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MICROECONOMÍA UNIDAD Nº 10: TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN

TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN: 10.1 Función de la Producción de Cobb - Douglas. 10.2 Ineficiencia X. 10.3 Progreso Tecnológico: Neutral, Intensivo en Capital e Intensivo en Mano de Obra. 10.4 Programación Lineal. 10.5 El Problema Dual y los Precios Sombra.

10.1 Función de la Producción de Cobb - Douglas ). La función de producción Coob-Douglas La función de producción Coob-Douglas es la que en forma más amplia se utiliza en los trabajos empíricos. La función se expresa por: Q = AL α K β Donde: Q es la producción L y K son los insumos de mano de obra y capital, respectivamente, A, α (alfa) y β (beta) son parámetros positivos determinados en cada caso por los datos. A puede ser cualquier número positivo y cuanto mayor su valor tanto más avanzada es la tecnología disponible. α y β : se sitúan entre 0 y 1 α :mide el aumento porcentual en la producción como resultado del aumento del 1% en L mientras se mantiene constante K. β : mide el aumento porcentual en la producción como resultado del aumento de 1% en K mientras se mantiene constante L. Por lo tanto, α y β son la elasticidad de la producción de L y K respectivamente. Si α + β =1, hay rendimientos constantes a escala; Si α + β> 1, hay rendimientos creciente a escala, α + β < 1, hay rendimiento decreciente a escala. Para la función Coob-Douglas, e LK = 1.

Ejemplo 1. Si A =10 y α = β = ½, se tiene Q = 10 L ½ K ½ Puesto que α + β= 1, esta función Coob-Douglas muestra rendimientos constantes a escala, por lo que sus isocuantas son equidistantes y paralelas a lo largo de una ruta de expansión que es una línea recta desde el origen. Al mantener constante K y variar L , se obtiene el producto total del trabajo o mano de obra (PTL) y con base en él, el PPL y el PML. Estas curvas solo muestran la etapa II de la producción (al igual que la fig. 6.14). Más aún, el PPL y el PML son funciones o dependen de K/L. (Véanse los problemas 8.1 al 8.4.). Lo mismo ocurre para K.

10.2 Ineficiencia X. En la sección 6.1 se definió la función de la producción como la relación tecnológica que muestra la cantidad máxima de una mercancía que puede producirse por unidad de tiempo para cada combinación de insumos. Sin embargo, en muchas situaciones del mundo real, ni la mano de obra ni la administración trabajan con tanta intensidad o con tanta eficiencia como podrían hacerlo, por lo que la producción no es la máxima. Leibestein, quien introdujo por primera vez este concepto, lo denominó la “ ineficiencia” X. La ineficiencia X con frecuencia ocurre debido a la falta de motivación por la ausencia de incentivos o presiones competitivas. Por ejemplo los contratos laborales a menudo no aclaran por completo las especificaciones de un empleo y dejan abiertas a la interpretación la cantidad y la calidad del esfuerzo requeridas. En estos casos, es frecuente que la mano de obra y la administración decidan no presionarse tanto como podrían hacerlo, lo que conduce a la ineficiencia X.

Los costos de una organización dependen no sólo de la tecnología, sino también del vigor con que se busque la eficiencia. Es la situación en la que una empresa no obtiene la máxima producción con una combinación dada de factores. Esto se ha analizado fundamentalmente en las empresas del Estado bajo condiciones monopolícas. La eficiencia exige que el precio sea igual al costo marginal. Pero en el caso de empresas estatales, como no tiene que obtener inevitablemente un beneficio mínimo, puede fijar un precio igual al CM y absorber las pérdidas económicas por vía impositiva. La ineficiencia X no es patrimonio exclusivo del estado, también se observa en diferentes grados en las empresas privadas. Ocurre con frecuencia debido a la falta de motivación por la ausencia de incentivos o presiones competitivas.

