Lecture 7 probabilidad de error de transmisión pcm. formateo de señales dpcm, adpcm.

Universidad Nacional de Ingeniería
Comunicación II
Conferencia 7: Probabilidad de error de transmisión PCM.
Formateo de Señales DPCM, ADPCM.
UNIDAD II: CODIFICACIÓN FUENTE Y FORMATEO DE SEÑALES.
Instructor: Israel M. Zamora, P.E., MS Telecommunications Management
Profesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.
Universidad Nacional de Ingeniería
COM II I. ZamoraU n i 2- Conf 7: Cod. Fte. y F1teo. Señales

Agenda
• Probabilidad de transmisión en PCM
• Error de transmisión en canal binario
• Estimación de la relación SNR en el receptor
PCM
• Criterios de fidelidad de Voz
• Codificadores de Voz
• Modulación Diferencial PCM (DPCM)
• Modulación Diferencial Adaptiva PCM
(ADPCM)
• Codificadores de forma de onda

Probabilidad de errores de Transmisión PCM
• Cuando se transmite una información digital, a menudo se introducen errores en
la recepción de los símbolos, debido al efecto del ruido.
• Evidentemente, el error que se introduce tiene significado diferente según sea la
posición del bit errado, dentro del caracter (agrupación de los bits que
representan una muestra de voz o de imagen codificada, o una letra de un texto,
o el valor obtenido a la salida de un conversor A/D en aplicaciones de
telemetría,etc.).
• Por ejemplo, si se transmiten octetos codificados de señales de voz, si se
produce un error en el MSB, esto se traduce en un error de signo. En cambio, si
es en el LSB, afecta sólo al menor nivel de cuantización.
• A continuación se analizará el efecto del ruido de canal en la recepción de una
señal codificada en PCM con cuantización uniforme.
• El análisis se basa en poder expresar el valor medio esperado del error, y su
varianza, dado que la varianza es una medida de la potencia del error registrado.
• Para este análisis, consideraremos el modelo de canal binario en general, y el
caso simétrico en particular.

• Los errores de transmisión pueden ser representados mediante un diagrama de
transición de símbolos recibidos.
x {0,1} i Î
y {0,1} j Î
• Sean los alfabetos fuente y destino: y
• En una recepción binaria es posible identificar diferentes transiciones:
P ( ) X 1
P ( ) X 0
P ( ) Y 1
P ( ) Y 0
1
0
1
P ( / ) Y / X 1 0
0
P ( / ) Y / X 1 1
P ( / ) Y / X 1 0
P ( / ) Y / X 0 0
P (1 )+ P (0 ) =1 X X P (1 / 1 )+ P (0 / 1 ) =1 Y / X Y / X P (1 )+ P (0 ) =1 Y Y
P (1 / 0 )+ P (0 / 0 ) =1 Y / X Y / X
P ( x ) P( y , x ) P ( , ) e i =1 = j ¹1 i =1 = e 0 1 P ( x ) P( y , x ) P ( , ) e i = 0 = j ¹ 0 i = 0 = e 1 0

• Por tanto, la probabilidad de error en el canal binario es la suma de las
probabilidades de error generados por las dos situaciones anteriormente
mostradas.
P P ( , ) P ( , ) e = e 1 0 + e 0 1
P ( , ) P ( )P ( / ) e 1 0 = X 0 Y / X 1 0
P ( , ) P ( )P ( / ) e 0 1 = X 1 Y / X 0 1
P P ( )P ( / ) P ( )P ( / ) e = X 0 Y / X 1 0 + X 1 Y / X 0 1
• En un canal simétrico binario se tienen que:
• Sin importar si se transmiten mas 1’s que 0’s,
se cumple:
P ( , ) P ( , ) Y / X 1 0 = Y / X 0 1
P P ( , ) P ( , ) e = Y / X 1 0 = Y / X 0 1
• En conferencias posteriores, se estudiará la forma de obtener los valores de
esta probabilidad de error de canal en función de la densidad espectral de
potencia de ruido y la energía de la señal.

