System Simulation with Excel (Part 2)

Simulación de sistemas
Parte 2
G. Edgar Mata Ortiz

Contenido
• Simulación de un sistema formado por
una fila y un servidor
• El primer cliente
• Postulado del tiempo de atención
• Generación del tiempo de atención
• Los demás clientes
• Postulado de tiempo entre llegadas
• Postulado de tiempo de atención

Ejemplo 1
• En un supermercado hay una sola caja, se
desea determinar si es necesario instalar
otra, con la finalidad de que la espera de
los clientes sea menor a 5 minutos y que
la fila nunca sea mayor a 6 personas.

Ejemplo 1
• Con la finalidad de que:
–La espera de los clientes sea menor a 5
minutos
–Que la fila nunca sea mayor a 6
personas.

Ejemplo 1
• ¿Qué postulados se van a
establecer?
–Con base en datos históricos podemos
postular el tiempo promedio de atención
al cliente
–También es necesario postular el
tiempo entre llegadas de los clientes

Ejemplo 1 - Planteamiento
• Análisis de una fila para recibir un servicio
bajo las siguientes condiciones:
• Sólo hay un servidor
• Postulado de tiempo entre llegadas de
clientes
• Postulado acerca de tiempos de servicio
• Simular la llegada y atención de 20
clientes

Ejemplo 1 - Simulación
Proceso
real comportamiento del
proceso
Postulados acerca del Modelado
y análisis
Distribución de
probabilidad para tiempos
entre llegadas de clientes
(postulado):
Se postula una distribución
uniforme con tiempo
mínimo de 1 minuto y
máximo de 8 minutos
Distribución de
probabilidad para tiempos
de atención a cliente
(postulado):
Se postula una distribución
empírica con tiempo
mínimo de 1 minuto y
máximo de 6 minutos

Ejemplo 1 - Simulación
• Los tiempos
postulados toman
la forma de una
tabla de
distribución de
probabilidades,
como se muestra
en las páginas
siguientes

Distribución de probabilidad para tiempos
entre llegadas de clientes (postulado)
Tiempo entre
llegadas
Probabilidad Esta fase de la simulación
es muy importante,
generalmente se basa en
datos históricos.
Cuando no se dispone de
datos históricos se recure
a la experiencia e
intuición.
Y si no se tiene
experiencia, se postulan
las distribuciones más
sencillas o más comunes.
1 0.125
2 0.125
3 0.125
4 0.125
5 0.125
6 0.125
7 0.125
8 0.125

Tiempo entre
llegadas
Probabilidad Se agregan dos columnas
para calcular los intervalos
de asignación que simularán
las llegadas de los clientes
en tiempos aleatorios
basados en la distribución
postulada.
Observando la tabla de la
diapositiva siguiente, es
evidente su proceso de
construcción.
1 0.125
2 0.125
3 0.125
4 0.125
5 0.125
6 0.125
7 0.125
8 0.125

Tiempo entre
llegadas
Probabilidad Probabilidad
acumulada
Intervalo de
asignación
1 0.125 0.125 1 – 125
2 0.125 0.250 126 – 250
3 0.125 0.375 251 – 375
4 0.125 0.500 376 – 500
5 0.125 0.625 501 – 625
6 0.125 0.750 626 – 750
7 0.125 0.875 751 – 875
8 0.125 1.000 876 – 1000

Distribución de probabilidad para tiempo de
atención a clientes en el servidor (postulado)
Tiempo de
servicio
Probabilidad Los tiempos de atención
pueden obtenerse de los
registros impresos
generados por la caja
registradora.
En este caso se observa que
no se trata de una
distribución uniforme. Es
una distribución empírica
generada con datos
históricos.
1 0.10
2 0.20
3 0.30
4 0.25
5 0.10
6 0.05

Tiempo de
servicio
Probabilidad Se agregan dos columnas
para calcular los intervalos
de asignación que simularán
los tiempos aleatorios de
atención a clientes, basados
en la distribución postulada.
Observando la tabla de la
diapositiva siguiente, es
evidente su proceso de
construcción.
1 0.10
2 0.20
3 0.30
4 0.25
5 0.10
6 0.05

Tiempo de
servicio
Probabilidad Probabilidad
acumulada
Intervalo de
asignación
1 0.10 0.10 1 – 10
2 0.20 0.30 11 – 30
3 0.30 0.60 31 – 60
4 0.25 0.85 61 – 85
5 0.10 0.95 86 – 95
6 0.05 1.00 96 – 100

Ejemplo 1 – Realización de la
simulación
• Se enciende el cronómetro al llegar el primer
cliente.
• Este primer cliente no requiere tiempo entre
llegadas.
• Pero sí requiere determinar el tiempo de
atención.
• El tiempo de atención del primer cliente se
obtiene generando un número aleatorio entre 1
y 100.