Ejemplo 2. Se han encontrado considerables evidencias empíricas que comprueban la existencia de la ineficiencia X. Por ejemplo, Leibestein señaló el caso de una refinería petrolera Egipcia cuya productividad era la mitad de la de otra instalación similar. Cuando llegó una nueva administración, la brecha de la productividad se cerró rápidamente con la misma fuerza laboral. Durante muchos años los negocios se han dado cuenta que puede aumentarse la productividad si se inculca a los empleados un sentido de pertenencia y de logro, pero solo hasta hace poco los negocios han llegado a apreciar por completo la enorme ganancia potencial que puede conseguirse al reducir la ineficiencia X ( es decir al aumentar la eficiencia X) .

10.3 Progreso Tecnológico: Neutral, Intensivo en Capital e Intensivo en Mano de Obra. El Progreso Tecnológico se refiere al aumento de la productividad de los insumos y puede representarse mediante un desplazamiento hacia el origen de la isocuanta que se refiere a cualquier nivel de producción. Esto significa que puede obtenerse cualquier nivel de producción con menos insumos, o que puede obtenerse más producción con los mismos insumos . Hicks, clasifico al Progreso Tecnológico en: NEUTRAL INTENSIVO EN CAPITAL INTENSIVO EN TRABAJO O MANO DE OBRA . Según que PMK aumente en la misma proporción, en mayor proporción o en menor proporción que el PM L.

Ejemplo 3. La figura 8-1 muestra el progreso tecnológico neutral en la sección A , con utilización de K en la sección B y con utilización de L en la sección C. Puesto que el progreso tecnológico neutral aumenta PMK y PML en la misma proporción, TMSTLK = PML / PMK = la pendiente de la isocuanta permanece constante en el punto E1 y en el punto E2 a lo largo de la línea delgada original K / L = 1 (véase la sección A). Todo lo que ocurre es que Q = 100 ahora puede producirse con 2 L y 2 K en lugar de 4 L y 4 K . Por otra parte , puesto que el progreso tecnológico que utiliza K aumenta PMK en forma más proporcional que PML , la pendiente absoluta de la isocuanta desciende a medida que se desplaza hacia el origen a lo largo de la línea delgada K / L = 1 (véase sección B). Pendiente = K/L = 3/6 = 0.5 (anterior 8/8=1). Por último el progreso tecnológico que utiliza L es lo opuesto al progreso tecnológico que utiliza K (Véase la sección C), es decir cuando el progreso tecnológico es intensivo en mano de obra, de modo que el PM L aumenta en forma más que proporcional al PMK la pendiente absoluta de la isocuanta aumenta a medida que se desplaza hacia el origen a lo largo de la ruta de expansión. Pendiente = L/K = 8/8= 1; 6/3=2

El progreso tecnológico que utiliza K se conoce en ocasiones como intensivo en K o Ahorrador de L , debido a que conduce a que en la producción se utilice más K y menos L. En igual forma, la utilización de L se conoce como el progreso tecnológico intensivo en L o ahorrador de K . El tipo de Progreso Tecnológico que se lleve a cabo es un determinante importante de la participación de K y L en el Producta Nacional Neto (PNN). (véase problema 8.7).-

10.4 Programación Lineal. E l objetivo del economista es la elaboración de modelos generales de conductas empresarial que cubran una gran variedad de casos específicos. Por lo tanto el economista debe ocuparse de relaciones generales, funcionales y de conductas; cuya única limitación es que tenga propiedades económica o funcionales importantes. Por ejemplo, suponemos que la cantidad demandada se relaciona inversamente con el precio, pero no suponemos que la relación se lineal. N os concentraremos en los tipos de problemas que se pueden analizar con la técnica de la programación lineal, en algunas limitaciones de esta técnica y en una representación gráfica muy general. E l desarrollo de esta técnica surgió durante la Segunda Guerra Mundial, primero como un método ad hoc para resolver problemas prácticos y sólo posteriormente como una técnica matemática con base teórica. La programación lineal es esencialmente matemática. L a Programación Lineal representa uno de los avances más importantes en la teoría de la producción en los últimos 30 o 35 años. Es una técnica matemática para resolver problemas de maximización y minimización , cuando existe más de una restricción. Su ventaja principal es de cálculo y se basa en la utilización de computadoras.