Probabilidad de Transmisión Correcta PCM
• La probabilidad que un bit se reciba correctamente es el complemento de la probabilidad de
c e P =1- P
recepción en error:
• Si se envían “b” bits en sucesión, y la probabilidad de error en recepción es Pe y si el
error de un bit es independiente del precedente o del siguiente, entonces la
probabilidad de recibirlos todos ellos correctamente está dado por la expresión:
× = =Õ=
c ,b ck P P P1 P 2P
c c cb
b
k
1
• En este caso, considerando que todas las probabilidades son iguales, la
expresión se reduce a: ( )b
c ,b c P = P = 1- P
e
b
• Hoy en día, los sistemas de transmisión han mejorado sustancialmente, de modo
que:
P £10-3 P = ( 1- P ) b
»1- bP
e c ,b e e

Análisis del efecto del error en PCM
• Si suponemos que se han enviado “b” bits codificados PCM. Como se ha indicado desde
el inicio, es evidente que el error cometido será diferente según sea la ubicación del o los
bits recibidos en error.
• Si 2Vp es el rango total de la señal recibida, codificada mediante L=2b niveles,
entonces el error de cuantización ei cometido por la recepción de un bit errado en
la posición “i”, será de magnitud: Vp/2b-i.
– En general, se tiene:
– Si el error se comente en el MSB, i=b y:
e =V
b p – Si el error se comente en el LSB, i=1 y:
e = V /
2b-
1 p b i
i p e =V / 2 -
• Por ejemplo, con b=4, si el error se comete en el LSB, entonces:
1
V / V / V / rango total p p p e = 24-1 = 8 = 2 16 =
1
#niveles

Error medio en el canal de transmisión binario
• Partimos del hecho que Pe es el error que se comete en la recepción de un bit,
bajo el análisis realizado en un modelo de canal binario.
• De allí tenemos que el promedio estadístico del error cuando se recepcionó el bit
“i” de “b” es:
V P
[ ] b i
e = E P se recepcionó el bit " i" de " b"
= e × P =
e i e
- • Desacondicionando respecto de “i” y, tomando en cuenta que el bit mas
significativo corresponde al bit de signo, tendremos, entonces:
p e
2
ö
æ
V P b
V P
b
[ ] [ [ ]] 1
0
-
e = = å p e
-åb -
i
p e
2 2
1
1
-
1
= ÷ ÷ø
ç çè
=
b -
i
=
i
i
E E E P se recibe el bit i P
e e

• Si Pe es la probabilidad de cometer un error en la recepción de un
bit y es independiente de su ubicación, entonces asumiendo “uno” y
“cero” equiprobables, el error promedio de la muestra decodificada
está dado por:
m = [e] = 0 e E Como ya se vio antes (diapositiva anterior).
• El valor cuadrático medio promedio (varianza para un proceso
ergódico) debido al error de los bits, (error de canal) estará dado
por:
[( [ ]) ] [ ] å å
b
2
2 2 2 2
1
i e E E E P V P
p ( b ) e
1
=
2 -
1
b
e s = e - e = e = e =
1
=
i
i
2
2
V P
4
b 1
j
1
( p e
) ( b
) å-
2 P V 2 P
2 2
1
e s = = -
e p j e
0
=
2
2
3 2
2
b

• Recordemos que en probabilidades, si dos variables aleatorias se suman, el
valor medio de la nueva variable aleatoria es igual a la suma de los valores
medios.
• Si las variables son independientes, la varianza de la nueva variable aleatoria
resultante, también es la suma de ambas.
[ ] [ ] [ ] x y z = x + y Þ E z = E x + E y m = m + m z :
x, y independientes Þ E[(z - E[z])2 ] = E[( x - E[x])2 ]+ E[( y - E[ y])2 ]
• Combinando el error de cuantización (ver resultado en diapositiva 12 de
conferencia 6), y el error debido al canal de transmisión, tenemos:
2 2 2
N Q s = s + s e
[( [ ])2 ] 2 2 2
z x y E z - E z = s = s + s
2
V P V
2
( p e
) ( b ) p
b
s = - +
b
2
N
2
2
2
3 2
2 1
4
3 2
×
2
V
( p
) (4 (2 1) 1)
s2 = b - +
N P
3 2
2
2
b e
COM II I. ZamoraU n i 2- Conf 7: Cod. Fte. y F1te0o. Señales

