Corriente alterna (1)

CORRIENTE ALTERNA

En la vida cotidiana el uso de la energía eléctrica es cada día más
indispensable, siendo una de las razones su forma limpia, en
comparación con otras formas de energía, sobre todo la proveniente
de combustibles fósiles. Este hecho provocó que en algún momento
de la historia tuviese que decidirse si se utilizaba la corriente
continua (CC), estudiada anteriormente o la corriente alterna (CA),
objeto de este capítulo, para el suministro domestico, industrial y
comercial.
Está discusión como es de conocimiento general, cedió la razón a la
corriente alterna, una de las razones es el fácil transporte de grandes
cantidades de energía entre puntos distantes, a grandes diferencias de
potencial y bajas corrientes, lo que lleva consigo el hecho de una
baja pérdida energética por efecto Joule, lo que no ocurre con la
corriente continua.
La CA una vez generada y distribuida a grandes distancias, es
disminuida en su diferencia de potencial y aumentada su corriente, lo
que permite su uso doméstico, comercial e industrial. Este
procedimiento es posible gracias a la existencia de una gran
diversidad de transformadores que se encuentran instalados en las
redes eléctricas de las ciudades.

GENERADORES CORRIENTE ALTERNA

Los generadores de corriente alterna tal como su nombre lo indica, son aquellos en que la
corriente en el circuito no es constante, y su forma variable es de tipo alternada, es decir en
un sentido y en otro, repetidamente. La figura muestra un esquema de generador de
corriente alterna.

Al observar la figura se aprecia una espira de área A y N vueltas, donde los extremos están
unidos a dos anillos separados y conectados por contacto con el circuito externo.

Esta espira gira en un campo magnético uniforme B, lo que indica que el área proyectada
perpendicular al campo varía, provocando que el flujo magnético correspondiente sea
variable y cambie alternadamente dado el giro sobre el eje.

Este efecto de acuerdo a la ley de Faraday Lenz, produce una fem inducida en la espira, es
decir, una fem alterna


En primer lugar el flujo magnético sobre la espira es: Φ = A B cos θ
En segundo lugar el flujo magnético sobre las N espiras es variable dado que el ángulo
varía periódicamente y la espira gira con MCU, es decir θ = ωt + δ
donde ω es la rapidez angular y δ es el ángulo en t=0 (desfase)

Derivando el flujo respecto del tiempo y aplicando la Ley de Faraday Lenz se obtiene
dΦ
⇒ Φ = N A B cos(ω t + δ) ⇒ = − N A B ωsen(ω t + δ)
dt

∴ ε = N A B ω sen( ω t + δ )

La expresión muestra que la fem inducida es función del tiempo y ésta dependencia es
además alterna, propiedad dada por la función seno

Links de interés
http://www.walter-fendt.de/ph14s/
http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/


ε = N A B ω sen( ω t + δ )

Analizando la expresión de la fem inducida y teniendo presente las características de la
función seno se observa que su amplitud es constante NABω, valor que corresponde a la
fem máxima y su período T=2π/ω ó equivalentemente de frecuencia f=ω/2π.
De lo que se deduce que la diferencia de potencial pico-pico es 2εmáx , siendo εmáx=NABω,
por lo que podemos escribir la expresión de la fem inducida alterna como:

t
ε = ε max sen( 2π f t + δ )

Ecuación y Gráfico del generador de CA

T

ε max
0

ε
δ

CIRCUITO R en C. A.

El primer circuito que se analizará es una resistencia R conectada a una fuente de CA,
como el mostrado en la figura.

Suponiendo que la fuente es ideal, que la resistencia está
conectada directamente a la fem de ella y que el ángulo de
desfase inicial es π/2, se tiene: ε = ε max sen( ω t + π / 2 )
ε R
VR = ε = ε max sen( 2π f t + π / 2 ) = VR max cos( 2π f t )

VR = VR max cos( ω t)

donde ω es la frecuencia angular de la fuente, T
VRmax= εmax y la fase de la fem es la misma en la
resistencia y la fuente. 0
t

VRmax

VR

CIRCUITO R en C. A.

Por otra parte aplicando la ley de Ohm, se puede obtener la corriente del circuito.
VR max VR max
IR = VR = VR max cos( ω t ) ⇒ I = cos( ω t ) donde: I max = ⇒
R R

I = I max cos( 2π f t )
T

t
0
Ecuación y Gráfico de la corriente en un
circuito alimentado por un generador de CA
Imax

I

Nota: La corriente y la diferencia de potencial en una resistencia conectada a un circuito de
CA están en fase

CIRCUITO R en C. A.

