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Este documento presenta un examen parcial de microeconomía avanzada que incluye 7 preguntas sobre la teoría del consumidor. Las preguntas analizan funciones de utilidad, demandas ordinarias y compensadas, agregación de Cournot y Engel, y comprueban si se cumplen las leyes de Walras para 2 funciones de utilidad diferentes.
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- 1. Escuela Escuela Profesional de Economía Curso Microeconomía Avanzada Aula 215D/209N Actividad Examen Parcial No. 1 Teoría del Consumidor Profesor Econ. Guillermo Pereyra Fecha 30 de Abril del 2010 _______________________________________________________________________________ 1. Dada la función de utilidad U=mín { X 1 , X 2 } (a) Determinar la función de demanda ordinaria del bien 1 Como U=mín { X 1 , X 2 } entonces X 2 = X 1 y dados los precios y el ingreso, la recta m de presupuesto es m=P1 X 1P 2 X 2 . Es decir m=P1 X 1P 2 X 1 X 1 *= . P1P 2 (b) Determinar la función de demanda compensada del bien 1 Este problema es el dual. Se trata de minimizar el gasto sujeto a la restricción de utilidad: Min m=Min P1 X 1 P 2 X 2 s. a. U=mín { X 1 , X 2 } . Como X 2 = X 1 , reemplazamos en la función de utilidad U=mín {X 1 , X 1 }=X 1 y entonces podemos escribir X 1 *=U que viene a ser la demanda compensada a la Hicks. (c) Determinar la función del gasto La demanda compensada a la Hicks correspondiente al bien 2 es X 2 *=U . Podemos reemplazar las demandas compensadas en la recta de presupuesto para encontrar la función del gasto del consumidor E=P1 UP 2 U =U P1P 2 . (d) Compruebe si las demandas ordinarias cumplen con la ley de Walras Primero determinamos la demanda ordinaria del bien 2, siguiendo el mismo procedimiento m de la parte (a). El resultado es X 2 *= . La recta de presupuesto es P1 P 2 m=P1 X 1P 2 X 2 y reemplazando las demandas ordinarias de los bienes 1 y 2, m m mP 1mP 2 m P 1P2 m=P1 P 2 = = =m y se cumple la Ley de P1P 2 P 1P2 P1P 2 P 1P2 Walras. (e) Compruebe si la demanda ordinaria del bien 1 es homogénea de grado cero en precios e ingreso m La demanda del bien 1 está dada por X 1 *= ; si multiplicamos el ingreso y los P1P 2 tm m precios por un t mayor a la unidad, X 1 **= = =X 1 * . En consecuencia tP 1tP 2 P1P 2 la demanda del bien 1 sigue siendo la misma si se incrementa el ingreso y los precios en la
- 2. misma proporción. La demanda es homogénea de grado cero en precios e ingreso. (f) Compruebe la agregación de Cournot en el caso del bien 1 La agregación de Cournot está dada por 1, P S 12, P S 2 =−S 1 .Si es la proporción del 1 1 ingreso que se gasta en el bien i. En este caso se trata de analizar el impacto de un cambio en el precio del bien 1, sobre la demanda del bien 1 y sobre la demanda del bien 2. m Tomando la demanda ordinaria del bien 1, X 1 *= , se obtiene la elasticidad P1P 2 dX 1 P 1 dX 1 m precio de demanda mediante la siguiente función 1, P = . =− 1 dP 1 X 1 dP 1 P 1P 2 2 m P1 m P1 P1 1, P =− =− =− y entonces 1 P 1P2 2 X 1 P 1P2 2 m P 1P 2 . De otro lado P 1P 2 dX 2 P 1 dX 2 m tenemos la elasticidad cruzada de demanda 2,P = . =− , y 1 dP1 X 2 dP1 P 1P 22 m P1 m P1 P1 2,P =− 2 =− 2 =− entonces 1 P 1P 2 X 2 P1P 2 m P 1P2 . En consecuencia, P 1P2 reemplazando en la agregación de Cournot para el bien 1, obtenemos P1 P1 P1 P1 1, P S 12, P S 2 =− S 1− S 2=− S 1S 2 =− . Pero 1 1 P 1P 2 P1P 2 P 1P2 P1 P 2 m P 1 P1 como P1 X 1 P 1P2 P1 y entonces −S 1=− y se cumple la S 1= = = P 1P2 m m P1P 2 agregación de Cournot para el bien 1. (g) Compruebe la agregación de Engel La agregación de Engel está dada por 1, m S 12, m S 2=1 . Se trata de analizar el impacto de un cambio en el ingreso del consumidor sobre la demanda de los bienes 1 y 2. Tomando m la demanda ordinaria del bien 1, X 1 *= , podemos estimar la elasticidad ingreso P1P 2 dX m dX 1 1 para el bien 1, 1, m= 1 . = , en consecuencia dm X 1 m P1P 2 1 m 1 m 1, m= = =1 P1 P 2 X 1 P1P 2 m . P 1P 2 m Tomando la demanda ordinaria del bien 2, X 2 *= , podemos estimar la P1 P 2 dX 2 m dX 2 1 elasticidad ingreso para el bien 2, 2,m = . = , en consecuencia dm X 2 m P1 P 2 1 m 1 m 2,m = = =1 P 1P2 X 2 P 1P 2 m . Y reemplazando en la agregación de Engel se P1 P 2