La programación lineal tiene su fundamento en los siguientes supuestos: 1) Hay más de una restricción (de lo contrario el programa se podría resolver con facilidad mediante los métodos tradicionales). 2) La producción y los precios de los factores son constantes (de modo que las líneas del presupuesto y del isocosto, así como cualquier otra restricción, puedan representarse mediante líneas rectas). 3) Hay rendimientos constantes a escala y proporciones tecnológicamente fijas de insumos o factores (por lo que las rutas de expansión son líneas rectas que pasan por el origen) Un producto por lo general puede producirse con más de una combinación de factores o proceso de producción. Cada proceso puede representarse mediante una línea que va del origen al espacio del insumo. Al unir los puntos que representan el mismo nivel de producción sobre diferentes líneas, se obtiene el equivalente de una isocuanta. Los puntos sobre estas isocuantas que no están sobre alguna línea pueden alcanzarse mediante la combinación apropiada de dos procesos adyacentes. Al añadir las restricciones lineales a la figura, puede encontrarse en forma gráfica la solución maximizadora o minimizadora.

Ejemplo 4. La sección A de la figura 8-2 muestra que puede producirse una mercancía en particular mediante tres procesos: El proceso 1 con K / L = 2.5 , El proceso 2 con K / L = 1 , o el proceso 3 con K / L =0.4. Puede obtenerse una producción de 50 unidades con el proceso 1 en el punto A, con el proceso 2 en el punto B, o con el proceso 3 en el punto C. Al unir estos puntos se obtienen las isocuantas para Q = 50 , con quiebres o puntos A , B y C . Al utilizar el doble de los insumos con cada proceso se obtienen las isocuantas para Q = 100 . Observe que los segmentos correspondientes de las dos isocuantas son paralelos.

En la sección B , la restricción usual de los costos de la empresa se representa mediante la línea de isocostos GH . El triángulo sombreado OJN es el área de soluciones factibles o alcanzables. La solución óptima la determina el punto E , donde el área de las soluciones factibles toca la isocuanta para Q = 100 sobre la línea del proceso 2 . Esta es la isocuanta más alta a la que puede llegar la empresa con el isocosto GH .

La sección C muestra que si en lugar de ello la empresa se enfrenta a una limitación en la cantidad de los insumos de L = 5 y K = 8, la producción máxima de la empresa es 100 Q en el punto R, produciéndose 50 Q (determinado mediante OA ) con el proceso 1 y 50 Q (determi-nado mediante AR = OB ) con el proceso 2, observe que cuando la empresa se enfrenta a la restricción única del isocosto (sección B), la empresa alcanza la solución óptima con solo un proceso (proceso 2). Cuando la empresa se enfrenta a dos restricciones (es decir, L = 5 y Ḵ = 8 en la sección C) se requiere la combinación de dos procesos (procesos 1 y 2) para llegar a la solución óptima. En términos generales, el número de procesos requeridos para llegar a la solución óptima no es más que el número de las restricciones.

Programación Lineal con más de dos Restricciones En los casos en que se trabaja con programación lineal, la función que busca optimizarse se la denomina Función Objetivo. Esto incluye por lo general la maximización de la ganancia o la minimización del costo. Las restricciones se determinan mediante las desigualdades que señalan las cantidades máximas y específicas que se pueden utilizar de algunos insumos, o algunos requisitos mínimos que deben satisfacerse. También existen restricciones para impedir valores negativos en la solución.

Es decir dadas m desigualdades lineales con n variables de decisión, encontrar la solución óptima de la Función Objetivo ó lo que es lo mismo en conjunto de valores no negativos de las variables de decisión que satisfagan las restricciones y eleven al máximo ó al mínimo alguna función lineal de estas variables. Para que se pueda resolver un problema de programación lineal, las restricciones y las limitaciones de no negatividad deben definir un poliedro convexo, el cual es una construcción geométrica cuyos lados son todas las líneas rectas. Un conjunto de puntos es convexo, cuando cualquier par de puntos del conjunto se puede unir por una línea recta que se encuentra totalmente dentro de los limites del conjunto o sobre los mismos.