La potencia disipada en el circuito por efecto Joule (calor), varia con el tiempo debido a
que la corriente es variable en el tiempo
t
P = RI 2 = R(I max cos( ω t )) 2
0

P = RI 2 cos 2 ( 2π f t )
max 2
I max R
1 2

La gráfica muestra la potencia en función del
tiempo, donde se observa que varía desde 0 a I max R
su valor máximo I2maxR:
2

P

El valor que se utiliza en la práctica de la potencia instantánea, es su valor promedio P m,
por lo que utilizando el valor promedio de la función coseno, se obtiene:

1 2
Pm = I max R
2

VALORES EFICACES en C. A.

Se llama valor eficaz de una corriente alterna, al valor que tendría una corriente continua
que produjera la misma potencia que dicha corriente alterna, al aplicarla sobre una misma
resistencia. Este valor corresponde a la raíz cuadrada de los cuadrados de los promedios
(rms sigla en ingles) de la función seno o coseno.

Valor eficaz de una corriente alterna Ief
1 1
[ Imax cos(ωt) ] m Ief =
2
Ief = I 2 =
m = (I 2 cos 2 (ωt)) m = I 2
max max ⇒ I max
2 2

Valor eficaz de una diferencia de potencial alterna V ef
1 1
[ Vmax cos(ωt) ] m Vef =
2
Vef = V = 2
m = (V2
max cos (ωt)) m = V
2 2
max ⇒ Vmax
2 2

Valor eficaz de la potencia alterna Pef
1
Pef = (VI) m = [ (Vmax cos(ωt))(I max cos( ωt)) ] m = Vmax I max (cos 2 ( ωt)) m ⇒ Pef = Vmax I max
2

CIRCUITO L en C. A.

El segundo circuito que se analizará es una inductancia L conectada a una fuente de CA,

Suponiendo que la fuente y la inductancia son ideales, esto es
no tienen resistencia propia, que la inductancia está conectada ε L
directamente a la fem y que el ángulo de desfase inicial es π/2,
se tiene: ε = ε max sen( ω t + π / 2 ) = ε max cos(ωt)

dI
Por su parte la diferencia de potencial en un inductor V L esta dada por: VL = L dt

Aplicando la Ley de las mayas al circuito se tiene:

VL − ε = 0 ⇒ VL = ε = ε max cos(ωt) = VL,max cos(ωt) donde: ε max = VL,max

dI
reemplazando en la ecuación de VL queda: VL,max cos(ωt) = L
dt

CIRCUITO L en C. A.

reordenando los términos se puede obtener la expresión de la corriente en el circuito
dI VL,max VL,max
VL,max cos(ωt) = L
dt
⇒ LdI = VL,max cos(ωt)dt : ∫ dI = ∫ L
cos(ωt)dt ⇒ I =
Lω
sen(ωt) + Cte

El valor de la constante de integración, debe ser tal que cumpla con la condición de la
ley de las mayas, donde resulta que para este caso es cero.

Por lo tanto, la diferencia de potencial y la corriente en el inductor son, respectivamente:
T
 π
VL = VL,max cos(ωt) Dado que: sen  ωt + ÷ = cos(ωt)
 2
t
0

 π VL,max
VL = VL,max sen  ωt + ÷ I= sen(ωt) Imax
 2 Lω
εmax

Nótese la diferencia de potencial en la inductancia está desfasada
en π/2 (adelantada) respecto de la corriente en el circuito

CIRCUITO L en C. A.

VL,max
Por otra parte el valor máximo de la corriente en el circuito es: Imax =
Lω

Donde se define la reactancia o impedancia inductiva, por: X L = Lω

Nota: A diferencia de la resistencia la impedancia inductiva depende de la frecuencia de
la fuente, y la unidad de medida es el Ohm.

La potencia instantánea en la inductancia del circuito es P L=VLI es decir:
 π 1
PL = VL I = VL,max sen  ωt + ÷I L,max sen(ωt) = VL,max I L,max cos(ωt) sen( ωt) = VL,max I L,max sen(2ωt) ⇒
 2 2

PL = PL,max sen(2ωt)

de donde se deduce que para un ciclo de oscilación de la corriente, la potencia oscila dos
veces, siendo además la potencia media nula, hecho que indica que la inducción no disipa
energía, por lo menos para una inductancia ideal donde la resistencia de ella sea cero

CIRCUITO C en C. A.

El tercer circuito que se analizará es una capacitancia C conectada a una fuente de CA,

Suponiendo que la fuente y la capacitancia son ideales, esto es

C
no tienen resistencia propia, que la capacitancia está conectada
directamente a la fem y que el ángulo de desfase inicial es π/2,
se tiene: ε = ε max sen( ω t + π / 2 ) = ε max cos(ωt)

Q

ε
Por su parte la diferencia de potencial en la capacitancia V C esta dada por: VC =
C

Aplicando la Ley de las mayas al circuito se tiene:

VC − ε = 0 ⇒ VC = ε = ε max cos(ωt) = VC,max cos(ωt) donde: ε max = VC,max

reemplazando en la ecuación de VC queda: Q = CVC,max cos(ωt)

CIRCUITO C en C. A.

reordenando los términos se puede obtener la expresión de la corriente en el circuito
dQ
I= = −ωCVC,max sen(ωt) siendo: Imax = ωCVC,max I = −I max sen(ωt)
dt

Por lo tanto, la diferencia de potencial y la corriente en la capacitancia son,
respectivamente:
  π
VC = VC,max cos(ωt) Dado que: sen  ωt − ÷ = − cos(ωt)
2 

 π
VC = − VC,max sen  ωt − ÷ I = − I max sen(ωt) ε max
 2
Imax

Nótese la diferencia de potencial en la reactancia esta 0
t
desfasada en -π/2 (retrasada) respecto de la corriente
en el circuito
T

CIRCUITO C en C. A.

VC,max
Por otra parte el valor máximo de la corriente en el circuito es: Imax = ωCVC,max =
1/ ωC
1
Donde se define la reactancia o impedancia capacitiva, por: X C =
ωC
Nota: Análogamente al caso anterior la impedancia capacitiva depende de la frecuencia
de la fuente, y la unidad de medida es el Ohm.

La potencia instantánea en la capacitancia del circuito es P C=VCI es decir:
1
PC = VC I = VC,max cos(ωt)( −I max sen(ωt)) = −VC,max I max cos(ωt) sen(ωt) = − VC,max I maxsen(2ωt) ⇒
2

PC = −PC,max sen(2ωt)

de donde se deduce que para un ciclo de oscilación de la corriente, la potencia oscila dos
veces, siendo además la potencia media nula, hecho que indica que la capacitancia no
disipa energía, por lo menos para una capacitancia ideal donde la resistencia de ella sea
cero

CIRCUITO LRC en C. A.

En cuarto lugar se analizará un circuito serie compuesto por una inductancia L, una
resistencia R y una capacitancia C, conectados a una fuente de CA, como se muestra en la
figura.
Suponiendo que la fuente entrega una diferencia de potencial:
R
ε = ε max cos(ωt)
L C
al aplicar la ley de las mayas al circuito se obtiene:

dI Q
ε − VL − VR − VC = 0 ⇒ ε max cos(ωt) − L − IR − = 0
dt C ε
d 2 Q dQ Q d 2Q dQ Q
ε max cos(ωt) − L 2 − R − = 0 ⇒ ε max cos(ωt) = L 2 + R+ ec. del circuito
dt dt C dt dt C

al resolver la ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden, se obtiene la
corriente del circuito, siendo ésta:
I = I max cos(ωt − δ)


XL − XC
donde el ángulo de desfase queda dado por : tan δ =
R
constante de fase de un circuito LRC serie

Por su parte la corriente máxima del circuito queda dada por:
ε max ε max
I max = =
Z R 2 + (X L − X C ) 2

El valor XL-XC se le llama comúnmente reactancia total y al valor Z se le llama
impedancia del circuito serie LRC, por lo que se puede escribir:
ε max
I= cos(ωt − δ)
Z

Links de Interés
http://www.walter-fendt.de/ph14s/accircuit_s.htm
http://www.walter-fendt.de/ph14s/osccirc_s.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/alterna/alterna.htm
http://es-sun2.fernuni-hagen.de/JAVA/RLCircuit/rlcircuit.html
http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/21-5/index.html

Fasores en un circuito LRC de C. A.

