Problema metodo Gauss
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Se presenta un problema sobre el pago de un regalo de 86€ por parte de 3 personas A, B y C. Se plantea un sistema de ecuaciones lineales con las cantidades a, b y c que cada uno paga. El sistema se resuelve mediante el método de Gauss, obteniendo que A paga 64,50€, B paga 8,60€ y C paga 12,90€.
Problema metodo Gauss
- 1. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Tres personas A, B y C le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 €. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de las siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 € que paga B , C paga 3 €. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.
- 2. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Resolvemos el apartado a): Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona. Llamamos a, b y c a las cantidades que aportarán las personas A, B y C, respectivamente. Traduciendo al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado, formamos el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: a + b + c = 86 a = 3(b + c) 3b = 2c a + b + c = 86 a – 3b - 3c = 0 3b – 2c = 0
- 3. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Resolvemos el apartado b): Resolver el sistema por el método de Gauss consiste en “triangularizarlo”, de forma que la última ecuación quede con una sola incógnita, la segunda con dos incógnitas y la primera con las tres incógnitas. La resolución entonces es inmediata, utilizando un método de “sustitución escalonada”: a + b + c = 86 a – 3b - 3c = 0 3b – 2c = 0 Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss. a + b + c = 86 4b + 4c = 86 3b – 2c = 0 1ª – 2ª => 2ª Intercambiamos las ecuaciones 2ª y 3ª para “ver” la forma triangular del sistema a + b + c = 86 4b + 4c = 86 10b = 86
- 4. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Encontramos los valores de las tres incógnitas de forma escalonada, empezando por la tercera ecuación: a + c + b = 86 4c + 4b = 86 10b = 86 10b = 86 => b = 86/10 = 8,6 Con este valor, sustituimos en la 2ª ecuación y calculamos “c”: 4c + 4·8,6 = 86 => => c = (86 – 34,4)/4 = 12,9 Utilizamos los dos valores calculados para encontrar la tercera incógnita en la 1ª ecuación: a + 8,6 + 12,9 = 86 => a = 86 – 8,6 – 12,9 = 64,5 Una vez resuelto el sistema solo nos queda expresar correctamente la solución del problema:
- 5. Resolución de problemas mediante el método de Gauss a = 64,5 b = 8,6 c = 12,9 Por lo tanto: SOLUCIÓN: La persona A aporta 64,50 euros La persona B aporta 8,60 euros La persona C aporta 12,90 euros