Las restricciones son determinadas por medio de las desigualdades que indican las cantidades máximas y específicas que pueden utilizarse de algunos insumos o requisitos mínimos que deben cumplirse. Se establecen asimismo restricciones para impedir valores negativos en la solución. En resumen hay tres ingredientes esenciales en una programación lineal una función objetivo: un conjunto de restricciones y un conjunto de restricciones de no negatividad. Siempre prevalece la linealidad, porque ninguna variable está elevado a una potencia distinta de uno o está multiplicada por cualquier otra variable.

Los pasos para solucionar en forma gráfica los problemas de programación lineal son los siguientes. Expresar los datos del problema en forma de ecuaciones o desigualdades. Tratar como ecuaciones las restricciones de desigualdad y presentarlas en forma gráfica para determinar la región de soluciones factibles. Graficar la función objetivo como una serie de líneas paralelas que se refieren a los diferentes niveles del objetivo (por ejemplo, como una serie de líneas isoganancias o isocostos). Determinar la solución óptima, que ese encontrará donde un punto extremo o un punto de esquina de la región de soluciones factibles toque la línea de isoganancia más alta o la línea de isocosto más baja o mínimo.

Ejemplo 5. Suponga que una empresa produce las mercancías X e Y . Para producir cada unidad X se requiere 1 L, 3 K y 1 R ( recursos naturales ) . Para cada unidad de Y se requieren O.5 L, 3 K y 3 R . La empresa no puede utilizar más de 8 L, 30K y 24 R . Su margen de utilidad ( Ingreso neto ) es de $4 por cada unidad de X y $3 por cada unidad de Y . 1) Si se presentan los datos como ecuaciones o desigualdades se obtiene Función objetiva: π = 4 X + 3 Y Donde π = ganancia total, la función objetiva está sujeta a las restricciones. Restricción L : 1 X + O.5 Y ≼ 8 Restricción K : 3 X + 3 Y ≼ 30 Restricciones técnicas Restricción R : 1 X + 3 Y ≼ 24 Restricción de no negatividad: X Y ≥ 0 La restricción L indica que 1 L ( necesario para producir cada unidad de X) multiplicado por las unidades de X más 0.5 L ( para producir cada unidad de Y ) multiplicado por las unidades de Y tiene que ser igual o menor que los 8 L disponibles.

2) Al tratar cada restricción técnica como una ecuación y despejando Y , se obtiene: De la Restricción L , Y = 16 – 2 X De la Restricción K , Y = 10 – 1 X De la Restricción R , Y = 8 – 1/3 X En la sección A de la figura 8-3 se muestra cada restricción técnica en todos los puntos sobre la línea de restricción y a la izquierda de la misma. Las líneas de restricción de no negatividad coinciden con los ejes Y y X. La región de las soluciones factibles es el área sombreada OABEC .

3)Si se despeja la función objetivo para Y se obtiene: Y = π - 4 X 3 3 Esto da la serie de líneas discontinuas de isoganancia (una para cada valor de π) con pendiente de – 4/3 (la razón de ganancia) dibujadas en la sección B de la Figura 8-3.

4) La región factible toca la línea de isoganancia más alta en el punto E (6 X , 4 Y ) donde π esta al máximo en: π = ( $ 4 ) (6) + ( $ 3 ) ( 4 ) = $ 36 Para un problema de minimización véase el problema 8.14. Los problemas con más de dos variables se encuentran fuera del alcance del enfoque gráfico. Las computadoras pueden resolver con rapidez estos problemas al comparar los valores de la función objetivo en las diversas esquinas de la región de las soluciones factibles y determinando el punto extremo o la solución de esquina que optimice la función objetivo. Este método de solución es el método símplex y utiliza el teorema del punto extremo.

10.5 El Problema Dual y los Precios Sombra. Todo problema de programación lineal conocido como el Problema Principal tiene su problema correspondiente denominado el Problema Dual . Por ejemplo, si el problema principal es la maximización de las ganancias, su problema dual es la minimización del costo y viceversa. Las soluciones para el problema dual son los Precios Sombra . Estos dan el cambio en el valor de la función objetivo por un cambio unitario en cada restricción. Por ejemplo, el precio sombra en un problema de maximización de ganancias indica cuanto aumentarían las ganancias por aumento unitario en la utilización de cada insumo. Por lo tanto, los precios sombra proporcionan el valor marginal imputado o el valor de cada insumo para la empresa. Si un insumo en particular no se emplea por completo, su precio sombra es cero porque al aumentar este insumo no produciría cambio en las ganancias. Una empresa debe tratar de ampliar la utilización de un insumo mientras el valor marginal o su precio sombra exceda el costo adicional de contratar el insumo.

