Funcion polinomial
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El documento describe los pasos para bosquejar la gráfica de una función polinomial mediante el uso de herramientas de álgebra como la regla de signos de Descartes, los teoremas de cotas y el teorema del residuo. Estos pasos incluyen determinar la naturaleza y ubicación de las raíces, encontrar los ceros de la función mediante prueba y error, y factorizar la función para graficar los cambios de signo.
Funcion polinomial
- 1. Objetivo: Realizar el bosquejo de la gráfica de una función polinomial aplicando diferentes herramientas del álgebraPor ejemplo, bosqueja la gráfica de la función:
- 2. Paso 1- Naturaleza de las raícesRegla de Signos de DescartesDe la tabla anterior podemos asegurar que existe un cero positivo, por lo que iniciaremos la búsqueda de ceros del polinomio con cantidades positivas.
- 3. Paso 2- Conjunto de posibles cerosEl numerador pde los ceros racionales es factor del término constante a0 y el denominador q es factor del coeficiente an.
- 4. Del segundo teorema de cotas sabemos que todos los ceros reales de una función están en el intervalo (-M, M) en donde:máx (|an|, |an-1|, … , |a1|, |a0|)M= ----------------------------------- + 1 |an|Para el polinomio presentado, el intervalo definido por este teorema es:
- 5. Quitando los elementos que están fuera del intervalo definido:
- 6. Buscando los ceros del polinomio:Probamos con 5, dado que estamos seguros que existe un cero positivo.Del Teorema del Residuo podemos decir que:Del Teorema del factor podemos decir que x-5no es un factor del polinomio.Del primer teorema de cotas podemos decir que 5 es una cota superior, por lo que podemos redefinir el intervalo en el que se encuentran las soluciones además de descartar algunos posible ceros.
- 7. Redefiniendo las cotas:Quitando los elementos que están fuera del nuevo intervalo:
- 8. Probamos con 2, dado que estamos seguros que existe un cero positivo.Del Teorema del Residuo podemos decir que:Del Teorema del factor podemos decir que x-2no es un factor del polinomio.Del primer teorema de cotas podemos decir que 2 no es una cota superior.Del Teorema del valor intermedio podemos decir que hay un cero entre2 y 5, dado que:
- 9. De acuerdo con los comentarios anteriores elegimos el 3 y volvemos a intentar:Del Teorema del Residuo podemos decir que:Del Teorema del factor podemos decir que x-3 es un factor del polinomio.La función se puede reescribir de la siguiente manera:
- 10. Seguimos buscando los ceros del polinomio:Probamos con -5.Del Teorema del Residuo podemos decir que:Del Teorema del factor podemos decir que x+5no es un factor del nuevo polinomio.Del primer teorema de cotas podemos decir que -5 es una cota inferior, por lo que podemos redefinir el intervalo en el que se encuentran las soluciones además de descartar algunos posible ceros.
- 11. Redefiniendo las cotas:Quitando los elementos que están fuera del nuevo intervalo:
- 12. Seguimos buscando los ceros del polinomio:Probamos con -3/2.Del Teorema del Residuo podemos decir que:Del Teorema del factor podemos decir que x+3/2no es un factor del nuevo polinomio.Del primer teorema de cotas podemos decir que -3/2 no es una cota inferior. Del Teorema del valor intermedio podemos decir que hay un cero entre-5 y -3/2, dado que:
- 13. Probamos con -3.Seguimos buscando los ceros del polinomio:Del Teorema del Residuo podemos decir que:Del Teorema del factor podemos decir que x+3 es un factor del nuevo polinomio.Del primer teorema de cotas podemos decir que -3 no es una cota inferior. La función se puede reescribir de la siguiente manera:
- 14. De acuerdo con la regla de signos de Descartes y al hecho de que encontramos un cero negativo, esto implica que existe otro cero negativo. Probemos con -1/2Del Teorema del Residuo podemos decir que:Del Teorema del factor podemos decir que x+1/2no es un factor del nuevo polinomio.Del primer teorema de cotas podemos decir que -1/2 no es una cota inferior. Del Teorema del valor intermedio podemos decir que hay un cero entre-3/2 y -1/2, dado que:
- 15. Ahora probamos con el -1Del Teorema del Residuo podemos decir que:Del Teorema del factor podemos decir que x+1 es un factor del nuevo polinomio.Del primer teorema de cotas podemos decir que -1 sí es una cota inferior. La función se puede reescribir de la siguiente manera:
- 16. El último factor de este polinomio es factorizable y se reescribe de la siguiente manera:Para encontrar los ceros de la función la igualamos a cero y obtenemos la ecuación:La ecuación anterior la resolvemos aplicando el teorema del factor cero:Igualamos a cero cada factorResolvemos cada Igualdad
- 17. -----+++-++++++--+---+++-++---+---++Con la información anterior hacemos un análisis de signos para trazar la gráfica de la función: