REPRESENTACION DE INFORMACION EN COMPUTADORAS

Representación de la Información ... en los Computadores

Información e Informática Un computador es una máquina que procesa información. La ejecución de un programa implica el tratamiento de los datos. Para que el computador ejecute un programa es necesario darles dos tipos de información: las instrucciones que forman el programa y los datos con los que debe operar ese programa. Los aspectos más importantes de la Informática relacionados con la información son: cómo <representarla> y cómo <materializarla> o <registrarla> físicamente.

Cómo se da la información a un computador? Se la da en la forma usual escrita que utilizan los seres humanos; con ayuda de un alfabeto o conjunto de símbolos, denominados caracteres. Categorías de los caracteres: Caracteres alfabéticos: son los mayúsculas y minúsculas del abecedario inglés: A, B, C, D, E,…, X, Y, Z, a, b, c, d,…, x, y, z Caracteres numéricos: están constituidos por las diez cifras decimales: Ø, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 El cero suele marcarse con una raya inclinada (ø) para evitar posibles confusiones con la O mayúscula.

Cont… Caracteres especiales: son los símbolos no incluidos en los grupos anteriores, entre otros los siguientes: ) ( , * / ; : Ñ ñ = ! ? .  ‘’ & > # < { Ç } SP Con SP representamos el carácter o espacio en blanco, tal como el que separa dos palabras. Carácter de control: representan órdenes de control, como el carácter indicador de fin de línea o el carácter indicador de sincronización de una transmisión de que se emita un pitido en un terminal, etc. Muchos de estos son generados e insertados por el propio computador. Caracteres Gráficos: son símbolos o módulos con los que se pueden representar figuras (o iconos) elementales.

Cont… Toda comunicación con un computador convencional se realiza según los caracteres que admitan sus dispositivos de E / S. Toda instrucción o dato se representará por un conjunto de caracteres tomados del alfabeto definido en el sistema a utilizar. El diseño de un sistema informático resulta mas fácil, su realización menos compleja y su funcionamiento muy fiable, si se utilizan solo dos valores o estados posibles. Estos valores conceptualmente se representan por cero (0) y apagada y 0 voltios y uno (1) encendida 3.5 voltios etc. (BIT) 101 101 0110 010 01 0 01010 0110 0110 01

Codificación y Decodificación Al tener que <traducir> toda la información suministrada al computador a ceros y unos, es necesario establecer una correspondencia entre el conjunto de todos los caracteres  = { A, B, C, D, …, Z, a, b,…, z, 0, 1, 2, 3, …, 9, /, +, (, ), … } y el conjunto binario  = { 0, 1 } n Codificación o representación de los elementos de un conjunto (  ) mediante los de otro (  ) de forma tal que a cada elemento de  le corresponda un elemento distinto de  (n bits). Estos códigos de trasformación se denominan códigos de Entrada / Salida (E/S) o códigos externos. Las operaciones aritméticas con datos numéricos se suelen realizar en una representación más adecuada para este objetivo que la obtenida con el código de E/S.

Cont... DATO: Característica de una información expresada en forma adecuada para su tratamiento. Representación de los datos (valores): Valores analógicos. Valores discretos o digitales. Necesidad de convertir los valores analógicos a discretos. Sistema digita l: Sistema de N estados estables Dígito : Variable capaz de asumir un estado. Los dígitos se agrupan para representar más estados.

Cont... Código: Ley de correspondencia entre valores de información y combinaciones de dígitos de un sistema digital utilizadas para representarlos. Codificación: Información -> Código azul ----> 0 azul ----> 100 verde ----> 1 ó verde ----> 101 rojo ----> 2 rojo ----> 111 Decodificación: Código -> Información azul <---- 0 azul <---- 100 verde <---- 1 ó verde <---- 101 rojo <---- 2 rojo <---- 111 Código binario: Cuando el sistema digital utilizado tiene sólo 2 estados (0,1).

Sistemas de numeración usuales en informática Los computadores suelen efectuar las operaciones aritméticas utilizando una representación para los datos numéricos basada en el sistema de numeración base dos (sistema binario ). También se utilizan los sistemas de numeración, preferentemente el octal y hexadecimal , para obtener códigos intermedios. Un número expresado en uno de estos dos códigos puede transformarse directa y fácilmente a binario y viceversa. Por lo que a veces se utilizan como paso intermedio en las transformaciones de decimal a binario y viceversa.