simulación
• Digamos que se obtiene el número 73.
• Buscamos en los intervalos de asignación, en
cuál está ubicado el 73.
• Está entre 61 y 85, lo cuál se interpreta como
tiempo de atención de 4 minutos.
El 73, que se generó
aleatoriamente, está entre 61 y 85,
por lo tanto, el tiempo de
atención para el cliente número 1,
es de 4 minutos

simulación
• Generar el número aleatorio en Excel y
obtención del tiempo de servicio para el primer
cliente.
• Se utiliza la fórmula para obtener un número
entre 1 y 100
• =redondear(aleatorio()*99+1,0)
• El número generado se ubica en los intervalos
de asignación para indicar el tiempo entre
llegadas.

simulación
• =redondear(aleatorio()*99+1,0)
• El número generado se ubica en los intervalos
de asignación para indicar el tiempo entre
llegadas.
• En el ejemplo 1, se llevó a cabo manualmente
este paso, en Excel existen varias formas de
realizarlo, veamos una de ellas.
• Se emplearán dos funciones: la función =si(…)
junto con la función =y(…)

Ejemplo 1 – Simulación en
Excel
Cliente
Números
aleatorios para
tiempo de
servicio
Tiempo de
servicio
xi p(xi) p(xi) acumulada L. Inferior L. Superior 1 73 4
1 0.10 0.10 1 10 2 32 3
2 0.20 0.30 11 30 3 62 4
3 0.30 0.60 31 60 4 86 5
4 0.25 0.85 61 85 5 92 5
5 0.10 0.95 86 95 6 60 3
6 0.05 1.00 96 100 7 99 6
Tiempo de
servicio
Intervalos de asignación
La fórmula que se encuentra en las celdas L12 a L18 es:
SI(Y(K12>=$E$13,K12<=$F$13),1, SI(Y(K12>=$E$14,K12<=$F$14),2,
SI(Y(K12>=$E$15,K12<=$F$15),3, SI(Y(K12>=$E$16,K12<=$F$16),4,
SI(Y(K12>=$E$17,K12<=$F$17),5,6)))))

Tabla de simulación
Cliente Tiempo
desde la
última
llegada
(aleatorio)
Tiempo
de
llegada
Tiempo
de
servicio
(aleatorio)
Tiempo
de inicio
del
servicio
Tiempo
de
espera
en la
fila
Tiempo de
finalización
del
servicio
Tiempo que
el cliente
permanece
en el
sistema
Tiempo
ocioso
del
servidor
1 - 0 4 0 0 4 4 0
2
3
4
5
6
7
8
9
Cliente
Números
aleatorios para
tiempo de
servicio
Tiempo de
servicio
xi p(xi) p(xi) acumulada L. Inferior L. Superior 1 73 4
1 0.10 0.10 1 10 2 32 3
2 0.20 0.30 11 30 3 62 4
3 0.30 0.60 31 60 4 86 5
4 0.25 0.85 61 85 5 92 5
5 0.10 0.95 86 95 6 60 3
6 0.05 1.00 96 100 7 99 6
Tiempo de
servicio
Intervalos de asignación
La fórmula que se encuentra en las celdas L12 a L18 es:
SI(Y(K12>=$E$13,K12<=$F$13),1, SI(Y(K12>=$E$14,K12<=$F$14),2,
SI(Y(K12>=$E$15,K12<=$F$15),3, SI(Y(K12>=$E$16,K12<=$F$16),4,
SI(Y(K12>=$E$17,K12<=$F$17),5,6)))))

simulación
• Para el segundo cliente, sí es necesario generar
aleatoriamente el tiempo entre llegadas.
• También se genera aleatoriamente el tiempo de
atención para el segundo cliente.
• Se anexa el archivo de Excel con las fórmulas
en las celdas adecuadas.
• Se dejan pendientes algunas secciones para
verificar que se ha comprendido el
procedimiento.

Tabla de simulación
Cliente Tiempo
desde la
última
llegada
(aleatorio)
Tiempo
de
llegada
Tiempo
de
servicio
(aleatorio)
Tiempo
de inicio
del
servicio
Tiempo
de
espera
en la
fila
Tiempo de
finalización
del
servicio
Tiempo que
el cliente
permanece
en el
sistema
Tiempo
ocioso
del
servidor
1 - 0 4 0 0 4 4 0
2 8 8 1 8 0 9 1 4
3 6 4
4
5
6
7
8
9
¿Cómo se
obtiene este
número nueve?
Es necesario
agregar las
fórmulas en la
hoja de Excel
para obtener
este resultado,
y también el
resto de la
tabla.

Tabla de simulación (Excel)
Time Between
Arrivals
TBA
1 - 0 4 0 0 4 4 0
2 8 8 1 8 0 9 1 4
3 6 14 4 14 0 18 4 5
4 1 15 3 18 3 21 6 0
5 8 23 2 23 0 25 2 2
6 3 26 4 26 0 30 4 1
7 8 34 5 34 0 39 5 4
8 7 41 4 41 0 45 4 2
9 2 43 5 45 2 50 7 0
10 3 46 3 50 4 53 7 0
11 1 47 3 53 6 56 9 0
12 1 48 5 56 8 61 13 0
13 5 53 4 61 8 65 12 0
14 6 59 1 65 6 66 7 0
15 3 62 5 66 4 71 9 0
16 8 70 4 71 1 75 5 0
17 1 71 3 75 4 78 7 0
18 2 73 3 78 5 81 8 0
19 4 77 2 81 4 83 6 0
20 5 82 3 83 1 86 4 0
82 68 56 124 18
13
Tiempo que el
cliente permanece
en el sistema
Tiempo
ocioso del
servidor
Cliente
Tiempo de
llegada
Tiempo de
servicio
Tiempo de
inicio del
servicio
Tiempo de
espera en la
fila
Tiempo de
finalización del
servicio
Al agregar las
fórmulas
adecuadas se
obtiene esta tabla.
Es importante
recalcar que
todos los valores
se obtienen
mediante
fórmulas, de
modo que sea
posible repetir la
simulación con
otros valores
aleatorios.