- 3. P1 X 1 P 2 X 2 m obtiene 1, m S 12, m S 2=S 1S 2= = =1 . m m m 2. Dada la función de utilidad U= X 1 X 2 (a) Determinar la función de demanda ordinaria del bien 1 Dada la función de utilidad U= X 1 X 2 , la tasa subjetiva de cambio es TSC =1 . En consecuencia, dados el precio del bien 1, el precio del bien 2 y el ingreso del consumidor, la demanda ordinaria del bien 1 es: P1 0 si 1 P2 m P X 1 * 0 , si 1 =1 P1 P2 m P X 1 *= si 1 1 P1 P2 (b) Determinar la función de demanda compensada del bien 1 Este problema es el dual. Se trata de minimizar el gasto sujeto a la restricción de utilidad: Min m=Min P1 X 1 P 2 X 2 s. a. U= X 1X 2 . En consecuencia la demanda compensada del bien 1 P si 1 1 X 1 *=0 P2 P m si 1 =1 X 1 * 0 , X 1 * 0 , U P2 P1 P m si 1 1 X 1 *= X 1 *=U P2 P1 (c) Determinar la función del gasto P1 si 1 X 1 *=0 X 2 *=U E =P 2 U P2 P m si 1 =1 X 1 * 0 , X 1 * 0 , U E P 2 U , P1 U P2 P1 P m si 1 1 X 1 *= X 1 *=U E=P1 U P2 P1 (d) Compruebe si las demandas ordinarias cumplen con la ley de Walras P1 m si 1 X 1 *=0 X 2 *= . La recta de presupuesto es m=P1 X 1P 2 X 2 y P2 P2 reemplazando las demandas ordinarias de los bienes 1 y 2, en la ecuación de la recta de
- 4. m presupuesto tenemos P1 0 P2 =m y se cumple la Ley de Walras. P2 P1 m si =1 X 1 * 0 , . Si la demanda del bien 1 es cero entonces el gasto del P2 P1 m consumidor va a ser P1 0 P2 =m . Si la demanda del bien 1 es m/P1 entonces el P2 m gasto del consumidor va a ser P1 P 2 0=m . En consecuencia siempre se cumple P1 la Ley de Walras. P m m si 1 1 X 1 *= X 2 *=0 y el gasto del consumidor es P1 P 2 0=m y se P2 P1 P1 cumple la Ley de Walras. (e) Compruebe si la demanda ordinaria del bien 1 es homogénea de grado cero en precios e ingreso P1 si 1 X 1 *=0 y al multiplicarse los precios y el ingreso por un t mayor que uno la P2 demanda por el bien 1 sigue siendo la misma, igual a cero. P m si 1 =1 X 1 * 0 , y al multiplicarse los precios y el ingreso por un t mayor que P2 P1 uno la demanda por el bien 1 sigue siendo la misma. P m si 1 1 X 1 *= y al multiplicarse los precios y el ingreso por un t mayor que uno la P2 P1 demanda por el bien 1 sigue siendo la misma. (f) Compruebe la agregación de Cournot en el caso del bien 1 La agregación de Cournot está dada por 1, P S 12, P S 2 =−S 1 .Si es la proporción del 1 1 ingreso que se gasta en el bien i. En este caso se trata de analizar el impacto de un cambio en el precio del bien 1, sobre la demanda del bien 1 y sobre la demanda del bien 2. P1 Tomando la demanda ordinaria del bien 1, en el caso que 1 X 1 *=0 y el gasto en P2 el bien 1 es cero y entonces el primer término del lado izquierdo de la agregación de Cournot es cero. La demanda ordinaria del bien 2 es m/P2, que no depende del precio del bien 1 y en consecuencia, la elasticidad precio de demanda cruzada es cero. Por lo tanto el segundo término del lado izquierdo de la agregación de Cournot también es cero y da como resultado cero que es igual al gasto en el bien 1. Por lo tanto se cumple la agregación de Cournot. P1 m En el caso que =1 X 1 * 0 , y la demanda del bien 2 no depende del precio del P2 P1 bien 1. En este caso la elasticidad precio de demanda es infinita y la elasticidad precio cruzada es cero y no se cumple la agregación de Cournot.
- 5. P1 m En el caso que 1 X 1 *= y la demanda del bien 2 es cero. La elasticidad precio P2 P1 dX m m P 1, m= 1 =− 2 1 =−1 de demanda del bien 1 es dm X 1 P1 m . El gasto del bien 2 es cero y se P1 cumple la agregación de Cournot. (g) Compruebe la agregación de Engel La agregación de Engel está dada por 1, m S 12, m S 2=1 . Se trata de analizar el impacto de un cambio en el ingreso del consumidor sobre la demanda de los bienes 1 y 2. Si la demanda del bien 1 es cero, la demanda del bien 2 es m/P2 y la elasticidad ingreso de m demanda del bien 2 es igual a la unidad. Entonces 0S 2= =1 y se cumple la m agregación de Engel. Si la demanda del bien 1 es una horizontal entre cero y m/P1, podemos evaluar la agregación de Engel en ambos extremos del intervalo. Si la demanda del bien 1 es cero sabemos que se cumple. Si la demanda del bien 1 es m/P1, la demanda del bien 2 es cero. La m elasticidad ingreso de demanda del bien 1 es la unidad y entonces S 10= =1 y se m cumple la agregación de Engel. P1 m Finalmente, si 1 X 1 *= y la demanda del bien 2 es cero y, considerando lo que P2 P1 acabamos de concluir más arriba, se cumple la agregación de Engel. 3. Comente la exposición realizada en el Aula. En una escala de 0 a 20, evalúe al equipo expositor y al equipo jurado y explique sus razones.