Representación posicional de los números Un sistema de numeración en base b utiliza para representar los números un alfabeto compuesto por b símbolos o cifras. Todo número se expresa por un conjunto de cifras, contribuyendo cada una e ellas con un valor que depende de: a) la cifra en sí, y b) la posición que ocupe dentro del número. En el sistema de numeración decimal (sistema en base 10): b = 10 y el alfabeto está constituido por diez símbolos o cifras decimales: { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Cont... por ejemplo, el número 3278.52 puede obtenerse como suma de: se verifica que: 3278.52 = 3 * 10 3 + 2 * 10 2 + 7 * 10 1 + 8 * 10 0 + 5 * 10 -1 + 2 * 10 -2

Cont... Representación de un número en una base b: Forma abreviada: N = … n 4 n 3 n 2 n 1 n 0 . n -1 n -2 n -3 … Valor: N = … n 4 * b 4 + n 3 * b 3 + n 2 * b 2 + n 1 * b 1 + n 0 * b 0 + n -1 * b -1 … Para representar un número: Resulta más cómodo que los símbolos (cifras) del alfabeto o la base de numeración sean los menos posibles, pero , Cuanto menos es la base, mayor es el número de cifras que se necesitan para representar una cantidad dada.

Sistemas de Numeración Binario Octal Hexadecimal

Sistema de numeración binario La base es 2 (b=2) sólo se necesitan dos símbolos : { 0, 1 }

Conversión de Decimal a Binario Se aplica el método de las “divisiones y multiplicaciones ” sucesivas con la base como divisor y multiplicador (b = 2). Ejemplo: 26.1875 )10 = 11010 .0011 )2 Para la parte entera: Para la parte fraccionaria:

Conversión de Binario a Decimal Se desarrolla la representación binaria (con b=2) y se opera el polinomio en decimal. Ejemplos: 110100 )2 = 1·2 5 + 1·2 4 + 0·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 0·2 0 = 52 )10 10100.001 )2 = 1·2 4 + 0·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 0·2 0 + 0·2 - 1 + 0·2 - 2 + 1·2 -3 = 20.125 )10 Realmente basta con sumar los pesos (2 i ) de las posiciones (i) en las que hay un 1.

Operaciones aritméticas con variables binarias Las operaciones aritméticas básicas son la suma, resta, multiplicación y división.

Ejemplos: Efectuar las siguientes operaciones aritméticas binarias:

Representación en complementos Para representar un número negativo se puede utilizar Complemento a la base Complemento a la base – 1 Las sumas y restas quedan reducidas a sumas. Este sistema de representación de sumo interés ya que reduce la complejidad de la unidad aritmético lógica (no son necesarios circuitos específicos para restar).

Complemento a la base menos 1 El complemento a la base menos uno de un número, N , es el número que resulta de restar cada una de las cifras de N a la base menos uno del sistema de numeración que este utilizando. Podemos restar dos números sumando al minuendo el complemento a la base menos uno del sustraendo. La cifra que se arrastra del resultado se descarta y se suma al resultado así obtenido.

Complemento a la base menos 1 En base 10 (Complemento a 9) Complemento a la base menos uno (a nueve) de 63 es 36; Si queremos resta 63 a 77

Cont … Complemento a nueve de 16 es 83; Queremos hacer 1100-0016:

En base 2 (Complemento a 1) Complemento a la base menos uno (a uno) del número 10010 es: Complemento a uno de 101010 es: 11111 10010 01101 111111 010101 101010

Cont … Queremos Restar 1000111 – 10010: Con complemento a 1 (de 0010010 ): Complemento a 1 de 0010010 De manera normal 1000111 - 0010010 0110101 1000111 + 1101101 (1)0110100 + 0000001 0110101

Cont… Fácilmente se observa que para transformar un número binario, N, a complemento a 1 basta con cambiar en N los unos por los ceros y los ceros por los unos .

Complemento a la base El complemento a la base de un número, N , es el número que resulta de restar cada una de las cifras del número N a la base menos uno del sistema que se esté utilizando y, posteriormente, sumar uno a la diferencia obtenida. Se pueden restar dos números sumando al minuendo el complemento a la base del sustraendo y despreciando, en su caso, el acarreo del resultado.