Si representamos la diferencia de potencial aplicada al circuito V f (=Vf,max cos (ωt+δ)) en
un diagrama de fasores, se pueden obtener la corriente en el circuito, el ángulo de fase, la
reactancia total y la impedancia de manera más sencilla:
r r r r
Por la ley de las mayas, se tiene: Vf = VR + VL + VC
VL Vf
expresando a través de los módulos de los fasores, queda:
VR r r r
δ Vf = VR + VL + VC = VR,max + (VL,max − VC,max ) 2
2
VL-VC
ωt ωt-δ
además se sabe que los valores máximos son:
VR,max = I max R ; VL,max = Imax X L ; VC,max = I max X C
VC
reemplazando:

Vf = (I max R) 2 + (I max X L − I max X C ) 2 = I max R 2 + (X L − X C ) 2 = I max Z

También de la figura se puede obtener el ángulo de fase:
r r
VL − VC I X − I X X − XC
tan δ = r = max L max C = L
VR I max R R


Por su parte la potencia que disipa un circuito RLC se debe a la presencia de las resistencia
conectada en él y su valor es P=I2R ó
1 2
P = R(I max cos(ωt − δ)) 2 = RI max cos 2 (ωt − δ) ⇒ Pm = RI max
2 2
= I ef R
2

XL Z R
A partir del diagrama fasorial se puede obtener que: cos(δ) =
XL-XC
Z
y como Imax=Vf,max/Z queda:
δ R
1
ωt-δ Pm = Vf ,max I max cos(δ) = Vf ,ef I ef cos(δ)
ωt 2

el término cos δ, se llama factor de potencia del circuito
XC

Resonancia en un circuito LRC de C. A.

Si se conecta un condensador C inicialmente cargado a una inductancia L, (circuito LC) se
establecerá una corriente en el circuito producto de la energía almacenada en el
condensador (energía eléctrica) y por efecto de la corriente se irá generando un campo
magnético variable en la inductancia que almacenará una energía magnética en el campo
de inducción creado de está forma. Si se deja conectado el circuito, la corriente en el
crecerá hasta un valor máximo y la carga en el condensador disminuirá hasta cero,
momento en el cual la corriente en el circuito empezará a disminuir y la carga en el
condensador empezará a crecer, este proceso se repetirá indefinidamente (con frecuencia
ω0=1/√LC), si la inductancia y el condensador son ideales, es decir no tienen resistencia.

Si la inducción y el condensador se conectan con una resistencia formando un circuito
serie, el proceso oscilatorio será semejante al del circuito LC, con la diferencia que la
energía electromagnética ya no permanecerá constante, dado que la resistencia disipa
energía al medio por efecto Joule. Lo que sí es importante observar es que la frecuencia del
oscilador (ω0=1/√LC) no cambia por la inclusión de la resistencia en el circuito.

En el primer caso se ha obtenido un oscilador armónico simple y en el segundo caso un
oscilador armónico amortiguado. La pregunta es ¿De qué manera se podrá mantener la
oscilación del circuito si en la realidad todos los circuitos tienen resistencia?


La respuesta a la pregunta anterior se puede resolver agregando al circuito un dispositivo
que entregue al circuito una cantidad de energía a la misma tasa que el circuito la está
disipando. Este dispositivo capaz de entregar energía a una determinada frecuencia es un
generador de corriente alterna.

Es de hacer notar que el oscilador posee una frecuencia de oscilación que es propia de él,
llamada frecuencia natural del oscilador (ω0=1/√LC), dado que, depende sólo de las
características de fabricación del condensador y la inducción. Por su parte la fuente es
capaz de generar C.A. con frecuencia (ωf) que depende de su construcción. De tal forma se
tienen dos componentes independientes en el proceso de mantener un circuito LRC
oscilando con energía electromagnética constante, uno el circuito LRC serie y otro la
fuente de C.A. que se conecta al circuito.

ωf
1
ω0 =
LC
Generador C.A.

Circuito LRC


Una situación que merece especial atención es cuando un circuito LRC serie de frecuencia
natural ω0 se conecta a una fuente de CA con frecuencia ω0, en tal caso el circuito entra en
resonancia con la fuente, por lo que la corriente del circuito será máxima.

Para que la corriente sea máxima en el circuito se debe cumplir que la impedancia sea
mínima, reactancia capacitiva sea igual a la reactancia inductiva, o equivalentemente la
impedancia sea mínima, matemáticamente:
Z = R 2 + (X L − X C ) 2 

1  Si X L = X C ⇒ Zmin ⇒ I max
Iµ 
Z 
En tal condición de funcionamiento del circuito se puede comprobar que:
1 1 1
i) Si X L = X C ⇒ ωf L = ⇒ ωf2 = ⇒ ωf = = ω0
ωf C LC LC
XL − XC
ii) Si X L = X C ⇒ tan(δ) = =0 ⇒ δ=0
R

iii) Si X L = X C ⇒ δ = 0 ⇒ cos(δ) = 1

Corriente alterna (1)

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