tres tipos, donde el primero es el modo tierra (ground) y tienen influencia de las características del suelo, los dos siguientes son iguales entre si y no tienen influencia del suelo. La formulación básica para cálculo de parámetros de secuencia de una línea con dos cables de guarda es:
- 12. 50 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa Z+Zg Z6 -)Z+Z(=Z gg 2 fg MS0 2 (5.14) km DMG.GRM Dew jfRac=ZmZs 2 /ln 2 310*32 3 42 (5.15) mf/658,86=De (5.16) km DMGfg Dew jf=Zfg /ln 2 10 42 (5.17) km Dgg Dew jf=Zgg /ln 2 10 42 (5.18) km GRM Dew jfRac=Zg /ln 2 10 42 (5.19) km GRM DMGw jRac=Z /ln 2 1 (5.20) Para el cálculo de las capacitancias se pueden utilizar las siguientes expresiones: km nF r DMG r DMG πε =C ff ln 55.55 ln 2 1 (5.21) 2 2 3 2 0 . ln ln . ln 2 3 1 guardasg guardasimágenesguardas guardasfases guardasimágenesfases f imágenesfases Dr DMG DMG DMG DMGr DMG πε =C (5.22)
- 13. 51 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa Realizar los cálculos de los modos de propagación para una línea de 500 kV la cual tiene la siguiente configuración. 25 m 12.5 m 46 cm 33 m 43 m Figura 5.8 Configuración línea de 500 kV En el informe deben aparecer los cálculos para estos modos de propagación de manera que los confrontemos con los que se obtengan mediante el modelo que se genere con el programa ATP. Hacer el cálculo para frecuencias de 60, 100, 500 y 1000 Hz y para una resistividad del terreno de 150 *m. Los modos de propagación se pueden presentar como Rpérdidas, Zc y Vel de propagación. Los datos físicos del conductor y cable de guarda son: Conductor Cable de guarda Diámetro 25.17 mm 8.71 mm Rdc 0.08912 /km 1.844 /km
- 14. 52 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa Considerar para el cable de guarda la conexión tradicional, es decir continuo y aterrizado en cada estructura. Los resultados que se obtengan sirven para alimentar la ventana de datos del modelo que en el programa se llama modelo de Clarke (3 fases). Figura 5.9 Ventana de datos para modelo de Clarke trifásico Consultar en el Help la definición de cada uno de estos parámetros:
- 15. 53 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa Figura 5.10 Ayuda para el modelo de Clarke. 5.3.6 Obtención modelos Lee y Clarke con Line Constants Consultar la opción Line Constants del Atp, con el fin de entender las diferentes opciones que tiene este subprograma. Esta opción corresponde a LINES/CABLES LCC de la caja de herramientas. Lo que se puede obtener a partir de esta opción que ofrece la interfaz Atpdraw es una corrida del subprograma Line Constants para generar modelos de líneas lo mismo que obtener parámetros de secuencia o una matriz de impedancias o capacitancias. Para esta línea se requiere obtener la siguiente información: Obtener el modelo de onda viajera trifásico para línea transpuesta. De acuerdo al formato para el modelo de Clarke leer los valores de Resistencia de pérdidas, Impedancia Característica, Velocidad de Propagación para los diferentes modos de propagación. Para el caso de línea trifásica son tres (El concepto es equivalente a descomposición en redes de secuencia). Las longitudes de línea es de 209 km. En la obtención de estos modelos es muy importante la frecuencia del
- 16. 54 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa fenómeno transitorio, en este caso la del voltaje al final de la línea y que debe ser muy aproximada a la que se presente en forma real cuando ocurra el transitorio. Asumir una resistividad del terreno de 150 .m, y una velocidad de propagación igual a la de la luz para el cálculo de los parámetros (esto último equivale a un cálculo que se debe hacer de la frecuencia de oscilación del voltaje al final de la línea en el tiempo de energización). $VINTAGE, 1 -1IN___AOUT__A 3.39705E-01 6.05992E+02 2.16960E+05 2.09000E+02 1 -2IN___BOUT__B 2.39784E-02 2.58618E+02 2.93489E+05 2.09000E+02 1 -3IN___COUT__C $VINTAGE, 0 Figura 5.11 Formato del modelo de Clarke trifásico En el modelo de Clarke el programa Atp utiliza una transformación interna que tiene. Investigar cuál es dicha transformación y porque no es válido utilizar la transformación de componentes simétricas. Determinar la sensibilidad de los parámetros: Resistencia de Pérdidas, Impedancia Característica y Velocidad de Propagación, con respecto a variación de la frecuencia (10 Hz f 5000 Hz) y la resistividad del terreno (100- 3000 .m). Estas sensibilidades se deben presentar en forma tabular y en forma gráfica. Determinar la relación entre Zc y R/4 (R es la resistencia de pérdidas total de la línea) con el fin de verificar la necesidad de considerar tramos más cortos de línea en la modelación. Se debe cumplir que Zc>>R/4 para garantizar un funcionamiento adecuado de éstos modelos de onda viajera. Justificar las relaciones entre las resistencias de pérdidas, impedancias características y velocidades de propagación de los dos modos de propagación para una línea transpuesta. Repetir el primer ítem pero considerando línea no transpuesta. Para este caso aparece una matriz de transformación diferente a la de Clarke, que es calculada para cada configuración de línea. Longitud Velocidad Z característica R pérdidas
- 17. 55 Universidad Nacional de Colombia Leonardo Cardona Correa Realizar una simulación energizando una sola fase con una fuente tipo escalón (11). Determinar la frecuencia real de la oscilación del voltaje al final de la línea en la fase energizada. Una vez determinada la frecuencia real de oscilación del voltaje, cambiar la fuente por una del tipo sinusoidal (tipo 14) y observar nuevamente el voltaje al final de la línea, pero esta vez interesa observar el resultado cuando el voltaje se estabilice. Justificar el resultado. ¿Cuál sería la longitud de línea que para la anterior fuente no se presente un sobrevoltaje en estado estacionario por encima del 10%? A partir de los resultados obtenidos dar una posible justificación a la frecuencia comercial de 60 Hz. Energizar la línea transpuesta con una fuente trifásica sinusoidal considerando diferentes tiempos de cierre de los interruptores. Determinar la condición más crítica en los anteriores tiempos tomando como señal de criticidad el máximo sobrevoltaje al final de la línea en cualquiera de las fases.