Razón Señal a Ruido en el receptor PCM
• En esta ocasión consideramos el ruido en el receptor como el resultante de la
suma de las perturbaciones propias del canal (ruido de canal “e”) y el error de
cuantización que resulta en el generador PCM (ruido de cuantización “Q”).
• Si se considera que la potencia de señal de un proceso de transmisión de un
señal analógica, muestreada y codificada en PCM es
• Entonces la relación SNR es:
2
2 2
x p s = kV
Ver diapositiva 11 en
conferencia 6.
2
p
V
kV
( ) (4 (2 1) 1)
PCM p
P
x
N
Q
x
e b
3 2
2
2
2
s
=
2
2
s
2 2
- +
=
s
s + s
S
ö çè
= ÷ø
æ
b e
N
( )
3 2
2
b
= × ÷ø
k
(1 4 (2 2
b
1))
PCM P
+ -
S
çè
æ
ö e
N

Criterios de Fidelidad de la Voz
• Debido a la subjetividad de la percepción
humana existe dificultad para encontrar un
criterio objetivo de la calidad de la señal
recuperada en el receptor.
• El método mayormente empleado consiste en
reconocer palabras y sonidos, con diferentes
oyentes humanos y obtener promedios de
satisfacción. Ejemplo: estándar MOS (Mean
Opinion Score) .
• También se aplican medidas objetivas sobre
muestras de corta duración, que unidas a las
pruebas mencionadas anteriormente,
establecen guías para el diseño de
codificadores de voz.

Criterios de Fidelidad de la Voz
• Existen básicamente 2 tipos de codificadores de voz:
– los codificadores de señal o forma de onda son
aquellos que utilizan información redundante de las
muestras de voz de tal forma que permiten una
codificación más eficiente que PCM con cuantización
uniforme, pero no son tan dependientes de las
propiedades espectrales y estadísticas de la voz que no
sean aplicables otras fuentes, como son los módem y
los fax, por ejemplo.
– Los codificadores de fuente, que sí explotan las
características de la voz de tal manera que no producen
buenos resultados cuando la fuente no es la voz
humana. Se conocen también como vocoders.

Clasificación de los codificadores de Voz
Codificadores de
forma de Onda
Codificadores de
fuente de Voz
Basado en las
características
temporales
Diferencial
DM
No diferencial
PCM
Basado en las
características
espectrales
Codificación con
Transformación
Adaptiva ATC
Codificación
por Subbandas
SBC
ADPCM
Codificación
Adaptiva con
Predicción
APC
Vocoders
Codificadores
Predictivos
lineales LPC.

Calidad de la transmisión de la voz codificada
Según se vió anteriormente, la calidad de una señal de voz decodificada
depende de la tasa de transmisión.
MOS > 4: Calidad de transmisión de difusión musical, similar
a FM (> 64 kb/s ).
MOS > 3: Calidad telefónica internacional (entre 16 y 64
kb/s).
MOS > 2: Calidad de transmisión de comunicaciones móviles
(entre 7.2 y 12 kb/s) señales inteligibles con distorsiones
perceptibles.)
MOS > 1: Calidad sintética ( bajo los 5.2 kb/s, uso de
vocoders).
MOS < 1: Calidad no aceptable

Calidad de la voz

Modulación PCM
VIRTUDES
• Robustez al ruido y la interferencia del canal.
• Regeneración eficiente de la señal codificada a lo largo de la trayectoria de
transmisión.
• Intercambio eficiente del ancho de banda incrementado del canal por una relación
señal a ruido mejorada, obedeciendo a una ley exponencial.
• Un formato uniforme para la transmisión de diferentes tipos de señales de banda
base, y de ahí su integración con otras formas de datos digitales con una red
común.
• Facilidad comparativa con la cual las fuentes de mensajes tal vez se eliminen o
reincorporen en un sistema de multiplexado por división de tiempo.
• Comunicación segura mediante el uso de esquemas de modulación o encriptado
especiales.
DESVENTAJAS
• Mas complejidad del sistema.
• Mayor ancho de banda de transmisión.
• Mayor costo.

Modulación Diferencial PCM (DPCM)
La representación (codificación) en PCM de fuentes “suaves” o
“lentas” guarda una fuerte correlación.
Ejemplo de señal de video:
(157)d
(155)X(T,1:4): 155 155 157 158
d
k s(158)d
(155)d
t/TS 1 2 3 4
xk
Representación binaria en 8bit-PCM
155: 10011011
157: 10011101
158: 10011110
¡¡¡Los primeros 5 bits MSB no cambian!!!
Ocurre un desperdicio de recursos...
Se reduce la tasa de transmisión
(asumiendo que el bit MSB es de signo:
1. Con 8bit-PCM: 64Kbps
2. Con 3bit-DPCM: 18.28Kbps
SOLUCIÓN:
• Predecir cada muestra a partir de su vecinas
• Cuantizar el residuo (diferencia entre dos muestras sucesivas) de la
predicción con PCM
• Se obtiene un menor error de cuantización para la misma tasa de bits.

• Es un esquema de modulación basado en el principio de PCM pero
a diferencia de este último, la información transmitida es la
diferencia entre muestras adyacentes.
• Se toma provecho que para señales analógicas, en general, las
amplitudes de muestras consecutivas muestran un alto nivel de
correlación, por lo que la diferencia entre cualquier par de muestras
consecutivas será siempre pequeña.
• Esta correlación es aprovechada en DPCM para cuantizar y
codificar únicamente la diferencia entre dos muestras adyacentes.
• Por tanto, en términos de desempeño, DPCM es muy similar a PCM
pero al codificarse sólo la diferencia entre muestras adyacentes se
requiere un menor número de bits de cuantización.
• La motivación es usar la correlación entre muestras de datos para
predecir el valor futuro de la señal, o, considerar cómo remover la
correlación entre muestras.

• Un menor número de bits de cuantización implica una menor
velocidad de transmisión (bit rates) y por tanto menor ancho de
banda.
• DPCM tiene gran aplicación en compresión de voz e imagen
(sistemas de vigilancia son un clásico ejemplo de aplicación).
• En este esquema se requiere entonces que la frecuencia de
muestreo exceda la frecuencia de Nyquist (sobremuestreo), es
decir, fs >2fm.
• Otra ventaja de la codificación diferencial resulta del hecho que
cuando datos en serie se pasa a través de muchos circuitos a lo
largo de un canal de comunicaciones, la forma de onda a menudo,
no intencionalmente, es invertida (datos complementados). Este
resultado puede ocurrir en un canal de transmisión basados en par
trenzado simplemente al conmutar las dos puntas cuando se usa
codificación de línea tipo polar.

DPCM usando predicción de las muestras de la señal diferencial
cuantizada
k x k e
k y
*
k x
k xˆ
x( t )
k y *
k xˆ
I lim x( t )
k xˆ
k y
k x
x* (t )

DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA DPCM
k k k e = x - xˆ
k x k e k y
S Cuantizador
Q(x)
S
+
-
*
k k x xˆ
Filtro de
Predicción
Z-T (Tc=1)
TRANSMISOR
Muestreador
x( t )
+
+
k k k y = e + q
Forma de Onda
DPCM
*
k x = y + xˆ
k k
k xˆ
k k k e = x - xˆ
k k k y = e + q
Entrada al cuantizador, denominado el error de predicción.
Salida del cuantizador, donde qk es denominado error de cuantización.
x *
= y + xk k ˆ k
Entrada al predictor.

*
k x = y + xˆ
*
k x k y
+ S
k xˆ
k k
Filtro de
Predicción
Z-T (T=1)
RECEPTOR
Decodificador
PCM
Secuencia
DPCM
+
Filtro de
reconstrucción
x* (t )
k xˆ Salida del predictor.
• El filtro de predicción generalmente se implementa a través de un predictor
lineal el cual las últimas “r” muestras se usan para predecir los valores de la
siguiente muestra.

