Funciones

Funciones
Por: Melissa Rascovsky, Melissa Sasson
y Sergio Garrido
Para: Patricia Cáceres
Colegio Colombo Hebreo
Àrea De Matemàticas
Dècimo grado
Bogota d.c

FUNCIONES
¿Qué es una función?
Gráficas de
funciones
Funciones
crecientes,
decrecientes y
tasa de cambio
promedio
Transformaciones
de funciones
Elementos de
una función

¿Qué es una función?
Definición de función Como reemplazar Dominio Representación de
una función
Una función es una regla
que asigna a cada
elemento x en un
conjunto A exactamente
un elemento, llamado
f(x), en un conjunto B.
• El símbolo f(x) se llama el valor de f en x.
• El conjunto A se llama dominio de la función.
• El rango de f es el conjunto de los valores reales
que toma la variable y o f(x).
• La variable independiente (x) es la que no varia
dependiendo de la otra.
• La variable dependiente (y) es la que varia
dependiendo del desplazamiento de x.
se debe reemplazar el
numero en la variable
independiente (x), para
hallar Y.
Es el conjunto de
elementos que tienen
imagen.
1. Verbal
2. Algebraica
3. Visual
4. Numérica

Elementos de una función
Conjunto de salida
Conjunto de llegada
dominio
rango
Función Inyectiva
Función Sobreyectiva
Función Biyectiva

Gráficas de funciones
Graficación
Graficación de
funciones definidas
por partes
Ecuaciones de
funciones
f(x)= mx + b (se llama función
lineal)
f(x)= b (se llama función
constante)
Se define mediante
formulas distintas en su
dominio, depende de la
variable independiente
x.
Funciones lineales
f(x) = mx + b
Funciones exponenciales
f(x) = x^n
Funciones de raiz
f(x) = x
Funciones recíprocas
f(x) = 1/x^n
Función valor absoluto
f(x) = IxI

Funciones crecientes y
decrecientes, tasa de
promedio
Funciones
crecientes
Tasa de cambio
promedio
Se dice que es
creciente cuando
la grafica sube,
asciende desde (-
00, 00) en Y.
Es la pendiente de la recta secante entre
x=a y x=b en la grafica de f, es decir, la
recta que pasa por (a, f(a)) y (a, f(b)).
Tasa de cambio
promedio = cambio en
y / cambio en x
Funciones
decrecientes
Se dice que
es decreciente
Cuando la grafica baja,
desciende de (00, -00)
Es decir con respecto a Y.

Transformaciones de
funciones
Desplazamiento
vertical
Desplazamiento
horizontal
Desplazamiento(acort
ar, alargar) vertical
Desplazamiento( al
argar o acortar)
horizontal
Sumar una constante
a la función vertical:
se desplaza hacia
arriba si la constante
es positiva y hacia
abajo si es negativa.
y= f(x + c) desplaza la
grafica c unidades a la
izquierda y si se resta
desplaza hacia la derecha.
y= f (x - c)
Para alargar
verticalmente una grafica
se multiplica por un
numero c mayor que 1.
Para acortar la grafica se
multiplica por un numero
a menor que uno pero
positivo, entre 1 y 0.
Para alargar una
grafica se divide
por un numero 1/a,
a es mayor que 1.
Para acortar la
grafica se divide por
un numero 1/a,
cuando a es menor
1, pero positivo.

l conjunto de números que son llamados conjunto A y son las
imágenes, cada elemento debe estar relacionado una ves con un
mento del conjunto de llegada B y posee una imagen. Por lo general reales.
Conjunto
de salida

Conjunto
de llegada
Es el conjunto de números del conjunto B, llamados imágenes, y están
relacionados con los elementos del conjunto A. Generalmente son reales.

rango
Es el conjunto de imágenes, el conjunto de números que se
relacionan una ves con los elementos del conjunto A.

dominio
Es el conjunto de pre imágenes, el conjunto de números que del
conjunto A están relacionados una ves con un solo elemento del
conjunto B. Generalmente reales.