Complemento a la base En base 10 (Complemento a 10) Complemento a la base (a diez) de 63 es 37; Si queremos resta 63 a 77

En base 2 (Complemento a 2) Complemento a la base (a dos) del número 10010 es: Complemento a dos de 101010 es: 11111 10010 01101 + 1 01110 111111 010101 101010 + 1 101011

Cont … Queremos Restar 1000111 – 10010: Con complemento a 2 (de 0010010 ): Complemento a 2 de 0010010 De manera normal 1000111 - 0010010 0110101 1000111 + 1101110 (1) 0110101

Cont… Observamos que para transformar un numero binario, N, a complemento a 2 basta con cambiar los 0 por 1 y los 1 por 0 de N y sumar 1 al resultado . Esto puede también ser visto como: Recorrer el número desde el bit menos significativo hasta el mas significativo y dejar los bits iguales hasta el primer uno y luego cambiar los ceros por unos y los unos por ceros

Sistema de numeración octal La base es 8 El conjunto de símbolos es: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } Conversión de octal a decimal Se desarrolla el polinomio con b=8 y se opera en decimal. Conversión de decimal a octal Aplicar el método de “divisiones y productos” con divisor y multiplicador 8. Conversión “rápida” de binario a octal Agrupar cifras binarias de 3 en 3 y transformar con la tabla 1. Conversión “rápida” de octal a binario Convertir cada cifra octal mediante la tabla

Cont... Ejemplo: Haciendo uso de la tabla convertir 10001101100.11010 (2 = N (8 10 | 001 | 101 | 100.110 | 10 )2 = 2154.64 )8 Ejemplo: Haciendo uso de la tabla convertir 537.24 )8 = N )2 537.24 )8 = 101 | 011 | 111.010 | 100 )2

Sistema de numeración hexadecimal La base es 16 El conjunto de símbolos es: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }

Cont... Conversión de Hexadecimal a decimal Se desarrolla el polinomio con b=16 y se opera en decimal. Conversión de Decimal a hexadecimal Aplicar el método de “divisiones y productos” con divisor y multiplicador 16. Conversión “rápida” de binario a hexadecimal Agrupar cifras binarias de 4 en 4 y transformar con la tabla Ejemplo: 0010 | 0101 | 1101 | 1111 . 1011 | 1010 (2 = 25DF.BA (16 Conversión “rápida” de hexadecimal a binario Convertir cada cifra hexadecimal mediante la tabla Ejemplo: 1ABC.C4 (16 = 0001 | 1010 | 1011 | 1100 . 1100 | 0100 (2

Ejercicios en clases… Hacer las operaciones en binario: 101011101 )2 + 101001010 )2 = N )8 1100101011 )2 + 100101101 )2 = N )10 101011101 )2 - 10001010 )2 = N )16 110001011 )2 – 10101101 )2 = N )16 10101.0101 )2 * 2 )10 = N )2 1101.1010 )2 * 25 )10 = N )10 1010100 )2 / 2 )10 = N )8 10101.101 )2 / 101 )2 = N )2

Representación Numérica Para la representación de los datos numéricos se debe tener en cuenta que las operaciones de la ALU están sujetas a las siguientes restricciones: Los registros son de tamaño fijo. Puede existir desbordamiento. Presentan problemas con los números negativos. Es necesario, por ello, introducir nuevas formas de numeración basadas, por supuesto, en la representación binaria. Al conjunto de estas representaciones y su funcionamiento se le denomina aritmética binaria . En aritmética binaria debemos distinguir: Representación para números enteros Representación de números reales.

Cont… Números de precision finita En la mayoría de las computadoras, la cantidad de memoria disponible para guardar números se fija en el momento de su diseño. Con un poco de esfuerzo, el programador puede llegar a representar números 2 o 3 veces más grandes que este tamaño prefijado Al hacerlo no termina de cambiar la naturaleza del problema: la cantidad de dígitos disponibles para representar un número siempre será fija. Llamamos a estos números de precisión finita .

Representación de números enteros Enteros sin signo No hace falta codificación. Enteros con signo Los mas usuales son integer y long Complemento a 1, Complemento a 2, representación signo-magnitud y exceso 2n-1 Todas se basan en tener 1 bit para el signo y el resto de la cifra (n-1 bits) para codificar el número entero a representar. Se distingue entre números: Positivos: Se almacenan con el bit de signo puesto a 0, y el valor absoluto Negativos: Se almacenan con el bit de signo puesto a 1, y el complemento a 1 ó 2 del valor absoluto. Permiten almacenar números desde - 2 (n-1) , hasta + (2 (n-1) ) - 1 Bytes: -128 a +127, words: -32768 a 32767

Representación de números reales ( IEEE 754 ) Coma fija: La posición está fijada de antemano y es invariante . Cada número se representa por n bits para la parte entera y m bits para la parte fraccionaria . Nos ahorramos el punto Dependerá de n y de m Se puede producir un error de truncamiento. Un mismo número en punto fijo puede representar a muchos números reales. 1.25 (m=2), 1.25 6 (m=2), 1.25 89 (m=2), 1.25 96 (m=2), etc El MSB es el signo No todos los números reales pueden representarse con este formato

Cont… Coma flotante: La posición de la coma es variable dependiendo del valor del exponente. Es de la forma: m 10exp ( En decimal) m 2exp(En binario) En decimal en la notación científica podemos escribir: 1.9 x 109 o en forma corta 1.9E9 Tiene dos campos uno contiene el valor de la mantisa y el otro de valor del exponente. El bit más significativo de la mantisa contiene el signo. Existen tres formatos: Signo N Mantisa Exponente -> Directo Signo M Exponente Mantisa -> Comparación rápida Signo E Exponente Signo N Mantisa -> Precisión ampliada

Cont… Como un valor puede tener más de una representación, se normaliza la representación haciendo que el primer bit significativo de la mantisa ocupe la posición inmediatamente a continuación del signo. Trabajando mantisas normalizadas siempre el primer bit de la mantisa es el complemento del bit de signo, por lo que no es necesario incluirlo en la codificación. El bit que no se incluye recibe el nombre de bit implícito. Las características de los sistemas de representación en coma flotante son: El exponente se representa en exceso a 2 n-1 , siendo n el número de bits del exponente. La mantisa es un número real normalizado, sin parte entera. Su representación puede ser en cualquier sistema: módulo y signo, Complemento a 1 o Complemento a 2. La base de exponenciación es una potencia de dos.

Cont… Representación en simple precisión: Palabra de 32 bits. Signo Exponente Mantisa 31 30 23 22 0 1 bit 8 bits 23 bits Un ejemplo en C es el float

Cont… Representación en doble precisión: Palabra de 64 bits. Signo Exponente Mantisa 63 62 52 51 0 1 bit 11 bits 52 bits Un ejemplo en C es el Double

Cont… Ejemplo 1: -9.25 10 Sean m =16, n E = 8 (  n M = 7) , Pasamos a binario  9.25 10 = 1001.01 2 Normalizamos  1.00101 2 3 Exponente (exceso a 2 7 -1) 3 10 = (127 +3) 2 =10000010 1 1000 0010 0010 100 S M E M

Códigos de Entrada/Salida Asocian a cada símbolo una determinada combinación de bits. a = {0,1,2,...,8,9,A,B,...,Y,Z,a,b,...,y,z,*,",/,...} b = {0,1}n Con n bits podemos codificar m=2 n símbolos distintos Para codificar m símbolos distintos se necesitan n bits, n ≥ log 2 m = 3.32 log (m)

Ejemplo: Para codificar las cifras decimales {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} se necesitarán : n ≥ 3.3221 log(m) = 3.322 bits es decir, 4 bits (para que se cumpla la relación) Por lo menos se necesitan 4 bits, pero pueden hacerse codificaciones con más bits de los necesarios. Tabla 2 Con 4 bits no se usan 2 4 – 10 = 6 combinaciones, y con 5 bits 2 5 – 10 = 22 combinaciones.