• Para la estructura DPCM ilustrada en las dos diapositivas anteriores, el error de
cuantización entre xk y su valor reestructurado xk* es el mismo que el error de
cuantización entre la entrada y salida del cuantizador, es decir:
Señal símbolo reconstruida
*
k x = y + xˆ
k k
Salida del
cuantizador
Valor estimado de xk
*
k Þ x = e + q + xˆ
k k k
k k k k = ( x - xˆ )+ q + xˆ
k k k y = e + q
Por tanto tenemos la propiedad:
*
k k q = x - x = y - e
Þ x *
= x + q k k k
k k k

• Generalmente, el rango de variación de ek es mucho menor
comparado con el de xk y, por tanto, ek puede ser cuantizado con
menos bits.
• Debe observarse que qk es independiente del predictor. Así, DPCM
puede alcanzar niveles de desempeños comparados con PCM a
menores tasas de bits lo que encuentra una amplia gama de
aplicaciones en la compresión de voz e imágenes.
• El resultado anterior demuestra que en ausencia de ruido de canal, la
diferencia entre x(t) y x*(t) es debida al ruido de cuantización qk.

PREDICTOR LINEAL PARA DPCM
• El predictor lineal es un filtro discreto en el tiempo con respuesta
al impulso de duración finita (FIR):
–Este contiene un conjunto de “r” elementos de retardo unitario, cada uno de
los cuales se representa por D,
–La salida del filtro es la suma convolución:
r
å=
xˆ = c x + c x + + c x =
c x
k k - k - r k - r i k - i i
1
1 1 2 2 
donde r, el número de elementos de retardo unitario (Tap), es denominado el
orden del predictor, y ci son los coeficientes del filtro.

k-1 x k x k-2 x k r x k-r+1 - x
D
c1
c2
S
D
. . .
. . .
. . .
• El objetivo de diseño es escoger los coeficientes del filtro c1, c2, ..., cr,
de modo que se minimice el error cuadrático medio dado por:
D = E[ E 2 ] = E[( X - Xˆ ) 2
] k k k
Cr-1 cr
S
D
S
k xˆ
r
Donde: å=
E = X - Xˆ = X -
c X
k k k k i k - i i
1
Ambos Ek y Xk son las secuencias aleatorias con media cero, y ek y xk son
valores muestras de Ek y Xk, respectivamente. En este caso, el filtro se
denominado el predictor óptimo.

Expandiendo la expresión anterior, y asumiendo que el proceso es
estacionario, obtenemos:
ù
ú úû
ê êë é
2
ö
÷÷ø
ççèæ - = å=
D E X c X
k i k -
i r
1
i
r
r
r
D = R ( 0 ) - 2
c R ( i ) + c c R ( i -
j )
X i donde RX denota la función de autocorrelación del proceso X={Xk}.
Para minimizar D, diferenciamos con respecto a ci’s y encontramos las
raíces. Luego de diferenciar, tendremos:
r
å=
å åå
= = =
X i j X
i
j
i
1 1 1
c R ( i - j ) = R ( j ) ; 1
£ j £
r i X X i 1

Resolviendo el conjunto de ecuaciones generadas de la diferenciación
(las que se conocen como las ecuaciones Yule-Walker), podemos
encontrar el conjunto óptimo de coeficientes del predictor.
Esta colección de ecuaciones (una para cada “j”) puede arreglarse en
forma matricial conocida como Ecuaciones Normales. Su forma es:
é
R ( ) R ( ) R ( ) R ( r )
0 1 2 1
- - 
-
X X X X
R ( ) R ( ) R ( ) R ( r )
1 0 1 2
- -
ù

X X X X
R ( ) R ( ) R ( ) R ( r )
2 1 0 3
R ( )
1
X
R ( )
2
X
R ( )

X X X X
   
ù
ú ú ú ú ú ú
û
c
é
ê ê ê ê ê ê
c
c
ë
ù
ú ú ú ú ú ú
û
ê ê ê ê ê ê
ë
- - -
-
=
ú ú ú ú ú ú û
é
ê ê ê ê ê ê
ë
1
2
3
4
1 2 3 0
3
c
R ( r ) R ( r ) R ( r ) R ( )
X
R ( r )
X X X X
X