Función
inyectiva
si todos los elementos del dominio están
relacionados una sola vez con un elemento
del rango. No puede haber dos o mas
elementos del dominio con la misma
imagen.
cuando f(x) = f(y), x = y.
Ejemplo: f(x) = x+5 del conjunto de los números reales es una función Inyectiva
A
B
C
D
1
2
3
4
5

Función
sobreyectiva
si a cada elemento del dominio le
corresponde un elemento del rango.
F(x)=B
Ejemplo: la función f(x) = 6x del conjunto de
los números naturales al de los números pares
es Sobreyectiva.
1
2
3
4
5
D
F
G
H
i

Función
biyectiva
Todos los elementos del conjunto A tienen una imagen distinta en el
conjunto B (Inyectiva), cada elemento del conjunto A le corresponde un
elemento del conjunto B (Sobreyectiva). Es Inyectiva y Sobreyectiva a la
ves.
Ejemplo: La función f(x) = 3x del conjunto de números reales es
Inyectiva y Sobreyectiva. Por lo tanto es Biyectiva.
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5

Funciones
Polinómicas
Constante Grado par
Otras
Grado imparLineal
Afín Lineal Identidad
Cuadrática
Lineal Cúbica
Trigonométrica
Exponencial
A trozos
Racional
Logarítmica
Valor
absoluto

Polinómicas
Son aquellas funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las
que están definidos.
donde es un polinomio en , , es decir, una suma finita de
potencias de multiplicados por coeficientes reales.
Dominio= Conjunto de Salida= IR
Conjunto de llegada= IR

Funciones de
grado par
Son funciones que como
máximo grado de un
término es un número
par. Está dada por la
ecuación:
Conjunto de salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada=IR
Rango =(depende de la función, de
sus máximos y mínimos.)
Punto de corte con y= igualando x a 0
Puntos de corte con x= igualando y a 0
Vértice= +-b/2a
Conjunto de llegada =IR Rango= máximos
y mínimos.
F(x) ≥0 en x IR positivos.
F(x) ≤0 en x IR negativos
Por lo general es la función
cuadrática.

Funciones de
grado impar
Son funciones en las cuales el máximo grado
de un término es un número impar . Está
dada por la ecuación:
Conjunto de
salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada=IR
Rango =IR
en la función constante el
rango es la variable f(x)=a
Función cúbica
Punto de corte con y= igualando x a
0
Punto de corte con x= igualando y a
0
Conjunto de llegada =IR
Rango= IR
F(x) ≥0 en x IR positivos
F(x) ≤ 0 en x IR negativos
Se divide en función cúbica y
lineal.

Lineal
Un polinomio de primer grado de una variable real es una función matemática de la
forma:
F(x)= mx + b
donde m y b son constantes. La función lineal , pasa por el punto (0,0) como origen a
diferencia de la función lineal afín.
Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma
siguiente
•m es denominada la pendiente de la recta.
•b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).

Afín
Una función lineal afín es aquella cuya expresión matemática viene dada por:
Y= mx + n
donde x e y son variables, m una constante que se denomina pendiente y n otra
constante denominada ordenada en el origen. Su gráfica es una recta que corta al eje de
ordenadas en .
La pendiente m de una recta mide la inclinación de la siguiente manera:
•Si M>0 la función es creciente.
•Si M=0 la función es decreciente.
•Si M<0 la función es constante (recta horizontal).
La pendiente de una recta se puede hallar de la siguiente manera:
para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones
restando sus coordenadas x e y respectivamente.

Identidad
Una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que
devuelve su propio argumento.
La función identidad puede describirse de la forma siguiente:
f(x)=x / f(x)=y

Ejemplo:
F(x)=x
x 1 2 3 4
y 1 2 3 4

Constante
Se llama función Polinómicas de grado cero o función matemática constante a la que no
depende de ninguna variable, se la representa de la forma:
F(x)= a
donde a es la constante.

Función
cuadrática
Una función cuadrática, es una función polinómica de grado par, que tiene como
máximo grado el numero 2. se define por la siguiente ecuación:
Conjunto de salida: IR= dominio
Conjunto de llegada= IR
Rango= (máximos y mínimos de la función)
Punto de corte con y= c
Pun to de corte con x=
Para hallar el mínimo y máximo
relativos, se usa la ecuación:
x= -b
2a

Función cúbica
Es una función polinómica de grado impar, cuyo grado mayor en el
termino de la ecuación es de 3.
Se da por la siguiente ecuación:
Conjunto de salida= IR=dominio
Conjunto de llegada= IR= rango
Punto de corte con y= d
Punto de corte con x=
factorizacion( teorema del factor)

Referencias de consulta
• http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_de_tercer_gra
do
• http://es.wikipedia.org/wiki/Función_cuadrática
• http://es.wikipedia.org/wiki/Función_matemática
• http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funcio
nes.htm
• http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/estructural
/libro/estructural/node29.html

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