Cont… Tabla 2 Alfabeto Código I Código II 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0000 1000 0100 1100 0010 1010 0110 1110 0001 1001 00000 10001 01001 11000 00101 10100 01100 11101 00011 10010

Ejemplos de Códigos de E/S Código ASCII El código ASCII se utiliza para representar caracteres. Formado por 8 bits (cada carácter se expresa por un número entre 0 y 255) Es un código estándar, independiente del lenguaje y del ordenador Podemos distinguir dos grupos: Los 128 primeros caracteres se denominan código ASCII estándar Representan los caracteres que aparecen en una maquina de escribir convencional Los 128 restantes se denominan código ASCII ampliado Este código asocia un numero a caracteres que no aparecen en la maquina de escribir y que son muy utilizados en el ordenador tales como caracteres gráficos u operadores matemáticos. Código EBCDIC Extended Binary Coded Decimal Interchange Code Código Ampliado de Caracteres Decimales Codificados en Binario para Intercambio de Información Es un sistema de codificación de caracteres alfanuméricos. Cada carácter queda representado por un grupo de 8 bits. Código Unicode Es de 16 bits, por lo que puede representar 65536 caracteres. Es una extensión del ASCII para poder expresar distintos juegos de caracteres (latino, griego, árabe, kanji, cirílico, etc).

Esquema de asignación de códigos en Unicode

Detección de errores en la información codificada Cuantas menos codificaciones se desperdicien el código es más eficiente. La eficiencia de un código (  ) se define como el cociente entre el número de símbolos que se representan realmente, m, dividido para el número de símbolos que en total pueden representarse. Con códigos binarios en que m = 2 n , se tiene:  = m/ m’ = m/2 n , con 0 <  < 1 Cuanto más eficiente sea el código, entonces  será mayor.

Ejemplo 3.17 Supongamos que usamos el código ASCII, para representar 95 símbolos . La eficiencia del código será: sin bit de paridad:  = m/ m’ = 95/2 7 = 0.742 con un bit adicional de paridad:  = m/ m’ = 95/2 8 = 0.371

Cont… Un código poco eficiente se dice que es redundante : R = ( 1 -  ) · 100% (Observamos que se da en %) Ejemplo 3.18 En los casos considerados en el ejemplo anterior, las redundancias son: R = ( 1 – 0.742 ) · 100% = 28.8% R = ( 1 – 0.371 ) · 100% = 62.9% En ocasiones, las redundancias se introducen deliberadamente para detectar posibles errores de transmisión o grabación de información.

Cont… Por ejemplo: necesitamos transmitir 8 símbolos {A,B,C,D,E,F,G,H} Un código sin redundancia: n = 3 bits Si por error varía uno de los bits obtenemos otro símbolo del alfabeto. Esto considerando por sí mismo ( aisladamente) no puede ser detectado como erróneo. Pero, si usamos un código redundante, como el código II existirían algunas posibilidades de detectar errores. Alfabeto Código I Código II A B C D E F G H 000 001 010 011 100 101 110 111 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

Cont… Las redundancias se introducen de acuerdo con algún algoritmo predeterminado. Los códigos pueden ser verificados por circuitos del computador o periféricos especializados en este objetivo. Uno de estos algoritmos añade al código inicial de cada carácter un nuevo bit llamado bit de paridad.

Bit de Paridad Existen dos criterios para introducir este bit: Bit de Paridad, Criterio Par: Se añade un bit ( 0 o 1 ) de forma que el número total de unos del código que resulte sea par. Bit de Paridad, Criterio Impar: Se añade un bit ( 0 o 1 ) de forma que el número total de unos del código que resulte sea impar. El bit de paridad se introduce antes de transmitir o grabar la información ( en la memoria principal, cinta o disco magnético).

Ejemplo: Por ruido o interferencia en la transmisión puede intercambiarse un bit (de 0 a 1 o de 1 a 0). Si en el receptor se comprueba la paridad se detecta el error ya que el número de unos deja de ser par o impar (según el criterio). De esta manera se podría producir automáticamente la retransmisión del carácter erróneo. Si se produjese el cambio de dos bits distintos , no se detectaría el error de paridad. Esto es poco probable que ocurra. Código inicial Código con bit de paridad Código con bit de paridad (criterio par) (criterio impar) 100 0001 0100 0001 1100 0001 101 1011 1101 1011 0101 1011 101 0000 0101 0000 1101 0000 110 1000 1110 1000 0110 1000  bit de paridad  bit de paridad

Señal analógica captada por un micrófono al pronunciar la palabra “casa”; Tramo de muestras comprendido entre 0,184 a 0,186 segundos; Valores de las muestras obtenidos por un conversor A/D y que representan a la señal de voz.

Formatos usuales para codificar imágenes.

Estructura de una imagen con resolución de 640x580 elementos.

Características de algunas formas de imágenes digitalizadas

Principales tipos de datos aritméticos utilizables en el lenguaje de programación C (compilador Borland C++ para PC)

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