Relación señal a ruido en DPCM
• Para determinar la razón señal a ruido en DPCM podemos escribir:
2
2
2
= s = s
× s
2
Q ( SNR ) =G ×( SNR )
• Donde:
s2
, E
P P
E
s
Q
X
2
E
X
2
s
Q
s
, Q 2
s
La varianza del error de predicción de media cero, ek,
La varianza del error de cuantización de media cero, qk,
Q ( SNR )
( SNR ) ,
La razón para el transmisor DPCM,
2
s
E
= s
P 2
Q
2
s
= s
G X
,
P 2
E
La razón para el cuantizador, denominado razón de señal
de predicción a ruido de cuantización,
La ganancia de predicción producida por DPCM.
Así, la razón señal a ruido de cuantización en DPCM está determinado por el producto
de la razón de señal de predicción a ruido de cuantización y la ganancia de predicción.

Relación señal a ruido en DPCM
• Para una señal bandabase x(t), la varianza s2
X es fija, así:
G max imizada σ min imizada P E « 2 ¯
• Si el predictor es bueno, entonces s2
E < s2
X . En otras palabra, para un
número dado de niveles de cuantización, la varianza del error de
cuantización qk para ek es mas pequeño que la varianza del error de
cuantización qk para xk en PCM.

DPCM Adaptivo o ADPCM

Codificadores de Forma de Onda en el
dominio de la frecuencia
• Explotan básicamente las siguientes redundancias
de la señal de voz :
• Densidad espectral no uniforme.
• Ciertos sonidos específicos presentan bajos niveles de
densidad espectral de energía.
• Ejemplos:
• Codificación por sub-bandas de frecuencia:
Sub Band Coding (SBC).
• Codificación mediante transformada adaptiva: Adaptive
Transform Coding (ATC).

Espectro de frecuencia de transmisión de
Voz en función del tiempo

Codificación por sub-bandas:
SBC: Sub Band Coding
• La SBC se puede interpretar como un método de controlar y
distribuir el ruido de cuantización sobre el espectro de
frecuencias de la señal.
– La cuantización es un proceso no lineal que produce un espectro de
frecuencias amplio.
– El oído humano no percibe el ruido de cuantización de igual forma a
todas las frecuencias.
– En consecuencia hay una ventaja comparativa en dividir el espectro
en sub-bandas para ser codificadas individualmente.
– En SBC, el espectro de voz se divide típicamente en 4 o 8 bandas,
y c/sub-banda se muestrea a la tasa de Nyquist.
– La selección de las sub-bandas puede ser realizada de diversas
maneras.

Codificación por sub-bandas:
SBC: Sub Band Coding
• Un esquema es el de considerar las
sub-bandas con frecuencias de corte
ubicadas en : 200-700-1310-2020-
3200 Hz.
• Hay diversas maneras de procesar las
sub-bandas. Una forma es la de
trasladar el contenido espectral a
frecuencias bajas mediante
modulación equivalente a SSB
• Los filtros pasabanda no presentan
problemas derivados del traslape si se
diseñan de modo que las respuestas
de frecuencia en los cruces son
complementarios.

Codificación por sub-bandas SBC
• Ejemplo: considere un sistema SBC con
sub-bandas con frecuencias de corte
ubicadas en : 200-700-1310-2020-3200
Hz. Suponga que se requiere de 4, 3, 2, 1
b/muestra en las subbandas indicadas,
respectiva-mente. Además, que el
muestreo que se realiza es a la tasa de
Nyquist y que no se requiere de
información adicional. Determine la
mínima tasa de Tx.
• Respuesta:
– Subbanda 1: R1 = 1000·4 b/s
– Subbanda 2: R2 = 1220·3 b/s
– Subbanda 3: R3 = 1420·2 b/s
– Subbanda 4: R2 = 2360·1 b/s
– Total = 12,86 kb/s
Valores típicos de tasas de Tx están
en el rango de 9,6 a 32Kbps.
El sistema CD-900 usa SBC.

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