Problema gauss
- 1. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Tres personas A, B y C le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 €. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de las siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 € que paga B , C paga 3 €. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.
- 2. Resolución de problemas mediante el método de Gauss X: Dinero que paga A Y: Dinero que paga B Z: Dinero que paga C Como el regalo les cuesta 86 €, la primera ecuación es: E1: X + Y + Z = 86 A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, tenemos: E2: X = 3( Y + Z ) Por cada 2 € que paga B , C paga 3 €, luego esto nos dice: E3: Y/2 = Z/3
- 3. Resolución de problemas mediante el método de Gauss El sistema lo escribimos en su forma estándar y luego sustituimos E2 por E1-E2, y nos queda: E1: X + Y + Z = 86 E1 X + Y + Z = 86 E2: X - 3Y - 3Z = 0 E1-E2 4Y + 4Z = 86 E3: 3Y - 2Z = 0 E3 3Y - 2Z = 0 Dividimos a la segunda ecuación por 4, y luego restamos a la tercera ecuación tres veces la segunda y queda: E1: X + Y + Z = 86 E1 X+ Y + Z = 86 E2/4: Y + Z = 21,5 E2 Y + Z = 21,5 E3: 3Y - 2Z = 0 E3-3E2 -5Z = -64,5
- 4. Resolución de problemas mediante el método de Gauss El último sistema es escalonado y es fácil resolverlo. En la última ecuación calculamos el valor de Z E1: X + Y + Z = 86 E2: Y + Z = 21,5 E3: -5Z = -64,5 Z = 12,9 En la segunda ecuación sustituimos Z por 12,9 y hallamos el valor de Y E1: X + Y + Z = 86 E2: Y + 12,9 = 21,5 Y = 8,6 E3: Z = 12,9 Por último, sustituimos en la primera ecuación Y por 7,6 y Z por 12,9 y obtenemos el valor de X E1: X + 8,6 + 12,9 = 86 X = 64,5
- 5. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Ya está resuelto el problema y la solución es: X: Dinero que paga A 64,5 € Y: Dinero que paga B 8,6 € Z: Dinero que paga C 12,9 € Por último comprobamos la solución en el sistema inicial: E1: X + Y + Z = 86 64,5 + 8,6 + 12,9 = 86 E2: X = 3( Y + Z ) 64,5 = 3(8,6+12,9) E3: Y/2 = Z/3 8,6/2 = 12,9/3