![Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării
Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Soluţie
1 1 1 1
1, , , , ,
2 2 2 2
… sunt în progresie geometrică cu raţia
1. Numerele 2 3 2009
f x = g x ⇔ x − = − x + ⇔ x = . Punctul de intersecţie cerut este
= ⇔ = π + π ∈] .
M M D
= ′ ⇔ − + = + = ⇒ .
x x
∈ π π ⇒ <
x = − − x = − .
x ∈ π π ⇒ x >
x = + − x = .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1
1
2
.
Rezultă că
2010
2009
1
1
2 1 2
1 2 1
2
s
−
= = −
−
şi de aici 1< s < 2 .
2. ( ) ( ) 1
2 1 4 1
3
1 1
;
3 3
M
−
.
3. Utilizând relaţia sin2 x + cos2 x =1, ecuaţia devine sin2 x + sin x − 2 = 0 .
Notăm sin x = y şi obţinem ecuaţia y2 + y − 2 = 0 cu soluţiile 1 şi −2 .
Ecuaţia sin x = −2 nu are soluţii (pentru că −1≤ sin x ≤1), iar sin 1 2 ,
2 x xk k k
4. Sunt 53 moduri de alegere a valorilor f (0), f (1), f (2) , deci 125 de funcţii.
5. Patrulaterul convex ABCD este paralelogram dacă şi numai dacă diagonalele sale au acelaşi mijloc.
Mijlocul lui [AC] este
3
; 1
2
M
. Fie D(x, y) . Mijlocul lui [BD] este
′ − 1 + x 1
+ y
M
;
2 2
.
1 x 3 şi 1 y
1 ( 4, 1
) 2 2 2
6. Deoarece ; cos 0
2
şi atunci 2 4
cos 1 sin
5
Deoarece ; sin 0
2 4 2 2
, deci
1 cos 3 10
sin
2 2 10](https://image.slidesharecdn.com/dmt1i032-140904071558-phpapp02/85/D-mt1-i_032-1-320.jpg)
D mt1 i_032
- 1. Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1 1 1 1 1, , , , , 2 2 2 2 … sunt în progresie geometrică cu raţia 1. Numerele 2 3 2009 f x = g x ⇔ x − = − x + ⇔ x = . Punctul de intersecţie cerut este = ⇔ = π + π ∈] . M M D = ′ ⇔ − + = + = ⇒ . x x ∈ π π ⇒ < x = − − x = − . x ∈ π π ⇒ x > x = + − x = . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 1 2 . Rezultă că 2010 2009 1 1 2 1 2 1 2 1 2 s − = = − − şi de aici 1< s < 2 . 2. ( ) ( ) 1 2 1 4 1 3 1 1 ; 3 3 M − . 3. Utilizând relaţia sin2 x + cos2 x =1, ecuaţia devine sin2 x + sin x − 2 = 0 . Notăm sin x = y şi obţinem ecuaţia y2 + y − 2 = 0 cu soluţiile 1 şi −2 . Ecuaţia sin x = −2 nu are soluţii (pentru că −1≤ sin x ≤1), iar sin 1 2 , 2 x xk k k 4. Sunt 53 moduri de alegere a valorilor f (0), f (1), f (2) , deci 125 de funcţii. 5. Patrulaterul convex ABCD este paralelogram dacă şi numai dacă diagonalele sale au acelaşi mijloc. Mijlocul lui [AC] este 3 ; 1 2 M . Fie D(x, y) . Mijlocul lui [BD] este ′ − 1 + x 1 + y M ; 2 2 . 1 x 3 şi 1 y 1 ( 4, 1 ) 2 2 2 6. Deoarece ; cos 0 2 şi atunci 2 4 cos 1 sin 5 Deoarece ; sin 0 2 4 2 2 , deci 1 cos 3 10 sin 2 2 10