Ejemplo 6. Para determinar el precio sombra de L en el ejemplo 5 , se comienza desde el punto de maximización de las ganancias E que da π = $ 36 , en la sección B de la figura 8-3 . Después se aumenta L en una unidad de modo que la restricción L se convierta en 1 X + 0.5 Y ≼ 9 . Esto se presenta en la sección A de la figura 8-4 mediante la línea paralela a la a línea de restricción L anterior que cruza la línea de restricción K en el punto E . Ahora la región de las soluciones factibles es el área sombreada OABE’C’ . La sección B muestra que las ganancias ahora están maximizadas en el punto E’ (8 X , 2 Y ) en ($ 4)(8) + ($ 3) (2) = $ 38 . Por consiguiente, el precio sombra de L es $ 2 . La empresa debe intentar contratar más L si su costo adicional es menor que su precio sombra, porque al hacerlo aumentaría la ganancia neta de la empresa. El precio sombra de K puede determinarse en la misma forma y también es positivo debido a que K se emplea en su totalidad en el punto E . Por otra parte, puesto que R en la sección A no está empleado en su totalidad ( es decir, es una variable poco activa ) su precio sombra es cero.

Definiciones Básicas: Elasticidad de la Producción: Da el aumento porcentual en la producción como resultado del aumento porcentual de un insumo, mientras se mantienen constantes todos los demás insumos. Función de producción Coob-Douglas: Esta función se determina mediante Q = A L α K β Donde Q es la producción y L y K son insumos. A , α , β son los parámetros . α = la elasticidad de la producción de L , mientras que β = elasticidad de la producción de K . Se tienen rendimientos constantes o crecientes, o decrecientes a escala cuando α + β = 1, > 1 o < 1 respectivamente. Función Objetivo: La función que debe maximizarse o minimizarse sujeta a las restricciones Ineficiencia X: El grado en que la producción de una mercancía no alcanza al máximo posible ( indicado por la función de producción ) debido a la carencia de una motivación adecuada de la mano de obra y la administración.

Precio Sombra: El cambio en el valor de la función objetivo por el cambio unitario en una de las restricciones. Problema Dual: Lo contrario del problema principal; Por lo tanto, para un problema principal de maximización de la ganancia, el problema dual es la minimización del costo y viceversa. Problema Principal: El problema original de maximización (por ejemplo, la ganancia) o de minimización (por ejemplo, el costo). Proceso de Producción: Las combinaciones de insumos para obtener producciones. En la programación lineal cada proceso o actividad incluye combinaciones de insumos determinados tecnológicamente. Programación Lineal: Una técnica matemática para resolver problemas de maximización o minimización en que las restricciones y la función objetivo a optimizar se representan mediante líneas rectas.

Progreso Tecnológico Intensivo en Capital: Mayor aumento proporcional en el producto marginal del capital que en el producto marginal del trabajo, de modo que la pendiente de la isocuanta desciende a medida que se desplaza hacia el origen a la razón original capital – trabajo. Progreso Tecnológico Intensivo en Trabajo: Mayor aumento proporcional en el producto marginal del trabajo que en el producto marginal del capital, de modo que la pendiente de la isocuanta aumenta a medida que se desplaza hacia el origen a la razón original capital – trabajo. Progreso Tecnológico Neutral: El aumento proporcional en el producto marginal del capital y el trabajo, en forma tal que la pendiente de la isocuanta permanece sin cambios mientras se desplaza hacia el origen en la razón original capital – trabajo. Restricciones: desigualdades que describen límites estructurales (capacidad). Solución óptima: La mejor de las soluciones factibles Soluciones factibles: Todas las soluciones o combinaciones de mercancías que son posibles, de acuerdo a las restricciones.

REALIZADO POR : “ EDUARDO FABIÁN ROBLES ”

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