Tabla de simulación (final)
Time Between
Arrivals
TBA
1 - 0 4 0 0 4 4 0
2 8 8 1 8 0 9 1 4
3 6 14 4 14 0 18 4 5
4 1 15 3 18 3 21 6 0
5 8 23 2 23 0 25 2 2
6 3 26 4 26 0 30 4 1
7 8 34 5 34 0 39 5 4
8 7 41 4 41 0 45 4 2
9 2 43 5 45 2 50 7 0
10 3 46 3 50 4 53 7 0
11 1 47 3 53 6 56 9 0
12 1 48 5 56 8 61 13 0
13 5 53 4 61 8 65 12 0
14 6 59 1 65 6 66 7 0
15 3 62 5 66 4 71 9 0
16 8 70 4 71 1 75 5 0
17 1 71 3 75 4 78 7 0
18 2 73 3 78 5 81 8 0
19 4 77 2 81 4 83 6 0
20 5 82 3 83 1 86 4 0
82 68 56 124 18
13
Tiempo que el
cliente permanece
en el sistema
Tiempo
ocioso del
servidor
Cliente
Tiempo de
llegada
Tiempo de
servicio
Tiempo de
inicio del
servicio
Tiempo de
espera en la
fila
Tiempo de
finalización del
servicio

Análisis de resultados
• El análisis de resultados no cambia, ya que
se emplearon los mismos valores, sólo que
los cálculos se realizaron en Excel.
• La ventaja de usar una hoja de cálculo es
que, cambiando los valores aleatorios,
pueden realizarse varias réplicas de la
simulación.
• Al realizar varias réplicas podemos realizar
análisis más confiables de la simulación.

• Tiempo promedio de espera en la fila.
• Probabilidad de que un cliente tenga que
esperar en la fila
𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒇𝒊𝒍𝒂
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
=
𝟓𝟔
𝟐𝟎
= 𝟐. 𝟖 (𝒎𝒊𝒏)
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒓𝒐𝒏
=
𝟏𝟑
𝟐𝟎
= 𝟎. 𝟔𝟓

• Probabilidad de servidor ocioso o fracción
de tiempo que permanece ocioso el servidor
• Probabilidad de que el servidor este
ocupado
1 – 0.21 = 0.79
𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒓𝒗𝒊𝒅𝒐𝒓 𝒐𝒄𝒊𝒐𝒔𝒐
𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒊𝒎𝒖𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏
=
𝟏𝟖
𝟖𝟔
= 𝟎. 𝟐𝟏

• Tiempo promedio de servicio
• Comparar el resultado con el valor esperado a
partir de la tabla de distribución de
probabilidades de tiempo de atención
(Esperanza matemática)
E = 1(0.10) + 2(0.20) + 3(0.30) + 4(0.25) + 5(0.10) + 6(0.05) = 3.2
» Relación con la ley de los grandes números
𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓𝒗𝒊𝒄𝒊𝒐
=
𝟔𝟖
𝟐𝟎
= 𝟑. 𝟒 (𝒎𝒊𝒏)

• Tiempo promedio entre llegadas.
• Comparar el resultado con el valor
esperado a partir de la tabla de distribución
de probabilidades de tiempo entre llegadas
(Esperanza matemática)
E = 1(0.125) + 2(0.125) … + 8(0.125) = 4.5
» Relación con la ley de los grandes números
𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒅𝒂𝒔
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒅𝒂𝒔 − 𝟏
=
𝟖𝟐
𝟏𝟗
= 𝟒. 𝟑 (𝒎𝒊𝒏)

• El tiempo promedio de espera se calculo
tomando en cuenta a clientes que, en
realidad o esperaron, por ello, es importante
determinar el:
• Tiempo promedio de espera de los clientes
que realmente esperaron
𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒓𝒐𝒏 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒇𝒊𝒍𝒂
𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒓𝒐𝒏
=
𝟓𝟔
𝟏𝟑
= 𝟒. 𝟑 (𝒎𝒊𝒏)

• Tiempo promedio que un cliente
permanece en el sistema
• Comparar el resultado con la suma de
tiempos promedio en la fila más el
promedio de tiempo en el servidor
𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒄𝒆𝒏 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
=
𝟏𝟐𝟒
𝟐𝟎
= 𝟔. 𝟐 (𝒎𝒊𝒏)

Gracias
Gerardo Edgar Mata Ortiz
Twitter: @licemata
licmata@hotmail.com
http://www.slideshare.net/licmata/
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